LICEO SCIENTIFICO G.GALILEI MACERATA

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1 LICEO SCIENTIFICO G.GALILEI MACERATA Prof. Angelo Angeletti Re.04

2 RELATIVITÀ GALILEIANA ELEMENTI DI RELATIVITÀ RISTRETTA I prinipi della dinamia hanno la stessa alidità in tutti i sistemi di riferimento inerziali (in quiete o in moto rettilineo uniforme tra di loro); per esempio due osseratori in due sistemi inerziali S ed S' misurano gli stessi alori sia dell'aelerazione di un punto materiale sia della forza. È questo il prinipio di relatiità galileiana he possiamo enuniare anhe osì: le leggi della meania sono le stesse in tutti i sistemi inerziali. Si supponga he due osseratori O e O' si muoano di moto rettilineo uniforme l'uno rispetto all'altro on eloità relatia e he gli assi x e x' sono diretti nella stessa direzione e gli assi y e y', z e z' siano paralleli (edi figura ). Un punto P errà indiiduato da quattro parametri, tre spaziali e uno temporale; per l'osseratore O sarà P(x,y,z,t), per l'osseratore O' sarà P(x',y',z',t'). Le quattro equazioni: x' = x t y' = y z' = z t' = t Fig. - Sistemi di riferimento inerziali. note ome trasformazioni galileiane, mettono in relazione le oordinate spazio-temporali di uno stesso eento nei due sistemi di riferimento S ed S' in moto rettilineo uniforme l'uno rispetto all'altro. Passando da un sistema di riferimento all'altro, ioè per effetto delle trasformazioni galileiane, alune grandezze fisihe restano inariate; queste si hiamano inarianti. Nella fisia lassia sono inarianti: la distanza tra due punti, la massa di una partiella (in quanto si suppone he la massa non dipenda dalla eloità), l'aelerazione di un orpo e la forza agente su di esso, e. Non è inariante, per esempio la eloità, infatti se u e u' sono le eloità misurate da O e O', riordando he la eloità è la deriata della posizione rispetto al tempo e utilizzando le trasformazioni galileiane date sopra, si ottiene: dx' d dx u' x = = ( x t) = = ux dt' dt dt dy' dy u' y = = = uy dt' dt dz' dz u' z = = = uz dt' dt ioè: u' x = ux u' y = uy u' z = uz Da iò segue he la eloità misurata nei due sistemi di riferimento è diersa (ettorialmente u' = u ). Riordando he l aelerazione è la deriata della eloità fatta rispetto al tempo si ha:

3 d d d dux a' x = u' x = ( ux ) = ( ux ) = = ax dt' dt' dt dt' d d a' y = u' y = uy = ay dt' dt d d a' z = u' z = uz = az dt' dt ioè: a' x = ax a' y = ay a' z = az Da iò segue he l aelerazione misurata da due osseratori inerziali è la stessa. Questo è il prinipio di relatiità lassia he può anhe essere enuniato anhe diendo he: le leggi della dinamia sono inarianti per trasformazioni galileiane. ELETTRODINAMICA E PRINCIPIO DI RELATIVITÀ I risultati sperimentali sulla deiazione degli elettroni da parte dei ampi magnetii i dimostrano he la forza eseritata dal ampo magnetio su arihe in moimento (edi la forza di Lorentz) dipende anhe dalla eloità delle arihe. Sorge quindi naturale il problema di stabilire rispetto a quale sistema di riferimento tale eloità debba essere misurata. Ci sono due alternatie: misurarla rispetto ad un partiolare osseratore, oppure, in aordo on il prinipio di relatiità (galileiana), dare alle equazioni dell'elettrodinamia una forma alida in qualsiasi sistema di riferimento. In partiolare, poihé il ampo magnetio è prodotto solo da arihe in moimento e agise soltanto su arihe in moimento, esisterà sempre un osseratore per il quale sia il ampo magnetio prodotto da una erta aria sia la forza magnetia agente su di essa sono nulli: l'osseratore rispetto al quale la aria è in quiete. Se è presente sia un ampo magnetio sia un ampo elettrio, su di una aria in moto agise una forza: () F = q( E + B) essendo F = qe la forza elettria e F = q B la forza magnetia[ i ]. La relazione F = qe è stata dedotta solo per arihe in quiete, hi i assiura he resta alida anhe se le arihe sono in moimento? La aria potrebbe assumere alori differenti rispetto ad osseratori differenti, ossia la forza agente su una aria in moto in un erto ampo elettrio potrebbe essere differente dalla forza agente sulla aria quando questa è in quiete. Le ose non stanno osì; fatti sperimentali hanno permesso di arriare alla osiddetta legge di inarianza relatiistia della aria elettria he enuniamo ome segue: una aria elettria assume lo stesso alore rispetto a tutti gli osseratori inerziali. [ i ] Il simbolo F = q B india il prodotto ettoriale. Il prodotto ettoriale tra i ettori a e b è un ettore he ha direzione perpendiolare al piano indiiduato da a e b e erso he ede a ruotare erso b desriendo l angolo minore in senso antiorario. Per riordare, se a è il medio della mano sinistra, b l indie, è il pollie.

4 La forza data dalla (), la forza di Lorentz, desrie orrettamente l'interazione di una aria in moimento he attraersa una regione di spazio in ui sono presenti un ampo elettrio e un ampo magnetio. Consideriamo due sottili fasi di raggi atodii, paralleli ed equiersi posti a distanza r l'uno dall'altro. Ciasuno di essi può essere pensato ome una suessione di elettroni in moto lungo una stessa traiettoria on eloità. Ogni elettrone di un fasio interagise on tutti gli elettroni dell'altro fasio e quindi sarà sottoposto ad una forza trasersale (ossia perpendiolare alla direzione dei due fasi); l'effetto di tale forza sarà una deflessione più o meno intensa dei due fasi. Per alolare la forza agente su un elettrone useremo la (). A questo sopo osseriamo he il Fig. - Fasetti paralleli di elettroni fasio di elettroni è equialente ad un filo uniformemente ario (aente forma rettilinea nell'approssimazione in ui la deflessione è trasurabile), il ampo elettrio è dato da E = πε 0 L r doe L è la densità lineare di aria, ossia la aria per unità di lunghezza del filo. D'altra parte, il fasio orrisponde anhe ad una orrente rettilinea di intensità i = L ; si ha infatti; L = dq dl e dq dq dl = dl dt, da ui i = = = L ; dalla legge di Biot e Saart si ha dt dl dt µ 0i µ 0 L B = = πr π r Infine tenuto onto he sia la forza elettria sia la forza magnetia sono trasersali rispetto al fasio e he sono opposte, indiata on e la aria dell'elettrone, dalla () si riaa: L µ 0 L F = ee eb = e πε0 r π r ossia el F = ( ε 0µ 0 ). πε r Nell elettromagnetismo lassio ε 0µ 0 =, quindi possiamo sriere: el () F =. πε0r 0 In base al prinipio di relatiità è possibile tuttaia risolere il problema anhe riorrendo alla sola elettrostatia; infatti, detto S il sistema di riferimento del laboratorio, in ui gli elettroni si muoono on eloità e S ' il sistema di riferimento in ui gli elettroni sono in quiete, basterà alolare la forza in S ' e poi passare da S ' a S on un'opportuna trasformazione di oordinate 3

5 spazio-temporali. Il fisio dell'800 onosea solo le trasformazioni galileiane. Dette L' e F ' la densità di aria e la forza misurate in S ', essendo F ' puramente elettria, otteniamo: el (3) F =. πε 0r Consideriamo quindi le definizioni di forza[ ii ] e di densità lineare di aria in iasun sistema di riferimento: dp dp' (4) F =, F ' = dt dt' dq dq' (5) L =, L' = dl dl' oe dp (o dp') esprime la ariazione della quantità di moto dell'elettrone in direzione trasersale rispetto al fasio e dq (o dq') la quantità di aria presente in un tratto di fasio di lunghezza dl (o dl'). Si ha dp = dp' e, in base all'inarianza della aria, dq = dq'. D'altra parte le trasformazioni di Galileo di danno dl = dl ' e dt = dt ', da ui otteniamo sempliemente F = F ' e L = L', ossia: el F =, πε 0r he è hiaramente in ontrasto on la (). Ci troiamo pertanto di fronte al dilemma da ui ha auto origine la teoria della relatiità ristretta: o il prinipio di relatiità non si applia alle leggi dell'elettrodinamia, oppure le trasformazioni di Galileo non sono trasformazioni orrette per il passaggio da S a S'. Siuramente è più utile onserare il prinipio di relatiità e modifiare le trasformazioni sostituendole on altre. Sostituendo le (4) e le (5) nella () si ha: dq e dp dl F = = dt πε0r da ui segue dq e dl dp = πε0r dt Sostituendo le (4) e le (5) nella (3) si ha: dq' dq' e e dp' F = = dl' da ui segue dp' = dl' dt'. dt' πε 0r πε 0r È naturale preserare il prinipio di onserazione della quantità di moto: dp = dp'. Sostituendo le espressioni appena troate, semplifiando e faendo uso del prinipio di onserazione della aria elettria (dq = dq') si ha: (6) dt dt' = dl dl' È questa la ondizione he dee esistere affinhé la () e la (3) oinidano. L equazione (6) ammette dierse soluzioni. [ ii ] La definizione di forza he iene sata è quella legata alla ariazione della quantità di moto (o meglio al teorema dell impulso) seondo la quale una forza produe una ariazione della quantità di moto nel tempo in ui iene appliata: F = dp dt. 4

6 Se poniamo dt = dt (l inarianza della durata temporale di un fenomeno) allora: dl = dl' è una ontrazione delle lunghezze (N.B. dee essere minore di altrimenti le lunghezze potrebbero dientare negatie o nulle). Se poniamo dl = dl (l inarianza delle lunghezze) allora: dt = dt' è una dilatazione dei tempi (gli orologi nei due sistemi di riferimento non segnerebbero la stessa durata per lo stesso fenomeno). Anhe in questo aso dee essere minore di. Per altre ie si arrierà a dire he la soluzione della (6) è data da: dt = dt e dl = dl. Queste equazioni deriano dalle osiddette trasformazioni di Lorentz (edi paragrafo suessio) he sono le trasformazioni utilizzate nella Relatiità Ristretta. Il fatto he la () e la (3) oinidono, onduono all affermazione he: due arihe uguali he si muoono parallelamente on la stessa eloità interagisono on una forza minore di quella on ui interagirebbero se fossero in quiete. Nella fisia lassia iò si spiega introduendo una forza magnetia attrattia he si oppone alla forza elettria repulsia; nella fisia relatiistia tale "indebolimento" è isto ome effetto ombinato della dilatazione dei tempi e della ontrazione delle lunghezze. In altre parole, iò he iene hiamato "magnetismo" non è he un puro fenomeno relatiistio, in quanto la forza he è giudiata "elettria" da un osseratore, può essere giudiata "elettria e magnetia" da un altro osseratore. Che il ampo magnetio non sia altro he un effetto relatiistio può sorprendere hi è abituato a pensare he gli "effetti relatiistii" si manifestino soltanto per eloità prossime a quella della lue. Se è ero he gli elettroni he ostituisono un fasio di raggi atodii possono raggiungere eloità prossime a quella della lue, è anhe ero he in un omune filo perorso da una orrente di pohi ampere la eloità degli elettroni di onduzione è inferiore al mm/s. L'ETERE E L'ESPERIMENTO DI MICHELSON E MORLEY Come è noto, dalle equazioni di Maxwell segue he le onde elettromagnetihe iaggiano nel uoto alla eloità: = [ iii ]. Il problema he si pose subito dopo questa soperta fu proprio quello ε µ 0 0 di stabilire a quale sistema di riferimento doea essere riferita la eloità della lue. È hiaro he, ammessa l'esistenza di un sistema di riferimento S priilegiato in ui la lue iaggia on eloità, e ritenute alide le trasformazioni di Galileo, segue he la eloità di propagazione della lue per un sistema S ' in moto rispetto ad S ha un alore dierso da. Infatti, se S ' è in moto rispetto ad S on eloità, la lue nel sistema S ' ha una eloità ompresa tra e +. Il risultato fondamentale è he la misura della eloità della lue in un sistema di riferimento ollegato on un orpo in moimento, essendo una funzione di, dorebbe mettere in eidenza il [ iii ] Nel 983 il Bureau International des Poids et Mésures ha stabilito he = m/s. 5

