Le conseguenze delle trasformazioni di Lorentz: la velocità limite e l addizione non galileiana delle velocità

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1 Le onseguenze delle trasformazioni di Lorentz: la eloità limite e l addizione non galileiana delle eloità L esistenza di una eloità massima possibile alida per ogni ente fisio (orpi materiali, onde, et. et. è sritta nelle trasformazioni di Lorentz. Si noti, infatti, he ompaiono denominatori on radii quadrate ( t t1 ( 1 ( 1 ( t t1 1 ; ( 1 ( 1 ; ( z z1 ( z z1 ; ( t t1 1 / 1 / le quali rihiedono (a meno he non si ogliano onsiderare quantità omplesse he il radiando sia positio 1- / 0 da ui Le trasformazioni di Lorentz rihiedono he, in ogni riferimento inerziale, la eloità di un qualunque ente fisio sia sempre minore o uguale a quella della lue, la quale, assume il ruolo di eloità limite. L esistenza di una eloità massima possibile ha ome onseguenza il fatto he le regole di omposizione delle eloità deono essere radialmente dierse da quelle galileiane altrimenti si arebbero palesi iolazioni del seondo postulato. Immaginiamo, ad esempio, he l osseratore O inii un raggio luminoso lungo le positie he, in irtù del seondo postulato, si propagherà on eloità rispetto a lui. Se fosse alida la legge galileiana di omposizione, la eloità del raggio luminoso osserata da O dorebbe essere + iolando ineitabilmente il seondo postulato. Quale è dunque la nuoa legge di omposizione delle eloità in aordo on l esistenza di una eloità limite? O O Lezioni sulla Teoria della Relatiità - Niola Semprini Cesari

2 Consideriamo ad esempio le trasformazioni degli interalli da O ad O. Eidentemente si ottengono le eloità sempliemente mettendo a rapporto gli interalli spaziali e temporali ( 1 + ( t t1 ( 1 ( 1 + ( t t1 1 / ( 1 + ( 1 + ( t t1 ( 1 ( 1 1 / 1+ t t ( t t1 1 / ( t t1 + ( 1 1+ ( 1 ( 1 ( 1 1 / ( 1 ( 1 1 / ( t t1 1 / ( z z1 ( z z1 ( t t1 ( t ( 1 t1 ( ( t t1 + ( 1 ( t t1 ( t t1 ( z z1 ( z z1 1 / 1 / 1 / ( z z1 z 1 / ( t t1 z ( t t1 + ( 1 ( t t1 1 z + ( 1 1+ ( t t1 da ui otteniamo le nuoe leggi della somma delle eloità he sostituisono quelle di Galileo alide nella fisia lassia, le leggi relatiistihe di omposizione delle eloità 1 / 1 / + z z La struttura delle nuoe leggi di omposizione è piuttosto omplessa, tuttaia, ome atteso, le leggi relatiistihe onduono a quelle galileiane nel aso di eloità piole rispetto a quella della lue. Infatti se << si ottiene failmente + z z Lezioni sulla Teoria della Relatiità - Niola Semprini Cesari

3 + 1 / 1 / z z Notiamo he dato un orpo materiale in moto on una erta eloità,, z rispetto ad O appare in moto anhe ad O, oiamente. Tuttaia le eloità trasersali al moto he egli ossera, non dipendono solamente dalle eloità trasersali he il orpo aea rispetto ad O, dipendono anhe da quella longitudinale lungo la direzione del moto. In un erto senso le omponenti della eloità si mesolano ontrariamente a quanto aiene on la omposizione galileiana delle eloità. Anora più sorprendente è la regola di addizione delle eloità lungo la direzione del moto. Ragionando on l esempio esaminato all inizio si ottiene O O Oero dato un riferimento O he si muoe on eloità rispetto ad O (lungo le positie, se un raggio luminoso si muoe on eloità rispetto ad O (lungo le positie, allora tale raggio si muoe on eloità anhe rispetto ad O. Dunque, seondo le leggi relatiistihe di omposizione delle eloità +, in aordo on l esistenza di una eloità limite (e on il seondo postulato ma in ompleto onflitto on le leggi galileiane. Per ompletezza analizziamo anhe il aso in ui il raggio luminoso ertialmente in O : 0, 1 / / ( (1 / he onferma le onlusioni già ommentate. O O Lezioni sulla Teoria della Relatiità - Niola Semprini Cesari

