II Simulazione Seconda prova Fisica

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1 II Simulazione Seonda proa Fisia MaturitàFisia_Simul_.indd 8/05/5 08:5

2 II Simulazione Seonda proa Fisia Problema n.. Channel-0 4MHz Channel-0 47MHz Channel-03 4MHz Channel-04 47MHz Channel-05 43MHz Channel MHz Channel-07 44MHz Channel MHz Channel-09 45MHz Channel-0 457MHz Channel- 46MHz Channel- 467MHz Channel-3 47MHz Stai installando il tuo nuoo modem router ADSL wireless, he permette la onnessione a internet anhe del tuo telefono mediante rete WiFi a,4 GHz. A un erto punto il software per la onfigurazione ti hiede di segliere uno dei 3 anali WiFi disponibili, he trasmettono a diersa frequenza: il anale trasmette a 4 MHz e la frequenza di ogni anale suessio aumenta di 5 MHz, fino alla frequenza massima di 47 MHz del anale 3. Selezioni il anale 7. Mondadori Eduation a) Dopo aer alolato la lunghezza dell onda elettromagnetia emessa dal anale 7 e lassifiato il tipo di radiazione, esponi il ragionamento alla base della selta del anale. Il iruito osillante ollegato all antenna del wifi ha una apaità di pf. b) Calola l induttanza del iruito e spiega dal punto di ista fisio la relazione he esiste tra il iruito osillante e l onda elettromagnetia emessa. Il dispositio può emettere onde di intensità massima 0,0 W/m. ) Determina i massimi alori effiai del ampo elettrio e del ampo magnetio. Considera he l onda si propaghi lungo un asse orizzontale, l asse x. d) Srii la funzione E(x,t) he desrie la propagazione del ampo elettrio lungo l asse x e fai un disegno indiando la posizione dell antenna e i ampi elettrio e magnetio, per almeno una osillazione ompleta. Tutte le onde emesse olpisono perpendiolarmente una superfiie di 85 m e engono ompletamente assorbite. e) Calola il alore medio della forza eseritata dalle onde sulla superfiie, la pressione di radiazione e la densità di energia. MaturitàFisia_Simul_.indd 8/05/5 08:5

3 II Simulazione Seonda proa Fisia Problema n. Hai frequentato uno stage presso un laboratorio dell INFN (Istituto Nazionale di Fisia Nuleare) e dei preparare una relazione sul laoro solto da presentare l ultimo giorno di permanenza. Il tuo tutor ti ha indiato la traia da seguire: nell introduzione dei, in primo luogo, spiegare ome si esprimono i alori di massa in ev. a) Desrii il signifiato fisio della massa espressa in elettron-volt (ev) e erifia la massa del protone m p 938 MeV, sapendo he m p,00776 u, doe u, kg,, m/s, e, C. Gli aeleratori engono spesso identifiati on la loro energia espressa in ev. Le partielle engono aelerate e aumentano, osì, la loro energia inetia. Nella tua relazione dei disutere la differenza tra energia inetia lassia e relatiistia. b) Srii le due espressioni per l energia inetia, lassia e relatiistia, eidenziando le differenze tra le due dal punto di ista fisio. ) Riaa, sia nel aso lassio sia in quello relatiistio, l espressione della eloità al quadrato di una partiella in funzione della sua energia inetia (), on energia dell aeleratore. Rappresenta le due funzioni su un grafio artesiano e analizza quanto ottenuto. Nella tua relazione dei spiegare ome effettuare il alolo della eloità di una partiella all interno di un aeleratore. d) Mostra he la eloità massima di una partiella di massa a riposo m 0 (espressa in ev/ ) all interno di un aeleratore di energia E A (espressa in ev) è data dalla relazione: - E m A + m - 0 e) Calola la eloità massima e la ariazione della massa di un protone all usita dell aeleratore LINAC da 50 MeV he si troa presso il CERN di Ginera. Mondadori Eduation 3 MaturitàFisia_Simul_.indd 3 8/05/5 08:5

