Domande. E = mc 1! v / c. La massa delle particelle riportate nelle tabelle corrisponde all energia che esse possiedono quando sono ferme (v = 0 m/s).

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1 Cutnell, Johnson Fisia olume 3 Capitolo 5 La relatiità ristretta Domande. Il postulato sulla eloità della lue stabilise he la eloità della lue nel uoto, misurata in un qualsioglia sistema di riferimento inerziale, ha sempre lo stesso alore indipendentemente dal modo in ui la sorgente della lue e l osseratore si stanno muoendo, una relatiamente all altro. La eloità della lue nell aqua è /n, doe n,33 e rappresenta l indie di rifrazione dell aqua: allora la eloità della lue nell aqua è minore di. Questo non iola il postulato sulla eloità della lue perhé il postulato si riferise eslusiamente alla propagazione della lue nel uoto e non in un mezzo materiale.. Un osseratore he ede la Terra da un sistema di riferimento inerziale non è nel sistema di riferimento di nessuno dei due orologi e quindi misurerà, per entrambi, un tempo dilatato. La dilatazione dei tempi è regolata dalla relazione! t! t0 " /, doe è la eloità relatia tra l osseratore he ha misurato t 0 e l osseratore he ha misurato t. Entrambi gli orologi si muoono intorno all asse di rotazione terrestre on la stessa eloità angolare della Terra e on una eloità lineare, per entrambi, r! doe r è la distanza tra l orologio e l asse di rotazione. Quindi, l osseratore he si troa nel sistema di riferimento on il alore di eloità lineare più eleato registrerà un interallo di tempo maggiore e, di onseguenza, l orologio all equatore sembrerà proedere più lentamente di un orologio al Polo Nord. 3. Il passeggero sul treno è fermo relatiamente all orologio e, quindi, misura l interallo di tempo proprio. Il passeggero sul treno è fermo anhe relatiamente alla arrozza e, quindi, ne misura la lunghezza propria. Tu sei fermo al passaggio a liello e di onseguenza sei fermo anhe relatiamente alle traersine dei binari: sei tu he puoi misurarne la lunghezza propria. 4. È possibile per il prinipio di equialenza tra la massa e l energia : infatti, l energia E di un oggetto in moimento è legata alla sua massa e alla sua eloità dall equazione E m! /. La massa delle partielle riportate nelle tabelle orrisponde all energia he esse possiedono quando sono ferme ( 0 m/s). 5. La lue nell aqua iaggia alla eloità di,6 0 m/s. Una partiella elementare dotata di massa può iaggiare nell aqua a una eloità superiore a questa perhé il postulato sulla eloità della lue stabilise he nessun oggetto dotato di massa può muoersi a una eloità superiore a quella della lue nel uoto (he ale 3,00 0 m/s), e non si riferise alla eloità della lue in un mezzo materiale. 6. Se la eloità della lue fosse infinitamente grande, gli effetti della dilatazione temporale e della ontrazione delle lunghezze non sarebbero osserabili. Consideriamo le equazioni relatie alla dilatazione dei tempi e alla ontrazione delle lunghezze, rispettiamente! t! t0 " / e L L 0! /. Se fosse infinitamente grande, il rapporto / sarebbe uguale a zero e risulterebbe!t!t 0 e L L 0 : gli interalli di tempo e le lunghezze degli oggetti, arebbero lo stesso alore in tutti i sistemi di riferimento inerziali, indipendentemente dalle loro eloità relatie. Zanihelli 009

