Capitolo 1 Cinematica del punto materiale

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1 Capitolo Cinematia del punto materiale Introduzione La Cinematia si oupa della desrizione del moto. Utilizzeremo i ettori, le funzioni di una ariabile, la geometria, e... per desriere il moto di un punto materiale o di un orpo tridimensionale. Comineremo dal punto materiale, ioè da un orpo le ui dimensioni siano tanto piole rispetto alle altre dimensioni in gioo da potersi onsiderare un punto. Il ontenuto della inematia è prealentemente matematio: essa riutilizza tutta la matematia già studiata nell introduzione e, naturalmente, nei orsi di matematia propedeutii al orso di fisia. Il ontenuto di fisia è inee modesto. La fisia moderna entrerà in gioo daero on la dinamia, doe ompaiono nuoi prinipi, diersi da quelli della fisia aristotelia. Comunque, le definizioni esatte di eloità e aelerazione sono il frutto dell analisi matematia i ui fondamenti furono posti da I. Newton (64-77) e G. W. on Leibniz (646-76), dunque sono moderne, segno he la fisia preedente non aea eramente bisogno di una rigorosa definizione di questi onetti.. Sistemi di oordinate Abbiamo già isto nell introduzione matematia he oordinate artesiane, sferihe, polari e ilindrihe possono essere usate per definire la posizione di un punto. Faiamo un bree enno adesso ad aluni sistemi di oordinate usate in ontesti speiali. L uso dell uno o dell altro sistema di oordinate è una questione di onenienza. Aluni problemi sono più failmente risolibili utilizzando un erto sistema. Eidentemente i problemi he presentano una simmetria tale da ridurre il numero di ariabili in un sistema di oordinate anno trattati usando quel tipo di oordinate. Di iò daremo molti esempi nel seguito. Eoene subito uno ben noto: le oordinate terrestri. Un punto sulla Terra è assimilabile ad un punto su una sfera, anhe se la forma della Terra non è esattamente una sfera. La sfera ha un raggio ostante, dunque ρ è noto una olta per tutte ( ρ R 6400 km). Tutto quello he oorre per definire un punto sulla Terra sono due = T angoli θ e φ. Dobbiamo periò definire un piano X-Y, he prendiamo oinidente ol piano equatoriale.

2 Meridiano di Greenwih N Q Latitudine Piano equatoriale Longitudine Fig. 5: Latitudine e longitudine. L origine è nel entro della Terra e l asse Z oinide on l asse di rotazione terrestre. Ci sere anora un piano X-Z per definire il sistema d assi. Poihé l intersezione del piano X-Z on la Terra è un erhio massimo (meridiano), possiamo segliere un punto qualunque sulla Terra per definire questo erhio e dunque il piano X-Z. Per ragioni storihe, si è selto il erhio massimo passante per Greenwih, iino Londra, sede di un importante osseratorio astronomio. Si noti he l angolo φ (longitudine) aria da 0 0 a 360 0, mentre θ aria da 0 0 a La latitudine (he è l angolo omplementare a θ) aria da 0 0 a 90 0 (in direzione nord) e da 0 0 a (sud), mentre la longitudine aria da 0 0 a 80 0 (in direzione est) e da 0 a (oest). La stessa osa si fa per definire la posizione angolare di una stella. Si seglie il piano equatoriale ome piano X-Y. L asse Z è dunque parallelo all asse di rotazione terrestre. L origine è nel Sole, ma si tenga presente he la distanza Sole-Terra (,5. 0 m) è trasurabile, pur essendo enorme, rispetto alla distanza Sole-stella (per qualunque stella). N Piano equatoriale Elittia 0 3 Delinazione Asensione retta γ Fig. 6: Asensione retta e delinazione.

3 Due angoli (θ e φ), dunque, danno la posizione angolare della stella. Si ignora la distanza ρ perhé è spesso irrileante (per esempio, per puntare un annohiale basta onosere gli angoli) o perhé è diffiilissima da misurare e forse ignota. Le due oordinate sono hiamate: Delinazione (θ) e Asensione Retta (φ). L asse X è dato dalla retta d intersezione tra il piano equatoriale e l elittia (piano di rioluzione terrestre). C è un terzo aso, sempre in relazione alle stelle, in ui è oneniente usare le oordinate sferihe. È il aso di un osseratore he misura la posizione angolare di una stella. Il sistema ha ome piano X-Y il piano orizzontale e ome asse Z la ertiale del luogo. L origine è nella posizione dell osseratore. Di onseguenza l origine dipende dalle oordinate geografihe dell osseratore. Eidentemente anhe l orientazione dell asse Z dipende dalla longitudine e dalla latitudine dell osseratore. L orientazione dell asse X è quello dell asse Nord-Sud. Si misurano due angoli: l angolo a partire dal piano orizzontale (θ è hiamata altezza della stella) da 0 0 a 90 0 (sotto l orizzonte non si ede nulla!). L angolo sul piano orizzontale a partire dalla direzione nord tra 0 0 e (Azimut). Vertiale Azim Altezza N Piano orizzontale Fig. 7: Altezza e Azimut.. Trasformazioni di oordinate. Traslazioni e rotazioni Per arie ragioni è neessario talolta passare da un sistema di riferimento ad un altro. Per esempio, è possibile he sia preferibile o più semplie impostare un problema in un erto sistema e he sia però neessario esprimere la soluzione in un altro, doe è più faile aere dei risultati sperimentali (edi esempio al paragrafo suessio) on i quali onfrontare i risultati del alolo. Le trasformazioni he permettono di passare da un sistema di oordinate all altro sono: la traslazione, la rotazione lungo un asse e tutte le ombinazioni di queste due operazioni. La traslazione onsiste in una ridefinizione dell origine he lasia però l orientazione degli assi inariata. 3

4 X 0 z 0 O Z = o = o z = z zo X O Fig. 8: Traslazione degli assi. Z 0 = o e ieersa: = o z = z zo Poihé le oordinate di O (origine del nuoo sistema di riferimento) sono o, o, z o, è eidente he le oordinate di un punto P(,,z) sono date nel sistema S, dalla semplie somma delle oordinate del punto in S e delle oordinate di O in S: Consideriamo adesso una rotazione. Il aso più semplie è quello di un sistema ruotato intorno all asse Z del primo sistema. Y Y Y j Y j i Fig. 9: Rotazione degli assi. i X X In fig. 9 abbiamo il aso di un sistema S ruotato di un angolo rispetto a S. Prendiamo un ettore qualsiasi a, he potrebbe essere, per esempio, un ettore posizione: a = a í a j = = a (osi senj) a ( seni osj) = = ( a os a sen ) i ( a sen a os ) j = a i a j. 4

