Relatività, Energia e Ambiente

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1 Digitall signed b DN: IT, oinfn, oupersonal Certiiate, lbologna, n Date: :37:5 +0'00' Relatiità, Energia e Ambiente Quantità di Moto ed Energia Pro. Rihiami di dinamia lassia. Alma Mater Studiorum Uniersità di Bologna Introduzione alla Relatiità Ristretta V parte Introduzione alla Relatiità Ristretta. V parte. Polo Solastio L. Donati Fossombrone, 4 Maggio 00 Quantità di Moto Si deinise quantità di moto Q di un punto materiale il prodotto: Q m Per un sistema materiale qualsiasi (ostituito da n punti materiali) è inee la somma ettoriale: Il Seondo Prinipio n Q mi i In partiolare, per punti: Q m + m Introduzione alla Relatiità Ristretta. V parte. 3 Un punto materiale, sottoposto a una o più orze, si muoe on aelerazione a, ettorialmente proporzionale alla risultante F di tali orze: (m ostante) F ma doe m è un oeiiente salare di proporzionalità (detto massa inerziale) aratteristio del punto materiale onsiderato e indipendente dalla sua posizione e dalla sua eloità. Poihé sperimentalmente F e a risultano aere sempre lo stesso erso, segue he m > 0. Se m non osse ostante l espressione F ma non sarebbe orretta. Introduzione alla Relatiità Ristretta. V parte. 4

2 Il Seondo Prinipio (II) Se la massa m è ostante, si ha: d m dt Per ui il seondo prinipio della dinamia si può sriere: F Q (II prinipio Legge di Newton) In realtà questa espressione è più generale dell espressione F ma e ale anhe nel aso in ui m aria nel tempo: 0 Q d ( m ) m d dt dt + d m ma + d m ma dt dt m potrebbe ambiare in seguito a reazioni himihe (razzo) o nuleari o a ausa di eetti relatiistii (eloità molto eleata). Introduzione alla Relatiità Ristretta. V parte. 5 Il Terzo Prinipio Ogni olta he il orpo A eserita una orza sul orpo B, il orpo B eserita una orza sul orpo A ettorialmente opposta; B on la stessa retta di azione. F (prinipio di azione e reazione o terzo prinipio) A B Esempi: rinulo di una pistola. A F B A bara a remi (si muoe spingendo indietro l aqua on i remi). autoeioli (si muoono spingendo indietro la strada mediante la orza di attrito). aerei (si muoono spingendo indietro l aria). N.B.: azione e reazione si eseritano sempre su orpi diersi. N.B.: Il III prinipio non ale per le orze inerziali. Introduzione alla Relatiità Ristretta. V parte. 6 Forze Interne Forze interne: orze di interazione eseritate da una parte del sistema meanio in studio su di un altra parte dello stesso sistema. Per il III prinipio esse sono a due a due opposte, on la medesima retta d azione. Costituisono, a due a due, oppie di braio nullo. Segue per la risultante e il momento risultante delle orze interne: 0 i 0 O R i M O (equialente al III prinipio della dinamia) F B A A Introduzione alla Relatiità Ristretta. V parte. 7 F C A F AC F A B C B F C B FBC Forze Esterne Quanto detto non ale per le orze esterne. Alune orze esterne possono essere di origine inerziale. Si onsiderano le orze he orpi esterni eseritano sul nostro sistema ma non le orze he il nostro sistema eserita sui orpi esterni. Se la risultante e il momento risultante delle orze esterne sono entrambi nulli, si die he il sistema è isolato. R ( e) 0 ( e) (sistema isolato) M ( O ) 0 O Non sempre, tuttaia, i sistemi sono isolati. Introduzione alla Relatiità Ristretta. V parte. 8

