Il corpo nero e la temperatura dei corpi celesti di Daniele Gasparri

Transcript

1 Il orpo nero e la temperatura dei orpi elesti di Daniele Gasparri Gli sienziati del diiannovesimo seolo, attraverso degli esperimenti, soprirono una osa estremamente interessante: prendendo un orpo qualsiasi e saldandolo esso ominia ad emettere lue, prima di un rosso upo, poi di un olore sempre più hiaro mano a mano he somministro alore. L esperienza è failmente riproduibile da hiunque: basta prendere una bahetta di metallo ed una di vetro e porle su una fiamma ad alta temperatura; i due oggetti mano a mano he si saldano ominiano ad emettere radiazione he presinde la loro diversa natura. A ira 500 C diviene perepibile ome una debole luminosità rossa, a 1000 C è molto più intensa e di olore aranio. Aumentando la temperatura aumenta l intensità e ambia il olore, spostandosi progressivamente verso lunghezze d onda più orte (verso il blu). E leito quindi pensare he ogni orpo he abbia una erta temperatura, superiore allo zero assoluto (-7,16 C), emetta radiazione. Sebbene noi non siamo in grado di vedere la radiazione emessa da un oggetto a 100 C, non è detto he questa non sia presente a lunghezze d onda invisibili ai nostri ohi. Questo omportamento è indipendente dal tipo di materiale he si utilizza ed è una aratteristia di tutti i orpi. La lunghezza d onda e l intensità della radiazione sembrano essere ollegate ad una quantità he in qualhe modo rappresenta l energia he ho trasferito al orpo: questa quantità è la temperatura. Per indagare a fondo queste bizzarre proprietà onsideriamo una situazione ideale, il osiddetto orpo nero. Prendiamo una satola le ui pareti siano degli assorbitori perfetti. Somministriamo ad una parete una erta energia he aumenta la sua temperatura. Nella satola, dopo un erto tempo t, si può misurare una temperatura ostante: le pareti hanno in qualhe modo omuniato le une on le altre sambiandosi radiazione elettromagnetia e raggiungendo tutte la stessa temperatura, he non varia più nel tempo (se non i sono dispersioni): siamo nella ondizione hiamata di equilibrio termio. Questa situazione è stabile nel tempo, nonostante si tratti di un equilibrio dinamio: le pareti ontinuano a sambiarsi in ontinuazione energia elettromagnetia, ma tanta ne assorbono quanta ne emettono, per questo non è flusso netto e la temperatura resta ostante. Il orpo nero ideale Un orpo nero (ideale) è un oggetto he si trova all equilibrio termio he assorbe tutta la radiazione inidente, qualunque essa sia, e la riemette in funzione della sua sola temperatura (e quindi l andamento della radiazione emessa è ompletamente indipendente dal tipo di radiazione assorbita). Sperimentalmente un orpo nero (quasi) ideale è rappresentato da una satola hiusa le ui pareti siano dei onduttori molto buoni, nella quale è pratiato un piolo foro. Da questo foro viene introdotta radiazione elettromagnetia, he dopo suessivi rimbalzi viene assorbita ompletamente dalle pareti della satola, le quali la ri-emettono sottoforma di radiazione termia. Nella fase di equilibrio la radiazione presente all interno è dovuta eslusivamente alla temperatura delle pareti del orpo e non vi è più aluna memoria di quella introdotta inizialmente. Come è fatta la distribuzione di questa energia? Quali sono le sue proprietà e i suoi legami on la temperatura? La dimostrazione di iò he si vede sperimentalmente non è affatto banale e rihiede, ome spesso aade, onosenze di base, soprattutto di fisia, meania quantistia e ampi elettromagnetii. In queste pagine mi limiterò solamente a dare dei enni e degli spunti di ragionamento.