4 Le onseguenze delle trasformazioni di Lorentz: il prinipio di ausalità Esaminiamo, anora una olta, la trasformazione di Lorentz per l interallo temporale he risriiamo in una forma adatta per le onsiderazioni he faremo ( 1 ( t t1 + ( ( 1 ( 1 t t t t ( t t1 1 / 1 / ed immaginiamo he, nel riferimento O (per sempliità lungo l asse delle, abbiano luogo due eenti: il primo nel punto 1 al tempo t 1 ed il seondo nel punto al tempo t (on t quindi suessio a t 1. Osseriamo he se il numeratore dell ultima espressione è positio allora se t -t 1 >0 anhe t -t 1 >0 oero l ordine temporale degli eenti è lo stesso per tutti e due gli osseratori. Se inee il numeratore è negatio se t -t 1 <0 si ha t -t 1 <0 oero l osseratore O ede un ordine degli eenti inertito rispetto a quello osserato da O. Riassumendo abbiamo d altra parte abbiamo he ( 1 se 1+ > 0 allora ( t t1 > 0 ( t t1 > 0 ( t t1 ( 1 se 1+ < 0 allora ( t t1 > 0 ( t t1 < 0 ( t t1 ( ( ( ( 1+ > 0 > < dunque < ( t t ( t t ( t t ( t t ma 1 per ui possiamo risriere le nostre ondizioni nel modo seguente Lezioni sulla Teoria della Relatiità - Niola Semprini Cesari e

5 ( 1 se < allora ( t t1 > 0 ( t t1 > 0 (1 ( t t1 ( 1 se > allora ( t t1 > 0 ( t t1 < 0 ( ( t t1 Quale è il signifiato di queste relazioni? Per apirlo, immaginiamo he nel riferimento O l eento A orrisponda allo sparo di un proiettile da un erto punto 1 ad un erto tempo t 1, mentre l eento B orrisponda all arrio del proiettile sul bersaglio nel punto al tempo t he, in seguito all impatto, a in frantumi. In questo aso l eento A ausa l eento B e, nel riferimento O, lo preede temporalmente. Ora se questo non fosse ero anhe in tutti gli altri riferimenti in aluni asi potrebbe aadere di osserare l eento B prima dell eento A e dunque una situazione assurda nella quale la frantumazione del bersaglio preede l arrio del proiettile! Il fatto he i due eenti possano essere onnessi da un proiettile i assiura, però, he dee essere erifiata la (1 poihé nessuna azione fisia può superare la eloità della lue. In questo aso le trasformazioni di Lorentz garantisono he ogni altro osseratore edrà gli eenti nello stesso ordine temporale songiurando la situazione assurda di ui sopra. L inersione degli eenti può aenire solo on la ondizione espressa dalla (. Oorre però sottolineare he in questo aso la distanza spaziale e temporale degli eenti è tale da non potere essere in nessun modo onnessi da una qualhe azione fisia per ui l inersione del prima on il dopo, in questo aso possibile, non può omunque produrre situazioni assurde. L esempio dorebbe allora hiarire il signifiato delle (1 e (: il quoziente R( - 1 /(t -t 1 è il rapporto tra la distanza spaziale e temporale tra i due eenti misurata da O. Riordando he seondo la TRR esiste una eloità limite per tutti gli enti fisii, R < signifia he i due eenti potrebbero essere onnessi da una qualhe azione fisia, mentre R > signifia he i due eenti non potrebbero in nessun modo essere onnessi da una qualhe azione fisia. Nel primo aso si die he gli eenti potrebbero essere in una relazione di ausa-effetto o sempliemente in una relazione ausale, mentre nel seondo aso si die he gli eenti non potrebbero essere in una relazione di ausa-effetto o in una relazione ausale. Le disequazioni di ui sopra allora affermano he se due eenti fisii possono essere in relazione ausale, l ordine temporale degli eenti è lo stesso per tutti gli osseratori inerziali, mentre, se due eenti fisii non possono essere in relazione ausale l ordine temporale degli eenti può essere sambiato per erti osseratori. Questa proprietà delle trasformazioni di Lorentz è di ruiale importanza in quanto afferma he nonostante la relatiità degli interalli spaziali e temporali nella teoria della relatiità ale il prinipio di ausalità (se due eenti sono in relazione ausale allora il primo dee preedere il seondo per iasun osseratore inerziale, un requisito irrinuniabile per una teoria fisia! Lezioni sulla Teoria della Relatiità - Niola Semprini Cesari