4 II Simulazione Seonda proa Fisia Quesiti. La bobina di un alternatore è ostituita da 00 spire e ruota on eloità angolare ostante all interno di un ampo magnetio uniforme di 0,8 T, ompiendo un giro ogni deimi di seondo; l area di iasuna spira è di m. Determina l espressione e il alore della f.e.m. indotta ai api della bobina. Disuti questa affermazione: l alternatore è un dispositio he utilizziamo ogni giorno, anhe se indirettamente.. Una linea di distribuzione trasporta energia elettria in orrente alternata on un alore effiae 0 kv e una frequenza di 50 Hz. In prossimità delle abitazioni, per usi domestii, la tensione effiae iene portata a 30 V. La linea di distribuzione fornise energia a 60 abitazioni, 3/4 delle quali utilizza una fornitura standard di 3,3 kw, mentre le restanti hanno a disposizione 5 kw. Supponendo una dispersione di energia omplessia del % nella trasformazione e, suessiamente, lungo il perorso erso le abitazioni, determina l intensità di orrente massima nella linea a 0 kv. Determina quantitatiamente i parametri neessari alla trasformazione della tensione e illustra i antaggi del trasporto dell energia elettria in orrente alternata rispetto alla orrente ontinua. 3. Una radiazione luminosa monoromatia proeniente dall aria penetra, on un angolo di inidenza di 63, in una lastra di materiale etroso aente indie di rifrazione,58 e uno spessore di,0 m e poi fuoriese nuoamente nell aria. Determina il alore della ostante dielettria relatia del etro, sapendo he la permeabilità magnetia del uoto ale 4p 0-7 N/A, e alola il tempo impiegato dal raggio luminoso per perorrere la lastra di etro. 4. Il fenomeno fisio rappresentato in figura è noto ome reazione di oppia: un fotone ad alta energia rea una oppia partiella-antipartiella, elettrone-positrone. g e + Mondadori Eduation e Sapendo he la massa dell elettrone (e del positrone) è 9, 0-3 kg, determina l energia minima in MeV perhé la reazione aenga e lassifia la radiazione. Spiega ome sia possibile eidenziare e distinguere le due partielle mediante un rielatore. 5. Ti troi nello spazio interstellare a bordo della base spaziale Genesis, he possiamo onsiderare un sistema di riferimento inerziale, e ontrolli i dati dell astronae Athesis, he si sta muoendo on eloità ostante rispetto alla base. Il tuo ollaboratore si mostra settio rispetto alle misure dei tempi he ottieni: afferma he il onfronto tra gli orologi atomii della ostra base e quelli dell astronae, quando quest ultima sarà rientrata alla ostra base, porterà a un eidente paradosso. Tu inee lo rimproeri per non aer seguito e approfondito le lezioni di relatiità: il paradosso è già stato trattato esaurientemente anhe da Einstein. Di quale paradosso si tratta? Come lo spiegheresti al tuo ollaboratore? 6. Un sinrotrone è un tipo di aeleratore in ui le partielle arihe seguono orbite irolari. Se si ogliono aelerare elettroni, i si imbatte in un problema, lo stesso he risontrò Rutherford nella ostruzione del suo modello atomio, il osiddetto modello atomio planetario. Spiega di quale problema si tratta, eidenziando analogie e differenze tra i due asi proposti. 4 MaturitàFisia_Simul_.indd 4 8/05/5 08:5

5 II Simulazione Seonda proa Fisia 7. Il pione ario è una partiella aente una massa di 39,6 MeV/ e una ita media t,6 0 8 s. Se all istante t 0 s si ha un numero N 0 di pioni, dopo un tempo t il loro numero sarà diminuito esponenzialmente seondo la legge dei deadimenti radioattii N(t) N 0 e t/t. All interno di un aeleratore di partielle un fasio di pioni iaggia a una eloità di 0,996: il loro numero misurato da un rielatore è /4 rispetto al numero misurato dal rielatore preedente. Quanto sono distanti i due rielatori? 8. All elettrone dell atomo di idrogeno, nel suo stato fondamentale, iene assoiata la funzione densità di probabilità radiale P(r): doe r B india il raggio di Bohr. 3 P^rh ^4 r Bh $ r e -r rb Analizza la funzione P(r) dal punto di ista fisio e matematio, spiegando la relazione esistente on il modello atomio di Bohr. 9. La figura shematizza una preisa ipotesi della fisia quantistia appliata alle orbite atomihe. Spiega di quale ipotesi si tratta e desrii la figura on onsiderazioni di tipo fisio. Quest ipotesi segna l inizio di un nuoo tipo di meania: quale? Mondadori Eduation 0. Viene misurata la eloità istantanea di una sferetta da 40 grammi in moto rettilineo e si troa il alore di 0 m/s. Viene determinata la eloità di un protone (m p,7 0-7 kg) e si ottiene 5,0 0 7 m/s. Supponi he entrambe le misure abbiano un inertezza dell'% e fai un onfronto disutendo, per entrambi i asi, l inertezza sulla posizione lungo la direzione del moto. 5 MaturitàFisia_Simul_.indd 5 8/05/5 08:5

