L EFFETTO DOPPLER CLASSICO (1842)

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1 L EFFETTO DOPPLER CLAICO (84) Abbiamo già detto che l'effetto Doppler consiste in una ariazione apparente della frequenza delle onde emesse da. una sorgente per un moto relatio tra sorgente ed osseratore. Cerchiamo ora di ricaare una relazione che descria il fenomeno in modo analitico. upponiamo di aere un osseratore O ed una sorgente di onde (che per semplicità supponiamo essere una sorgente sonora come, ad esempio, un campanello elettrico). Quanto diremo è certamente alido per onde sonore ma, se lo è in linea di principio, non lo è in pratica per onde elettromagnetiche e quindi luminose. aranno necessarie modificazioni relatiistiche così come mostrato alla fine del paragrafo 4 del capitolo 7. Le onde emesse da abbiano: - elocità - lunghezza d onda λ - periodo T = λ/ - frequenza = /λ Consideriamo dapprima il caso di ed O in quiete relatia ( in quiete rispetto ad O) riportato in figura 7. Figura 7 E oio che ad O arrierà, ogni secondo, un numero di onde pari alla frequenza della sorgente (è O che ricee la frequenza della sorgente). La stessa cosa accadrebbe ad un altro osseratore O sistemato in posizione diametralmente opposta ad O: le onde emesse da hanno tutte la stessa lunghezza d onda λ e si propagano in tutte le direzioni con la stessa elocità. e O ed sono in moto relatio tra loro il fenomeno si solge in modo dierso ed O riceerà una frequenza maggiore o minore di quella precedente a seconda che, rispettiamente, O ed si aicinino oppure si allontanino tra loro. I casi da prendere in considerazione a questo punto sono ari: ) è in moto di aicinamento od allontanamento da O che è in quiete; ) O è in moto di aicinamento od allontanamento da che è in quiete;

2 3) O ed sono ambedue in moto. Indichiamo una olta per tutte con ± la elocità della sorgente e con ± O la elocità dell'osseratore (doe i segni più sono per moti erso destra - in riferimento alla figura 7 - di e di O, mentre i segni meno sono per moti erso sinistra) e ricordiamo che è la elocità dell onda emessa da. I CAO Cominciamo a considerare il caso e supponiamo che O sia in quiete ed si aicini ad O con elocità (figura 8). Figura 8 upponiamo che ad un dato istante t la sorgente occupi la posizione e che dopo un tempo t si sia spostata in, percorrendo una distanza. t; dopo lo stesso tempo t le onde emesse da saranno arriate in A, percorrendo una distanza. t. Durante il tempo t la sorgente arà emesso complessiamente. t onde le quali, poiché nel frattempo la sorgente si è spostata da ad, saranno tutte concentrate nel tratto A = ( ). t. La lunghezza λ di ciascuna di queste onde sarà data da: ( ) t λ = λ = ' t ' e marcerà con elocità erso O. Quest ultima dunque sarà la lunghezza d onda della ibrazione percepita da O. Passando alle frequenze ( =. /λ.) si troa:

3 () = ' e questa sarà la frequenza percepita da O. Dalla relazione scritta si ede subito che per >, la quantità - / risulta positia e minore di e conseguentemente l/(l /) risulta positio e maggiore di. Ciò uol dire che la frequenza percepita da O è maggiore di quella emessa da. E eidente che tutto quanto abbiamo detto può essere pensato da un altro punto di ista. i può cioè pensare che si allontani con elocità dall'osseratore immobile O. Con passaggi semplici si troa facilmente che ale ancora l ultima relazione scritta, a patto, appunto, di sostituire - a. Il risultato è che la frequenza percepita da O sarà: () e poiché il fattore che moltiplica è positio e minore di, segue che la frequenza percepita sarà minore della frequenza emessa da. II CAO E utile premettere una considerazione. Poiché la frequenza è definita dal rapporto tra la elocità dell onda () e la sua lunghezza d'onda (λ), per ottenere una ariazione di, si può agire sia su λ, e come abbiamo isto nel caso precedente all aumentare di λ si ha una diminuzione di mentre al suo diminuire si ha un aumento di (tutto questo a parità di ), oppure si può agire su, all aumento della quale aumenta e iceersa nel caso di diminuzione di. upponiamo ora che sia in quiete ed O si aicini ad con elocità (figura 9). E chiaro che, dato il principio classico di relatiità, tutto a come se O fosse fermo e l onda, emessa dalla sorgente Figura 9

4 immobile, si aicinasse ad O con elocità. Di conseguenza la frequenza percepita da O sarà: = λ e, ricordando che λ = / doe è la frequenza emessa da, si ha: (3) = = ' ' Quindi la frequenza delle onde percepite da O sarà maggiore della frequenza emessa. Anche qui, nel caso in cui O si allontani da, basta sostituire, nella relazione troata, alla quantità la quantità - ; si ottiene cosi: (4) = = ' ' ed in questo caso la frequenza delle onde percepite da O risulterà minore della frequenza delle onde emesse da. III CAO Il caso in cui si muoano sia la sorgente che l'osseratore ci fornisce una relazione che, con le opportune modificazioni, è alida per tutti i casi che possono erificarsi. e ed O si muoono l una erso l'altra e iceersa con elocità rispettie e e se è sempre la elocità di propagazione delle onde emesse da, le cose anno come abbiamo isto nel primo caso poiché, a seguito del principio classico di relatiità, è come se O fosse immobile e le onde si aicinassero ad O con elocità.la seconda delle () dienta quindi: (5) Nel caso in cui ed O si muoono ambedue ma, questa olta, allontanandosi, bisognerà sostituire a la quantità» -, ottenendo: (6) e inece di considerare la seconda delle () consideriamo la prima delle (), e cioè pensiamo le cose come se fosse immobile e le onde si aicinassero ad O con elocità, si ha: (7)