5 La regola di trasformazione delle omponenti di un ettore sotto una rotazione è pertanto: a = a os a sen a = a sen a os In partiolare le oordinate trasformeranno seondo le formule: = os sen = sen os 3. Trasformazioni improprie: parità ed inersione temporale Un tipo partiolare di trasformazione, detta trasformazione di parità, è quello in ui la direzione dei tre assi iene inertita: ; ; z z. È faile oninersi he questa trasformazione non è realizzabile attraerso rotazioni. Tuttaia è possibile ottenere il nuoo sistema di riferimento anhe attraerso l inersione di un solo asse (per esempio X) seguito da una rotazione (intorno a X). Poihé il senso dato agli assi del sistema di riferimento è una mera onenzione, i aspettiamo he le leggi fisihe siano immutate sotto una trasformazione di parità o, detto in altre parole, l immagine speulare di un fenomeno fisio dee rappresentare un fenomeno fisio possibile. Per esempio un punto materiale he si muoe lungo l asse positio delle X, si muoerà lungo l asse negatio se si inerte l asse stesso. Eidentemente un punto materiale he si muoe lungo l asse negatio è un fenomeno fisio possibile. Per quanto tutto iò sembri banale, esistono fenomeni nel ampo della fisia nuleare (per esempio i deadimenti beta) in ui l immagine speulare di un fenomeno, non è un fenomeno fisio possibile. Possiamo anhe pensare di inertire l asse dei tempi oero la sequenza temporale di un aenimento e otterremo anora un fenomeno fisio possibile. Per esempio, un punto materiale he si muoe lungo l asse X positio, si muoerà in senso inerso, se inertiamo l asse dei tempi; eidentemente il punto materiale he si muoe all inerso è pure un fenomeno fisio possibile. Questo è ero a liello di fenomeno elementare: tuttaia la freia del tempo punta in una sola direzione. 4. Equazioni orarie, eloità e traiettoria È importante notare he le oordinate di qualunque tipo sono funzioni del tempo, se un punto è in moto. Più preisamente, deono essere funzioni ontinue del tempo. Le equazioni he danno le oordinate in funzione del tempo sono dette equazioni orarie. Se le oordinate non fossero funzioni ontinue del tempo aremmo punti he oupano una posizione e poi un altra dopo un tempo infinitesimo, senza aere oupato le infinite posizioni intermedie. Nell antia Greia, ari filosofi si posero il problema del moto: è in sostanza possibile il moto, se un orpo puntiforme dee oupare infiniti punti tra due posizioni A e B? Zenone di Elea, in partiolare, negaa la possibilità del moto perhé per Zenone fa parte della suola eleatia, fondata dal suo maestro Parmenide ( AC). Naque nel 489 A.C ad Elea (Velia), oggi nel omune di Asea (Sa) a ira 00 km a sud 5

6 arriare da A a B a distanza finita d fra loro, il punto arebbe douto perorrere prima d/, poi della restante lunghezza arebbe perorso un altra metà, poi della restante metà un altra metà, e osì ia... Insomma, arebbe douto fare un perorso: d/d/4d/8 Essendo questa una somma di infiniti termini, Zenone onludea he la somma stessa sarebbe stata infinita, raggiungendo la paradossale onlusione he il moto era impossibile perhé per andare da A a B, punti a distanza finita, in effetti il orpo doea perorrere una distanza infinita. Oggi naturalmente sappiamo he la serie: onerge a e 6 n pertanto la somma infinita proposta da Zenone onerge a d, senza alun paradosso. Nella stessa ena, Zenone onludea he in una orsa in ui aesse dato un antaggio pari a d ad una tartaruga, il pie eloe Ahille non la arebbe mai raggiunta. Infatti quando aesse t, la tartaruga sarebbe aanzata di una frazione di d, perorso il tratto d in un tempo diiamo d / a, quando aesse perorso d / a in t, la tartaruga arebbe ompiuto un ulteriore ammino d / t = t t... Un tempo somma di infiniti termini (deresenti), dunque infinito! a, e Il tempo per raggiungere la tartaruga sarebbe stato Le oordinate deono dunque essere ontinue e periò deriabili rispetto a t. La deriata prima delle oordinate di un punto materiale è detta eloità. Più preisamente aendo tre oordinate artesiane, possiamo definire tre eloità rispettiamente sui tre assi. L insieme d = delle tre deriate forma un ettore hiamato eloità: d = (,, z ) = on: =. dz z = Chiaramente la eloità orrisponde alla nostra idea di rapidità del moto. Se un punto si muoe su una retta da A a B è interessante sapere quanto rapidamente si è mosso. Il rapporto tra distanza AB ed il tempo impiegato per perorrerla darà il senso della rapidità o eloità del punto. Questa è la eloità media. Tutti però sappiamo he nell andare da A a B la rapidità del moto può non essere ostante. Questo hiaramente orrisponde alla nostra esperienza quotidiana. Andare da A a B può impliare orse, fermate, rallentamenti... Dunque la distanza tra A a B a diisa in tratti più brei. Il rapporto tra queste distanze più brei ed il tempo impiegato a perorrerle, i darà le eloità su questi tratti he non saranno in genere uguali. Di onseguenza, orremmo alolare il rapporto tra elementi di perorso sempre più brei e tempi, anh essi sempre più brei, neessari a perorrerli. Al limite, otterremo una deriata nel tempo, ioè una funzione ontinua del di Salerno, una olonia della Magna Greia di ui rimangono importanti resti d epoa grea. Dei suoi paradossi parla Platone nel Parmenide e Aristotele nella Fisia. Non sono rimaste sue opere. Sui suoi quattro paradossi (quello presentato qui è detto paradosso della diotomia) ontro il moto sono sorsi fiumi di inhiostro.

7 O tempo he ad ogni istante, e periò ad ogni punto spaziale, assoia un numero (eloità istantanea) he esprime la rapidità del moto in quel preiso punto temporale o spaziale. Anhe la eloità si esprime in funzione del tempo mediante delle equazioni orarie. Se eseguiamo la stessa operazione on le oordinate polari, otteniamo due quantità on le dρ dimensioni di una lunghezza diiso un tempo: ɺ ρ = ed un altra on le dimensioni dell inerso di un tempo: ɺ dθ θ =. La prima è detta eloità radiale e l altra eloità angolare. Eidentemente la prima i dà la eloità lungo la ongiungente il punto on l origine, la seonda quanto rapidamente il punto gira intorno all origine. Tuttaia, mana anora qualosa. Se un punto si sposta in una direzione qualsiasi, esso arà un moto he può proiettarsi lungo ρ e lungo la perpendiolare a ρ. Questa ultima eloità arà direzione tangente alla traiettoria e sarà detta appunto eloità tangenziale: = ρ ɺ t θ he ha tra l altro le dimensioni di una eloità ([l]/[t]). Caloliamo la eloità in oordinate polari a ominiare dalla definizione di eloità e dalla relazione he lega le oordinate artesiane e quello polari: Y dθ Fig. : Veloità radiale e tangenziale. θ t dθ = ρ Q ρ = dρ X = ρ osθ = ρsenθ Deriando rispetto al tempo, si ha: d = ɺ ρ osθ ρθɺ senθ d = ɺ ρsenθ ρθɺ osθ Risriiamo adesso la eloità ome ettore ed otteniamo: d d = i j = = ( ɺ ρ osθ ρθɺ senθ ) i ( ɺ ρsenθ ρθɺ osθ ) j == ɺ ρ(osθi senθj) ρθɺ ( senθi osθj) = ɺ ρk ρθɺ ρ k t k ρ = (osθi senθj ) doe abbiamo posto: he risultano essere due ersori kt = ( senθi osθj) ( k ρ = k t = ) perpendiolari fra loro ( k ρ kt = 0 ), il primo dei quali ha la direzione del 7