6 II Simulazione Seonda proa Fisia Soluzioni Problema a) La frequenza del anale 7 è: f $ 6 44 MHz e la lunghezza d onda è: 8, 998 $ 0 m s m 9-0, 3 m f, 44 $ 0 s La radiazione elettromagnetia si troa nella regione delle miroonde. Per una orretta selezione del anale bisogna eitare fenomeni di interferenza: è neessario erifiare la frequenza di trasmissione di altri dispositii wireless eentualmente presenti (teleisori, media enter e aluni sistemi audio possono trasmettere in WiFi). In questo aso bisogna eitare di utilizzare la stessa frequenza, perhé il iruito del router assorbirà (rieerà) tutte le onde elettromagnetihe in risonanza, introduendo un disturbo nel segnale da elaborare. Inoltre, se è già stato utilizzato un anale, il 3 per esempio, oniene eitare anhe i anali immediatamente iini. Il motio è he ogni anale ha una erta larghezza di banda: se questa è di 0 MHz signifia he la trasmissione aiene in un range di frequenze entrate su f (quella del anale doe si ha la massima intensità), on una frequenza minima f 0 MHz e una frequenza massima f + 0 MHz. Queste frequenze anno quindi a sorapporsi ad altri anali, da un minimo di due se si tratta dei anali agli estremi ( e 3), fino a 4 per quelli entrali. b) Per generare un onda elettromagnetia di frequenza f si utilizza un antenna ollegata a un ir uito RLC aente una frequenza di risonanza uguale a f, alimentato da un generatore he produe una f.e.m. alternata on la stessa frequenza. Dalla frequenza di risonanza del iruito possiamo riaare il alore dell induttanza: Mondadori Eduation f & L 8 9, nh r LC 4r f C 4r, 44 $ 0 s $ $ 0 pf - - ^ h ^ h Come desritto dalle equazioni di Maxwell, arihe aelerate produono onde elettromagnetihe: gli elettroni, pilotati dal generatore tramite il iruito RLC, si muoono su e giù nell antenna, on un moimento simile a quello di una mano he regge una orda e he i produe un onda trasersale. L analogia non dee far dimentiare he le onde elettromagnetihe non sono onde meanihe: non è spostamento di materia ma ampi elettrii e magnetii osillanti. ) Il alore effiae del ampo elettrio è:, I E E I 0 0 W m f0 eff & eff 8-6, V m f0 ^3, 00 $ 0 m sh $ ^8, 85 $ 0 F mh Mentre quello del ampo magnetio: B eff Eeff 6, V m 8, 0 $ 0 3, 00 $ 0 m s -8 T 6 MaturitàFisia_Simul_.indd 6 8/05/5 08:5

7 II Simulazione Seonda proa Fisia Va sottolineato he, mentre il alore del ampo elettrio ha alori ordinari ed è misurabile, il alore del ampo magnetio è molto piolo rispetto ai alori del ampo magnetio terrestre (il ui ordine di grandezza è 0-5 T) ed è molto diffiile misurarlo. d) Se onsideriamo un onda elettromagnetia armonia he si propaga lungo l asse x (orizzontale), polarizzata linearmente lungo la direzione ertiale (la direzione dell antenna), il suo ampo elettrio è: E^x, th E0 sen[ r^x m - fth] Per il ampo magnetio basta sostituire E on B. Si tratta di un onda iaggiante, in ui il segnale si propaga on eloità ostante l f (nel uoto ) E^x, th E0 sen[ p l ^x - th] Trattandosi di onde sinusoidali ale la seguente relazione tra il alore massimo E 0 e il suo alore effiae: Analogamente per il ampo magnetio: E0 Eeff $ 6, V m 8, 6 V m 8 8 B0 Beff $, 0 $ 0 - T, 8 $ 0 - T Il ettore ampo elettrio è sempre perpendiolare al ettore ampo magnetio ed entrambi lo sono rispetto alla direzione di propagazione. Mondadori Eduation antenna E l B direzione di propagazione e) La forza media eseritata sulla superfiie è: -3,, F IS ^0 0 W m h $ 8 5 $ 0 m 8, 8 $ 0 3, 00 $ 0 m s La pressione di radiazione e la densità di energia hanno il medesimo alore: -, p I 0 0 W m 8 3, 3 $ 0 Pa u 3, 3 0 J m - & $ - 3, 00 $ 0 m s N MaturitàFisia_Simul_.indd 7 8/05/5 08:5