7 moto del orpo rispetto alla Terra. In effetti ai tempi della pubbliazione delle equazioni di Maxwell si supponea he la lue si propagasse attraerso un mezzo hiamato etere, in quanto per i fisii del tempo non era pensabile he un'onda potesse propagarsi senza le ibrazioni di un mezzo. Lo stesso Maxwell, ondizionato da questa oninzione, aendo soperto la natura elettromagnetia della lue, pensò he l'etere fosse il mezzo he on le sue ibrazioni trasmettesse nello spazio il ampo elettromagnetio. Periò, ritenuto he esistesse un sistema di riferimento priilegiato S in ui la lue e le onde elettromagnetihe in genere iaggiano on eloità, la osa più naturale era quella di supporre il sistema di riferimento S ollegato on l'etere. Come abbiamo isto, però, le leggi della meania di Newton differisono da quelle dell'elettromagnetismo di Maxwell: mentre le prime sono inarianti per una trasformazione galileiana, le seonde non lo sono. Ciò indusse a ritenere he fosse possibile mettere sperimentalmente in eidenza il moto di un sistema S ', sede di fenomeni elettromagnetii, rispetto al sistema di riferimento S, se ogliamo priilegiato, assoluto, oinidente ioè on l'ipotetio etere. Fu appunto al fine di raggiungere questo sopo he si erò on esperienze di ottia (fenomeno elettromagnetio) eseguite sulla Terra di edere se la eloità della lue rispetto alla Terra fosse la stessa in tutte le direzioni. Valutando infatti la eloità della lue lungo dierse direzioni, si dorebbe, in linea di prinipio, riusire a determinare il moto della Terra rispetto al sistema di riferimento assoluto in ui si assumea he l'etere fosse a riposo. Poihé la Terra ruota intorno al Sole on una eloità media di 30 km/s, ambiando ontinuamente direzione, i saranno ertamente dei periodi dell'anno in ui la Terra ha almeno una eloità di 30 km/s rispetto all'etere. Se l'etere fosse immobile rispetto al Sole la terra arebbe ostantemente la eloità di 30 km/s rispetto all'etere. Ciò premesso, Mihelson dal 88 e insieme a Morley dal 887 erarono di misurare, dall'esame di una figura di interferenza, proprio la eloità della terra rispetto all'etere. Nella figura 3 è rappresentato shematiamente l'interferometro di ui essi si serirono per misurare la eloità della Terra rispetto all'etere. Un raggio luminoso iene emesso dalla sorgente S, giunto allo spehio semi-argentato M in parte iene trasmesso erso lo spehio M he lo riflette erso M he a sua olta lo riflette erso lo shermo, in parte iene riflesso erso lo spehio M he lo riflette erso M he a sua olta lo trasmette allo shermo. I due raggi he giungono sullo shermo hanno perorso i ammini L e L on eloità dierse a ausa del moto della Terra rispetto all'etere impiegando i tempi t e t pure diersi. Essi, sorapponendosi sullo shermo generano una figura di interferenza in ui la posizione delle frange dipende dalla differenza dt = t t dei tempi impiegati a perorre i due tragitti. Se supponiamo he la Terra, e quindi anhe il dispositio interferometrio ad essa ollegato, trasli rispetto all'etere on eloità diretta ome la ongiungente gli spehi MM, la differenza dt dei tempi è funzione di. Ruotando il dispositio di 90, il raggio luminoso he prima perorrea il ammino L nella stessa direzione della eloità della Terra rispetto all'etere perorrerà lo stesso ammino in direzione ortogonale a e, ieersa, il raggio luminoso, he prima si muoea da M a M in direzione ortogonale a, si muoerà perorrendo la stessa distanza nella direzione di. I raggi prima di interferire impiegano ora tempi diersi t ' e t ' per perorrere le stesse distanze L e L ; di onseguenza la differenza di tempo dt ' = t ' t ' he è diersa da dt. Sullo shermo dorebbe quindi osserarsi una nuoa figura di interferenza; ruotando on ontinuità il dispositio si dorebbe edere uno spostamento delle frange di interferenza, in relazione alla eloità della Terra rispetto all'etere. Mihelson e Morley, pur usando un interferometro apae di rileare lo spostamento preisto e pur ripetendo le esperienze durante il giorno e la notte e in tutte le stagione dell'anno, non osserarono aluno spostamento delle frange. La onlusione sperimentale he la eloità della Terra rispetto all'etere è nulla era osì impreista he per oltre inquant'anni si ontinuò a ripetere gli esperimenti on strumenti sempre più preisi senza he il risultato ambiasse. 6

8 Analizziamo ora quantitatiamente, dal punto di ista lassio, l'esperimento di Mihelson e Morley. Il raggio he a da M a M iaggia on eloità L ' = + e quindi il tempo rihiesto è +. Il perorso del raggio di lue da M a M aiene inee L on eloità ' = e quindi in un tempo ne segue he il tempo totale è: L L L L t = + = = + Per il seondo raggio, mentre la lue iaggia da M a t M, M si sposta di un tratto. Appliando il teorema di Pitagora si ha: da ui si riaa t t = L + t L L = = Non è superfluo osserare he nel alalo di t e t abbiamo usato due distinti sistemi di riferimento, uno ollegato on la Terra e l'altro on l'etere. Tale alolo è orretto nell'ambito della fisia lassia in quanto la misura del tempo è indipendente dal sistema di riferimento. La differenza dei tempi impiegati dai due raggi per perorrere le distanze L e L fra gli spehi, prima di sorapporsi sullo shermo, originando una figura d'interferenza è: L L dt =. Fig. 3 - Shema dell'interferometro di Mihelson e Morley. Ruotando l'interferometro di 90, L dienta il ammino perorso dalla lue perpendiolarmente a e L quello perorso nella direzione di he dorebbe produrre un differente alore per dt ausando uno spostamento delle frange di interferenza. Qualunque altra posizione intermedia arebbe prodotto un interallo anora dierso e quindi una figura di interferenza sempre diersa.. Fig. 4 - Mentre la lue si muoe da M a M lo spehio M si sposta. DEDUZIONE DELLE TRASFORMAZIONI DI LORENTZ «È noto he l'elettrodinamia di Maxwell - osì ome essa è omunemente intesa - ondue, nelle sue appliazioni a orpi in moimento, ad asimmetrie he non sembrano onformi ai fenomeni. [...] i tentatii falliti di indiiduare un qualhe moimento della Terra relatiamente al "mezzo luminifero" [etere] suggerisono he i fenomeni elettrodinamii, al pari di quelli meanii, non possiedono proprietà orrispondenti all'idea di quiete assoluta. Essi suggerisono piuttosto he, [...], per tutti i sistemi di oordinate per le quali algono le equazioni della meania arranno anhe le stesse leggi elettrodinamihe e ottihe. Eleeremo questa ongettura (il ontenuto della quale errà detto, in quanto segue, prinipio di relatiità) al rango di postulato; supporremo inoltre - un 7

9 postulato, questo, solo apparentemente inompatibile on il preedente - he la lue, nello spazio uoto, si propaghi sempre on una eloità determinata,, he non dipende dallo stato del moto del orpo he la emette. Questi due postulati bastano per giungere ad una teoria elettrodinamia dei orpi in moimento, semplie e oerente, fondata sulla teoria di Maxwell per i orpi stazionari. L'introduzione di un "etere luminifero" si manifesta superflua, tanto più he la onezione he qui illustreremo non arà bisogno di uno "spazio assolutamente stazionario" orredato di partiolari proprietà, né di un ettore eloità assegnato a un punto dello spazio uoto nel quale abbiano luogo proessi elettromagnetii.» Con queste parole Albert Einstein inizia l'artiolo Zur Elektrodynamik bewegter Körper (L'elettrodinamia dei orpi in moto) pubbliato negli Annalen der Physik nel 905, in ui la teoria della relatiità ristretta (in quanto si riferise ai sistemi inerziali). Da questi primi passi si einono i due postulati he stanno alla base della teoria e he enuniamo ome segue: ) Le leggi della fisia sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziali. ) La eloità della lue nel uoto,, è la stessa in tutti i sistemi di riferimento inerziali. Come si è isto sopra, per trattare anhe i fenomeni elettromagnetii è neessario un nuoo insieme di trasformazioni. Einstein troò he l insieme di trasformazioni proposte da Lorentz per la risoluzione di altri problemi faeano a aso suo. Il punto di partenza per la deduzione delle trasformazioni di Lorentz sono i postulati della Relatiità Ristretta. Fig. 5 Sistemi di riferimento inerziali. Consideriamo due sistemi di riferimento inerziali S, S (edi figura 5); per omodità il moto aiene solo nella direzione x. Nell istante t = 0 le origini dei due sistemi oinidono (O O ) e un raggio di lue iene laniato erso un punto P. Il postulato ) impone he la eloità della lue sia la stessa in entrambi i sistemi, pertanto dopo un tempo t esso si troa in P le ui oordinate spaziali sono (x,y,z) nel sistema S e (x,y,z ) nel sistema S e si ha: x + y + z = t (nel sistema S); x' + y' + z' = t' (nel sistema S ). Le oordinate di P sono dierse nei due sistemi di riferimento e questo impone he anhe i tempi nei due sistemi di riferimento debbano essere diersi. A questo punto è neessario generalizzare le trasformazioni di Galileo. Deidiamo di modifiarle il meno possibile, preserando la linearità ed estendendola anhe alla relazione di passaggio tra t e t (he ome abbiamo già detto dee esistere perhé t e t non possono più oinidere). Poniamo quindi: x' = k( x t ) y' = y z' = z t' = a( t bx ) La selta del moto nella sola direzione x i permette di lasiare inalterati y e z e si ipotizzi per t e t una relazione di passaggio simile a quella tra x e x. k, a, b sono ostanti he si deono determinare. Con le nostre selte si ha: x' y' z' t' + + = k ( x t) y z a ( t bx) + + =, 8