2 Per desrivere quantitativamente la radiazione di orpo nero bisogna apire esattamente osa aade a livello mirosopio. Possiamo immaginare un generio solido ome omposto da atomi strettamente legati gli uni agli altri attraverso il retiolo ristallino; ogni atomo è ostituito da un erto numero di elettroni he si trovano su orbite ontraddistinte da un erto valore di energia. Un elettrone perorre un'orbita attorno al proprio nuleo ad una distanza desritta da preise leggi fisihe; quando un fotone giunge nei pressi dell'atomo, esso viene assorbito da uno o più elettroni i quali si portano su orbite on energia maggiore (stato eitato). Dopo un tempo brevissimo (inferiore ad un miliardesimo di seondo) gli elettroni tornano al livello preedente (fondamentale): il risultato netto è quindi un osillazione. Un fotone, ioè un pahetto base di un onda elettromagnetia, fa osillare gli elettroni. Qualsiasi partiella aria he osilla emette un fotone e l elettrone non è un aso partiolare. Per un atomo Shematizzazione di un solido omposto da un retiolo di atomi ed elettroni legati tra loro. Gli elettroni si possono essere assimilati a delle partielle legate on delle molle ai nulei atomii. Quando un orpo si trova ad una temperatura maggiore dello zero assoluto gli osillatori (gli elettroni) osillano in funzione della temperatura ed emettono radiazione elettromagnetia. isolato le osillazioni possibili sono vinolate dalla meania quantistia e ad esse sono assoiate determinate energie. Un atomo isolato quindi assorbe ed emette solamente erte determinate lunghezze d onda: questo è il aso già analizzato dell emissione delle nebulose. Nel aso di solidi, ioè agglomerati di atomi on densità elevate, le orbite elettronihe (orbitali) sono disturbate e gli elettroni possono assorbire ed emettere qualsiasi tipo di radiazione, produendo (o assorbendo) iò he si hiama uno spettro ontinuo (ontinuum). Un solido è ostituito da atomi, i quali sono formati da un nuleo e un elettrone he orbita attorno (non nel senso omunemente visualizzabile). Quando un fotone raggiungere l atomo, questo viene assorbito dall'elettrone he ominia ad osillare attorno alla sua posizione di equilibrio; siome l'elettrone è una partiella aria, si ha il risultato netto he l'osillazione produe a sua volta un'onda elettromagnetia. Di questa onda possiamo onosere tutto se onosiamo l'ampiezza o meglio la frequenza di osillazione. Senza entrare in profonde giustifiazioni fisihe, possiamo immaginare he una qualsiasi partiella aria osillando ad una erta frequenza produe un'onda elettromagnetia della stessa frequenza. L'energia dell osillatore e l'energia dell'onda elettromagnetia risultante sono hiaramente legate tra di loro. Se un elettrone osilla molto lentamente signifia he esso avrà poa energia; se la sua osillazione è molto veloe, ioè ad alta frequenza, (la frequenza è la misura del numero di osillazioni nell'unità di tempo) esso avrà una quantità di energia maggiore. E quindi leito pensare he l'energia dell'onda elettromagnetia emessa è in qualhe modo legata alla frequenza dell osillatore, ovvero alla frequenza dell onda prodotta. L energia di un fotone è data dalla semplie relazione: E = h, dove h = ostante di Plank e = frequenza. In un solido, ostituito da miliardi e miliardi di atomi, un aumento della temperatura, e quindi un generio aumento dell'energia, produe miliardi e miliardi di osillazioni elettronihe: somministrando energia (in qualsiasi forma) ottengo una produzione di radiazione elettromagnetia. Somministrando alore al nostro solido noi non faiamo altro he somministrare energia agli atomi di ui esso è omposto, in partiolare agli elettroni he si omportano ome degli osillatori. Se siamo all'equilibrio termio signifia he tanta energia somministro al mio solido tanta esso ne restituise attraverso le onde elettromagnetihe prodotte dalle osillazione elettronihe. Studiando quantitativamente questo semplie modello siamo in grado di desrivere la radiazione di orpo nero dal punto di vista lassio.