8 II Simulazione Seonda proa Fisia Problema a) L elettronolt è un unità di misura dell energia: alla massa a riposo del protone m p orrisponde infatti un energia pari a m p, quindi, effettuando le doute onersioni in kg e poi in ev: E m p,00776 $ ^, 660 $ 0 - kgh $ ^,998 $ 0 m s h ^, 60 $ 0 - J evh 9, 38 $ 0 ev m E p 938 MeV Prendendo ome unità di misura ( ) si può sriere sempliemente, ome è onsuetudine tra i fisii: b) Nella fisia lassia l energia inetia è: m p 938 MeV m Einstein soprì he tale relazione è un approssimazione alida per eloità piole rispetto a quella della lue (l approssimazione migliora al diminuire del rapporto /). La relazione relatiistia è: E - m 0 doe m 0 è la massa a riposo, mentre E è l energia totale della partiella: E m m0 - Mondadori Eduation Utilizzando i oeffiienti relatiistii possiamo sriere in forma ompatta: b e - b m0 - m0 & ^ - h m0 Classiamente l aumento dell energia inetia della partiella (per esempio a ausa dell azione di una forza ostante) è assoiato a un aumento di eloità he può assumere qualsiasi alore, mentre il alore della massa iene onsiderato ostante. In dinamia relatiistia, inee, la eloità non può aumentare illimitatamente, perhé non può superare. Nell espressione relatiistia troiamo quindi una orrezione per la massa, he aumenta all aumentare della eloità. ) Nel aso della relatiità ristretta, dobbiamo espliitare il termine a partire dalla relazione: E m m0 - m 0 & - 0 & - & m m0 8 MaturitàFisia_Simul_.indd 8 8/05/5 08:5

9 II Simulazione Seonda proa Fisia Inertiamo ed eleiamo al quadrato: Segue: - + m & - + m m0 m0 - - ; - + m - E m0 Ora analizziamo l andamento di in funzione dell energia inetia >0. Per 0 si ha 0, ome preisto anhe dalla fisia lassia (partiella ferma). Calolando il limite per he tende a più infinito, il termine fra parentesi tonda tende a zero. Di onseguenza la eloità tende asintotiamente a : lim - lim ^ h ; - + m E m0 " + 3 " + 3 La dipendenza di da è del tipo / (a meno di ostanti e traslazioni), quindi i si aspetta una ura il ui andamento è simile a quello della funzione quadratia inersa: sempre resente senza massimi né minimi. Faiamo una erifia alolando anhe la deriata prima: d d d d d ; - + m E - m0 d + m - ^- h + m m0 m m0 Quindi: d d + m -3 m0 m0 La deriata prima troata è sempre positia (i termini sono tutti positii) e quindi la eloità è sempre resente, ome atteso, all aumentare dell energia inetia. L andamento preisto dalla fisia lassia è inee di tipo lineare (in grafio è una retta usente dall origine): Mondadori Eduation m m Nel grafio si può notare ome le due ure si sorappongano per eloità piole rispetto a. V 9 MaturitàFisia_Simul_.indd 9 8/05/5 08:5

10 II Simulazione Seonda proa Fisia Per bassi alori di eloità l aumento di energia inetia è assoiato quasi eslusiamente all aumento lineare della eloità, on la massa he rimane pratiamente ostante. Inee, al resere della eloità fino a alori prossimi a quello della lue, l aumento di eloità tende asintotiamente a zero e l aumento di energia inetia omporta un progressio aumento della massa. d) La relazione () troata al punto preedente restituise l espressione per la eloità della partiella: - + m & - + m m0 m0 - - Osserando he l energia E A fornita dagli aeleratori iene trasferita alle partielle he hanno eloità massima interamente ome energia inetia ( E A ), ed esprimendo la massa in ev/ si ottiene la relazione rihiesta. e) Sostituendo i alori, utilizzando per il protone il alore riportato al punto a), si troa: MeV ` + 0, 3 3% 938 MeV j È omodo esprimere l aumento della massa sempre in MeV, he orrisponde proprio all energia E A : E + m 0 ed essendo E m & Dm m - m0 50 MeV Dm % Dm 50 MeV 5, 3% m0 938 MeV Verifihiamo il risultato on l espressione relatiistia per la massa: m m0-988 MeV & Dm MeV Mondadori Eduation Osseriamo ome sia impossibile he l energia dell aeleratore sia l energia totale del protone, he è sempre maggiore della sua massa a riposo (938 MeV). 0 MaturitàFisia_Simul_.indd 0 8/05/5 08:5