10 siluppando i quadrati e i prodotti di quest ultima e raogliendo i termini simili si ottiene: k a b x k a b tx + y + z = a k t onfrontando on ( ) ( ) ( ) x + y + z = t si ha il sistema: k a b = k a b = 0 k + a = La seonda equazione dà: k = a b. Sostituendo nella terza equazione si ha a b + a =. Semplifiando, e risolendo rispetto ad a, otteniamo a = b. b Sostituendo quindi nella seonda equazione troiamo k = da ui segue k b Nella prima equazione abbiamo allora: b b b b = ( ) ( ) b ( b) b = = b b = b b ( b) e finalmente b =. Di seguito si troa: a = ; l unia soluzione aettabile è quella positia (il tempo dorebbe sorrere nello stesso erso in entrambi i sistemi; questa non è una dimostrazione, ma solo una selta di buon senso). Pertanto si ha a =. a b Infine, k = a b k = = a b = = radie positia (x e x hanno lo stesso segno) si riaa: k =. Molto spesso si usa la notazione (tradizionale) γ =, β =. Si ede subito he β e γ sono adimensionali. La forma delle trasformazioni di Lorentz è quindi: e segliendo anhe per k la. 9

11 o anhe ( ) x' = γ x t y' = y z' = z x t' = γ t oppure x t x' = y' = y z' = z x t t' = ( β ) x' = γ x t y' = y z' = z βx t' = γ t Le trasformazioni di Lorentz inerse sono: x' + t' x = y = y' z = z' x' t' + t = 0

12 CONSEGUENZE DELLE TRASFORMAZIONI DI LORENTZ Simultaneità Consideriamo questi due asi he sono simmetrii rispetto allo sambio delle oordinate spaziotemporali. Caso : O ossera he due eenti aengono nello stesso luogo ma sono separati in tempo: O affermerà allora he i due eenti aengono in due luoghi diersi. Caso : O ossera he due eenti aengono nello stesso istante ma sono separati nello spazio; O affermerà allora he i due eenti aengono in tempi diersi. Il aso è failmente omprensibile sulla base dell'esperienza quotidiana. Se un uomo (O ) su un treno in moimento aende due sigarette, una diei minuti dopo l'altra, allora questi eenti aengono nello stesso luogo nel suo sistema di riferimento (il treno). Un osseratore a terra (O), omunque, asserirebbe he questi stessi eenti aengono in luoghi diersi nel suo sistema di riferimento (la terra). Il aso, sebbene ero, non può essere failmente suffragato dall'esperienza quotidiana. Supponiamo he O, posto al entro di un agone ferroiario in moimento, osseri he due uomini, uno in iasuna estremità del agone, aendono una sigaretta simultaneamente. L'osseratore sulla terra O, edendo passare il agone, asserirebbe (se potesse fare delle misure abbastanza preise) he l'uomo della parte posteriore del agone ha aeso la sua sigaretta un po' prima dell'uomo della parte anteriore. Il fatto he la eloità della lue sia osì grande rispetto alle eloità dei familiari oggetti marosopii rende il aso intuitiamente meno ragioneole del aso, ome ora dimostriamo. a) Nel aso, supponiamo he la separazione in tempo in O sia di 0 minuti; qual è la distanza osserata da O? b) Nel aso, supponiamo he la distanza di separazione in O sia di 5 m, qual è la separazione in tempo osserata da O? Si prenda = 0,0 m/s he orrisponde a 7 km/h, ossia / = 6, a) Dalle trasformate di Lorentz si ha: x ' + t ' x ' + t' x ' x ' ( t ' t' ) x x = = + Essendo x = x e t t = 0 min, si ha ( 0, 0 m /s)( 0 min) x x = = 000 m = km. 8 6, 6 0 ( ) Questo risultato si omprende failmente. Poihé il denominatore è ira uguale a uno, il risultato oinide anhe numeriamente on iò he i si aspetterebbe dalle equazioni di Galileo. b) Sempre dalle trasformate di Lorentz si ha t ' + x ' / t ' + x ' / t ' t ' ( x ' x ' ) / t t = = + essendo t = t e x x = 5 m, si ha 8 ( 5 m)( 0,0 m / s) / ( 3,0 0 m / s) 8 ( 6, 6 0 ) -5 t t = = 5,6 0 s Il risultato non è zero, ome i si aspetterebbe dalla fisia lassia, ma l'interallo di tempo è osì piolo he sarebbe molto diffiile dimostrare sperimentalmente he è realmente dierso da zero. Se onfrontiamo le espressioni preedenti per x x e per t t ediamo he mentre appare a fattore nel seondo termine della prima espressione, nella seonda ompare /. Così il relatiamente alto alore di pone il aso entro i limiti dell'esperienza ordinaria ma pone il aso al di fuori di questi limiti..

13 Contrazione delle lunghezze Consideriamo due aste A e B di uguale lunghezza, fissate la prima a un osseratore O e la seonda a un osseratore O' in moto rettilineo uniforme on eloità rispetto a O. Supponiamo inoltre he la direzione del moto oinida on quella omune degli assi x e x ' e he le aste siano disposte seondo la direzione di questi assi. L'osseratore O' per misurare la lunghezza della propria asta B può riportare sull'asta un regolo di lunghezza nota. Indihiamo la misura on l0 = x ' x ', doe x' e x' sono le asisse degli estremi dell'asta nel sistema di oordinate S ' ollegato on O'. L'osseratore O, inee, per misurare la lunghezza della stessa asta, dato he essa è in moimento, può segnare sull'asse x a un erto istante t, misurato nel proprio sistema di riferimento, le posizioni degli estremi dell'asta. Se le asisse di questi estremi sono x e x, la lunghezza dell'asta, misurata dall'osseratore O, è Dalle trasformazioni di Lorentz segue: l = x x. da ui: ioè x' = x t x' x' = 0 x e x' = x x l = l. t Da questa espressione segue he la lunghezza l dell'asta misurata dall'osseratore O è minore della lunghezza l 0 della stessa asta misurata dall'osseratore O', ioè all'osseratore O l'asta appare ontratta seondo il fattore. Naturalmente anhe qui la ontrazione è signifiatia solo per eloità non trasurabili rispetto alla eloità della lue. Anhe O' misura per l'asta A una lunghezza minore di quella misurata da O. L'asta A, infatti, rispetto a O' si muoe nella direzione degli assi x e x' on eloità. Il ragionamento è analogo al preedente e se on l 0 indihiamo la misura dell asta nel sistema di riferimento in ui essa è in quiete e on l la sua misura in un sistema di riferimento in ui essa è in moto otteniamo sempre lo stesso risultato: l = l0 Questa espressione si potea ottenere dalla preedente appliando il prinipio di relatiità in base al quale, se all'osseratore O l'asta ollegata on O' appare ontratta, la stessa osa aiene per l'osseratore O' nei riguardi dell'asta ollegata on O. Se inee la ontrazione aenisse solo per un osseratore, questi arebbe la possibilità di eidenziare il suo moto rettilineo uniforme rispetto all'altro. La lunghezza l 0 misurata nel sistema di riferimento in ui l asta è in quiete si hiama lunghezza propria. Dilatazione dei tempi Per misurare il tempo onsideriamo un orologio a lue, shematiamente rappresentato in figura 6. Un lampo di lue iene prodotto da S si riflette sullo spehio S e ritorna erso S he lo rilea,

14 quindi, immediatamente parte un altro lampo e osì ia. Il tempo impiegato dal lampo per perorrere la distanza d da S a S e ritornare rappresenta il periodo dt di questo orologio a lue. Consideriamo ora due orologi a lue, uno dei quali è ollegato a un osseratore O, mentre l'altro è fissato a un osseratore O'. Se i due osseratori sono fermi, gli orologi hanno lo stesso periodo e quindi il dt di O oinide ol dt' di O'. Immaginiamo ora (figura 7) he l'osseratore O' si muoa on eloità ostante, insieme al suo orologio, rispetto all'osseratore O. L'osseratore O' non nota nulla di nuoo, nel senso he, osserando il proprio orologio lo ede funzionare regolarmente. L'osseratore O he ossera l'orologio di O' ede inee il lampo di lue proedere obliquamente. Durante il tempo, dt'/, impiegato dalla lue rispetto ad O' per Fig. 6 Orologi a lue. andare da S a S, il lampo di lue perorre, rispetto all'osseratore O, il tratto L, ipotenusa del triangolo rettangolo aente per ateti d e la distanza a perorsa dall'orologio rispetto ad O. Quindi lo spazio perorso dalla lue rispetto ad O è maggiore di quello perorso dallo stesso lampo rispetto ad O'. Poihé la eloità della lue è la stessa per i due osseratori, onludiamo he il tempo dt/ impiegato dalla lue per andare da S ad S e misurato dall'osseratore O è maggiore di quello registrato dall'osseratore O'. Fig. 7 - L'orologio a lue ollegato on l'osseratore O' in moto rettilineo uniforme rispetto ad O ritarda rispetto all'orologio ollegato on l'osseratore O. Troiamo ora la relazione he interorre tra i due interalli di tempo dt e dt '. Dalla figura si ha: L = d + a d'altra parte è anhe: dt L = dt' d = dt a = Sostituendo si riaa: dt = dt' + dt da ui dt' dt = 3

15 L'interallo di tempo dt' misurato dall'osseratore O' nel proprio sistema di riferimento in ui l'orologio è in quiete si hiama tempo proprio (e generalmente iene indiato on dt 0 ). dt0 dt = Per onludere, faiamo presente he i risultati dedotti misurando il tempo on un orologio a lue algono in generale, e tutti gli orologi di O', qualunque sia il prinipio di funzionamento essi ritardano rispetto ad O. In O' qualsiasi fenomeno subise un rallentamento: per esempio, nell'ipotesi di onsiderare dei moti relatii a eloità relatiistihe (onfrontabili on la eloità della lue), l'osseratore O ede O' fumarsi una sigaretta o mangiare più lentamente rispetto a quando O sia fermo rispetto ad O. Più in generale, la sala temporale di O e quella di O' sono dierse se gli osseratori si troano in uno stato di moto relatio. In base a iò, due eenti he sono simultanei in un sistema di riferimento non lo sono in un altro sistema he sia in moto rettilineo uniforme rispetto al primo. Infatti se due orologi sono sinronizzati in un sistema in ui sono fermi, non lo saranno più quando i due sistemi sono in moto relatio. Si osseri ome le due espressioni per la ontrazione delle lunghezze e per la dilatazione dei tempi diano sempliemente l = l 0 e dt = dt 0 per piola rispetto a ; a testimonianza del fatto he le trasformazioni galileiane (e la relatiità galileiana) sono una approssimazione per piole eloità delle trasformazioni di Lorentz (e della relatiità ristretta). Si tenga anhe presente he uno degli oggetti più eloi ostruiti dall uomo è la sonda solare Helios he ha raggiunto la eloità di 700 m/s (/, ). In questo aso si ha: =0, Moto di partielle ad alte energie Fra le partielle della fisia delle alte energie i sono i pioni arihi, partielle di massa ompresa fra quella dell'elettrone e quella del protone e di aria eguale o opposta a quella dell'elettrone. Queste partielle engono prodotte all interno di un aeleratore di partielle, doe un bersaglio iene bombardato da protoni di alta energia. I pioni si muoono on eloità iine a quella della lue. Si è troato he, a riposo, la loro ita media risulta essere, s: ioè metà del numero presente ad un erto istante deade (oero si trasforma in altre partielle di massa minore) dopo, s. Si troa he un fasio ollimato di pioni, he parta dal bersaglio di un aeleratore ad una eloità di 0,99, si ridue alla metà dell'intensità originale a 37 m dal bersaglio. a) Sono onsistenti questi risultati? Se onsideriamo la ita media essere, s e la eloità, m/s (= 0,99), la distanza perorsa nel tempo in ui metà dei pioni dorebbero deadere è d = t = (, m/s)(, s) = 5,6 m. Ciò sembra ontraddire la misura diretta di 37 m. b) Mostrare in he modo la dilatazione dei tempi rende ragione delle misure. Se non esistessero gli effetti relatiistii, la ita media misurata sarebbe la stessa per pioni a riposo e per pioni in moto. Nella relatiità, tuttaia, la ita media propria (misurate ioè nel sistema di riferimento in ui le partielle sono in quiete, in questo aso dt 0 =, s) e non proprie (dt misurate in un sistema di riferimento rispetto al quale sono in moimento) sono legate dalla relazione: dt0 dt =. Nel riferimento del laboratorio i pioni sono in moimento ad alte eloità e ii l'interallo di tempo (non proprio) risulterà essere più grande (gli orologi in moimento sembrano andare più lentamente). La ita media misurata nel riferimento del laboratorio, sarebbe allora 4