2 Cutnell, Johnson Fisia olume 3 Capitolo 5 La relatiità ristretta Test.. C 3. C 4. B 5. B C. C 9. B 0.. D. D 3. D 4. B 5. B Problemi. Indihiamo on e B le due situazioni riportate nel testo. L interallo di tempo proprio ha sempre lo stesso alore, per ui. (!t 0 )!t ( 0 ) "!t B /!t B B / Possiamo, osì riaare:! /! ( / ) (0,75 / ) B! ( B /! B / ) (0,94 / ) " t " t " t (37,0 h) 7 h. Se immaginiamo un sistema di riferimento solidale ol pione, il pione è fermo relatiamente a questo sistema di riferimento. Un osseratore in laboratorio è fermo rispetto a questo sistema di riferimento, per lui, quindi, la reazione del pione e il suo suessio deadimento aengono nello stesso posto, quello in ui si troa il pione e l interallo di tempo he interorre tra i due eenti è l interallo di tempo proprio. D altro anto, il nostro osseratore fermo ede i due eenti aenire in posizioni dierse (il pione si sta muoendo) e, quindi, misura il tempo dilatato! t! t 0 / " /. Quindi:!t 0!t 0,990 3,5 "0 s 4,9 " 0 9 s Per l osseratore fermo, la distanza x di ui il laboratorio si sposta prima he il pione deada è il prodotto tra la eloità del laboratorio, relatiamente al pione, e l interallo di tempo proprio, ossia x! t 0 (la eloità del laboratorio relatiamente al pione è uguale alla eloità del pione relatiamente al laboratorio 0,990). Quindi,5 m 3,00 "0 m/s x!t 0 0, ,9 "09 s 0,990 Zanihelli 009

3 Cutnell, Johnson Fisia olume 3 Capitolo 5 La relatiità ristretta 3. La relazione tra il tempo dilatato misurato dalla persona sulla Terra e il tempo proprio è:! t! t 0 / " ( / ), da ui "! t0 ",5 s $ & ' (3,0 % 0 m/s) $,4% 0 m/s! t &,5 s ' 4. Il tempo proprio della durata omplessia del iaggio è un anno perhé misurato da un osseratore (l astronauta) he è fermo rispetto all inizio e alla fine dell eento e ede questi due momenti nella stessa posizione (all interno dell astronae). D altra parte, per l astronauta gli orologi terrestri fornisono un interallo di tempo dilatato di 00 anni. La relazione tra questi due interalli di tempo è!t!t 0 / " /. Quindi, possiamo riaare "! t0 " anno $ % & $ % & 0, '! t ( ' 00 anni ( 5. Con l approssimazione! "! " $ % $ % & ' & ' la relazione tra l interallo di tempo proprio e quello dilatato dienta! $ " % t0 % t ' & ) * ( - +,. Quindi! " $ % t t 0 t & ( 5giorni ' ) 4 ",64$ 0 s " 700m/s % & giorno % $ 3, 00$ 0 m/s & ' ( ' (! 4 4, 4 0 s 6. Il tempo proprio perhé il batterio raddoppi la sua popolazione è t 0 4,0 ore. Il ampione rimasto sulla Terra impiegherà giorni per produrre 56 batteri (56 n per raddoppiare la popolazione nello spazio è:! t0 4,0 h! t 4,0 h " giorni $ 0,66 $ % & % & ' ( ' ( da ui n ). Il tempo In otto giorni terrestri, il ampione nello spazio produrrà n' ( ) 4 "raddoppiamenti". Nel ampione sul razzo, seondo l osseratore terrestre, i sarà un numero di batteri N n' Per l equazione sulla ontrazione delle lunghezze, il turista misura una lunghezza Zanihelli 009