8 raggio, ol erso d allontanamento dall origine, mentre l altro è perpendiolare al primo, ome mostrato in fig.. Le due omponenti della eloità lungo questi due assi risultano ρ = ɺ ρ allora: ome aeamo già indiato. = ρθɺ t Dato un punto materiale in moto, sia P = P(t) il ettore he ne india la posizione ad ogni istante. Il ettore differenza tra due alori di P presi a t e a t, è pari a: dp( t) = d( t) i d( t) j dz( t) k (si eda in fig. 3). La eloità è dunque: Y dp P (t) P ( t ) Traiettoria dp = = d i d j dz k Fig. 3: Traiettoria. Un altro onetto importante è quello di traiettoria. Un orpo puntiforme in moto ouperà un insieme di posizioni suessie, he ostituisono una ura ontinua nello spazio, detta appunto traiettoria. La traiettoria si può ottenere dalle equazioni orarie eliminando il tempo. Faiamo un paio di semplii esempi per illustrare il onetto. Assumiamo he le equazioni orarie di un = R ost orpo puntiforme siano:, doe R è una ostante on le dimensioni di una = Rsent lunghezza e una ostante on le dimensioni dell inerso di un tempo. Allora, diidendo per R, quadrando e sommando le due equazioni si ottiene: = R he è eidentemente l equazione di un erhio. X 8

9 Dunque la traiettoria è un erhio. È faile edere he è la eloità angolare del punto. dθ Infatti: tg ( t) = = tg( θ ) e dunque: θ = t oero: =. Se inee le equazioni = A ost orarie fossero state: on due ostanti A e B inee di una sola ostante R, = Bsent allora diidendo per A e B, quadrando e sommando si sarebbe ottenuto: = he B A è l equazione di un ellisse. Dunque la traiettoria sarebbe stata un ellisse. 5. Aelerazione Anhe la eloità, oero le sue tre omponenti, è funzione ontinua del tempo e deriabile. Le deriate prime delle omponenti della eloità formano osì un nuoo ettore hiamato aelerazione. L aelerazione india quanto rapidamente ambia la d P d d d z d d d z eloità. Formalmente: a( t) = = i j k = i j k Caloliamo l aelerazione in oordinate polari, partendo dalle omponenti artesiane della eloità: d = ɺ ρ osθ ρθɺ senθ d = ɺ ρsenθ ρθɺ osθ Deriiamo di nuoo rispetto al tempo: d = ɺɺ ρ osθ ɺ ρθɺ senθ ɺ ρθɺ senθ ρθɺɺ senθ ρθɺ osθ d = ɺɺ ρsenθ ɺ ρθɺ osθ ɺ ρθɺ osθ ρθɺɺ osθ ρθɺ senθ Raggruppiamo e sriiamo in forma ettoriale: d d a t i j ɺ ɺɺ ɺ ( ) = = ( ɺɺ ρ osθ ɺ ρθsenθ ρθsenθ ρθ osθ ) i ( ɺɺsen ɺɺ os ɺɺ os ɺ ρ θ ρ θ θ ρθ θ ρθ senθ ) j Possiamo adesso raggruppare i termini, ome abbiamo fatto nel aso delle eloità, in modo da poter mettere in eidenza i due ersori: k e k ρ t : 9

10 a( t) = ( ɺɺ ρ ρθɺ )(osθ i sen θ j) ( ɺ ρθɺ ρθɺɺ )( senθ i os θ j) = = ( ɺɺ ρ ρθɺ ) kρ ( ɺ ρϑɺ ρθɺɺ ) k t Come si ede abbiamo di nuoo due omponenti: una radiale ed una tangenziale. La omponente radiale, in partiolare, ha una deriata seonda del raggio, ma anhe un termine he fa sì he non sia nulla nemmeno nel aso in ui ρ rimane ostante. Questo termine ρɺ = θ k è normalmente hiamato aelerazione entripeta, nome he gli a ρ deria dal fatto he essa è diretta erso l origine. Vedremo he questo termine risulta essere rileante nei moti irolari in ui il raggio resta ostante. E interessante notare ome sia nel aso del alolo della eloità he in quello dell aelerazione emerga un sistema di due ersori (radiale e tangenziale) in modo affatto naturale. 6. Esempi di moto Applihiamo adesso quanto si è detto ad aluni semplii, ma utili asi.. Cominiamo on il moto rettilineo uniforme. Il moto rettilineo uniforme è quello di un punto materiale he si muoe on eloità ettoriale ostante, e dunque su di una traiettoria rettilinea. Segliamo per sempliità l asse X oinidente on la direzione d del moimento. Abbiamo allora: = ost =. Possiamo integrare questa equazione d failmente e ottenere l equazione oraria: ( t) = dτ = t 0. Eidentemente la dτ selta dell istante iniziale ome tempo 0 è arbitraria e aremmo potuto integrare da un generio t 0. In tal aso aremmo auto: (t)=(t-t 0) 0. t 0 Nel aso del paradosso di Zenone su Ahille e la tartaruga, aremmo per i tempi t, t... d d T d T d t =, t =, t3 = ( )... Sommando, si ha: t ( T ) i =. 0 A A A A A Poihé il rapporto tra la eloità della tartaruga T e quella di Ahille A è molto minore d T i d i d d di, abbiamo: t = ( ) = ( ) = = (serie A i A A i A A T geometria). Questa formula si potea ottenere on un alolo immediato. Questo paradosso è legato strettamente a quello della diotomia: esso dà la stessa serie per = /. A i A