16 8, 77 0 s 7 dt = =, 5 0 s ( 0, 99 ) I pioni he iono per questo tempo, iaggiando alla eloità di 0,99, opriranno una distanza d = (0,99)dt = (, m/s)(,5 0-7 s) = 37 m esattamente uguale a quella misurata nel laboratorio. ) Mostrare in he modo la ontrazione delle lunghezze rende ragione delle misure. Nella parte a) abbiamo usato una misura di lunghezza (37 m) data nel riferimento del laboratorio e una misura di tempo (, s) data nel riferimento del pione e le abbiamo ombinate erroneamente. Nella parte b) abbiamo usato le misure di lunghezza (37 m) e di tempo (,3 0-7 s) date nel riferimento del laboratorio. Ora usiamo le misure di lunghezza e di tempo per il riferimento del pione. Conosiamo già la ita media nel riferimento del pione, ioè, il tempo proprio, s. Qual è la distanza perorsa dal fasio di pioni mentre la sua intensità si ridue alla metà del suo alore originario? Se fossimo onnessi ol pione, la distanza di 37 m nel laboratorio i apparirebbe molto più orta poihé il laboratorio si muoe on una eloità 0,99 rispetto a noi (al pione). In effetti, misureremmo la distanza d ' = d = (37 m ) ( 0, 99 ) = 5, m all inira la distanza perorsa dal pione del suo sistema di riferimento. Così, a seonda di quale riferimento segliamo per fari le misure, questo esempio illustra la realtà fisia sia della dilatazione dei tempi he della ontrazione delle lunghezze predette dalla teoria della relatiità. Ogni pione trasporta il proprio orologio, he determina il tempo proprio τ di deadimento, ma il tempo di deadimento osserato da un osseratore nel laboratorio è molto più grande. Cioè, in altre parole, il pione in moimento ede le distanze nel laboratorio ontratte e nel suo tempo proprio di deadimento può oprire nel laboratorio distanze più grandi di quelle misurate nel suo riferimento proprio. Si noti he in questa regione di gli effetti relatiistii sono grandi. Non si può aere nel nostro esempio, alun dubbio sul fatto he la distanza sia 37 m o 5,3 m. Se il tempo proprio aesse signifiato anhe nel riferimento del laboratorio, il tempo neessario per perorrere i 37 m orrisponderebbe a più di sette ite medie. Il fasio inee di ridursi a metà della sua intensità iniziale, si ridurrebbe a (/) 7 della sua intensità iniziale. Differenze di questo ordine sono failmente rileabili. Questo esempio non è assolutamente un risultato isolato. Tutte le misure inematihe (e dinamihe) della fisia delle alte energie sono onsistenti on i risultati della dilatazione dei tempi e della ontrazione delle lunghezze. Gli esperimenti e gli aeleratori stessi sono progettati in modo da tenere onto degli effetti relatiistii. La relatiità è di uso quotidiano nella fisia e nell'ingegneria delle alte eloità. Composizione delle eloità Consideriamo ome al solito un osseratore O' ollegato a un sistema di oordinate S ' in moto rettilineo uniforme lungo l'asse x (oinidente on x') del sistema S ollegato on l'osseratore O. La eloità di O' rispetto a O sia. Sia quindi A un oggetto in moto rispetto ad entrambi gli osseratori (per sempliità di alolo onsideriamo A in moto lungo l asse x). Dette u e u' le eloità di A rispetto ad O e ad O, la fisia lassia i die he queste sono legate dalla relazione: u = u' ± il segno + se u' ha lo stesso erso di e il segno se u' ha erso opposto rispetto a. Supponiamo ad esempio he una nae spaziale in moto on eloità = km/s rispetto ad una stazione spaziale emetta un onda elettromagnetia daanti a sé; in questo aso u' = = km/s. L onda elettromagnetia rispetto alla stazione spaziale ha eloità u = km/s. 5

17 Il alore troato, essendo superiore a, è in ontrasto on il seondo postulato della relatiità ristretta. D'altra parte si ede immediatamente he tutte le formule della relatiità perdono signifiato quando > in quanto la quantità non risulta più un numero reale. Conludiamo periò he la legge di omposizione delle eloità non può essere quella data qui sopra. Ciò d'altra parte è oio in quanto questa relazione è stata riaata dalle trasformazioni galileiane, he sono state sostituite on quelle di Lorentz. Se ogliamo troare la orretta legge di omposizione delle eloità dobbiamo partire dalle trasformazioni di Lorentz. Riordiamo he la eloità è un rapporto tra spazio e tempo e he lo spazio e il tempo sono susettibili di misure dierse da parte di iasuno dei due osseratori. Se il moto di A è rettilineo uniforme (la ondizione è posta solo per sempliità di alolo) si ha: x x' u = e u' = t t' Doe x è lo spazio perorso da A nell interallo di tempo t misurati da O, mentre x e t sono misurati da O. Utilizzando le trasformazioni di Lorentz si ottiene: x u t x t u x' = = t e t' = = t. Faendo il rapporto membro a membro si ha: u t x' u u' = = = t' u u t ioè u u' = u he sostituise la formula lassia di omposizione delle eloità. Risolendo l equazione delle eloità rispetto a u, si ha l equazione inersa u' + u = u' + Dalle equazioni preedenti si ede he nel aso delle omuni eloità, ii omprese quelle delle moderne nai spaziali (dell'ordine di 0,00005), il prodotto u è trasurabile rispetto a, quindi il denominatore si può approssimare on e la formula si ridue a quella lassia. Rionsideriamo quindi l esempio dell astronae, essendo u = si ha: + u = = + e quindi anhe O misura una eloità. Allo stesso modo se il segnale elettromagnetio fosse iniato dalla stazione spaziale erso l astronae, sarebbe u = e si riaa u =. Nel aso il moto non aenisse lungo l asse x, le eloità u e u arebbero delle omponenti anhe lungo gli assi y e z. Si riaano le equazioni: 6

18 u ' u y u ' z ' x ux = u x uy = u x uz = u L interallo inariante Da quanto si è detto finora, sembra he tutto sia relatio. Nel mondo ariabile dello spazio-tempo esiste qualosa he rimanga ostante? Esiste qualosa su ui possano onordare tutti gli osseratori, indipendentemente dal loro stato di moto? Nel ampo della fisia, si erano sempre alune ostanti aratteristihe del moto. Ci si hiede quindi se esista una ostante del moto nello spazio-tempo. La risposta è affermatia. Il alore ostante su ui onordano tutti gli osseratori, indipendentemente dal loro stato di moto, è detto interallo inariante. Come abbiamo isto più sopra, dalle trasformazioni di Lorentz è possibile riaare: x t t x( ) x' = e t' = Siluppiamo il seguente alolo: ( ) t x x t ( t' ) ( x' ) = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t + x t x x + t x t = = = ( ) ( ) ( ) t + x t x ( t) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) = = t = ( x) ( ) ( ) ( ) x t + x t = x ( ) ( ) t x = Si ottiene l uguaglianza: ( t' ) ( x' ) ( t) ( x) dei due termini è una ostante; poniamo = he può essere era solo se ognuno ( s) ( t) ( x) =. Se inludiamo anhe le altre due dimensioni spaziali otteniamo: 7

19 ( s) = ( t ) ( x) ( y) ( z) L'espressione a destra dell'uguale assomiglia molto alla formula della distanza sul piano eulideo se non fosse per la ostate e i segni meno. Possiamo quindi dire he s esprime la distanza fra i due eenti nello spazio-tempo quadridimensionale e, periò, he è una metria pseudo-eulidea: è la osiddetta metria di Minkowski dello spazio-tempo quadridimensionale. La metria di Minkowski permette di definire una distanza fra due eenti spazio-temporali in modo del tutto naturale. Faiamo un esempio: se P(0,3,,) e Q(4,,5,3) sono due eenti, allora la distanza fra P e Q (al quadrato) è: ( s) = (-3) -(0-4) -(3-) -(-5) = e. La metria di Minkowski ha la proprietà per ui la distanza fra due eenti è nulla se i due eenti sono "ollegati" da un raggio di lue; infatti se ( s) = 0, allora si ha (utilizziamo la relazione on una dimensione spaziale per sempliità): ( ) ( ) 0 = t x ( x) = ( t) x = t ioè lo spostamento aiene alla eloità della lue e quindi i orpi he si muoono alla eloità della lue seguono le linee dello spazio-tempo per ui ( s) = 0. L espressione per l interallo inariante può essere sritta anhe nella forma: ( ) 4 s = g x x i, j= ij i j doe si è posto: x = t; x = x; x 3 = y; x 4 = z; le ostanti g ij, sono gli elementi della matrie quadrata 4x4: g ij = CENNI DI DINAMICA RELATIVISTICA Prinipio di onserazione della quantità di moto e massa relatiistia Siano O e O due osseratori e sia A un orpo di massa m 0 (misurata nel sistema O rispetto al quale è in quiete). Come al solito sia O in moto rispetto ad O (in modo he i due assi x di O e x di O oinidano) on eloità. Come in meania lassia definiamo la quantità di moto di A misurata da O: p = m e onsideriamo alido il prinipio della onserazione della quantità di moto. Si dimostra he la massa m, misurata da O, non oinide on la massa m 0 misurata da O. Vale la relazione: m = m 0. 8