4 Cutnell, Johnson Fisia olume 3 Capitolo 5 La relatiità ristretta (,3 m/s) ( 3,0 m/s) L L0! ( 9,0 km)!, km. Una persona a bordo della naiella spaziale misura una lunghezza ontratta L L ( 0 / )!. Questa lunghezza è anhe uguale al prodotto tra la eloità della naiella e l interallo di tempo misurato da una persona he si troa nella naiella stessa e he oinide on il tempo proprio perhé la persona misura il tempo interorso tra l inizio e la fine dell eento (L t 0 ). Quindi L 0! / t 0 da ui!t 0 L 0 " ( / ) $ ( anni lue) 9,47 05 m ' & % anno lue ) ( 0,9990 3,00 0 m/s *, " 0,9990, +, - / $ anno ' / &./ % 3,6 0 7 ) s,0 03 anni ( 9. La lunghezza L 0 he la persona misura al momento dell atterraggio è la lunghezza propria, perhé l astronae è ferma rispetto alla persona. llora L 30 m L0 530 m (0,90 )!! 0. I due eenti sono la reazione della partiella e la sua suessia disintegrazione, he, relatiamente a un sistema di riferimento fisso solidale on il laboratorio, aengono in due posizioni dierse, perhé la partiella è in moto relatiamente al sistema di riferimento. La lunghezza propria L 0 è la distanza (, m) fornita nel testo, perhé è la distanza misurata da un osseratore fermo nel laboratorio.! 3 L 0,05" 0 m La distanza misurata da una persona ipotetia he iaggia solidalmente on la partiella è una distanza ontratta, perhé rileata da una persona in moimento relatio, quindi è legata alla distanza propria dalla relazione! 3! 4 0 ( 0,990) L L!,05" 0 m!,4" 0 m Il tempo proprio t 0 della partiella è la sua ita media misurata in un sistema di riferimento solidale on la partiella stessa. In questo sistema di riferimento i due eenti aengono nella stessa posizione. La ita media propria, allora, sarà uguale al rapporto tra la distanza ontratta e la eloità della partiella, Zanihelli 009

5 Cutnell, Johnson Fisia olume 3 Capitolo 5 La relatiità ristretta!t 0 L,4"0 4 m 4,9 "0 ( 0,990) ( 3,00 "0 m/s) 3 s ,990 La ita media dilatata della partiella sarà, infine,! t 3 0 ( 4,9 " 0 s)! t 3,53 " 0 s ( 0,990). 0,70 e B 0,90, B 0! e B 0! L L L L La lunghezza propria è la stessa in entrambi i asi, quindi, diidendo membro a membro, si può semplifiare ottenendo L B L L 0 L 0! B!! B! L B L! B! ( 6,5 anni lue)! ( 0,90)! ( 0,70) 4,0 anni lue. La quantità di moto lassia è q m (,0!0 7 kg)(0,5)(3,00!0 m/s) 5,! 0 5 kg! m/s La quantità di moto relatiistia è p m! / p 0 5," 0 5 kg " m/s 9,7 "0 5 kg " m/s ( (0,5 / ) ( (0,5) 3. 5 m (,! 0 kg)( 40 m/s) 7 p,7! 0 kg! m/s ( 40 m/s) " " 3,00! 0 m/s Zanihelli 009

6 Cutnell, Johnson Fisia olume 3 Capitolo 5 La relatiità ristretta 5 m (,! 0 kg)( 40 m/s) 7 p 3,0! 0 kg! m/s ( 40 m/s) " " ( 70 m/s) 4. L altezza della donna rispetto all osseratore è h h 0! ( / ). Per determinare la sua eloità riorriamo all espressione della quantità di moto relatiistia, quindi: p m /! /, da ui m p! / Eleando al quadrato entrambi i membri m p ( / ) o m + p p! p " p m + p o $ % & p m + Risolendo in funzione di, otteniamo 0 p,0! 0 kg! m/s,3! 0 m/s 0 p m + ",0! 0 kg! m/s (55 kg) + $ % & 3,00! 0 m/s ' E, infine:! "!,3 0 m/s " h h0 $ % & (,6 m) $,0 m ' ( % 3,0 0 m/s & ' ( 5. Sappiamo he il pilota misura un interallo di tempo tra due eenti pari alla metà di quello dilatato, oero! t0! t. Usando questo dato e la formula relatia alla dilatazione temporale, possiamo alolare la quantità di moto relatiistia della naiella. 0! t! t e! t! t 0 / " /, quindi! /. Da ui m m,3! 0 kg! m/s 3 p,6! 0 kg! m/s " / 3 6. La quntità di moto si onsera perhé il sistema è isolato. E, dato he la quantità di moto iniziale era zero, ne onsegue he le quantità di moto finali delle due parti sono uguali e opposte: p! p. Oero m! m! ( / )! ( / ) Zanihelli 009