11 . Nel aso del moto rettilineo uniformemente aelerato parliamo di un punto he si muoe su di una retta on un aelerazione ostante a. Abbiamo allora: t t t t = d d dτ 0 = ad = at 0 ( t) = d = d τ τ τ dτ ( t) ( aτ 0 ) dτ == at 0t 0 3. Un altro aso importante è quello del moto osillatorio, ioè quello del moto di un punto he osilla tra due posizioni - 0 e 0. Per esempio, si potrà aere un equazione oraria del tipo: ( t) = 0 sin( t). Per t, si arà he la funzione seno osilla tra - e e quindi osilla tra - 0 e 0. Il numero di olte he il punto ompie un osillazione per unità di tempo si hiama frequenza ν ed il tempo he impiega a ompiere un osillazione si hiama periodo T. Risulta he: ν =. L unità di T frequenza (un osillazione per seondo) è lo Hertz. Se proiamo a ombinare due moti armonii he aengono l uno lungo l asse X e l altro lungo l asse Y, aremo un moto nel piano he già abbiamo isto essere un ellisse. In generale, si possono onsiderare due moti sfasati tra loro, he danno moti risultanti più ompliati (Figure di Lissajous). Per sfasati, intendiamo he al tempo zero le due oordinate del punto = 0sen( t ) non sono 0 e, oero he le equazioni del moto sono del tipo: = 0 os( t β ) L introduzione dei due angoli di fase e β, produe uno sfasamento β tra i due moti. A seonda dello sfasamento il moto risultante sarà dierso. Per sfasamento nullo si torna all ellissi di prima. Questo è un aso partiolare di omposizione dei moti, in ui un punto materiale soggetto a ari moti in direzioni dierse si muoe on un moimento omplessio he è la sorapposizione dei singoli moti. 7. La trasformazione galileiana Abbiamo già trattato il aso di trasformazione di sistema di riferimento impliante una traslazione o una rotazione dell origine. Non abbiamo però trattato il aso di sistemi di riferimento in moto l uno rispetto all altro. Il aso più semplie si ha quando un riferimento S si muoe di moto rettilineo uniforme on eloità rispetto ad un sistema S. Prendiamo il semplie aso in ui gli assi dei due sistemi sono paralleli ed all istante t=0 le due origini sono sorapposte. Assumiamo pure he la eloità sia diretta seondo l asse X. In questo aso, ad ogni istante le due origini saranno separate da una distanza

12 0=t. Pertanto le oordinate di S saranno ollegate a quelle di S dalla traslazione on = 0 = t l origine a 0=t. = Trasformazione galileiana z = z Questa relazione darà la oordinata in S in funzione di e del tempo. Però, la osa da notare è he, se deriiamo le tre relazioni rispetto al tempo, otteniamo: z d d = = = d d = = = dz dz = = = z Come si ede, le omponenti della eloità lungo Y e Z sono identihe nei due sistemi di riferimento. Non è osì per la omponente della eloità lungo l asse X: la eloità misurata in S è maggiore della eloità misurata nel sistema S a ausa della eloità relatia dei due sistemi di riferimento. Questa trasformazione degli assi si hiama trasformazione galileiana. Essa implia una semplie legge di addizione delle eloità nell andare da un sistema di riferimento ad un altro in moto rettilineo uniforme rispetto al primo. Se eseguissimo una seonda deriazione rispetto al tempo, troeremmo però he tutte e tre le omponenti dell aelerazione sono uguali nei due sistemi di riferimento. Dunque in sistemi di riferimento in moto rettilineo l uno rispetto all altro, si misurano le stesse aelerazioni. Non sarebbe osì se S ed S fossero aelerati l uno rispetto all altro, sia on aelerazione rettilinea he on aelerazioni doute a moti irolari. Prendiamo il aso in ui i due sistemi di riferimento sono aelerati uno rispetto all altro lungo l asse X: = = z = z 0 = at Queste tre relazioni impliano he: z d d = = = d d = = = dz dz = = = z deriando ulteriormente: a a a z d = d = dz = d = d = dz = d = a = a = a z a

13 In onlusione: le aelerazioni sono le stesse, lungo gli assi Y e Z, ma lungo l asse X all aelerazione nel sistema S oorre aggiungere l aelerazione dell origine o aelerazione di trasinamento. Vedremo he queste onsiderazioni sono molto importanti nello stabilire l equialenza dei sistemi di riferimento dal punto di ista dinamio. Dal punto di ista della inematia, infatti, due sistemi diersi possono essere perfettamente equialenti per desriere il moto di un punto materiale o di un sistema di punti materiali. Come edremo però non è l equialenza se onsideriamo le leggi della dinamia. Faiamo un esempio. Tutti sanno he il sistema oggi aettato per desriere il sistema solare è quello elioentrio. Elioentrio uol dire he l origine degli assi si pone nel Sole, dunque si onsidera il Sole fermo. Si selgono poi due assi ortogonali e on questi due assi ortogonali si definise la posizione della Terra. In questo aso è meglio utilizzare le oordinate polari ρ, θ. Come si edrà, il moto della Terra è un moto piano e dunque se ne può dare una desrizione in un piano he è hiamato elittia. Ci si può porre allora la domanda: si può dare una desrizione del sistema Sole-Terra utilizzando un sistema geoentrio, ioè on l origine nella Terra e dunque onsiderando la Terra ferma? La risposta dal punto di ista della inematia è positia. Ad ogni onfigurazione del sistema Sole-Terra in un riferimento elioentrio (oordinate nulle del Sole, ρτ e θτ per la Terra) orrisponde un insieme di oordinate nel sistema geoentrio (oordinate nulle per la Terra e un ρ S e θ S per il Sole). Le due desrizioni sono equialenti perhé è possibile trasformare matematiamente le oordinate della Terra e del Sole dal sistema elioentrio al sistema geoentrio e ieersa. Si tratta dunque di una equialenza matematia. La questione però da porre è: sono i due sistemi dal punto di ista dinamio e dunque fisio equialenti? La risposta risulterà negatia. Qui oorre notare he il sistema operniano e quello tolemaio non erano dal punto di ista della inematia equialenti. Per esempio nel sistema tolemaio la distanza di Marte dalla Terra (he si supponea girasse in orbita irolare intorno alla Terra) non ariaa, al ontrario di quanto desritto nel sistema operniano. La ariazione della distanza di un pianeta ome Marte dalla Terra era indiata dalla ariazione della sua luminosità *. Anhe se i due massimi sistemi fossero stati i trasformati inematii l un dell altro, essi non sarebbero stati dinamiamente equialenti. Ad una mentalità moderna apparirebbe immediatamente straordinario he una massa gigantesa, ome quella del Sole, potesse girare intorno alla Terra he ha una massa enormemente più piola! Il fatto he i sistemi di riferimento non siano equialenti dal punto di ista dinamio, implia he esiste un riferimento (o meglio una ategoria di riferimenti) ome per esempio quello elioentrio) nel quale le leggi della fisia algono e altri nei quali le leggi della dinamia non algono. Il riferimento nel quale le leggi della * Per la erità, l uso di epiili potea mettere in ondizione di far ariare tale distanza. Se l uso di epiili aesse potuto ondurre ad una desrizione esatta dei dati osseratii, il sistema tolemaio sarebbe stato inematiamente equialente al sistema operniano (si edano i problemi alla fine del Capitolo). 3