20 La prima di numerose esperienze per erifiare la ariazione della massa al ariare della eloità fu eseguita nel 909 da A. H. Buherer. Elettroni, dapprima aelerati da una grande differenza di potenziale fino a raggiungere alte eloità, eniano immessi in un selettore di eloità[ i ] in modo he, ariando l'intensità del ampo elettrio e l'induzione del ampo magnetio del selettore di eloità, si poteano ottenere elettroni di eloità desiderata. Questi elettroni eniano poi iniati attraerso un ampo magnetio uniforme di induzione B in ui eniano deiati su una traiettoria irolare. Uguagliando la forza entripeta alla forza magnetia, si ottiene: m = qbr Fig. 8 - Selettore di eloità Ma la massa he ompare in questa equazione è una massa relatiistia per ui l'equazione preedente dienta m0 = qbr In effetti l esperimento di Buherer misurò il rapporto tra la aria e la massa dell elettrone q (dall equazione preedente si riaa: = ). B, r e poteano essere misurati m 0 Br direttamente e l esperimento onfermò la ariazione di massa al ariare della eloità. Dal 909 in poi, l esperimento è stato eseguito migliaia di olte onfermando sempre la ariazione di massa al ariare della eloità. Tale ariazione pone in rilieo il signifiato del onetto di massa inerziale ome misura della resistenza he la materia oppone al moto. Come si può edere nel aso di questa massa relatiistia, a eloità sempre più alte aumenta sempre più la resistenza al moto e questo aumento si manifesta ome aumento della massa del orpo. La massa di quiete m 0 dorebbe essere hiamata probabilmente «quantità di materia» di un orpo poihé è eramente una misura di quanta materia è presente nel orpo, mentre la massa relatiistia è la misura della resistenza opposta da quella quantità di materia al tentatio di porla in moto. Con questa nuoa definizione della massa relatiistia, si può ora definire la quantità di moto relatiistia ome m0 p = m =. Definendo la quantità di moto in base a quest ultima equazione allora resta alido il prinipio di onserazione della quantità di moto. Nella meania relatiistia restano alide anhe le leggi della dinamia di Newton, a patto di definire la forza ome la ariazione della quantità di moto nel tempo[ ], ioè: [ i ] Si riorda he un selettore di eloità è un dispositio in ui un ampo elettrio e un ampo magnetio perpendiolari possono essere ariati a piaimento. Se delle partielle arihe entrano nel dispositio, solo quelle he hanno eloità = E/B esono perpendiolari al piano indiiduato dai ettori E e B (edi fig. 8) [ ] In effetti la definizione originale del seondo prinipio è data in questi termini. 9

21 dp d( m ) d m0 F = = = dt dt dt Moto rettilineo douto ad una forza ostante Come appliazione dell espressione della forza, analizziamo il moto rettilineo sotto l azione di una forza ostante. Nella meania lassia, utilizzando il seondo prinipio della dinamia e tenendo onto della definizione della quantità di moto, si può sriere: dp F =. dt È altresì noto he se la forza F è ostante nel tempo e all istante t = 0, x = 0 e = 0, allora il moto è uniformemente aelerato e l aelerazione a, la eloità e la posizione x sono date da: F a = ; = at ; x = at. m Tali espressioni possono essere riaate riordando he: dp d d F = = ( m) = m dt dt dt da ui segue he d = a dt integrando e riordando he per t = 0, = 0 si riaa: = at. Ma dx = dt = a t dt dx =, quindi: dt integrando anora e riordando he per t = 0, x = 0, si ha: x = at. dp d m0 Nel aso relatiistio F = =. Proedendo ome sopra, oero integrando questa dt dt espressione tenendo onto he F è ostante e he per t = 0, = 0, si ha: t t d m0 m0 Fdt = dt = d 0 0 dt 0 da ui segue m0 = Ft. Risolendo rispetto alla eloità si ha: 0

22 = F t m 0 F + t m0. Si può edere he per t +, e p +. Per troare lo spostamento della partiella integriamo di nuoo partendo dall espres-sione: dx = dt F t m 0 F + t m0 e riordando le ondizioni iniziali (per t = 0, x = 0); si ha: F t t dx x t m0 dt = dx = dt 0 dt 0 0 F + t m0 oero m0 F x = + t F m0 m0 Si dimostra he la ura ha un asintoto obliquo di equazione x = t (edi figura 9). F Fig. 9 - (a) andamento della eloità in funzione del tempo; (b) andamento dello spazio in funzione del tempo (il tratteggio rappresenta l andamento lassio).

23 Prinipio di onserazione della massa-energia Una onseguenza molto importante della ariazione della massa al ariare della eloità si può ottenere sriendone l espressione nella forma m 0 m = = m 0 Se è molto piola rispetto a ( << ) si può effettuare l approssimazione[ i ] + Per la sonda Helios di ui si è detto più sopra si arebbe una differenza tra il alore orretto e quello approssimato pari a, 0-5. L espressione della massa può essere approssimata: m = m0 + Siluppando i aloli si ottiene: m = m0 + m0 l ultimo termine a destra è l energia inetia (K) di un orpo he si muoe a bassa eloità. Generalizzando si può sriere: K = m m0. Il termine m è detto energia relatiistia totale E, mentre E 0 = m 0, essendo l energia posseduta da un orpo quando è fermo (K = 0) è detta energia a riposo. L equazione E = K + E 0 Questo legame tra massa e energia permette di enuniare il prinipio di onserazione della massaenergia: la massa può enire reata o distrutta, purhé sompaia o appaia una quantità di energia pari alla massa per la eloità della lue al quadrato. Nella relatiità e nella fisia atomia e nuleare si usa esprimere l energia in elettronolt (ev)[ ii ]. Per definizione ev è l energia inetia aquistata da un elettrone aelerato dal potenziale di V; si ha quindi: ev = (, C) ( V) =, J. Sono molto usati i multipli kev (leggi he = 0 3 ev), MeV (leggi me = 0 6 ev), GeV (leggi ge = 0 9 ev) e TeV (leggi te = 0 ev). Riordando la definizione di unità di massa atomia, si ha: 7 u = m =, kg C he, per la relazione massa-energia, orrisponde a 93,493 MeV. La tabella della pagina seguente riporta le masse a riposo di alune tra le più note partielle espresse in unità di massa atomia e in elettronolt. n n n n n n + x = x = + nx nx + x. Se x è molto minore k = 0 k [ i ] In base allo siluppo del binomio di Newton si ha: ( ) di, ioè x<<, allora si può approssimare ( x) n + + nx. [ ii ] Non è una unità del Sistema Internazionale, ma è ammessa a tempo indeterminato essendo molto usata nella omunità sientifia.

24 partiella massa a riposo massa a riposo (unità di massa atomia) (MeV) protone, ,56 neutrone, ,550 elettrone 0, ,55006 Dalla definizione della quantità di moto e dal prinipio di onserazione della massa-energia si riaa la relazione: E = p + m [ iii ]. 0 Da questa segue he una partiella he ha massa a riposo nulla (m 0 = 0) si può muoere solo alla p eloità della lue in quanto E = p e quindi = =, ioè non può mai essere in quiete in E nessun sistema inerziale. Vieersa se una partiella si muoe alla eloità della lue allora da p = segue he E = p he onfrontata on E = p + m0 ondue a m 0 = 0, oero ha E massa a riposo nulla. [ iii p ] Basta sriere = dall espressione della quantità di moto he, riordando la relazione m p m0 nella forma = ; quest ultima si sostituise a nella relazione p =. E E = m, si può sriere 3

25 ELEMENTI DI RELATIVITÀ GENERALE Nella teoria della relatiità ristretta abbiamo isto he le leggi della fisia sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziali, per ui questi sistemi di riferimento sono in un erto senso priilegiati. Un prinipio per il quale le leggi della fisia sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento non può però preedere sistemi di riferimento priilegiati. È quindi neessario far edere he tutti i moti aelerati sono relatii. Consideriamo il aso di una massa m sul paimento di un razzo he è in quiete in un ampo graitazionale uniforme sulla superfiie terrestre. La forza agente sulla massa è il suo peso P, dato da F = P = mg Consideriamo il aso dello stesso razzo nello spazio interstellare a grande distanza da tutti i ampi graitazionali. Si supponga he il razzo stia aelerando on aelerazione a, numeriamente uguale all'aelerazione di graità g, ioè, a = g = 9,80 m/s. La massa m appoggiata sul paimento del razzo è soggetta ora alla forza, data dalla seonda legge di Newton, F = ma = mg = P La massa m appoggiata sul paimento del razzo aelerato è soggetta alla stessa forza a ui è soggetta la massa m appoggiata sul paimento del razzo quando esso è in quiete nel ampo graitazionale della Terra. Ciò dimostra he esiste una relazione tra aelerazione e graitazione. Immaginiamo ora he un osseratore, nel razzo in quiete, tenga un oggetto daanti a sé e poi lo abbandoni a sé stesso. L oggetto ade erso il paimento e, se lo sperimentatore misurasse la sua aelerazione, troerebbe he essa è l'aelerazione di graità g = 9,80 m/s. Ora supponiamo he l'osseratore tenga lo stesso oggetto nel razzo aelerato e di nuoo lo abbandoni a sé stesso. Un osseratore inerziale, all'esterno del razzo, edrebbe l oggetto rimanere in una erta posizione e il paimento del razzo aelerare erso l oggetto on aelerazione a = g. L'astronauta nel razzo aelerato ede l oggetto adere erso il paimento on aelerazione di 9,80 m/s, ome ha osserato l'astronauta in quiete sulla Terra. Fig. 0 - Se l'aelerazione he il razzo imprime al laboratorio è uguale a g, l osseratore non è in grado di distinguere se l'aelerazione da lui misurata è douta alla graità oppure alla presenza del razzo Consideriamo quest altra situazione: l'astronauta nel razzo in quiete sulla Terra lania un oggetto attraerso la abina e ossera he questo segue la familiare traiettoria parabolia. Analogamente, l'astronauta nel razzo aelerato lania l oggetto attraerso la abina. Un osseratore inerziale esterno lo edrebbe muoersi attraerso la abina seguendo una traiettoria rettilinea e edrebbe il paimento aelerare erso l oggetto; l'astronauta aelerato edrebbe l oggetto desriere la traiettoria parabolia he ha seguito sulla Terra. Nel razzo aelerato si ottengono quindi gli stessi risultati he si ottengono nel razzo in quiete nel ampo graitazionale della Terra. Gli effetti del ampo graitazionale si possono quindi reare oppure eliminare on una selta appropriata dei sistemi di riferimento. Le preedenti onsiderazioni sperimentali indiano he il sistema di riferimento aelerato equiale a un sistema di riferimento inerziale in ui è presente il ampo graitazionale. Einstein troò un metodo per rendere relatie le aelerazioni ed enuniò i suoi risultati in quello he hiamò prinipio di equialenza[ ix ]: su sala loale gli effetti fisii di un ampo graitazionale sono indistinguibili dagli effetti fisii di un sistema di riferimento aelerato. [ ix ] Designando ome sistema K il sistema di riferimento inerziale ontenente il ampo graitazionale e ome sistema K' il sistema di riferimento aelerato, Einstein disse: «... nell'ipotesi he i sistemi K e K' siano esattamente equialenti 4