11 II Simulazione Seonda proa Fisia Quesito La spira ruota on eloità angolare: ~ r r 3, 4 rad s T 0, La f.e.m. indotta si alola mediante la legge di Faraday-Neumann-Lenz: f em d d B - U - 6 B $ N $ S $ os^~ t h@ B $ N $ S $ ~ $ sen ^~ t h dt dt Ai api della bobina è presente una tensione alternata he aria in modo sinusoidale, on periodo 0, s (frequenza 5 Hz). Il alore massimo si ha quando sen (wt) : Il alore effiae è: 4 f0 B $ N $ S $ ~ ^0, 8 T h $ 00 $ ^ $ 0 - m h $ ^3, 4 s - h, 36 V f0, 36 D Veff 0, 96 V L alternatore è presente nella maggior parte delle entrali elettrihe (termoelettrihe, idroelettrihe, nuleari, eolihe) e permette, in modo molto effiae e relatiamente semplie, la trasformazione in energia elettria dell energia inetia di rotazione della bobina. Gran parte dell energia elettria he utilizziamo ogni giorno iene prodotta tramite alternatori (non lo è, per esempio, quella prodotta tramite pannelli fotooltaii), aenti una frequenza di ira 50 Hz, diei olte superiore a quella del quesito. Anhe nei mezzi di loomozione (auto, pullman, ) generalmente è presente. Quesito Mondadori Eduation La potenza omplessia he de essere disponibile per le abitazioni è: P 45 $ ^3, 3 kwh + 5 $ ^5 kwh 3, 5 W Nella linea da 0 kv la potenza neessaria, onsiderando he il % iene disperso, è Plinea 3, 5 kw 0, 98 8 kw da ui segue he l intensità di orrente effiae e quella massima sono: i eff P 8 kw 8 A Veff 0 kv imax ieff $ 8 A 3 A Per la trasformazione della tensione, da 0 kv a 30 V, dee essere: V V N 0 kv 43, 5 N 30 V Il numero di spire nel iruito primario del trasformatore dee essere 43,5 olte il numero di spire nel iruito seondario. MaturitàFisia_Simul_.indd 8/05/5 08:5

12 II Simulazione Seonda proa Fisia Il antaggio dell utilizzo della tensione alternata è prinipalmente legato alla possibilità di modifiarne il alore di tensione. Per minimizzare la dissipazione per effetto Joule lungo il perorso è preferibile, a parità di potenza, aere tensioni eleate e basse orrenti. La tensione ontinua, inee, non può essere aresiuta in modo altrettanto semplie ed effiae. Per esempio, trasportando la tensione a 30 V su tutta la linea la dissipazione aumenterebbe di ira 900 olte: Quesito 3 PJ, PJ, Ri ^N Nih N m 43, Ri i N Questo quesito di ottia può essere formalizzato e risolto ome un problema di elettromagnetismo. Rappresentiamo grafiamente il perorso del raggio luminoso: d a a a aria n etro n La eloità delle onde elettromagnetihe nel etro è ma anhe: V V n f0f n0n f n r r r r Mondadori Eduation Da queste due relazioni segue: n frnr Fatta eezione per i materiali ferromagnetii, tutti gli altri possiedono permeabilità magnetia relatia, on buona approssimazione, uguale a, quindi: Caloliamo l angolo di rifrazione nel etro: f r n, 58, 5 n sen n sen arsen n sen arsen a a & a ` a sen 63 34, 3 n j m, 58 Poihé la eloità è V /n e lo spazio da perorrere è sd/osa il tempo Dt ale: d - os a, t dn ^ $ 0 mh $ 58 D 8, 3 $ 0 os a ^3 $ 0 m sh $ os 34, 3 n -0 s MaturitàFisia_Simul_.indd 8/05/5 08:5