3 Prima Equazione Cardinale della Dinamia Q n i m i i Deriando rispetto al tempo: Q d Q dt n m i ai i Quantità di moto Inine sruttando il II prinipio si ha: n n Q m ai i F i R i i Prima Equazione Cardinale della Dinamia (II) Separando le orze esterne dalle orze interne: Q R i + R ( e) R ( e) Q R ( e) (prima equazione ardinale della dinamia) Se la risultante delle orze esterne è nulla, si onsera (ioè rimane ostante nel tempo) la quantità di moto: R e 0 Q ost (prinipio di onserazione della quantità di moto) Introduzione alla Relatiità Ristretta. V parte. 9 Introduzione alla Relatiità Ristretta. V parte. 0 Laoro ed Energia I prinìpi della dinamia sono suiienti per determinare il moto di un sistema meanio. Tuttaia risulta oneniente l introduzione di nuoe grandezze isihe (laoro ed energia) in quanto: sempliiano la soluzione di molti problemi dinamii. Spesso si può determinare lo stato inale di un sistema senza bisogno di risolere equazioni del moto (p. es.: problemi d urto). onsentono di estendere la nostra omprensione isia ad ambiti più ampi (termodinamia, meania relatiistia, e.). Intuitiamente si può dire he l energia è la apaità di produrre laoro e he il laoro è il proesso attraerso il quale una erta quantità di energia si traserise da un orpo a un altro. (deinizione intuitia ma autoreerenziale). Introduzione alla Relatiità Ristretta. V parte. Laoro Si deinise laoro ininitesimo dl ompiuto da una orza F il prodotto salare: dl F F F i dp F d + F d + F z dz î + F ˆ + F z ˆk dp dî + d ˆ + dz ˆk doe dp è lo spostamento ininitesimo del punto di appliazione della orza. Il laoro L ( A,B ) di una orza F il ui punto di appliazione si sposta lungo la linea he onnette A on B è l integrale di linea: dp A L ( A,B ) P F i dp F B B ( A,B) P P 7 P 3 P 6 P Introduzione alla Relatiità Ristretta. V parte. P P 5 A 4

4 Teorema delle Forze Vie Consideriamo un punto materiale P, di massa m, soggetto alla orza F. dl F i dp ma i dp ma i dp dt dt d m d dt i dt m ( )dt dt m d dt Se le masse sono ostanti (approssimazione non relatiistia): dl d dt m dt dt Teorema delle orze ie (II) Deinita l energia inetia: T m si ha: dl dt dt dt t B L ( A,B ) d L ( A,B) L A,B t A dt dt dt T T B A (teorema delle orze ie) Il laoro ompiuto da tutte le orze he agisono su di un sistema meanio, nel passaggio da una onigurazione A a una onigurazione B è uguale alla orrispondente ariazione dell energia inetia di tale sistema. T t t B ta T ( tb ) T( t A ) T B T A Introduzione alla Relatiità Ristretta. V parte. 3 Introduzione alla Relatiità Ristretta. V parte. 4 Forze Conseratie Alune orze posizionali (ioè he dipendono soltanto dalla posizione) hanno la aratteristia di essere onseratie. Il laoro di una orza onseratia non dipende dal perorso, ma soltanto dalla posizione iniziale A e dalla posizione inale B. Per ogni orza onseratia è deinita una unzione delle oordinate, detta Energia Potenziale V(,, z), tale he il laoro di una orza onseratia è dato da: Forze Conseratie (II) In un sistema meanio sottoposto a inoli ideali e a orze attie onseratie, l energia meania totale E si onsera: E T + V ost (prinipio di onserazione dell energia meania) L A,B V A V B Introduzione alla Relatiità Ristretta. V parte. 5 Introduzione alla Relatiità Ristretta. V parte. 6

5 Quantità di Moto ed Energia Dinamia relatiistia. Introduzione alla Relatiità Ristretta. V parte. 7 La Generalizzazione Relatiistia delle Leggi della Meania Prinipio d inerzia ereditato dalla meania lassia: Deinise la lasse dei SdR inerziali e ne postula l esistenza. Coarianza rispetto alle trasormazioni di Lorentz: La nuoa legge osì soddiserà, automatiamente, il prinipio di relatiità ed il postulato dell inarianza della eloità della lue. Validità del prinipio di orrispondenza: Grandezze e le leggi isihe, nella loro nuoa ormulazione, deono riondursi a quelle lassihe nel limite di eloità piole rispetto a quella della lue. Introduzione alla Relatiità Ristretta. V parte. 8 Conserazione della Quantità di Moto Consideriamo l urto elastio in igura tra due sere di uguale massa m. Consideriamo un SdR S in ui le due sere abbiano inizialmente eloità opposte: ( ) i i aî + bˆ aî bˆ Quando le due sere urtano, per i loro entri passa una retta parallela all asse. La orza d urto F è periò parallela all asse. Nell urto si inertono periò le omponenti delle eloità, mentre le omponenti restano inariate. ( ) Introduzione alla Relatiità Ristretta. V parte. 9 F F Conserazione della Quantità di Moto (II) In termini matematii: aî bˆ aî + bˆ ( ) aî + bˆ ( ) aî bˆ La quantità di moto totale prima dell urto è: Q i m i + m i m aî bˆ + m aî + bˆ 0 Mentre dopo l urto è: Q m + m ( ) m aî + bˆ + m aî bˆ 0 Dunque la quantità di moto si onsera nell urto. ( ) Introduzione alla Relatiità Ristretta. V parte. 0 F F