6 Le onseguenze delle trasformazioni di Lorentz: l assolutezza delle oinidenze spazio-temporali Abbiamo appreso, nelle pagine preedenti, he la distanza spaziale e temporale tra due eenti fisii è relatia dipendendo dall osseratore inerziale he la misura, osì ome relatia risulta essere la loro eentuale simultaneità. Seondo le trasformazioni di Galileo inee le distanze spaziali tra eenti simultanei sono assolute [ se t 0] osì ome le distanze temporali tra eenti non simultanei ( t t. L unia grandezza relatia risulta essere la distanza spaziale di eenti non simultanei he essendo data dalla espressione ( + t dipende hiaramente dall osseratore he la misura. Con le trasformazioni di Lorentz tutte queste grandezze dientano relatie per ui i si potrebbe hiedere se nella teoria della relatiità ristretta esistano grandezze assolute. Rihiamiamo allora le trasformazioni di Lorentz ed immaginiamo due eenti fisii tali he 0, 0, z 0 e t 0 oero tali da essere oinidenti sia spazialmente he temporalmente per l osseratore O : ( 1 0 ( t t1 ( 1 + ( 1 + ( t t1 ( ; ( 1 ( 1 ; ( 1 ( 1 ; ( 1 z z z z t t 1 / 1 / ( z z ( t t1 0 da ui otteniamo 0 0 z 0 z 0 t 0 t 0 se due eenti fisii oinidono spazialmente e temporalmente per un osseratore inerziale allora soddisfano questa ondizione per ogni altro osseratore inerziale dunque la oinidenza spaziale e temporale di due eenti è assoluta. Come edremo questa proprietà delle trasformazioni di Lorentz è di grande rileanza. Lezioni sulla Teoria della Relatiità - Niola Semprini Cesari

7 Le onseguenze delle trasformazioni di Lorentz: l assolutezza delle distanze spazio-temporali Rihiamiamo anora le trasformazioni di Lorentz, risriiamole in una forma più ompatta sostituendo le espressioni ( - 1 on et. et, eleiamo al quadrato gli interalli e, infine, sommiamo i quadrati dei tre interalli spaziali sottraendo il quadrato di quello temporale moltipliato per. Eo qua sotto i aloli ( 1 + ( t t1 ( / t t t 1 / (1 / ( 1 ( 1 ( z z1 ( z z1 z z z z ( 1 + ( 1 t t t + ( 1 t t + + t 4 t t 1 / 1 / t (1 / t + + t 4 + t + t + + z t + + z (1 / (1 / + + t t t (1 / (1 / (1 / (1 / t + + z t + + z + + z t Lezioni sulla Teoria della Relatiità - Niola Semprini Cesari

8 oero Vale la pena siluppare alune onsiderazioni in merito alla espressione appena ista. Per ominiare pensiamo a due punti nello spazio ordinario tridimensionale: la loro distanza, per un erto osseratore O, è data dal teorema di Pitagora Ora se assumiamo un riferimento O ruotato rispetto ad O il nuoo osseratore misurerà dierse oordinate dei punti e quindi diersi alori degli interalli,, z ma, quando a a alolare la distanza tra i due punti, troa lo stesso alore misurato da O. Dunque d ( + + z da ui ( + + z t ( + + z t Si noti he la somma dei termini tra parentesi rappresenta il quadrato della distanza spaziale tra due eenti e he questa, ome atteso non è la stessa per tutti gli osseratori inerziali. Tuttaia se gli osseratori inerziali sottraggono alla distanza spaziale tra due eenti il prodotto della eloità della lue on la loro distanza temporale (oero la quantità t he ha le dimensioni di una lunghezza eleata al quadrato troeranno tutti lo stesso alore. Nella TRR questo tipo di distanza prende il nome di distanza spaziotemporale tra due eenti per ui possiamo affermare he la distanza spazio-temporale tra gli eenti è la stessa per tutti gli osseratori inerziali oero he la distanza spaziotemporale tra due eenti è una grandezza assoluta (in questa forma, l assolutezza delle oinidenze spaziotemporali iste nella pagina preedente si deria immediatamente. d ( + + z ( + + z ( + + z (1 la distanza tra due punti dello spazio ordinario è la stessa per tutti gli osseratori ruotati tra loro. Ora gli eenti fisii possiedono, oltre ad una posizione nello spazio, anhe una posizione nel tempo per ui potremmo pensare di rappresentarli in un riferimento on quattro assi artesiani: tre dediati alla posizione spaziale (,,z ed uno dediato a quella temporale t. Per rappresentare lunghezze anhe su questo quarto asse, potrebbe poi essere oneniente posizionare l eento non in t ma in t. In questo modo, due eenti fisii in questo spazio sarebbero aratterizzati dagli interalli spaziali,, z e temporali t e la distanza potrebbe essere alolata attraerso il teorema di Pitagora in quattro dimensioni d ( + + z + t Lezioni sulla Teoria della Relatiità - Niola Semprini Cesari