3 Consideriamo quindi il nostro osillatore rappresentato dal un generio elettrone. Dalle leggi dell'elettromagnetismo siamo in grado di determinare quanta energia irradia ogni seondo un tale e oggetto (radiazione di dipolo osillante): δε = (π) ε, mentre il lavoro per seondo fatto m sull osillatore da un generio ampo di radiazione, la ui densità di energia per unità di frequenza è πe u, sarà dato da: δw = u. Ciò he è importante per il nostro sopo non è giustifiare le singole m formule o grandezze, piuttosto apire he queste due quantità in aso di equilibrio sono uguali, ioè l'energia trasmessa all osillatore (ioè il lavoro) è uguale all'energia he esso irradia ogni seondo, ioè: δε = δw. Da questa assunzione possiamo riavare finalmente iò he i interessa 8π maggiormente, ioè l'intensità dell'energia emessa per unità di frequenza: u = ε. ε rappresenta l'energia media di un osillatore, he nel aso di metodi statistii lassii è data da: ε = kt, quindi l'intensità della radiazione emessa da un osillatore per unità di frequenza è data da: 8π u = kt, dove T è la temperatura (assoluta) e k è la ostante di Boltzmann ( k = 1,8 10 JK ). Questo è un risultato molto importante, he lega l'intensità dell'energia emessa alla temperatura del orpo; questa relazione è onosiuta on il nome di legge di Rayleigh-Jeans. Purtroppo questa formula non è orretta, prinipalmente per due motivi. Uno è puramente osservativo: l'andamento alolato non riprodue quello sperimentale. Come possiamo vedere infatti la legge di Rayleigh-Jeans riprodue abbastanza bene l'andamento sperimentale solamente per frequenze piuttosto basse, mentre è totalmente sballata per frequenze alte e non riprodue minimamente l'andamento della urva sperimentale. La divergenza per alte frequenze, o, in alternativa, basse lunghezze d onda, è detta atastrofe ultravioletta. Il seondo motivo è molto più profondo. La formula trovata afferma he per una frequenza abbastanza grande la densità di energia tende all'infinito, a presindere da quanta energia assorbe il sistema. Questo onetto in fisia non ha alun senso: sarebbe ome dire he a presindere dall'automobile he ho, on 1 litro di benzina posso perorrere una quantità infinita di strada, a patto di andare abbastanza veloe! Andamento di orpo nero sperimentale (linee ontinue) e seondo la legge lassia di Rayleigh-Jeans (linea tratteggiata). Come si può vedere essa approssima l andamento sperimentale per le basse frequenze, ma diverge per le alte, tanto da tendere all infinito. Il modello teorio sviluppato non funziona, oorre trovare l errore.

4 La formula di Rayleigh-Jeans viola il prinipio di onservazione dell energia e non va bene, sebbene sia stata ottenuta on un proedimento fisio e logio apparentemente orretto. C è qualosa di sbagliato nel nostro modello, ma osa? Il primo a porsi questa domanda fu il fisio Max Plank, he dopo molti anni passati a studiare il problema, riusì a trovare il modo di far tornare la formula, senza però una spiegazione fisia plausibile. Egli puntò il dito ontro l'energia media di un osillatore, he alolata attraverso la teoria lassia i dà il valore: ε = kt. La formula trovata i die he l'energia di un osillatore (l elettrone) può assumere qualsiasi valore in dipendenza della temperatura; un osillatore può quindi teoriamente assumere qualsiasi valore dell'energia ompreso tra zero (temperatura uguale a 0 K) e un numero arbitrariamente grande, variando in modo ontinuo. Plank invee propose he l'energia di un osillatore non può variare in modo ontinuo ma deve essere un multiplo intero di un erto valore di base. L energia dell osillatore elettronio può solamente assumere valori multipli interi di un'energia base ε 0 : (0, ε 0, ε 0, ε 0,., n ε 0 ). Benhé la osa non trovasse anora giustifiazione dal punto di vista fisio, Plank ebbe un'intuizione geniale he riusì a togliere gli sienziati del tempo da un empasse abbastanza imbarazzante. Introduendo questa ipotesi nel alolo dell'energia media di un osillatore (e faendo qualhe alolo he non mostriamo), si ottiene finalmente una formula he riprodue in maniera perfetta i dati sperimentali: 8πh 1 u =. Questa è la legge di e hv / kt Plank, il ui andamento può essere espresso sia in funzione della lunghezza d'onda he della frequenza (legate dalla nota relazione: λ = ). La formula i dà la densità di energia, ioè l'intensità di energia per unità di volume per unità di frequenza o lunghezza d'onda emessa da un orpo nero perfetto he si trova alla temperatura T e all'equilibrio termio. Questo andamento è indipendente dalla natura del orpo e dall'entità della radiazione inidente o dalla fonte di alore Andamento di orpo nero orretto. Il modello degli osillatori on energia quantizzata funziona e prevede (ioè da hi, osa e ome somministra energia). on esattezza l andamento sperimentale. Dalla formula appena trovata possiamo riavare due andamenti prinipali; il primo si ottiene per frequenze molto basse: hv / kt << 1 (il segno << signifia molto minore o molto più piolo). In questo aso troviamo la formula di Rayleigh-Jeans 8π (sviluppando in serie): u = kt. Analogamente, per frequenze molto alte troviamo il 8πh osiddetto regime di Wien: u = e hv / kt. La urva in funzione della frequenza rese ome una parabola, raggiunge un massimo (he tra qualhe riga aloleremo), e poi derese on un andamento esponenziale, sempre in funzione della frequenza (e per una temperatura T fissata). Il massimo della radiazione emessa si alola failmente e verifia gli andamenti sperimentali trovati, in ui si evidenziò he il prodotto tra la lunghezza d'onda di pio e la temperatura era sempre ostante: λ Max T = onst. La relazione esatta i die he: λ MaxT = 0, 9K m : onosendo la lunghezza d'onda di pio possiamo riavare la temperatura di quel orpo dalla semplie formula appena vista.