7 Cutnell, Johnson Fisia olume 3 Capitolo 5 La relatiità ristretta Poniamo he il frammento sia quello on massa maggiore, aremo allora 0,00, 7 7 m,67! 0 kg, e m 5,0! 0 kg. Sostituendo i alori noti e manipolando le equazioni preedenti, otteniamo 7 (,67! 0 kg) (0,00 ) 7 m 0,975 $ ( / ) m " $ ( / ) (5,0! 0 kg) " (0,00 / ) % & % & Da ui! $ " % e 0,975 ( / ) 0,975 0,975 0,975 ± ± 0, 406,975 Esludiamo la soluzione positia perhé signifiherebbe he i due frammenti si muoono nella stessa direzione e la quantità di moto non sarebbe più nulla. Quindi 0, The mass equialent is gien by E 0 KE m or 3 J m KE 7.!0 3.00!0 m/s.7!0 30 kg. Sappiamo he quando la eloità di una partiella è uguale (o minore) di 0,0, l energia inetia relatiistia dienta pratiamente uguale a quella non relatiistia. La eloità della nostra partiella è 0,00 e, quindi il rapporto tra le due energie inetihe è uguale a,0. Il rapporto tra le due energie inetihe è:! $ m & " ( / ) & %! $! $ m " % & & " ( / ) & %! $! & " 0,970 % " $ & (0,970) / & 6,6 % 9. La massa m della aramella è legata alla sua energia a riposo E 0 dall equazione E 0 m. Sapendo he l auto spende,9 0 7 J per perorrere,5 km, possiamo alolare quanti kilometri potrebbe perorre spendendo tutta l energia orrispondente alla onersione in energia della massa della aramella. Zanihelli 009

8 Cutnell, Johnson Fisia olume 3 Capitolo 5 La relatiità ristretta E 0 d (,9! 0 7 J) /,5! km m,9!0 7 J /,5 km ( 35! 0 "3 kg) 3,0! 0 m/s,9! 0 7 J /,5 km,6!0 9 km 0. L energia neessaria per risaldare l aqua è: Q m T [46 J/(kg C)](4,0 kg)(60,0 C 0,0 C) E 0 ( m), da ui m E 0 / (6,7 0 5 J)/(3,00 0 m/s) 7,4! 0 kg 5 6,7! 0 J. L energia E 0 prodotta in un anno è il prodotto tra la potenza generata P e il tempo onsiderato t. Questa energia è equialente a una massa m seondo l equazione E 0 m. Quindi ( 3,5!0 7 s), kg Pt m Pt da ui m 3,0! 09 W 3,00!0 m/s. Per il teorema laoro-energia, il laoro he dee essere speso su un elettrone per aelerarlo da fermo alla eloità di 0,990 è uguale all energia inetia dell elettrone alla sua eloità finale di 0,990. Quindi:! L K fin m $ & " ( / ) & %! (9,'0 3 kg)(3,00 '0 m/s) $ & " (0,990) / & 5,0 '0 3 J % 3. Il ritmo R al quale il quasar perde massa è dato dal rapporto tra la sua massa e il tempo durante il quale la massa iene persa: R m / t, doe m E e l energia media è il prodotto tra la potenza media (he rappresenta il ritmo al quale il quasar irradia energia) e il tempo, E0 Pt. Traduendo in formule, otteniamo E0 E 4 m 0! P t " P,0 0 W 4 R, 0 kg/s t t $ % t & t ' 3,00 0 m/s 0 / 4. ogni ariazione di energia orrisponde una ariazione di massa data dalla relazione: Zanihelli 009