9 Pensando poi di assimilare un ambiamento di riferimento inerziale ad una rotazione del sistema d assi quadridimensionale si otterrebbe, in analogia on il aso tridimensionale, e quindi d ( + + z + t ( + + z + t ( + + z + t ( he assomiglia molto alla relazione soddisfatta dalle trasformazioni di Lorentz troata nella pagina preedente ( + + z t ( + + z t (3 Seguendo questa idea si potrebbe pensare di interpretare il passaggio fisio da un riferimento all altro ome una rotazione ordinaria di un riferimento a quattro dimensioni (tre spaziali ed una temporale nel quale però il teorema di Pitagora ale per le dimensioni spaziali ma non per quella temporale dato he è un segno meno nella (3. Se si è però disposti ad introdurre un asse dei tempi immaginario, la (3 può essere sritta ome ( + + z + ( i t ( + + z + ( i t (4 oero identia alla (. Dunque, una olta introdotti tre assi spaziali ordinari ed un asse dei tempi immaginario, il passaggio da un riferimento inerziale ad un altro è assimilabile ad una rotazione dell intero sistema d assi, doe, pur ariando gli interalli, engono onserate le distanze alolate on il teorema di Pitagora in quattro dimensioni. Questa interpretazione geometria delle trasformazioni di Lorentz, basata sul onetto di rotazione, fu suggerita nel 1908 dal matematio tedeso Hermann Minkowsk (ira tre anni dopo la formulazione della TRR da parte di A. Einstein. In suo onore, il riferimento a quattro assi ortogonali di ui tre ordinari ed uno temporale immaginario, iene detto riferimento spaziotemporale o spazio-tempo di Minkowsk. Assumendo questa definizione i risulta i appena disussi si riassumono affermando he il passaggio fisio da un riferimento inerziale all altro è assimilabile ad una rotazione del riferimento di Minkowsk (o ad una rotazione nello spazio-tempo di Minkowsk. Lo spazio tempo di Minkowsk è, in ultima analisi, una elegante ostruzione formale apae di desriere in modo sintetio il ontenuto fisio della teoria della relatiità ristretta. Quando i fisii deono stabilire se una data nuoa teoria rispetti o meno la TRR, oppure ogliono ostruire una nuoa teoria in aordo on la TRR, lo spazio-tempo di Minkowsk rappresenta la ia più rapida per raggiungere lo sopo. Nonostante questo fondamentale antaggio, sotto il profilo fisio non aggiunge nulla di nuoo a quanto già affermato dalle stesse trasformazioni di Lorentz. Lezioni sulla Teoria della Relatiità - Niola Semprini Cesari

10 Rotazioni del riferimento di Minkowsk: deduzione degli effetti relatiistii In quel he segue, erheremo di dedurre gli effetti relatiistii per ia geometria, ruotando il riferimento di Minkowsk. Per ominiare analizziamo una rotazione ordinaria, di un erto angoloα, della oppia di assi rappresentata in figura. Con tutta eidenza il punto P possiede oordinate e rispetto al sistema iniziale (in rosso e oordinate e rispetto a quello finale ruotato (in blu. Dalla figura sottostante troiamo failmente os α sin os α sinα os α + sin os α + sin os α + sinα os α + sin le quale si può anhe sriere ome α α α α OO P Y t g α 1 + t g α + t g α 1 + t g α Tali espressioni mostrano una noteole somiglianza on le trasformazioni di Lorentz! OO P Y Lezioni sulla Teoria della Relatiità - Niola Semprini Cesari