13 II Simulazione Seonda proa Fisia Quesito 4 L energia minima neessaria perhé aenga la reazione di oppia è quella orrispondente alla massa delle due partielle reate. In questo aso si tratta del doppio della massa a riposo dell elettrone (uguale a quella del positrone): 3 E m 9, 0 kg, m s 9 5 $ e $ ^ $ - h $ ^ $ h ^, 60 $ 0 - J evh $ 5, $ 0 ev, 0 MeV La frequenza e la lunghezza d onda della radiazione sono: 6, f E 0 $ 0 ev -5, 47 $ 0 h 436, $ 0 ev $ s , 00 $ 0 m s - m -0, $ 0 m, pm f, 47 $ 0 Hz La radiazione è al onfine tra i raggi X duri e i raggi g. Per distinguere le due partielle della oppia reata si applia un ampo magnetio perpendiolare alla eloità: le due partielle engono deiate dalla forza di Lorentz e ompiono traiettorie irolari on lo stesso raggio (massa uguale), ma in direzioni opposte a ausa della loro aria opposta. Hz Quesito 5 Il quesito ripropone, anhe se in termini diersi, il famoso paradosso dei gemelli. Quando due sistemi di riferimento, nel nostro aso la base spaziale e l astronae, sono in moto relatio on eloità ostante, un osseratore ede rallentare l orologio he si troa nell altro sistema di riferimento, in moimento rispetto al suo. Questa situazione è perfettamente simmetria in entrambi i sistemi di riferimento ed è proprio per questa simmetria he il ollaboratore pensa a un paradosso. Egli pensa he, riportando alla base l orologio in moimento, sarà impossibile he entrambi gli orologi siano in ritardo l uno rispetto all altro. In realtà si potrà erifiare solo una di queste due situazioni: o sarà l orologio dell astronae in ritardo rispetto a quello della base, oppure sarà l orologio della base in ritardo rispetto a quello dell astronae! In effetti il paradosso non esiste, perhé per riportare l orologio alla base bisogna rallentare (deelerare) l astronae, e poi aelerarla per farle inertire la rotta. In questi momenti il sistema di riferimento dell astronae non è più inerziale: qui si rompe la simmetria. Quando i due orologi erranno messi a onfronto nella base, he è rimasta ferma (sistema di riferimento inerziale), l orologio dell astronae sarà in ritardo rispetto a quello della base. Mondadori Eduation Quesito 6 Il problema ui fa riferimento il quesito è l emissione di radiazione (onde) elettromagnetia da parte di una aria aelerata, ome preisto dalle equazioni di Maxwell. In entrambi i asi proposti, elettrone in un sinrotrone oppure orbitante intorno al nuleo, per urare la traiettoria oorre una forza e quindi un aelerazione entripeta. Gli elettroni in un sinrotrone, infatti, emettono una radiazione nota ome radiazione di sinrotrone (o lue di sinrotrone), nel range dei raggi X duri. Questa radiazione più he un problema ostituise proprio il prodotto oluto, perhé ha numerose appliazioni nell ambito della fisia della materia e della tenologia dei materiali. Rutherford non riusia a spiegarsi ome mai, inee, gli elettroni in orbita attorno al nuleo (ome i pianeti attorno al sole) fossero stabili e non perdessero energia adendo sul nuleo. Suessiamente, l esistenza di orbite stazionarie in numero disreto fu una delle ipotesi del modello suessio elaborato da Bohr. 3 MaturitàFisia_Simul_.indd 3 8/05/5 08:5