5 Possiamo esprimere la legge di Plank anhe attraverso la brillanza, invee he la densità di energia. La densità di energia rappresenta l energia per unità di volume e per unità di frequenza (o lunghezza d onda). La brillanza invee è l energia per unità di tempo (ioè emessa in ogni seondo) per unità di superfiie, unità di frequenza (o lunghezza d onda) ed unità di angolo solido. In formule matematihe: 8π h 1 1) Densità di energia: u = [ J Hz ] m. h / kt e h 1 ) Brillanza: B = [ J s Hz m sterad ] h / kt e ) Relazione tra brillanza e densità di energia: B = 4π u Nonostante i diversi signifiati, la forma resta quella tipia della urva di Plank. Nelle formule si possono utilizzare alternativamente la lunghezza d onda o la frequenza, tenendo presente la relazione fondamentale λ =. L'ultima relazione riguarda l'intensità totale di energia: integrando l espressione della brillanza su tutte le frequenze e le direzioni possibili (un angolo solido ompleto, pari a 4 π steradianti), otteniamo l intensità totale di energia emessa dal orpo nero ogni seondo per ogni unità di superfiie (stellare se riferita alle stelle), ioè il flusso. Esso è ollegato naturalmente alla 4 temperatura: F = σt, dove F = energia rievuta/seondo/superfiie. Riassumendo: il orpo nero è un generio oggetto all'equilibrio termio he assorbe tutta la radiazione inidente e la riemmette in funzione della sua sola temperatura. Il suo andamento è 8πh 1 u = desritto da tre leggi fondamentali: e hv / kt he i diono tutto sulla temperatura λmaxt = 0.9 Km 4 F = σt e sull'energia emessa dal generio orpo. Ora he abbiamo apito osa è un orpo nero e ome esso si omporta possiamo appliare il nostro modello agli oggetti reali. Il orpo nero nelle situazioni reali Naturalmente non esiste in natura una orpo nero perfetto e ne abbiamo la prova osservando gli oggetti della vita quotidiana: un orpo nero ideale alla temperatura media terrestre apparirebbe ai nostri ohi ompletamente nero, emettendo la sua radiazione nella banda del medio infrarosso. Inoltre se fossimo in grado di vedere questa radiazione tutti i orpi i apparirebbero dello uno stesso olore (perhé la natura della radiazione presinde la omposizione himia e la forma!). Nella realtà gli oggetti possiedono un olore, ausato dalla riflessione, o meglio, diffusione effiiente della lue di lunghezza d'onda he orrisponde al olore he perepiamo. Un oggetto biano è un pessimo assorbitore; esso infatti, almeno nel visibile, diffonde quasi ompletamente la radiazione inidente, mostrandosi biano. Un oggetto nero assorbe quasi ompletamente la radiazione visibile e quindi i appare senza olore (ed è esperienza omune he un oggetto biano ed uno nero, esposti per uno stesso tempo al Sole, si saldano in maniera molto differente). Il orpo nero inteso ome assorbitore totale non esiste. Tuttavia possiamo omunque onsiderare gli oggetti della vita reale alla stregua di orpi neri, on le dovute preauzioni e preisazioni. Le formule viste ontinuano a valere a patto he riusiamo ad esempio a stabilire quanta radiazione (o in generale energia) viene realmente assorbita. Molti oggetti possono essere approssimati on dei orpi neri: le stelle e il orpo umano, pur essendo molto diversi tra di loro, hanno omportamenti simili, almeno in prima approssimazione, osì ome quasi tutti gli oggetti della vita reale (la Terra, una pietra, gli alberi, gli animali..).