11 Riordiamo ora he le trasformazioni di Lorentz sono rotazioni nello spazio-tempo di Minkowsk he preede un asse dei tempi immaginario he assumiamo lungo l asse delle it it Notiamo, inoltre, he nelle espressioni della pagina preedente ompare la radie 1+ tg α alla quale orrisponde, nelle trasformazioni di Lorentz, la radie 1 OO P Y Le due radii quadrate saranno uguali se tg α tgα i Sostituendo ora,, e tg α nelle formule della rotazione ordinaria della pagina preedente otteniamo le espressioni it ( i + t tgα ( i 1 tg α + + tgα t + it + ( i 1 tg α t it ( i 1 perfettamente oinidenti on le trasformazioni di Lorentz per le oordinate e t! OO P Y Lezioni sulla Teoria della Relatiità - Niola Semprini Cesari

12 Giungiamo allora alla seguente onlusione: ostruendo lo spazio di Minkowsk on la ariabile lungo l asissa e la ariabile it lungo l ordinata, la trasformazione di Lorentz on eloità (oero il passaggio da un riferimento inerziale O in moto on eloità al riferimento inerziale O fisso è formalmente identia ad una rotazione oraria del riferimento di un angoloαtale he tgα i doe eidentemente l angolo è tanto più grande quanto maggiore è la eloità. NOTA: data una erta eloità di traslazione, si alolerà l angolo tale he tgα/ e gli si aggiungerà l unità immaginaria i. OO P it Distanza spaziotemporale Dati due eenti fisii P e Q, la trasformazione di Lorentz (rotazione lasia inariata la distanza degli eenti sostituendo otteniamo + + i t i t + ( i t + ( i t t t la quale mostra he l inarianza della distanza spaziotemporale tra due eenti in seguito ad una trasformazione di Lorentz iene interpretata ome inarianza della distanza pitagoria nello spazio di Minkowsk a seguito della rotazione orrispondente. Si noti he, ome aso partiolare, si ottiene immediatamente he se P e Q oinidono per O allora oinidono anhe per O da ui l affermazione he se due eenti oinidono spazialmente e temporalmente per un osseratore inerziale allora deono oinidere per ogni altro. OO 1 P it 1 Q it Lezioni sulla Teoria della Relatiità - Niola Semprini Cesari

13 Dilatazione del tempo Consideriamo l orologio luminoso on il ammino di andata e ritorno del raggio lungo l asse del riferimento O analizzato a suo tempo. La partenza e l arrio del raggio luminoso in O orrispondono a due eenti on la stessa asissa e diersa ordinata it (edi figura. La trasformazione di Lorentz (rotazione del riferimento fa si he l osseratore O eda inee due eenti on un erto interallo spaziale - 1 (he O non ossera e soprattutto un dierso interallo temporale t -t 1 (dilatazione del tempo. Per quanto riguarda quest ultimo si ha os α tgα i i t i t osα 1/ 1+ tg α 1 1 t i t i t i t t 1+ tg α 1 / 1 / Dalla trigonometria si ha dilatazione del tempo e quindi sostituendo la formula della Q it P it 1 OO 1 Relatiità della simultaneità Gli eenti P e Q, in posizioni dierse, appaiono simultanei a O ma non ad O (relatiità della simultaneità. Dalla geometria si ha failmente he sinα tgα i i t sin α tgα / 1+ tg α Dalla trigonometria si ha da ui sostituendo la formula della desinronizzazione tgα i t 1+ tg α i 1 Lezioni sulla Teoria della Relatiità - Niola Semprini Cesari t 1 OO P Q

14 Contrazione delle lunghezze Data una lunghezza in quiete nel riferimento O, l osseratore in moto O misura una lunghezza pari alla distanza di due suoi osseratori he edono gli estremi nello stesso istante, dunque la distanza dei punti P e Q. L osseratore O inee misura la distanza dei punti P e Q. Abbiamo allora os α tgα i P P Q Dalla trigonometria si ha della ontrazione della lunghezza osα 1/ 1+ tg α 1 / e quindi sostituendo la formula OO Lezioni sulla Teoria della Relatiità - Niola Semprini Cesari