14 fisia algono ostituise uno spazio assoluto, priilegiato dalle leggi della natura. In realtà, se aessimo una formulazione delle leggi he alesse egualmente in ogni sistema di riferimento, allora lo spazio assoluto somparirebbe e tutti i sistemi di riferimento sarebbero equialenti. Il fatto è he, nella formulazione lassia della dinamia, un riferimento fermo rispetto alle stelle fisse è priilegiato assieme a tutti i sistemi in moto rettilineo uniforme rispetto ad esso, perhé non appaiono aelerazioni addizionali. L equialenza di questi sistemi li definise ome una ategoria di sistemi priilegiati dalla dinamia. Tali sistemi sono detti inerziali. L equialenza dei sistemi inerziali è iò he si intende on la frase relatiità galileiana. Riprenderemo il soggetto quando disuteremo la dinamia. Caloliamo inee le regole di trasformazione delle eloità passando da un sistema ad un altro in moto rotatorio intorno all asse Z. Prendiamo le formule di trasformazione delle oordinate per una rotazione degli assi e onsideriamo l angolo di rotazione funzione del tempo: = os sen = sen os Deriando rispetto al tempo, otteniamo: = = os ɺ sen sen ɺ os sen ɺ os os ɺ sen Da ui si dedue, moltipliando la prima per i e la seonda per j, he: = ( ɺ sen ɺ os) i ( ɺ os ɺ sen ) j = = ɺ ( ( seni osj) (osi senj)) = ɺ ( j i ) In onlusione otteniamo: = ρ ɺ kt doe k t = j i ρ è il ersore perpendiolare ρ al raggio ettore ρ (il ui ersore è: k ρ = i j ). Coniene esprimere questa ρ ρ eloità anhe ome prodotto ettoriale tra un ettore di modulo = ɺ e direzione lungo l asse Z (ersore k ) ed il raggio ettore ρ : = k ρ = ρ. Dunque, anhe in questo aso, per ottenere la eloità misurata in S oorre aggiungere alla eloità misurata in S una eloità di trasinamento. Lo spazio assoluto, onsiderato nella sua natura senza relazione a nulla di estraneo, rimane sempre omogeneo ed immobile I. Newton, Prinipi matematii della filosofia naturale, on note di F. Enriques e U. Forti, Zanihelli 994, p

15 5 Confrontiamo adesso le aelerazioni misurate nei due sistemi: Deriiamo le omponenti della eloità: sen os os os sen os sen sen sen os a a a = ɺ ɺ os sen sen sen os sen os os os sen a a a = ɺ ɺ Moltiplihiamo la prima per i e la seonda per j, sommiamo e raggruppiamo i termini, tenendo di nuoo onto del fatto he: j i i os sen = e j i j sen os = : = = j i j i j i j a a i a a a ɺ ɺ ɺ ɺ ) sen os ( ) os sen ( ) os sen ( ) sen os ( ) sen os ( ) os sen ( ) os sen ( ) sen os ( (os sen ) ( sen os ) ( sen os ) (os sen ) (os sen ) ( sen os ) ( sen os ) (os sen ) a i j a i j i j i j i j i j i j i j = = ɺ ɺ = = ) ( i j j i i j j a i a ɺ ɺ. a = ρ ρ Il termine ν = a è hiamato aelerazione di G. Coriolis (79-843). 8. Veloità della lue, misure di Römer e di Bradle Il primo tentatio di misura della eloità della lue risale a Galileo Galilei (564-64). Il tentatio non ebbe suesso a ausa della tenia utilizzata, troppo impreisa per la eloità altissima della lue. La eloità della lue è uniersalmente indiata on il simbolo ed ha il alore di = m/s. Dopo la soperta galileiana dei satelliti di Gioe (i pianeti mediei ), Galilei stesso propose di usarne le elissi per misurare la longitudine di un luogo. In effetti, la differenza di longitudine tra due luoghi è proporzionale alla differenza di tempo loale. Determinare in un luogo il mezzogiorno astronomio è faile perhé basta determinare l istante in ui il Sole è alla massima altezza. L altezza del Sole Galileo Galilei, Disorsi e dimostrazioni matematihe su due nuoe sienze. Primo Giorno.

16 è failmente determinabile on un sestante. Quello he però oorre determinare è lo sfasamento temporale tra il mezzogiorno loale e quello del meridiano di riferimento (per esempio Greenwih). Poihé il momento della somparsa nella zona d ombra di Gioe di uno dei satelliti è determinabile failmente, per onosere la longitudine di un posto oorre aere sempliemente delle taole he diano a he ora aerrà la prossima elisse a Greenwih e paragonare il tempo loale di elisse on quello di Greenwih. Misure di questo genere furono eseguite da Masklne per determinare la longitudine di Bridgetown nelle Barbados. Per questa ragione era importante determinare il periodo esatto di rioluzione e molti astronomi studiarono on attenzione il loro periodo. Il metodo proposto da Galilei (usare le elissi dei satelliti di Gioe per determinare la longitudine) non fu mai usato dai marinai, tuttaia fu usato per determinare le longitudini terrestri, speialmente per opera di G. D. Cassini (65-7), astronomo italiano naturalizzato franese. Nel 675 l astronomo danese Olaus Römer (644-70) dell osseratorio di Parigi, doe era stato hiamato a laorare da Luigi XIV, si aorse di un fatto urioso: l osuramento del satellite Io da parte di Gioe (periodo T=4 h 8 6 ) non aenia ad interalli di tempo esattamente uguali. Più preisamente, l interallo era più lungo quando la Terra, nel suo moto di rioluzione intorno al Sole, si allontanaa da Gioe e meno lungo quando si aiinaa a Gioe. Guardando la fig. 4, si può apire perhé. L osuramento di Io aiene quando l ultimo raggio di lue partito da Io raggiunge la Terra e ioè dopo un tempo t=d/ dopo he Io risulta essere effettiamente nel ono d ombra di Gioe (d è la distanza di Io dalla Terra). Io torna ad osurarsi dopo un periodo di rioluzione T più un tempo t = d /, on d distanza della Terra da Io al momento della nuoa somparsa. Se d e d fossero uguali, allora i due ritardi all osuramento sarebbero uguali e l interallo tra due osuramenti sarebbe esattamente il periodo. Però, poihé durante un periodo T la Terra si sposta ad una eloità approssimatia T = 30km / s (fr. on la eloità di un proiettile d artiglieria d d T T di km / s ), si arà il ritardo: t = = 5" non all epoa di Römer. failmente misurabile oggi, ma A testimonianza dell aiuto dato da Luigi XIV allo siluppo delle sienze, riportiamo quanto die Voltaire in una lettera al Guardasigilli inglese Hare (740).... Louis XIV songeait à tous... la phsique et l étude de l antiquité attirèrant son attention il farait eleer l Obseratoire, et traer un méridienne d un bout à l autre du roame, ourage unique dans le mond... il enoait des géometrès e des phisiens au fond de l Afrique e de l Amerique herer des nouelles onaissenes. Songez, milord, que sans le oage e les eperienes de eu qu ilenoe à Caenne, en 67, et sans le mesure de M. Piard, jamais Newton n eùt fait ses déouetres sur l attration. Regardez, je ous prie, un Cassini, un Hugens que renonent tous deu à leur patrie qu ils honorent, pour enire en Frane jouir de l estime e des bienfait de Louis XIV 6