26 L'equialenza del ampo graitazionale e delle aelerazioni spiega anhe l'osserazione he tutti i orpi, indipendentemente dalle loro dimensioni, adono on la stessa aelerazione in un ampo graitazionale. Quindi, se m G è la massa soggetta forza graitazionale (massa graitazionale) F = P = m G g e, se m I è la massa inerziale he si oppone al moto del razzo F = m I a = m I g, poihé si è già isto he le due forze sono uguali per il prinipio di equialenza, ne onsegue he m G = m I. Il prinipio di equialenza implia quindi l'uguaglianza della massa inerziale e della massa graitazionale.[ x ] Come ultimo esempio dell'equialenza di un ampo graitazionale e di un'aelerazione, onsideriamo un osseratore in una stanza hiusa, ome una stazione spaziale non rotante nello spazio interstellare, a grande distanza da tutta la materia graitante. Questa stazione spaziale è eramente un sistema di riferimento inerziale. Immaginiamo he l'osseratore ponga un libro daanti a sé e poi l'abbandoni a sé stesso. Poihé non sono presenti forze, neppure la forza graitazionale, il libro rimane in sospensione nello spazio, in quiete, esattamente doe l'osseratore l'ha posto. Se poi l'osseratore laniasse il libro attraerso la stanza, egli lo edrebbe muoersi in linea retta a eloità ostante. Consideriamo ora la abina di un asensore sulla Terra e immaginiamo he i ai di sostegno si rompano e la abina preipiti in aduta libera. Un osseratore all'interno della abina pone un libro daanti a sé e poi l'abbandona a sé stesso. All'osseratore in aduta libera il libro appare in quiete esattamente doe egli l'ha posto (oiamente, un osseratore all'esterno della abina edrebbe sia l'uomo sia il libro in aduta libera, ma senza moto relatio l'uno rispetto all'altro). Se l'osseratore in aduta libera prende il libro e lo lania attraerso la abina dell'asensore, egli ossera he si muoe in linea retta a eloità ostante. Poihé un sistema inerziale è definito, dalla prima legge di Newton, ome un sistema di riferimento in ui un orpo in quiete rimane in quiete e un orpo in moto a eloità (ettoriale) ostante ontinua a muoersi a quella stessa eloità ostante, si dee onludere he il sistema di riferimento in aduta libera si omporta esattamente ome un sistema di riferimento inerziale per hiunque sia al suo interno. Periò, imprimendo al sistema di riferimento un'aelerazione uguale all'aelerazione di graità, si è trasformata l'aelerazione di graità, sopprimendola. Se la abina dell'asensore fosse ompletamente hiusa, l'osseratore non sarebbe in grado di stabilire se sia in una abina in aduta libera oppure in una stazione spaziale nello spazio interstellare. Fig. - Asensore in aduta libera nel ampo graitazionale terrestre. sotto il profilo fisio, e ioè he anhe il sistema K possa essere onsiderato ome un sistema situato in uno spazio prio di ampo graitazionale; per questo doremo tuttaia onsiderare K uniformemente aelerato. In questa impostazione, parlare di aelerazione assoluta del sistema di riferimento non è meno improprio di quanto non sia, seondo l'usuale teoria della relatiità, il parlare della eloità assoluta di un sistema.... Finhé i limitiamo a proessi puramente meanii nell'ambito di alidità della meania newtoniana, siamo siuri dell'equialenza dei sistemi K e K'. Tuttaia la nostra formulazione aquista un signifiato profondo solo quando i sistemi K e K' sono equialenti rispetto a tutti i proessi fisii, ioè quando le leggi di natura in K e in K' siano esattamente le stesse.» da Albert Einstein, L effetto della graitazione sulla propagazione della lue. (originale in Annalen del Physik XXXV (9) pp ). Traduzione italiana di Giuseppe Longo in Albert Einstein Opere selte, a ura di Enrio Bellone. Bollati Boringhieri, Torino 988 pp. -3 [ x ] Questa uguaglianza è stata oggetto di molte erifihe sperimentali a partire da Newton he troò l uguaglianza entro un errore di una parte su mille. Storihe sono state le misure he il fisio ungherese Roland Eötös (848-99) effettuò dal 885 al 90 on una bilania graitazionale; egli riusì a stabile l uguaglianza on un errore di una parte su dueento milioni influenzando noteolmente il laoro di Einstein. Le migliori misure attuali danno l uguaglianza on un inertezza di 3x0-4 (Adelberger, et al. 008). 5

27 Il prinipio di equialenza permette di onsiderare un sistema di riferimento aelerato ome equialente a un sistema di riferimento inerziale in ui sia assente un ampo graitazionale. Einstein, ponendo sullo stesso piano tutti i sistemi di riferimento, riusì a formulare il postulato della teoria della relatiità generale: le leggi della fisia sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento. Un'analisi ompleta della teoria della relatiità generale rihiede una brana della matematia di liello molto aanzato, detta analisi tensoriale[ xi ]; nonostante iò molti dei risultati della teoria della relatiità generale si possono però spiegare per mezzo del prinipio di equialenza. Einstein apì he la sua teoria della relatiità generale era una teoria della graitazione: «Si ede da queste onsiderazioni he nell'istituire la teoria della relatiità generale saremo ondotti a una teoria della graitazione, in quanto siamo apai di "produrre" un ampo graitazionale sempliemente ambiando il sistema delle oordinate. Si ede altresì he il prinipio della ostanza della eloità della lue nel uoto dee enire modifiato.>>[ xii ] Consideriamo ora un raggio luminoso he entra attraerso una finestra nella abina di un asensore in quiete. Il raggio luminoso segue una traiettoria rettilinea andando a inidere sulla parete opposta della abina, nel punto P. Fig. - Cabina dell asensore in quiete Fig. 3 - Cabina dell asensore aelerata erso l alto Fig. 4 - Cammino luminoso osserato dalla abina Ripetiamo l esperimento on la abina dell asensore he aelera erso l alto. Il raggio luminoso entra dalla finestra ome prima ma, prima he possa attraersare la abina, questa si è spostata erso l alto a ausa dell aelerazione. Il raggio luminoso olpirà la parete in un punto Q, più in basso di P. Per un osseratore nella abina il raggio desrie una traiettoria parabolia e quindi può asserire he nel suo sistema di riferimento la lue non si propaga in linea retta, ma desrie una traiettoria ura. Per il prinipio di equialenza la abina aelerata equiale ad un ampo graitazionale, si dee quindi onludere he in un ampo graitazionale la lue deia rispetto al perorso rettilineo. Einstein omprese he la teoria della relatiità generale oltre ad essere una teoria della graitazione era anhe una teoria he oinolgea la geometria dello spazio-tempo. Per il prinipio di equialenza un punto materiale in moto sotto l'effetto del ampo graitazionale dee aere una linea di unierso ura nello spazio-tempo, quindi, la massa he genera il ampo graitazionale dee deformare lo spazio-tempo in modo da inurare le linee di unierso dello spazio-tempo. Si suol dire he: la materia die allo spazio-tempo ome urarsi lo spazio-tempo die alla materia ome muoersi. [ xi ] Questo tipo di matematia era stato siluppato erso la fine del 800, a Padoa, dai matematii Gregorio Rii- Curbastro e dal suo allieo Tullio Lei-Ciita. [ xii ] Albert Einstein, I fondamenti della Teoria della Relatiità Generale. Annalen del Physik XLIX (96) pp Traduzione italiana di Aldo M. Fratelli in Albert Einstein Opere selte, a ura di Enrio Bellone. Bollati Boringhieri, Torino 988 p

28 Fig. 5 - Moto di una massa m in uno spazio-tempo piatto (prio do masse) Fig. 6 - Moto di una massa m in uno spazio-tempo uro (è presente una massa M) Un esempio familiare della isualizzazione dello spazio-tempo uro è l'analogia on il trampolino elastio. Consideriamo un trampolino elastio piatto sul quale sia disegnato un retiolo rettangolare. Per la prima legge di Newton, una partiella libera, ostituita da sferetta rotolante m, si muoe in linea retta. Sul trampolino iene poi posta una boia di massa M, la quale deforma il trampolino. Quando la sferetta m iene fatta rotolare di nuoo sul trampolino, essa non si muoe più su una traiettoria rettilinea, ma su una traiettoria ura attorno alla boia M. Periò, la graitazione non è onsiderata più una forza nel senso newtoniano, ma è una onseguenza della uratura dello spazio-tempo ausata dalla massa. L'entità della uratura è una funzione della massa. Un altro esempio molto signifiatio: immaginiamo due esseri bidimensionali he iono sulla superfiie di una sfera (per esempio la nostra Terra). Se i due esseri partono dai punti A e B, di distanza nota, posti all'equatore e si dirigono erso il polo nord terrestre lungo due direzioni, he essi Fig. 7 - Due esseri bidimensionali partono dall'equatore e si dirigono erso il polo nord seondo perorsi perpendiolari all equatore. Quando si aorgono he la distanza he li separa diminuise onludono he una forza li attrae l'uno erso l'altro; non i è aluna forza: i due esseri si stanno utilizzando la geometria eulidea in uno spazio he non è eulideo. hiamano rette, perpendiolari all'equatore (essendo esseri bidimensionali non possono sapere nulla della uratura terrestre), in irtù del quinto postulato di Eulide, non dorebbero inontrarsi mai. Dopo aer perorso un determinato tratto si aorgono però he la loro distanza è diminuita; i due esseri, sulla base dei dati sperimentali in loro possesso, onludono he esiste una forza he li attira l'uno erso l'altro. In effetti non esiste aluna forza; i nostri amii hanno solamente usato una geometria sbagliata: la geometria eulidea desriere i moti sul piano e non sulla superfiie di una sfera. La teoria della relatiità generale può essere sintetizzata in una equazione, detta equazione di ampo, la ui forma è: Rij gijr = χ Tij. 7

29 In effetti questa non è una sola equazione, ma un sistema di 6 equazioni differenziali la ui soluzione analitia esiste solo in aluni asi partiolari (gli indii i e j ariano da a 4). Il primo membro riporta dei tensori di natura geometria: due tensori di Riemann (indiati on la lettera R) he i fornisono informazioni sulla uratura dello spazio, e il tensore metrio (indiato on la lettera g) he i fornise informazioni sulla forma del tessuto spazio-temporale[ xiii ]. Al seondo membro abbiamo inee una ostante,, e un tensore di natura fisia, il tensore energetio, he i fornise informazioni sulla distribuzione, nello spazio, della massa e dell energia. Quindi la formula non esprime altro he il onetto: Geometria = Fisia. Attualmente sono molte le onferme sperimentali della teoria della relatiità generale. Storiamente riordiamo le seguenti.. La deflessione della lue in un ampo graitazionale.. La preessione del perielio del pianeta Merurio. 3. Lo spostamento erso il rosso (red shift) delle righe spettrali. 4. L'esperienza di Shapiro, he dimostra la diminuzione della eloità della lue in prossimità di una grande massa. DEFLESSIONE DELLA LUCE IN UN CAMPO GRAVITAZIONALE Già si è disusso questo onetto. Un altro modo di onsiderare la deflessione della lue è quello di dire he la lue ha energia, quindi, dall equialenza tra massa ed energia (E = m ) è ragioneole attendersi he in presenza di un ampo graitazionale la radiazione luminosa senta la presenza del ampo e enga deflessa. Data la grande eloità di propagazione della lue l'interazione di questa on il ampo generato da una massa (per esempio ome il Sole) arà una durata molto bree e quindi l'effetto sarà di piolissima entità (edi box a pagina 30). La misura della deflessione dei raggi luminosi nel passaggio in prossimità della massa del Sole è stata effettuata, per la prima olta, osserando lo spostamento nella posizione apparente di alune stelle durante un'elissi di Fig. 8 - La deflessione della lue sulla posizione apparente dei orpi elesti Fig. 9 - Deflessione della lue sole. Il 9 maggio 99 si erifiò un elisse totale di Sole in ondizioni faoreoli (oltre al fatto he era finita la prima guerra mondiale e quindi era più faile iaggiare, il Sole si sarebbe troato daanti all ammasso di stelle abbastanza luminoso delle Iadi, nella ostellazione del Toro). Furono organizzate due spedizioni: una guidata da sir Artur Stanley Eddington si diresse alle isole São [ xiii ] Abbiamo già isto il tensore g quando, in relatiità ristretta, abbiamo parlato dell interallo inariante; in questo aso però gli elementi della matrie sono molto più omplessi. 8