9 Cutnell, Johnson Fisia olume 3 Capitolo 5 La relatiità ristretta! E0! m Supponiamo he m me rappresenti la massa del sistema quando i due elettroni sono a distanza infinita. Quando i due elettroni saranno aiinati al punto he la loro nuoa massa dienti il doppio di quella preedente, potremo sriere: m +! m m Quando i due elettroni sono a distanza infinita, la loro energia potenziale è nulla, mentre quando si troano a distanza r, la loro energia potenziale elettria è ke U r Il sistema ha, ioè, subito una ariazione di energia : ke! E0 U 0 r Combinando, e elaborando, le equazioni preedenti, otteniamo in suessione! E0 m + m m! " ke r $ % & E, infine m 9 9 ke ke (,99! 0 N! m /C )(,60! 0 C) 5 r,40! 0 m m m 3 e (9,! 0 kg)(3,00! 0 m/s) 5. La eloità dell Enterprise, misurata da un osseratore terrestre è + e e + e doe e eloità di Enterprise relatiamente alla Terra eloità di Enterprise relatiamente a Enterprise e eloità di Enterprise relatiamente alla Terra Quindi: e! " ke + m r $ % & ( 0,3 ) ( 0, 65 ) ( + 0,3 )( + 0, 65 ) + e ,0 + e + Zanihelli 009

10 Cutnell, Johnson Fisia olume 3 Capitolo 5 La relatiità ristretta 6. Indihiamo ES eloità del eiolo esploratio relatiamente alla naiella spaziale. EO eloità del eiolo esploratio relatiamente a un osseratore terrestre +0,70 SO eloità della naiella spaziale relatiamente a un osseratore terrestre +0,50 Per la formula della omposizione delle eloità EO + OS ES EO + OS La eloità OS (dell osseratore terrestre relatiamente alla naiella spaziale) non è data, ma sappiamo he OS SO (+0,50) 0,50. Quindi: EO + OS + 0, 70 + (! 0,50) ES + 0,3 EOOS ( + 0, 70)(! 0,50) Indihiamo: B eloità della galassia relatiamente alla galassia B T eloità della galassia relatiamente alla Terra TB eloità della Terra relatiamente alla galassia B Per la regola della omposizione delle eloità T + TB B T + TB Se supponiamo he la galassia si stia muoendo a destra, nella direzione +x, la sua eloità relatiamente alla Terra è T + 0,75. La galassia B si muoe in direzione x on una eloità di 0,55 relatiamente alla Terra, e quindi BT 0,55. Ma TB BT, da ui TB ( 0,55) +0,55. Infine T + TB + 0, ,55 B + 0,90 TTB ( + 0, 75)( + 0,55) + +. Indihiamo ST eloità del mezzo di Salataggio rispetto alla Terra. SR eloità del mezzo di Salataggio rispetto Razzo 0,55. RT eloità del Razzo rispetto alla Terra +0,75 Per la omposizione delle eloità. Zanihelli 009

11 Cutnell, Johnson Fisia olume 3 Capitolo 5 La relatiità ristretta SR + RT 0,55 + 0, 75 ST + 0,34 SR RT ( 0,55 )( + 0,75 ) + + La lunghezza del mezzo di salataggio per l osseratore terrestre è: ST 0,34 0 L L! (45 m) 4 m 9. Indihiamo eloità della partiella (P ) rispetto alla partiella (P ) P P P L eloità della partiella (P ) rispetto a un osseratore in Laboratorio +,0 0 m/s P L eloità della partiella (P ) rispetto a un osseratore in Laboratorio,0 0 m/s remo: P L + P P + doe LP LP P L LP! P L!!,0 " 0 m/s +,0 " 0 m/s. Quindi, per la omposizione relatiistia delle eloità: P L + LP +,0! 0 m/s +,0! 0 m/s P P +,! 0 m/s P LLP +,0! 0 m/s +,0! 0 m/s + + E la quantità di moto di una partiella in un sistema di riferimento solidale on l altra è: 5 (,6! 0 kg)( +,! 0 m/s) m p P P,! 0 6 kg! m/s " P P ",! 0 m/s $ % $ % & 3,00! 0 m/s & ' ' 30. L energia di ogni partiella è: ( 3,00 ' 0 m/s) m 9,' 0 3 kg E,4 ' 0 4 J! $ " % &! 0,0 $ & " % L energia della radiazione elettromagnetia è il doppio di iasuna, quindi: 3 E"! E,7 0 J. Zanihelli 009