17 Io Gioe Fig. 4: Elisse del satellite di Gioe. d d Il primo orologio a pendolo, ioè basato sull isoronismo delle piole osillazioni (soperto da G. Galilei), fu ostruito da C. Hugens nel 657. Cronometri marini a bilaniere, apai di un errore di pohi seondi al giorno non furono ostruiti fino al 735 da J. Harrison ( ). In erità, quello he è rileante è l allontanamento della Terra nella direzione del raggio di lue o approssimatiamente lungo un diametro dell orbita terrestre. A iasun osuramento si misura il tempo he la lue impiega a perorrere lo spostamento effettuato dalla Terra durante un periodo, ome iene mostrato in fig. 5, doe i raggi proenienti da Io sono indiati ome approssimatiamente paralleli, data la grande distanza he separa la Terra da Io. In effetti, la durata misurata t i di ogni periodo (in totale N osuramenti ad ogni periodo di d i 6 mesi) è uguale a: ti = T ±. Sommando i alori t i per i sei mesi in ui la Terra si aiina (segno -) e poi si allontana (segno ) si può ottenere il alore ero del periodo T ( t NT ). Sommando i alori di t i per i tre mesi 3, durante i quali la Terra si aiina i i = Terra NT NT R a Gioe e Gioe è isibile, si ha: T = TS t = tot i d = i i i doe R = raggio dell orbita terrestre = km. Il raggio R TS dell orbita TS Nel suo libro, The histor of Cloks & wathes, pag. 68, Eri Bruton srie a proposito dellintroduzione del pendolo nella fabbriazione degli orologi: he was the elebrated Duth astronomer and phsiist Christiaan Hugens (69-693), who inented the pendulum lok in about 657 At last here was a lok that ould be made relatiel easil and, in its most aurate ersions, with weight drie and long pendulum, would keep time to seonds a da. The astronomers were the main benefiiaries. 3 Si noti he, in tre mesi, Gioe, he ompie una rioluzione attorno al Sole in ira anni, si sarà spostato di solo ira 8. 7

18 terrestre era già noto, anhe se approssimatiamente, da tempo. Poihé τ=t tot -NT= 8 5 6, la eloità della lue risultò: = 3 0 km / 986s 3,07 0 km / s 4. Fig. 5: Lue riflessa da Io. d-d Lue riflessa da Io appena prima di entrare nellombra di Gioe Un altra misura, anh essa astronomia, fu fatta da J. Bradle (693-76) direttore dell osseratorio di Greenwih. In effetti, Bradle soprì nel 78 l aberrazione astronomia, he fu anhe la prima dimostrazione del moto della Terra, dimostrazione erata a lungo da Galilei. Se si guarda alla posizione angolare di una stella, questa sembra perorrere, durante il orso dell anno, un ellisse. La posizione rileata di una stella è, in effetti, spostata dalla posizione era a ausa dello spostamento della Terra di un piolo angolo: tg 0 4 (fig. 6). La spiegazione lassia, ioè non relatiistia, si ottiene diendo he la eloità della lue nel riferimento delle stelle è, he dee essere omposta on la eloità della Terra T. T Si ottiene allora: tg = = 0 4 appunto, nel aso in ui il moto della Terra sia perpendiolare alla direzione di proenienza della lue. Naturalmente, questo implia 4 Il alore è riportato in F. Arago, Lezioni di Astronomia, tradotto da E. Capoi e pubbliato da Stamperia dell Iride, Napoli 85. Un esempio diertente degli effetti della omposizione delle eloità è quello di un uomo he ammina eloemente sotto la pioggia: se non tiene l ombrello inlinato in aanti, la pioggia gli bagnerà la faia! Un altra dimostrazione del moto della Terra fu quella data da Domenio Guglielmini (655 70) a Bologna. La dimostrazione di Guglielmini fu eseguita dalla torre degli Asinelli. Lasiando adere un orpo dalla ima della torre, i si aspetterebbe he il orpo olpisa il suolo esattamente ai piedi della ertiale del punto doe è stato lasiato adere. Non è osì perhé, ruotando la Terra, il grae ha una omponente della eloità 8

19 he la eloità della lue nel riferimento della Terra sia maggiore di : si arebbe infatti una eloità della lue finale di ommenti. T. Su questo punto, ogliamo fare aluni Lue dalla stella Fig. 6: Posizione misurata di una stella. Telesopio T La misura della eloità della lue effettuata da A. A. Mihelson (85-93) molto tempo più tardi, dimostrerà he la eloità è pari a in ogni sistema di riferimento. Questo risultato, he è in aperta iolazione della relatiità galileiana, è il fondamento sperimentale della Relatiità Ristretta (A. Einstein, 905). L aberrazione della lue non è da onfondere on la parallasse stellare. Naturalmente la parallasse stellare non è misurabile per molte stelle data la loro enorme distanza. Per quelle più iine, la parallasse è un metodo di misura della distanza della stella e risulta pure in uno spostamento della posizione della stella durante l anno a ausa del moimento della Terra. La parallasse i fa misurare la posizione di una stella spostata dalla sua posizione reale a ausa del fatto he il diametro dell orbita terrestre è non nullo. In effetti, l opposizione al sistema operniano traea anhe forza dal fatto he la parallasse è molto piola o nulla per molte stelle ed, in pratia, all epoa di Copernio non risultaa misurabile per aluna stella. L esistenza della parallasse dunque dimostra he la Terra assume posizioni dierse intorno al Sole durante l anno: si tratta in effetti di un fenomeno legato alla posizione della Terra e non alla sua eloità. La fig. 7 può aiutare a omprendere tale effetto. Se prendiamo una stella ad una distanza di un anno lue dalla Terra, ioè ad una distanza tale he la sua lue tangenziale alla Terra più grande di quella del piede della ertiale perhé il raggio, ioè la sua distanza dal entro della Terra, è più lungo. Di onseguenza esso si muoerà erso est più rapidamente del piede della ertiale e adrà ad est di quest ultimo. 9

20 impieghi un anno a raggiungere la Terra ( anno-lue è uguale a 9, m), l angolo di parallasse sarà dato dal raggio dell orbita terrestre (,5. 0 m) diiso per la distanza della stella, dunque: Angolo di parallasse θ Fig. 7: Parallasse stellare., θ = =,58 0 rad = 9 0 gradi = 0 03,6". Detto per iniso, la stella 5 9,46 0 più iina alla Terra è Proima Centauri a 4,3 anni-lue, dal he si ede he gli angoli di parallasse sono molto pioli: nessuna meraiglia he gli antihi non riusissero a misurarli *! Vieersa, misurando l angolo di parallasse, si può alolare la distanza di una stella. Dunque la misura della parallasse è anhe una misura della distanza di una stella. Un unità di distanza in astronomia è il parallasse-seondo (p), la distanza di una stella he ha un angolo di parallasse di un seondo: " = (/ 3600) gradi = π /( ) rad = 4,84 0 da ui p = 3, m. 6 m,5 0 rad = p * Il primo a misurare la parallasse stellare fu F. W. Bessel (838). Per misurare la distanza di galassie assai lontane (entinaia di anni-lue), per le quali il metodo della parallasse non funziona più, E. Hubble nel 90 usò il metodo delle Cefeidi, messo a punto da Henrietta Leitt (ira 9). Le Cefeidi sono delle stelle ariabili, ioè stelle la ui luminosità aria on un periodo di pohi giorni. Risulta he il periodo è orrelato on la luminosità assoluta delle stelle, per ui una olta misurato il periodo se ne onose la luminosità assoluta e dalla luminosità apparente (misurata) si dedue la distanza della stella. Il metodo funziona fino a distanze dell ordine dei 0-00 milioni di anni-lue. 0