15 Dai raggi luminosi alle proprietà intrinsehe dello spazio e del tempo Tutti gli esempi ed i ommenti preedenti hanno riguardato sistemi fisii relatiamente semplii nei quali era sempre oinolta la propagazione di raggi luminosi. Questo fatto è in erto senso ineitabile poihé i postulati della TRR preisano in he modo si propaga la lue e quindi qualunque esempio he oglia sfruttarli direttamente dee neessariamente preedere eenti fisii on raggi luminosi. Questo fatto potrebbe fare sorgere il dubbio he le trasformazioni di Lorentz desriano il omportamento dei raggi luminosi e di tutti i fenomeni ad essi onnessi e non proprietà intrinsehe dello spazio e del tempo. h Ad esempio onsideriamo il semplie dispositio utilizzato per illustrare il fenomeno della dilatazione dei tempi. Come sappiamo qualhe si dimostra failmente he t L interallo temporale tra gli eenti t 0, misurato dall osseratore in quiete O, è più orto di quello t M misurato dall osseratore in moto O. In questa situazione si potrebbe pensare he non è l interallo temporale a dilatarsi ma piuttosto il modo in ui lo misuriamo. In altre parole, si potrebbe pensare he usando un orologio, diiamo osì, luminoso, si troa l effetto alolato mentre usando, ad esempio, un orologio a uù, si potrebbe troare una diersa entità dell effetto o, addirittura, la sua ompleta assenza. Se le ose stessero osì, non saremmo in presenza di proprietà autentihe (oero intrinsehe degli interalli temporali, ma piuttosto di proprietà dipendenti dal modo in ui questi engono misurati. Come edremo la TRR non lasia aperta questa possibilità! Lezioni sulla Teoria della Relatiità - Niola Semprini Cesari M t 0 1 / O O t t h h O

16 Per omprendere questo fatto, immaginiamo di aggiungere al dispositio di prima un pendolo di lunghezza tale da osillare, nel riferimento O, on lo stesso tempo he impiega il raggio luminoso a ompiere il ammino di andata e ritorno. Possiamo poi sistemare il pendolo in modo tale he, quando il raggio luminoso parte dal punto A, il pendolo parta dallo stesso punto. Siome il pendolo ha la lunghezza giusta, quando torna nel punto A, inontra nuoamente, in quel punto, il raggio luminoso. Notiamo subito he in A la posizione del pendolo e del raggio luminoso oinidono sia spazialmente he temporalmente e he, dopo un erto tempo, il raggio luminoso ed il pendolo tornano nello stesso punto A oero tornano a oinidere sia spazialmente he temporalmente. Siome le oinidenze spaziotemporali sono assolute, queste aengono per tutti gli osseratori inerziali per ui ogni altro osseratore inerziale O troerà tali oinidenze. Questo però rihiede he l osillazione del pendolo e l osillazione dell orologio luminoso abbiano la stessa durata non solo per l osseratore O ma per ogni altro osseratore O. Questo a sua olta equiale ad affermare he se si dilata il tempo misurato dall orologio luminoso dee dilatarsi, nello stesso modo, anhe il tempo misurato dal pendolo. Dato he questo stesso ragionamento può essere ripetuto on qualunque dispositio si oglia misurare gli interalli temporali, è hiaro he i troiamo innanzi ad una proprietà del tempo indipendente dal modo in ui iene misurato ale a dire ad una sua proprietà intrinsea. Questi ragionamenti possono essere failmente estesi anhe agli altri effetti relatiistii quali la relatiità della simultaneità e la ontrazione delle lunghezze. Possiamo allora affermare in generale he: L assolutezza delle oinidenze spazio-temporali rihiede he le proprietà dello spazio e del tempo, misurate on i raggi luminosi, debbano essere ere per qualunque altro metodo di misura, oero, he siano proprietà intrinsehe dello spazio e del tempo. Dunque qualunque interallo temporale dura più a lungo se osserato i moimento osì ome qualunque distanza spaziale si aoria. Sono lo spazio ed il tempo in se ad essere oinolti e non sempliemente la loro operazione di misura. O O A t t h h h O Lezioni sulla Teoria della Relatiità - Niola Semprini Cesari