12 Cutnell, Johnson Fisia olume 3 Capitolo 5 La relatiità ristretta 3. L L 0 /. Da ui ' 0 ( 0,500 m! L "! " (3,00 $ 0 m/s),60 $ 0 m/s % L & % & ',00 m ( 3. L interallo di tempo per,0 respiri nel tuo sistema di riferimento fermo è t 0,0 min. Lo stesso tempo misurato da un osseratore terrestre è:! t0,0 min,0 min! t, 4,5 min " / " (0,975 / ) " (0,975) Quindi, per l osseratore terrestre, il tuo ritmo respiratorio è:,0 respiri, respiri al minuto 4,5 min 33. La quantità di moto relatiistia si esprime ome m q p! /! / Quando il modulo della quantità di moto relatiistia è il triplo di quella non relatiistia l espressione preedente dienta: q 3q da ui! /! / 3 Elaborando le relazioni preedenti, otteniamo! o! Per ui 9 0,943,3! 0 m/s 34. Per il seondo postulato della relatiità speiale, tutti gli osseratori misureranno lo stesso alore della eloità della lue, indipendentemente dalle loro eloità relatie. Quindi gli alieni edono il raggio laser aiinarsi alla eloità. Indihiamo ora le eloità relatie ome: I eloità degli Ioni relatiamente alla naiella degli lieni IC eloità degli Ioni relatiamente al Cruiser intergalattio +0,950 C eloità del Cruiser intergalattio relatiamente alla naiella degli lieni +0,00 Zanihelli 009

13 Cutnell, Johnson Fisia olume 3 Capitolo 5 La relatiità ristretta La relazione tra queste eloità è: I IC + C + 0, ,00 + 0,994 ICC ( + 0,950)( + 0,00) + + Gli alieni edono il raggio laser allontanarsi dal Cruiser alla eloità U,000 0,00 0,00 Gli alieni edono gli ioni allonatanarsi dal Cruiser alla eloità U 0,994 0,00 0, La relazione tra quantità di moto relatiistia ed energia è 4 4 E! m E p + m o p Conosiamo il alore dell energia, ma non quello della massa. Sappiamo però he E 0 m, per ui l equazione preedente dienta 4 E! m E! E0 p Sappiamo, inoltre he E K + E 0, da ui E 0 E K, e, on quest ultima sostituzione, otteniamo finalmente p 0 E! E E! E! K ( 5,0 0 J) ( 5,0 0 J) (,0 0 J) ( 3,0 $ 0 m/s) E E K $! $ $ " 7 p % &,3 $ 0 kg $ m/s 36. La ontrazione delle lunghezze riguarda i lati del rettangolo he si troano nella direzione del moto. Perhé il rettangolo appaia un quadrato, tutti i lati deono aere una lunghezza L,0 m. Quindi il moimento aiene in direzione del lato più lungo, e la lunghezza propria, in queste ondizioni, è quella del lato he si ontrae, ioè L 0 3,0 m. Dall equazione L 0! ( / ), riaiamo la eloità on ui si sposta il rettangolo & 0 '! L "!,0 m " 0, 75 $ L % $ 3,0 m % & ' Per l osseratore in moto a questa stessa eloità, ma lungo il lato più orto, la lunghezza propria dienta L 0,0 m, da ui! "! 0,75 " L L0 $ % (, 0 m) $ %,3 m & ' & ' Le dimensioni osserate del rettangolo sono, allora 3,0 m!,3 m subise ontrazione aluna a seguito del moimento lungo il lato orto., perhé il lato lungo non Zanihelli 009