30 Tomé e Prinipe (in Afria, nel Golfo di Guinea, daanti al Gabon) doe ennero riprese parehie immagini del bordo del sole. Le attie ondizioni meteorologihe non permisero di ottenere una eleata qualità delle immagini (solo due delle sedii sattate, furono utilizzabili), ma nonostante iò Eddington onluse he le misure fatte erano on aordo on la teoria di Einstein[ xi ]. La seonda missione enne iniata a Sorbal in Brasile doe le ondizioni meteo furono più faoreoli, ma il risultato ugualmente disutibile. Altre misure furono fatte in seguito, in oasione di altre elissi, onfermando le preisioni della teoria di Einstein. Poihé in presenza di una massa la geometria he desrie lo spazio-tempo non è una geometria eulidea, la linea più bree tra due punti (detta geodetia), non è una retta, ma una linea ura. La lue segue omunque la linea più bree tra due punti. Fig. 0 Una delle immagini da ui Eddington riaò il alore della deflessione della lue a ausa della massa del Sole Fig. - Prinipio di lente graitazionale Fig. - L ammasso di galassie Abell 8 ripreso dal Telesopio Spaziale Hubble. Gli arhi isibili nell immagine sono douti alla deflessione da parte dell ammasso della lue proeniente da al tre galassie poste a maggior distanza Riordiamo anhe la lue si muoe lungo le linee dello spazio-tempo in ui è s = 0. Il fenomeno della deflessione della lue in prossimità di una massa oggi è molto utilizzato in astrofisia e iene denominato effetto di lente graitazionale (edi fig. ): la lue proeniente da oggetti lontani (quasars o galassie) quando passa in prossimità di ammassi di galassie o singole galassie poste tra noi e l oggetto, iene deflessa seondo le leggi della relatiità generale. Un altro ampo di appliazione, ideato erso la fine del XX seolo, ha permesso di siluppare una tenia per la riera di pianeti extrasolari. Se una stella iina attraersa la ongiungente Terra-stella lontana, si erifia una intensifiazione della lue proeniente Fig. 3 - Effetto di miro-lensing per la riera di pianeti extraterrestri [ xi ] Questo risultato è dubbio anora oggi, in quanto, seondo molti, l errore nelle misure sulle lastre fotografihe era tale da infiiare il risultato. 9

31 dalla stella lontana a ausa dell effetto lente graitazionale. Se la stella iina ha un pianeta e anhe questo passa sulla ongiungente Terra-stella lontana, si ha un altra intensifiazione della lue della stella lontana, meno intensa, ma omunque misurabile (fenomeno di miro-lensing). Deiazione della lue in un ampo graitazionale: un modello newtoniano [ x ]. Consideriamo un fotone he si muoe in un ampo graitazionale. La risoluzione esatta del problema e la dà la relatiità generale, ma utilizzando le leggi di Newton possiamo arriare ad una soluzione orretta almeno per l ordine di grandezza. Supponiamo he il fotone abbia una massa m (nel alolo il alore di m non ha importanza in quanto iene eliminato nelle semplifiazioni). Supponiamo he il raggio di lue passi aanto alla stella alla distanza minima r 0, misurata dal entro e he la deiazione sia molto piola osì he r 0 sia ira lo stesso he si arebbe se il fasio di lue non fosse deiato. La omponente trasersale F x della forza he agise sul fotone nel punto (r 0, y) è: r0 [] Fx = GMm 3 r + y ( 0 ) doe y è misurata ome nella figura. Per il teorema dell impulso, il alore finale della omponente trasersale x della eloità del fotone si ottiene dalla: = [] mx Fx dt Tenendo onto delle approssimazioni fatte, lungo l asse y, sul fotone non agisono forze quindi dienta: [3] utilizzando l equazione [] si ha: [4] dy mx = Fx dt = Fx Fx dy y dy = y = e la [] dt GMr0 dy GMr0 dy GMr0 y GM x = = =. 3 3 ( r ) ( ) ( ) r0 0 + y r y r0 r0 + y 0 Quando r 0 è uguale al raggio R della stella la deflessione angolare è data da tg ϕ = x = x, ma dato il piolo alore dell angolo si ha: [5] ϕ x GM radianti R. Se nell equazione [5] sostituiamo i parametri del Sole (M =, kg e R = 6, m), =, m s - e G = 6, m 3 s - kg - ed esprimiamo il risultato in seondi d aro otteniamo ϕ = 0, 875". I aloli on la relatiità generale danno il alore ϕ =, 75", quasi esattamente il doppio!!! y LA PRECESSIONE DEL PERIELIO DI MERCURIO Si misura una preessione del perielio di Merurio pari a 574 per seolo (in altri termini la linea delle apsidi ruota, rispetto alle stelle, di 574 ogni seolo); la teoria newtoniana della graitazione riese a render onto solo di 53 per seolo, onsiderando l attrazione graitazionale degli altri pianeti su Merurio. Utilizzando le equazioni della teoria della relatiità generale, si riese a spiegare ompletamente la preessione del perielio di Merurio. Fig. 4 - La preessione del perielio di Merurio. [ x ] Vedi La Fisia di Berkeley ol. - Meania, ed. Zanihelli, pag

32 LO SPOSTAMENTO VERSO IL ROSSO (RED SHIFT) DELLE RIGHE SPETTRALI Un altro effetto preisto dalla teoria è il red shift graitazionale, ossia lo spostamento erso il rosso della radiazione luminosa a ausa della presenza di un ampo graitazionale. Anhe di questo effetto diamo un'interpretazione puramente qualitatia mediante un'analogia on il aso meanio. Se un orpo di massa m iene lasiato adere in un ampo graitazionale, si ha un aumento progressio della sua energia inetia. Analogamente un raggio luminoso he "ade" in un ampo graitazionale subirà un inremento della propria energia. Se nel aso di un orpo massio l'aumento di energia si tradue in aumento della eloità, per la lue, ome ben sappiamo, rappresenta la eloità limite per ui l'aumento di energia si può manifestare uniamente ome aumento della frequenza. Se al ontrario onsideriamo un raggio luminoso emesso in direzione opposta a quella del ampo graitazionale, l'effetto risultante onsisterà in una diminuzione della frequenza (o aumento della lunghezza d'onda) ossia in uno spostamento erso la parte rossa dello spettro. Si noti he lo spostamento erso il rosso douto al ampo graitazionale non ha nulla a he edere on lo spostamento nella stessa direzione he si ha per effetto Doppler in quanto quest'ultimo dipende uniamente dal moto relatio tra sorgente ed osseratore. Il fenomeno dello spostamento erso il rosso può essere interpretato anhe ome dilatazione del tempo douto al ampo graitazionale in prossimità di grandi masse. Un orologio in un ampo graitazionale rallenta rispetto ad uno lontano dal ampo graitazionale. Il red shift graitazionale fu onfermato sulla Terra da un esperienza eseguita nel 959 da R.V. Pound e G.A. Rebka nella Harard Uniersity. Raggi γ furono emessi da obalto radioattio nello santinato dello Jefferson Physial Laboratory erso il tetto della struttura e, attraerso dei fori nei paimenti, raggiunsero una postazione di rileamento posizionata all ultimo piano,,5 m più in alto. La differenza tra la frequenza dei raggi emessi e quella dei raggi assorbiti dal rileatore risultò f gh in aordo on l equazione = he si riaa per il red shift nel ampo graitazionale terrestre. f L esperienza fu ripetuta più olte onfermando il red shift graitazionale. Una onferma del rallentamento del tempo per orologi nel ampo graitazionale fu ottenuta da uno storio esperimento solto da Joseph Hafele e Rihard Keating nel 97. Essi portarono on sé, in un iaggio aereo introno alla Terra, 4 orologi atomii preedentemente sinronizzati a Washington. Il onfronto degli orologi, al ritorno dal iaggio, onfermò l esattezza delle preisioni teorihe. L ESPERIMENTO DI SHAPIRO La teoria della relatiità generale di Einstein preede non soltanto rallentamento della maria degli orologi in un ampo graitazionale, ma anhe la ontrazione della lunghezza di un regolo in un ampo graitazionale. La ontrazione della lunghezza dei regoli e il rallentamento della maria degli orologi in un ampo graitazionale si possono rappresentare anhe ome una uratura dello spazio-tempo ausata dalla presenza di una massa. Il rallentamento della maria degli orologi e la ontrazione graitazionale delle lunghezze determinano una diminuzione della eloità della lue in prossimità di un orpo grande e massio ome il Sole. Nel 970 I. I. Shapiro eseguì un'esperienza in ui misurò l'interallo di tempo impiegato da un segnale radar (un'onda elettromagnetia o «luminosa») per raggiungere il pianeta Venere, riflettersi e ritornare sulla Terra, in un momento a ui Venere è iina al Sole. Il rallentamento subito dalla lue quando passa aanto al Sole determina un ritardo di ira s del segnale radar. I risultati di Shapiro onordaano on la teoria di Einstein on una preisione di ira il 3%. La sonda Cassini è una sonda automatia della NASA[ xi ] (on a bordo anhe strumentazione [ xi ] La NASA è l Agenzia Spaziale degli Stati Uniti 3

33 dell ESA[ xii ]) he, laniata nel 997, ha raggiunto Saturno nel luglio 004. Il 5 settembre 003 la riista Nature ha pubbliato un artiolo firmato da Bruno Bertotti (Uniersità di Paia), Luiano Iess (Uniersità di Roma La Sapienza) e Paolo Tortora (Uniersità di Bologna a Forlì) in ui si riferise di una nuoa erifia della deflessione della lue douta al ampo graitazionale del Sole ottenuta utilizzando i segnali radio trasmessi dalla sonda Cassini. L esperimento ha auto luogo nel giugno 00 quando la sonda si troaa a 8,5 unità astronomihe dalla Terra (ira,3 miliardi di hilometri) e la ongiungente Terra-Cassini passaa molto iino al bordo del Sole (ioè quando Cassini, Sole e Terra erano pressohè allineati). In pratia si è riusiti a misurare il ritardo di tempo on il quale il segnale ompia il tragitto Cassini-Terra per il fatto he il perorso enia allungato dalla distorsione graitazionale. Per fare iò è stato neessario misurare la eloità dalla Cassini on una preisione superiore ai milionesimi di metro al seondo. Lo stesso esperimento era stato ondotto già nel passato on le sonde Viking. Il risultato ottenuto aea mostrato un aordo on la teoria on un auratezza dello 0,% (un millesimo). Il risultato Fig. 5 - Rappresentazione artistia dell esperimento di Bertotti, Iess e Tortora. della Cassini, he onferma anora una olta la teoria di Einstein, è 50 olte superiore, è stato ioè onfermato he, on la preisione di 0 parti su un milione, la deflessione relatiistia è quella preista dalla relatiità generale. I BUCHI NERI In questo paragrafo erheremo di apire i buhi neri anhe dal punto di ista della relatiità generale. Il modo più semplie per desriere un buo nero è quello di partire dalla fisia lassia. Supponiamo di olere laniare un razzo dalla Terra erso lo spazio esterno. Con quale eloità dee essere laniato per sfuggire all'attrazione graitazionale della Terra? Il razzo, quando iene laniato, ha una eloità iniziale 0 e quindi un'energia inetia iniziale K0 = m 0. Via ia he il razzo iaggia nello spazio, la sua eloità diminuise, ma la sua energia MT m potenziale aumenta. Riordiamo he l energia potenziale graitazionale è data da: U = G, r doe G è la ostante della graitazione uniersale, M T è la massa della Terra, m la massa del orpo e r la sua distanza dal entro della Terra. In un istante arbitrario l energia totale del razzo è uguale alla somma dell energia potenziale e della sua energia inetia; ioè, MT m E = K + U = m G r Sappiamo he l energia totale può essere positia, negatia o nulla. [ xii ] L ESA è l Agenzia Spaziale Europea 3