5 ed in allontanamento : (8) Mettendo insieme le (5), (6), (7) e (8) si ottiene la: (9) ± ± ± ± e questo è quanto si può ricaare con considerazioni classiche. i può edere che la (9) riunisce in sé tutte le relazioni iste se si considerano gli opportuni segni del caso, in base alle considerazioni precedenti, e se si pongono uguali a zero le elocità o che lo risultassero. Alla fine del paragrafo del capitolo VI è mostrato come la relatiità di Einstein permette di estendere quanto ora isto al caso di onde elettromagnetiche e quindi della luce. Occorre ora fare una osserazione molto importante. A parità di elocità relatia sorgenteosseratore non è la stessa cosa che si muoa l'uno o l'altro ed i risultati ottenuti dimostrano ciò [si confronti, ad esempio, l'ultima delle () con l'ultima delle (3); si confronti poi l'ultime, delle () con l'ultima delle (4)]. Nel caso discusso, infatti, l'osseratore O è immobile e rispetto a lui si muoe la sorgente ma non il mezzo attraerso cui si propagano le onde. Nel caso discusso, inece, l'osseratore O si muoe rispetto ad una sorgente e ad un mezzo che sono ambedue in quiete. I due casi quindi non sono simmetrici. *** Riprendiamo ora in esame le formule () e (3) che forniano lo spostamento di frequenza Doppler nel caso, rispettiamente, di sorgente in moto erso un osseratore immobile, e di osseratore in moto erso una sorgente immobile: () (3) = ' Trasformiamo ora la () in una, forma che ci permetterà un utile confronto con la (3): () = ' Ricordiamo ora la formula che permette lo siluppo del binomio di Newton: n( n ) n( n )( n ) 3 () ( x) n = nx x x L 6 e applichiamola all'ultima relazione scritta:

6 3 = ( )( ) ( )( )( 3) ' ( ) L 6 3 () = ' L () = ' upponiamo ora che la elocità di spostamento della sorgente ( ) sia piccola rispetto alla elocità () delle onde proenienti da. i ha allora che / è un numero molto piccolo e certamente positio e minore di (si noti che questo fatto è comunemente erificato quando si ossera l ffetto Doppler acustico nella ita quotidiana: una sirena dei pompieri che si aicina, il fischio di un treno in aicinamento,... ; in questi casi, supponendo una elocità della sorgente di Km/h 33, m/sec ed una elocità del suono di 33 m/sec si ha che / ale / e siamo nelle condizioni ipotizzate). e il termine del primo ordine / è molto piccolo, a maggior ragione lo sarà il termine del secondo ordine ( s /) ed ancora di più quello del terzo ordine ( /) 3, e così ia. Ebbene, potendo trascurare termini d'ordine superiore al primo, la relazione (), scritta nella forma (), dienta: (3) = ' e, come si può edere, è esattamente uguale alla (3); o, per essere più precisi, differisce dalla (3) per termini d'ordine superiore al primo in /. E chiaro che, potendo applicare il principio classico di relatiità, le elocità dell osseratore e della sorgente sono intercambiabili, di modo che, indicando con u indifferentemente e si ha, come conseguenza di quanto abbiamo detto, che; (3 bis) = u u quando si possono trascurare termini d ordine superiore in u/. Ebbene la relazione ora ista, nell'ipotesi appena annunciata, è facilmente dimostrabile anche algebricamente: u u u = = e così, solo se (u/) è trascurabile rispetto ad, solo allora si può scriere la (3 bis). Nel caso poi si consideri la (), scritta nella forma approssimata (), si usa dire che la (3) e la. (l) differiscono per termini del secondo ordine in / o per termini ( /). Per concludere, nelle situazioni pratiche iste negli esempi fatti, questa, differenza può essere trascurata, e le cose si osserano allo stesso modo sia che la sorgente si aicini all osseratore, sia che l'osseratore si aicini alla sorgente. Ciò uol dire che ale il principio classico di relatiità, ed esso, occorre sottolinearlo, ale quando o sono piccole rispetto a. Ma la differenza, pur se trascurabile, esiste. e siamo in grado di fare misure precise al secondo ordine in / allora siamo anche in grado di stabilire un moto assoluto rispetto al mezzo che

7 trasporta le onde; siamo cioè in grado di dire se è la sorgente o l osseratore che si muoe, ad esempio, rispetto all aria considerata immobile. E questo è possibile perché,se nelle nostre misure doesse comparire solo il termine /, non troeremmo differenza tra le relazioni (3) e (3) e quindi sarebbe indifferente pensare o l osseratore o la sorgente in moto; ma se comparissero termini del secondo ordine, allora doremmo dire che ale la () e cioè la () ed in definitia la (), la quale ci dice che è la sorgente che si muoe erso l'osseratore. Laorando allo stesso liello di precisione, se i termini del secondo ordine non compaiono, possiamo concludere che ale la (3) e quindi che è l'osseratore in moto erso la sorgente.