14 II Simulazione Seonda proa Fisia Quesito 7 Eseguiamo i aloli nel sistema di riferimento del pione, nel quale il pione possiede il tempo di ita indiato nel testo. Caloliamo dopo quanto tempo il numero di partielle del fasio si ridue a un quarto: t x N N e t ln N t ln N 0 & m & - x m - ^, 6 $ 0 sh ln ^0, 5h 3, 60 $ 0 x N0 N In questo interallo di tempo perorre uno spazio pari a: s t s 0, 996 3, D & D $ ^ $ m sh ^3, 60 $ 0 8 sh 0, 8 m Rispetto al sistema di riferimento del laboratorio il pione misura la distanza ontratta di un fattore: s - b - 0, 996, La distanza propria, misurata nel sistema del laboratorio, nel quale i rielatori sono fermi, è dunque: Ds' Ds, $ ^0, 8 mh m Quesito 8 La funzione P(r) (4/r 3 B ) r e r/rb esprime la densità di probabilità radiale, ioè l andamento, al ariare della distanza r dal nuleo, della probabilità di troare l elettrone. La funzione è definita in modo tale he P(r) dr rappresenti la probabilità he l elettrone si troi nello spazio ompreso tra le due superfii sferihe di raggi r e r + dr. P^rh r 4 r rb 3 r e B Mondadori Eduation La funzione è nulla per r 0 e tende a 0 per r he tende a più infinito. Ciò signifia he l elettrone non può troarsi in orrispondenza del nuleo e he è estremamente improbabile (pratiamente impossibile) troarlo a grandi distanze dal nuleo. Infatti P(r) dienta estremamente piola già a distanze pari a diei olte il raggio di Bohr. Caloliamo la deriata prima della funzione: dp^rh 4 -r rb re e -r rb 8 e -r rb r 3 ; - E 3 - dr rb rr 8 B rr B r B B La funzione è dotata di un massimo in r r B. Questo risultato mette in eidenza la differenza tra il modello di Bohr e la meania ondulatoria. L elettrone nel modello atomio di Bohr ompie un orbita irolare attorno al nuleo alla distanza r B, mentre per la meania ondulatoria l elettrone non è un orpusolo ben definito e non si può parlare di traiettoria: il raggio di Bohr è solo la distanza alla quale è più probabile he si troi l elettrone. 4 MaturitàFisia_Simul_.indd 4 8/05/5 08:5

15 II Simulazione Seonda proa Fisia La funzione ha un andamento del tipo: P(r) r B r Quesito 9 La figura rappresenta l appliazione alle orbite atomihe dell ipotesi di onda materiale, formulata dal fisio franese Louis de Broglie tra il 94 e il 95. Louis De Broglie ipotizzò he le orbite stabili del modello di Bohr fossero quelle assoiate a onde materiali stazionarie, ome quelle he si produono in uno strumento musiale. La lunghezza d onda dell elettrone-onda a alolata mediante la relazione proposta da de Broglie: m h p L onda materiale su un orbita di raggio r è stazionaria se dopo ogni giro riaquista la stessa fase, rihiudendosi. In aso ontrario l onda interferise on sé stessa e si estingue. La ondizione rihiesta è he una ironferenza ompleta ontenga un numero intero di lunghezze d onda di de Broglie: rr n nm Combinando le due equazioni si ottiene proprio la ondizione di quantizzazione delle orbite (quantizzazione del momento angolare) proposta da Bohr: rr n n h & mr n h m n r Mondadori Eduation Il risultato ottenuto da de Broglie non introdue nulla di nuoo dal punto di ista fisio al modello atomio di Bohr, ma dà una giustifiazione all impossibilità per l elettrone di oupare altre orbite; un aspetto, quest ultimo, he Bohr non era riusito a spiegare. Si può affermare he on l ipotesi di de Broglie nase la meania ondulatoria, perfezionata suessiamente in partiolare da Shröedinger. Quesito 0 Applihiamo il prinipio di indeterminazione e aloliamo, per le due partielle, le indeterminazioni sulla posizione lungo la direzione del moto: DxDp x $ ' & Dx $ ' D x $ m sferetta: -34 ^6,63 $ 0 Jsh r D x $, 6 $ 0 ^0, 0 $ 0 m sh $ ^0, 04 kgh -3 m protone: -34 ^6, 63 $ 0 Jsh r D x $ 7-7, $ 0 ^0, 0 $ 5 $ 0 m sh $ ^, 7 $ 0 kgh -3 m 5 MaturitàFisia_Simul_.indd 5 8/05/5 08:5

16 II Simulazione Seonda proa Fisia Possiamo fare le seguenti onsiderazioni: l indeterminazione sulla eloità del protone è 5 milioni di olte quella sulla eloità della sferetta ma, a ausa dell ingente differenza tra le masse (5 ordini di grandezza), l indeterminazione sulla posizione della sferetta è 9 ordini di grandezza più piola rispetto a quella alolata nel aso del protone; l indeterminazione sulla posizione della sferetta preista dal prinipio di indeterminazione è pratiamente impossibile da misurare sperimentalmente; l indeterminazione sulla posizione del protone è più grande di ben due ordini di grandezza rispetto alle dimensioni del protone (0-5 m). Ciò signifia he, se il protone aesse le dimensioni del entimetro, l inertezza sulla sua posizione sarebbe di ira un metro. Mondadori Eduation 6 MaturitàFisia_Simul_.indd 6 8/05/5 08:5