34 Se E > 0 allora l energia inetia è sempre maggiore dell energia potenziale e quando il razzo è infinitamente lontano dalla Terra (r ) e la sua energia potenziale tende a zero, ha anora una eloità residua, e quindi non riadrà mai sulla Terra. Se E < 0, l energia potenziale predomina sull energia inetia e esiste un alore di r per il quale l energia inetia è zero: il razzo raggiunge una massima distanza dalla Terra e poi i riade. Se E = 0 allora l energia potenziale e l energia inetia dientano zero all infinito; siamo quindi nella ondizione limite perhé il razzo non riada più sulla Terra. La eloità iniziale he realizza questa situazione è la osiddetta eloità di fuga: F. Si riaa he essendo: MT m E = K + U = mf G = 0 R T La eloità di fuga è: GM T F = R La relazione dà la eloità di fuga dalla Terra, ioè, la eloità he un orpo dee aere per sfuggire al ampo graitazionale della Terra (oiamente trasurando l attrito dell aria e la presenza degli altri orpi elesti he altrimenti onorrerebbero all energia potenziale del razzo). Queste onsiderazioni furono fatte per la prima olta nel 783 dall'astronomo dilettante britannio reerendo John Mihell e 5 anni dopo dall'astronomo e matematio franese Pierre Simon de Laplae il quale dedusse he, se la lue fosse stata un orpusolo, ome era stato ipotizzato da Isaa Newton, allora sarebbe esistito un limite al raggio he la Terra arebbe douto aere per permettere alla lue di fuggire da essa. GM T RS = he si ottiene risolendo la presedente a R e sostituendo la eloità di fuga F on la eloità della lue. Per motii he saranno hiari più aanti, questo alore, indiato on R S, è detto raggio di Shwarzshild. Se aloliamo il raggio di Shwarzshild della Terra, otteniamo 8,85 mm ioè, se la Terra si ontraesse dientando una sfera di raggio minore 8,85 mm, allora la eloità di fuga dalla sua superfiie sarebbe maggiore della eloità della lue. Cioè, nulla, neppure la lue, potrebbe fuggire. La Terra sarebbe un buo nero poihé non si edrebbe alunhé proenire da essa. Quanto detto per la Terra ale per qualunque orpo eleste. Il nome di buo nero deria dall'idea he noi possiamo osserare un oggetto eleste luminoso perhé emette radiazione elettromagnetia di erte lunghezze d onda, ma se si ontraesse fino a dientare un buo nero, da esso non potrebbe più usire nessuna radiazione. Quindi, se si guardasse erso la sua posizione non si edrebbe nulla, solo l'osurità; ma si sentirebbe il suo ampo graitazionale e la sua presenza urerebbe fortemente lo spazio-tempo. Al posto dell oggetto sembrerà esseri un buo, quindi un buo nero. Nel aso del Sole il raggio di Shwarzshild è di,95 km. Fino a questo punto i ragionamenti sono stati rigorosamente lassii. Poihé la teoria della relatiità generale di Einstein è una teoria della graitazione, ha auto la sua appliazione ai buhi neri. Come abbiamo isto, la teoria della relatiità generale di Einstein die he una massa deforma, o inura, lo spazio-tempo. Maggiore è la massa del orpo graitante, maggiore è la deformazione, o uratura, dello spazio-tempo. Quando il raggio della stella dienta molto piolo, la uratura dello spazio-tempo dienta molto aentuata. Poo dopo he Einstein ebbe proposto la teoria della relatiità generale, K. Shwarzshild appliò le equazioni di Einstein al ampo graitazionale generato da una massa puntiforme e, data la simmetria del sistema riusì a risolerle. Della risoluzione di Shwarzshild i interessa il ragionamento e i risultati he seguono. Per prima osa è neessario sriere l interallo inariante per questa situazione (osa he non faiamo), ma essendo il problema a simmetria sferia, ossia se P è un punto a distanza r dal buo T 33

35 nero puntiforme O, tutto quello he diiamo per P per tutti i punti he si troano su una sfera di entro O he ontiene P. In situazioni ome questa oniene utilizzale oordinate sferihe (dette anhe polari nello spazio) inee di quelle artesiane. Come di ede failmente dalla figura 6 per indiiduare la posizione del punto P si utilizzano la distanza dall origine (detto anhe polo) r (detto raggio ettore), l angolo θ tra la direzione positia dell asse z e la direzione OP (detta olatitudine) e l angolo ϕ tra la direzione positia dell asse x e la direzione OQ, essendo Q la proiezione di P sul piano xy (detta longitudine). Risulta r 0, 0 θ π e 0 ϕ π. La trasformazione di oordinate è: Fig. 6 Coordinate sferihe. x = rsenθ os ϕ y = rsen θ sen ϕ z = r os θ Nell interallo inariante, una olta effettuate opportunamente le sostituzioni, ompariranno, al posto di x, y, z, le quantità r, θ, ϕ. A ausa della simmetria sferia la parte più signifiatia è quella radiale he, senza darne dimostrazione, è: ( ) ( r) GM ( ) s = t GM r r Come abbiamo detto preedentemente, l'interallo inariante è la metria per lo spazio-tempo e s=0 è l equazione geodetihe, ossia delle ure lungo le quali si muoe la lue; nello spazio-tempo piatto di Minkowski alla eloità. Nel aso della massa puntiforme di Shwarzshild, lungo la direzione radiale, la ondizione s = 0 ondue a: ( ) r GM = t GM r r ( ) ( t) r GM = r r GM = t r r Ossia la eloita della lue lungo le geodetihe dipende da r, ossia aria on la distanza dal t GM punto O. È importante notare he, se r =, allora r/ t = 0. Ciò signifia he la eloità della lue è zero e quindi non riese ad abbandonare il orpo. Il alore di r è esattamente quello he abbiamo hiamato raggio di Shwarzshild; il raggio di Shwarzshild è detto anhe orizzonte degli eenti del buo nero. L ultima equazione può essere generalizzare alla forma: r RS = t r ( ) 34

36 Nella Tabella riportiamo i alori della eloità della lue per ari alori di r; possiamo notare alune proprietà: La eloità della lue non è ostante e quindi ade il postulato introdotto nella relatiità ristretta della ostanza della eloità della lue in tutti i sistemi di riferimento inerziali. Quando i si allontana a grande distanza dal buo nero, r >> R S, si entra nella regione dello spazio-tempo piatto e la eloità della lue ha il alore ostante in aordo on la relatiità ristretta. All interno dell'orizzonte degli eenti, la eloità della lue può essere maggiore di. Il buo nero di Shwarzshild è un esempio di un orpo massio non rotante. Poihé il Sole e i pianeti ruotano attorno ai loro assi, una soluzione più generale di un buo nero dorebbe tenere onto anhe Tabella r r/ t R S /0-9 R S /5-4 R S / - R S 0 R S 0,5 0R S 0,9 00R S 0,99 000R S 0,999 della rotazione del orpo. La soluzione per il buo nero rotante è detta buo nero di Kerr, dal nome del matematio neozelandese Roy Kerr he per primo ne propose un modello. Un modello di buo nero siluppato nel 965 da Newmann preede he il buo nero, oltre a ruotare, abbia anhe una aria elettria (buo nero di Kerr-Newmann). È questo il modello di buo nero attualmente più areditato. Fig. 7 Posta a ira 8000 anni lue dalla Terra, la sorgente di raggi X, Cygnus X-, è un sospetto buo nero di più di 6 masse solari. Ogni 5,9 giorni, l oggetto inisibile orbita intorno ad una stella supergigante blu di ira 30 masse solari strappandole materia he orbitandole intorno a eloità relatiistihe emette raggi X. A sinistra un immagine della supergigante, a destra una rappresentazione artistia. Rimane una domanda molto oia: i buhi neri esistono in natura? O anhe: è possibile he un oggetto esistente nell'unierso dienti un buo nero? Anhe se non i sono proe dirette, i sono molti luoghi nell Unierso in ui le intense emissioni di energia (speie nei raggi X) possono essere spiegate pensando al buo nero. Oggi si ritiene he possano esistere tre tipi di buhi neri: buhi neri molto massii (milioni di masse solari) nel entro delle galassie; buhi neri douti al ollasso graitazionale di stelle massie (almeno 0 masse solari); mini buhi neri he si pensa possano essersi formati all origine dell Unierso. Le osserazioni hanno eidenziato he nel nuleo di molte galassie i sono oggetti molto massii, ma di dimensioni ontenute; altre osserazioni indiano he alune stelle doppie possano aere ome ompagno un buo nero (il primo aso troato è quello della stella Cygnus X- edi figura 7). 35

37 Poihé in un ampo graitazionale il tempo rallenta, questo rallentamento dienta molto più pronuniato iino ad un buo nero; il tempo misurato da un orologio solidale on una persona he di aiinasse ad un buo nero sarebbe molto rallentato rispetto ad un orologio lontano dal ampo graitazionale e tale rallentamento aumenterebbe sempre più man mano he si ainasse all'orizzonte degli eenti doe si fermerebbe del tutto. Anhe on aloli basati sulla legge di graitazione di Newton, si può dimostrare he se un orpo si aiinasse troppo ad un buo nero, finirebbe per essere disintegrato dalle enormi forze graitazionali; per esempio se il Sole si riduesse ad un buo nero, a 000 km di distanza, un uomo alto,80 m aertirebbe una differenza di aelerazione di graità tra la testa e i piedi di ira 500 m/s. Fig. 8 A ira 7000 anni lue da noi, nella direzione della ostellazione del Sagittario, si troa il entro della nostra Galassia doe si ritiene possa esistere un buo nero di massa pari a quattro milioni di masse solari. L idea nase dalle osserazioni del moimento di 8 stelle orbitanti intorno al entro della Galassia. A sinistra un immagine del entro galattio ripresa on lo Spitzer Spae Telesope, a destra una rappresentazione artistia del buo nero. 36