21 Per molto tempo, si è ritenuto he esistesse un mezzo he riempia il uoto e ostituia il supporto le ui ibrazioni erano la lue. Il mezzo era hiamato etere (εθηρ ). La eloità della lue, il ui alore iene predetto naturalmente dalla teoria elettromagnetia, ome edremo più aanti, si ritenea fosse il alore della eloità della lue nell etere. Da questo punto di ista la spiegazione dell aberrazione della lue stellare era perfettamente naturale, in quanto ondue ad aere sulla Terra una eloità della lue maggiore di. Parallasse Aberrazione θ Telesopio T Fig. 8: Parallasse ed aberrazione. Questa spiegazione tuttaia entrerà in ontraddizione on l esperimento di Mihelson. Un ipotesi he fu aanzata per spiegare il risultato di Mihelson fu quella di immaginare he la Terra trasinasse l etere on sé e he quindi la eloità misurata sulla Terra fosse omunque pari a. In tal aso tuttaia, non si sarebbe douto osserare il fenomeno dell aberrazione. Dunque l aberrazione della lue dimostrò he l ipotesi di trasinamento dell etere non era giusta. Un altra ipotesi, fatta da Ritz, fu he la eloità fosse la eloità della lue rispetto alla sorgente, ma questo impliherebbe una differenza di eloità tra la lue emessa da stelle he si aiinano e stelle he si allontanano dalla Terra. Nessun effetto del genere fu troato. Di onseguenza, l idea dellesistenza dell etere fu sartata. *** Die J.C. Mawell in un rapporto alla Roal Phsial Soiet: Per quante diffioltà si possano inontrare nella formulazione di una alida teoria della struttura dell etere, non i possono essere dubbi he gli spazi interplanetari e interstellari non sono uoti, ma sono oupati da una sostanza materiale he è ertamente il orpo più esteso he si onosa.. Da A. Einstein, La relatiità: esposizione diulgatia, Bollati Boringhieri editori.

22 La eloità della lue può essere misurata iniando un fasio di lue ben ollimato ad una distanza d doe inontra uno spehio he la rinia alla sorgente. Oorre a questo punto misurare il tempo t di andata e ritorno del fasio di lue e la eloità misurata della lue sarà =d/t. Quello he rende diffiile la misura naturalmente è il tempo breissimo he la lue impiega ad andare e tornare per qualunque ragioneole base di misura d. All epoa in ui per la prima olta è stata effettuata una misura di questo tipo, la base non potea essere allungata senza limiti a ausa della limitata ollimazione e potenza dei fasi (oggi si possono usare i laser). Per una base di qualhe km oorre misurare tempi dell ordine di pohi miroseondi: una misura diffiilissima per quei tempi. Un primo metodo di misura fu ideato da Fizeau (849), ed utilizzaa una ruota dentata on 70 denti. Il fasio proeniente dalla sorgente passaa in andata nella aa (spazio uoto) fra i denti di una ruota dentata (fig. 9). Al ritorno, esso potea interettare un dente se la ruota giraa abbastanza in fretta, e quindi non passare. Nel aso in ui il fasio di ritorno fosse somparso del tutto se ne potea dedurre he il tempo impiegato dalla lue per fare il doppio tragitto fosse pari al tempo di rotazione della ruota di un angolo pari al passo della ruota dentata. La rotazione era di 5 giri/s perhé la lue riapparisse nella aa suessia. Sorgente Suresnes Montmartre spehio Ruota dentata 8633 m Fasio di lue Fig. 9: Dispositio sperimentale di Fizeau. Un altro metodo di misura faea uso di uno spehio rotante (Fouault, 86). Il tempo di andata e ritorno della lue enia misurato dallangolo di rotazione di uno spehio rotante a giri / s su una base di 0m. Su una base osì orta è possibile frapporre sul amino della lue un mezzo materiale, per esempio aqua, e misurare le eloità nel mezzo materiale. Una seonda ersione del metodo di Fouault, faente uso di spehi sulle fae di un prisma ottagonale rotante sul suo asse, fu inentata da Mihelson e usata per misurare su una base di 35km ollo spehio rotante a 530 giri / s. In questo aso non si misura l angolo di rotazione, ma si misura il tempo in ui una faia del prisma sostituise la seguente. Naturalmente, una olta nota la eloità della lue, si può usare tale onosenza per la misura di lunghezze. Ad esempio, la

23 distanza Terra-Luna è oggi nota on grande preisione (3m) perhé un sistema di ento riflettori lasiati sulla superfiie lunare dalle missioni spaziali Apollo e 4 riflette la lue di un laser he inia impulsi da Terra. Misurando il tempo di andata e ritorno di questi impulsi (,6s), si può onosere la distanza Terra-Luna (384000km in media) molto auratamente, sia pure on molta fatia (solo una frazione pari a 0 della lue inidente può essere rielata di ritorno). Un altro modo di misurare una distanza fa uso del paragone diretto dei tempi di andata e ritorno della lue lungo due ammini, dei quali uno è una lunghezza ampione. Immaginiamo di aere un fasio di lue he iene diiso in due da uno spehio semitrasparente. I due fasi osì ottenuti proseguono lungo ammini perpendiolari. Uno ha una lunghezza molto ben misurata. Per esempio potrebbe essere il metro ampione o una sua opia. Misurando la differenza dei tempi di arrio dei due fasi, si otterrà un onfronto diretto di una lunghezza inognita on un metro ampione *. Il paragone in realtà iene fatto onfrontando non i tempi di andata e ritorno, ma piuttosto le fasi delle due onde: questo errà spiegato meglio nel apitolo dediato all ottia ed, in partiolare, all interferenza. Poihé lo strumento mostrato in fig. 0 si basa sul fenomeno dell interferenza delle onde luminose, iene hiamato interferometro. La ersione mostrata è detta interferometro di Mihelson, dal nome dell inentore. Nell interferometro di Mihelson, il fasio di lue he parte dalla sorgente S iene diiso in due dalla superfiie semiriflettente della lamina S. La lamina S sere ad eguagliare i due ammini. In effetti il fasio iniato lungo d, e poi riflesso indietro dallo spehio, passa attraerso la lamina S tre olte, mentre il fasio he perorre d, passa attraerso S una sola olta. Poihé la eloità della lue nel etro è inferiore a quella nell aria, la lamina S eguaglia i perorsi nel etro e dunque i tempi di perorrenza totali. La osa interessante he possiamo notare è he, stando sulla Terra, l interferometro si muoe alla eloità di 30 km/s in un sistema di riferimento dierso da quello dell etere (edi onsiderazioni preedenti sull aberrazione astronomia). Supponiamo di allineare uno dei brai dell interferometro on la eloità orbitale T della Terra, e misuriamo la differenza dei tempi di andata e ritorno lungo i due brai di lunghezza d e d. Suessiamente faiamo la stessa misura inertendo la posizione dei due brai. Esaminiamo adesso quello he i si aspetta seondo la relatiità galileiana.. Il braio di lunghezza d è orientato lungo la eloità della Terra. Il tempo di andata e ritorno lungo d sarà dato dal rapporto delle distanze perorse diiso per le eloità. All andata la eloità è diminuita di T : T e al ritorno sarà aumentata di d d T : T. I due tempi saranno allora: t a = T e t r = T e il tempo totale * In questo modo Mihelson misurò direttamente la lunghezza del metro ampione in 36 termini della lunghezza d onda λ di una riga speifia dell atomo di 86 Kr, troando: m = ,73 olte λ, he dienne la nuoa definizione di metro. Dal 983, m=spazio perorso dalla lue in (/ ) seondi. 3