17 Aluni ommenti sulle Trasformazione di Lorentz : nella TRR è tutto relatio? Spesso si die he on la teoria della relatiità tutto dienta relatio. Nulla di più sbagliato! La teoria della relatiità afferma he erte grandezze he nella fisia lassia si pensaa fossero assolute sono in realtà relatie ma he esistono nuoe grandezze fisihe ignote alla fisia lassia he inee sono assolute. In un erto senso la teoria della relatiità rende relatie le ehie grandezze fisihe ma ne introdue nuoe he sono assolute. Questo fatto è in se eidente se riassumiamo le prinipali onlusioni ui siamo giunti analizzando le trasformazioni di Lorentz i Gli interalli temporali dipendono dall osseratore inerziale, sono dunque relatii ed aumentano on la eloità dell osseratore (fenomeno della dilatazione dei tempi; ii La simultaneità tra due eenti separati nello spazio dipende dall osseratore inerziale, è dunque relatia ed il grado di dissinronia aumenta on la eloità dell osseratore e on la distanza spaziale degli eenti stessi (relatiità della simultaneità; iii Le distanze spaziali dipendono dall osseratore inerziale, sono dunque relatie e diminuisono on la eloità dell osseratore (fenomeno della ontrazione delle lunghezze; i La eloità della lue è la stessa per tutti gli osseratori inerziali ed è dunque una grandezza assoluta; Le distanza spaziotemporali e le oinidenze spaziotemporali sono le stesse per tutti gli osseratori inerziali e sono dunque grandezze assolute; i L ordine temporale di eenti he possono essere onnessi ausalmente è lo stesso per tutti gli osseratori inerziali ed è dunque assoluto; In estrema sintesi la TRR afferma he le distanze spaziali e temporali sono relatie ma quelle spaziotemporali sono assolute. Lezioni sulla Teoria della Relatiità - Niola Semprini Cesari

18 La ostruzione della meania relatiistia Quale sia la meania nel aso in ui le eloità dei orpi materiali siano piole rispetto alla eloità della lue lo sappiamo: questa non può he essere la meania newtoniana. Nel suo ambito, i suessi la apaità di spiegare i fatti sperimentali sono tali da non lasiare spazio a dubbi. Immaginiamo allora he O sia un osseratore inerziale he ede, ad un erto istante, il orpo materiale fermo (dato he il orpo materiale in generale può aelerare il riferimento O soddisfa questa ondizione solo all istante t e quindi erifia la alidità della meania newtoniana. Chiameremo O il riferimento proprio (oppure osseratore proprio del orpo materiale. Per apire quali siano, inee, le leggi meanihe nel aso in ui la eloità del orpo materiale sia rileante rispetto a quella della lue, si potrebbe pensare di assumere il punto di ista di un osseratore inerziale O he ede il riferimento O in rapido moto. Chiameremo O riferimento relatiistio (oppure osseratore relatiistio. Si potrebbe poi pensare di ottenere le leggi meanihe alide per l osseratore relatiistio (meania relatiistia sempliemente effettuando una trasformazione di Lorentz su ognuna delle grandezze he ompaiono nelle leggi meanihe note (oero le leggi newtoniane dell osseratore proprio. Si può fare, ma sorgono aluni problemi he deono essere superati. Per ominiare a ragionare in termini onreti, immaginiamo he l osseratore proprio, newtoniano O, applihi il seondo prinipio della dinamia ad un erto orpo materiale di massa m soggetto ad una forza F. Lungo l asse delle, ad esempio, srierà d d F m dt dt doe gli apii riordano he si tratta di grandezze fisihe misurate da O. Sulla base di quanto detto la meania relatiistia si potrebbe ottenere effettuando una trasformazione di Lorentz sulle grandezze F, m, dt, e. Premesso he non sappiamo ome si trasformano F ed m, è omunque hiaro he il numero di trasformazioni di Lorentz da effettuare nei due membri della equazione è differente. Lezioni sulla Teoria della Relatiità - Niola Semprini Cesari