6 Analizziamo brevemente per esempio il orpo umano e le stelle. Sappiamo he nostro orpo ha una temperatura media di ira 7 C ioè ira 10 K. Lo possiamo onsiderare un orpo nero? La risposta è affermativa! Sappiamo esso si trova in equilibrio termio, infatti la sua temperatura resta all inira ostante nel tempo. Anhe se l innalzamento della temperatura orporea è dovuto a proessi essenzialmente non termii, ome le reazioni himihe he avvengono nelle ellule on il bruiamento di zuheri e ossigeno, la grande quantità di atomi di ui è omposta una singola ellula assorbe questa energia di natura non termia e la riemette suessivamente in funzione della temperatura. Abbiamo di nuovo la prova he non importa onosere le ause del risaldamento di un orpo: esse possono essere di qualsiasi altra natura, ome himia, radiativa termia, radiativa non termia (proessi nuleari ad esempio) o tramite sambio di alore attraverso onduzione e onvezione o semplie attrito. Non è importante l energia in ingresso, perhé essa viene assorbita dagli elettroni e rimodellata seondo la loro sola temperatura. Gli atomi (o meglio, gli elettroni, he però sono parte integrante dell atomo) di ui sono omposte le nostre ellule, trovandosi ad una erta temperatura T emettono radiazione termia la ui lunghezza d'onda di pio si può failmente alolare attraverso la legge dello spostamento 0,9 0,9 4 di Wien: λ = = 9,5 10 m = 9, 5 m Max µ T 10 ioè radiazione infrarossa. Naturalmente questo alolato è il pio della radiazione; sappiamo infatti he essa ha una distribuzione he segue la legge di Plank, ome nella figura sopra. Anhe le stelle possono essere onsiderate dei orpi neri, Spettro dell emissione di un orpo umano alla temperatura di 7 C. L emissione è nel medio infrarosso (pio a 9,5 miron) e lo spettro è quello tipio di un orpo nero quasi perfetto. naturalmente on le dovute preauzioni e approssimazioni. Una stella infatti non è un oggetto in equilibrio termodinamio nel senso stretto della parola: la temperatura in effetti diminuise di molti gradi passando da zone entrali (deine di milioni di gradi) alla superfiie (qualhe migliaio). Se la suddividiamo in vari gusi di spessore arbitrario, ognuno on una temperatura ostante, possiamo dire he ognuno, indipendentemente dall altro, si trova all equilibrio termio: infatti tanta energia viene assorbita quanta ne viene emessa e quindi la temperatura resta ostante. Utilizzando questa approssimazione hiamata equilibrio termodinamio loale (LTE) siamo in grado di trattare la stella ome un orpo nero. I meanismi sono del tutto simili a quelli già visti per il orpo umano. Al entro si produe una erta energia il ui spettro è non termio (fusione nuleare). Questa energia, nella quasi totalità fotoni gamma, a ausa delle ondizioni ambientali del nuleo stellare (elevata opaità) ha un ammino libero medio estremamente piolo. Essa viene subito assorbita dagli elettroni presenti in gran numero nella zona he possiamo onsiderare ome il primo gusio del nostro sistema in equilibrio termodinamio loale. L'energia assorbita dagli elettroni del primo gusio viene trasformata in energia termia in funzione della temperatura delle partielle he sarà molto elevata. Essa viene poi trasferita al seondo, al terzo, al quarto e osì via, disperdendosi su una superfiie maggiore e quindi diminuendo in densità; ogni gusio rieve una densità di energia sempre minore, e la riemette in funzione della sua temperatura, supposta ostante, fino ad arrivare all ultimo gusio, il più esterno, orrispondente alla superfiie della stella (fotosfera), ioè allo strato he finalmente riese a far disperdere la radiazione direttamente nello spazio. Naturalmente la quantità totale di energia he fuoriese dalla fotosfera è la stessa he viene prodotta al entro dalle reazioni nuleari, ma la sua distribuzione è totalmente diversa e dipende dalla temperatura fotosferia.

7 Ciò he noi osserviamo da Terra è proprio l emissione termia di questo ultimo gusio stellare, molto simile a quella di un orpo nero, anhe se non perfettamente uguale a ausa dell assorbimento da parte del gas presente nella sua atmosfera. Lo spettro stellare infatti è modellato da due proessi fisii: il proesso termio di orpo nero produe l andamento generale, il osiddetto ontinuo, mentre l assorbimento da parte di gas rarefatto e più freddo produe sottili righe di assorbimento o a volte vere e proprie laune (deremento Balmer). In onlusione: onosendo la radiazione emessa da una stella siamo in grado di trovare failmente la temperatura dello strato responsabile di tale emissione. Non solo; siome i tutti i pianeti del sistema solare sono raggiunti dalla radiazione solare, possiamo anhe alolare la loro temperatura media.