24 sarà: d d t = t a t = r β = γ on T β = e γ = β Possiamo rifare il alolo nel riferimento dell etere, diendo he la eloità della lue è, ma lo spehio a destra si muoe (allontanandosi) in modo he si ha: t a = d T ta e, al ritorno si muoe S, e si ha: tr = d T tr. Si ottiene osì lo stesso risultato, in aordo on l uniersalità del tempo.. Sull altro braio il tempo totale di andata e ritorno sarà t = γ d / 5. Il fattore γ iene dal fatto he, nel riferimento dell etere, lo spehio si muoe ostringendo la lue ad un ammino triangolare di lunghezza d ( t T ) = t. Nel riferimento terrestre la eloità non è, ma T. Spehio. S d Spehio semiriflettente d T Spehio Fasio di lue S S t = γ ( d γ d ) ( d γ d ) 3. La differenza dei due tempi sarà dunque: ( γ Fig. 0: Interferometro di Mihelson. ). Chiaramente sambiando la posizione dei due brai (d lungo la eloità della Terra) la differenza dei tempi sarà diersa: t = γ ( γ d d) ( dγ d ). Se tuttaia la eloità della lue è in ogni sistema di riferimento, in iolazione della 5 Si noti he si sta diendo he, sulla Terra, la eloità della lue dipende dalla direzione. 4

25 relatiità galileiana, allora la differenza dei due tempi è: t = ( d d ) e t = ( d d), ioè: t t = La differenza dei tempi seondo la relatiità galileiana può essere risritta (qui abbiamo preso i due interalli in alore assoluto, perhé il sistema non misura quale dei raggi - direzione della eloità o perpendiolare- arria prima, solo la differenza β di tempo): t = ( dγ d ) ( d( ) d ) = ( d d ) dβ e dβ t = ( d d) e t t = ( d d ) β (abbiamo assunto he 8 d > d ). Il he dà un termine orrettio in = I risultati sperimentali diono he questo termine orrettio sul tempo non è o, in altre parole, la differenza dei due tempi è la stessa indipendentemente dall orientazione dei brai, in iolazione della fisia lassia: l ipotesi dell esistenza dell etere dee pertanto essere abbandonata La trasformazione di Lorentz β Se la eloità della lue rimane la stessa in sistemi in moto rettilineo uniforme luno rispetto allaltro, la trasformazione galileiana a sostituita on un altra trasformazione hiamata trasformazione di Lorentz. Possiamo ottenerla usando i risultati di esperimenti ideali, he rialano quanto fatto on l interferometro di Mihelson. Riprendiamo dunque l esperimento di Mihelson ed esaminiamolo alla lue dell ipotesi he la eloità della lue sia effettiamente la stessa in ogni sistema di riferimento inerziale. Paragoniamo i risultati ottenuti nel riferimento proprio dell interferometro ( Σ ), a quelli ottenuti in uno ( Σ ) rispetto al quale l interferometro si muoe di moto rettilineo uniforme. L istante t = 0 è selto ome l istante in ui le due origini oinidono. 6 Se nelle formule preedenti poniamo: d = d = d, nel riferimento dell interferometro, e assumiamo he il braio he si muoe lungo la direzione di T si aori di un fattore β nel riferimento dell etere, allora aremo he in entrambi i asi t = 0. L ipotesi he esista tale ontrazione, he spiegherebbe il risultato negatio dell esperimento di Mihelson, fu fatta da Lorentz e l effetto è appunto hiamato ontrazione di Lorentz. 7 Qui per etere oorre onsiderare il mezzo in ui si sarebbe propagata la lue. Un etere ed un riferimento assoluto potrebbero esistere, ma non in relazione alla lue. 5

26 Postuliamo anhe he i riferimenti sono equialenti fra loro. Cominiamo ol dire he due regoli rigidi, uguali quando a riposo l uno rispetto all altro, doranno essere uguali seondo gli osseratori in Σ e in Σ, se disposti seondo l asse Y, altrimenti uno dei due sistemi non è equialente all altro. Cominiamo a paragonare i tempi he la lue impiega per andare e tornare lungo il braio dell interferometro perpendiolare al moto della Terra (assi YeY ). Nel riferimento proprio, il tempo sarà: t =. Nel riferimento Σ, la eloità della lue è anora, ma la lue dee olpire lo spehio ed essere riflessa e perhé iò aenga oorre he la lue si muoa lungo un ammino obliquo (l ipotenusa di un triangolo i ui ateti sono il braio ( d nella figura preedente) e la distanza perorsa da Σ lungo X). Dunque: a a ( t ) = ( t ). La stessa formula si può appliare per il ammino di ritorno; dunque, il tempo totale sarà: t =. Utilizzando la relazione troata β preedentemente: = t, otteniamo la relazione tra il tempo proprio t e quello t di un t sistema inerziale dierso: t =. Il fattore: γ = è oiamente maggiore β β di se β non è nullo e dunque t è sempre maggiore di t. In onlusione: il tempo non è uniersale, ma dipende dallo stato di moto del sistema in ui lo misuriamo. Il tempo proprio (ioè misurato nel sistema di riferimento solidale al nostro regolo) è il più bree possibile. Vedremo fra poo una dimostrazione sperimentale di questo fatto. Notiamo anhe he, se β è pratiamente zero, anhe la dilatazione dei tempi si annulla: lim t = t. β 0 Dunque la fisia lassia, per la quale t è indipendente dal moto del sistema di riferimento, è il limite della fisia relatiistia per eloità relatie dei sistemi piole rispetto alla eloità della lue. Chiamiamo tempo proprio il tempo misurato da un osseratore on un orologio fisso in un punto di un riferimento, per esempio da un osseratore he misura i tempi di andata e ritorno nell esperimento di Mihelson lungo i due brai, standosene nell origine di Σ. Ebbene, possiamo onludere he il tempo proprio è sempre più bree dello stesso interallo di tempo misurato in un altro sistema. Adesso guardiamo quello he suede nella direzione dell asse lungo il quale si solge il moto (braio d nella figura dell interferometro). Il tempo di andata e ritorno nel sistema non proprio sarà: t = T t per l andata e t = T t per il ritorno. In totale: t = = = γ. Nel sistema proprio il tempo di andata e ritorno ( β ) è T T sempliemente: t =. Usando la relazione troata tra t e t: 6