19 Come è faile intuire, se effettuiamo un dierso numero di trasformazioni di Lorentz nei due membri della equazione si determina ambiamento di forma della equazione per l osseratore relatiistio O e dunque una iolazione del primo postulato he uole he tutti gli osseratori inerziali erifihino le stesse leggi della fisia. Comprendiamo allora he il ontenuto fisio del prinipio di relatiità può essere soddisfatto rihiedendo he i due membri della equazione di una erta legge fisia, qualora si ambi riferimento inerziale, si trasformino on lo stesso numero di trasformazioni di Lorentz (oero si trasformino nello stesso modo. Giungiamo allora alla formulazione matematia del prinipio di relatiità spesso detto prinipio di oarianza il quale afferma he affinhè una legge fisia soddisfi il prinipio di relatiità è suffiiente he, qualora si ambi il riferimento inerziale, i suoi membri si trasformino nello stesso modo rispetto alle trasformazioni di Lorentz. Riprendiamo allora l equazione meania d d F m dt dt e osseriamo subito he abbiamo buoni motii per rihiedere he la forza F si trasformi, nel passaggio da un riferimento all altro, ome. Riordiamo infatti he la forza altro non è he l azione siluppata da un dinamometro ompresso o allungato disposto, ad un erto istante, tra due punti dello spazio P e Q. Questo signifia he nel passaggio da un riferimento all altro la forza F dee trasformarsi ome il segmento he ongiunge i punti P a Q nello stesso istante t oero ome le grandezze, e z on t 0 (si riordi he abbiamo già sfruttato questo fatto all inizio introduendo la meania newtoniana. Rihiamiamo allora la legge di trasformazione degli interalli nel passaggio da O ad O ( t + ( t + 1 / 1 / 1 / z z z z z z ( t + ( t + t t 1 / t 1 / 1 / F F 1 / F F Fz Fz F F t 1 / NOTA: Si osseri he nel riferimento relatiistio O, oltre alla forza opportunamente trasformata he omunque si ossera anhe nel riferimento proprio O, ompare una grandezza he abbiamo indiata on F t e he dipende da F. Pur non oupandoi ora del suo signifiato, tale grandezza è una onseguenza ineitabile delle trasformazioni di Lorentz e dunque della TRR. Lezioni sulla Teoria della Relatiità - Niola Semprini Cesari

20 Qualora ambiassimo riferimento, sulla base del prinipio di oarianza (oero del prinipio di relatiità, doremmo aere nella equazione d d F m dt dt lo stesso numero di trasformazioni di Lorentz. Trasformandosi la forza ome il membro di sinistra porta on se una trasformazione di Lorentz per ui la stessa osa dee fare il membro di destra. Dato he la posizione del orpo materiale porta on se una trasformazione di Lorentz dobbiamo onludere he le grandezze m e dt non deono essere trasformate rimanendo quelle del riferimento proprio per ogni osseratore inerziale O. Dunque affinhè sia soddisfatto il prinipio di oarianza (prinipio di relatiità è neessario he la massa del orpo materiale e l interallo temporale engano misurate nel riferimento proprio. Dato he la massa e il tempo nel riferimento proprio si hiamano solitamente massa a riposo e tempo proprio e si indiano on m 0 eτ, il seondo prinipio della dinamia nel riferimento proprio O prende allora la forma seguente d d F m0 dτ dτ Usando le trasformazioni di Lorentz, possiamo affermare, senza fare aloli, he nel riferimento relatiistio il seondo prinipio della dinamia arà la stessa forma ma on la forza e la posizione senza apii. Dunque, l espressione relatiistia del seondo prinipio della dinamia dee essere la seguente d d F m0 dτ dτ Dunque, nella espressione delle leggi meanihe alide per un erto osseratore inerziale O non ompaiono la massa la eloità e l aelerazione misurate da O nel modo onsueto oero diidendo (nel aso della eloità e della aelerazione la ariazione di posizione e eloità misurate da O per l interallo temporale pure misurato da O. Compaiono inee la massa misurata nel riferimento proprio (massa a riposo ed un nuoo tipo di eloità ed aelerazione, alolate diidendo la ariazione di posizione misurata da O per l interallo temporale misurato dall osseratore proprio (dunque quantità misurate da differenti osseratori. Tali eloità ed aelerazione engono dette eloità ed aelerazione di Minkowsk d d d la forza eguaglia la deriata rispetto al V A dτ dτ dτ tempo proprio della massa a riposo per la eloità di Minkowsk (quantità di moto per ui una formulazione equialente del seondo prinipio è F d di Minkowsk oppure il prodotto della m0v F m0 A massa a riposo per l aelerazione di Minkowsk Lezioni sulla Teoria della Relatiità - Niola Semprini Cesari dτ la forza eguaglia il prodotto della massa a riposo per la deriata seonda rispetto al tempo proprio della posizione

21 Fine della lezione V Lezioni sulla Teoria della Relatiità - Niola Semprini Cesari