6 Trasormazioni di Galileo Trasormazioni di Galileo (II) Consideriamo ora lo stesso urto, isto in un SdR S he si muoe lungo l asse, on eloità V a rispetto V a S, utilizzando le trasormazioni di Galileo: 0 i () () V a a a i i () () b i i ( ) ( ) V a a 0 i i ( ) ( ) b i i ( ) ( ) V a a a () () b V a a 0 ( ) ( ) b F i ( ) i F () () () ( ) ( ) V 0( ) () F i ( ) i F () ( ) ( ) Trasormazioni di Lorentz La quantità di moto si onsera nell urto anhe nel SdR S. Dunque la quantità di moto lassia : Q m + m si onsera nell urto in entrambi i SdR onsiderati. () ( ) () V 0( ) F i ( ) i F ( ) ( ) Consideriamo ora lo stesso urto, isto nel SdR S he si muoe, on eloità V a rispetto a S, utilizzando V le trasormazioni di Lorentz: () () Introduzione alla Relatiità Ristretta. V parte. 3 Introduzione alla Relatiità Ristretta. V parte. Trasormazioni di Galileo (III) () ( ) () Introduzione alla Relatiità Ristretta. V parte. Per quanto riguarda la quantità di moto: Q m () + m ( ) ma + 0 ma i i i () ( ) Qi m + m mb + mb 0 Q m () + m ( ) ma + 0 ma () ( ) Q m + m +mb mb 0 Conrontando: Qi Q Qi Q Qi Q V a a a i V a V () a a + () b b () V () a a a + ( ) () () V aa ( ) i 0 a V ( ) a ( ) b b ( ) i V a a a Introduzione alla Relatiità Ristretta. V parte. 4 0 () F ( ) i F ( ) ( )

7 Trasormazioni di Lorentz (II) Analogamente, per le eloità inali: V a a V a ( a) a + a V b a a b + a ( ) ( ) V V a a ( ) a 0 a ( ) ( ) V b b ( ) a a a Introduzione alla Relatiità Ristretta. V parte. 5 V i ( ) V ( ) 0 F F ( ) i i i Trasormazioni di Lorentz (III) Per quanto riguarda la quantità di moto: a + a b + a Q i ma a Q i mb + + a V ( ) 0 ( ) b a mb a a + a ( ) 0 Introduzione alla Relatiità Ristretta. V parte. 6 b + a Q ma a Q mb + mb + a a ( ) b a i ( ) V ( ) 0 F F ( ) i i i Trasormazioni di Lorentz (IV) Da ui: Q i ma + a Q i mb + + a a Periò: Q i Q i Q Q V Q i Q Q ma + a Q mb + a a Introduzione alla Relatiità Ristretta. V parte. 7 i ( ) V ( ) 0 F F ( ) i i i Trasormazioni di Lorentz (V) La quantità di moto non si onsera nell urto nel SdR S. Dunque la quantità di moto lassia : Q m + m si onsera nell urto nel SdR S ma non nel SdR S. Introduzione alla Relatiità Ristretta. V parte. 8 i ( ) V ( ) 0 F F ( ) i i i i

8 Quantità di Moto Relatiistia Cerhiamo allora una nuoa deinizione di quantità di moto he: Sia inariante per trasormazioni di Lorentz; Si ridua all espressione lassia nel limite << (prinipio di orrispondenza). Oorre he la omponente della quantità di moto sia indipendente dalla omponente della eloità del SdR in ui si ossera l urto. Introduzione alla Relatiità Ristretta. V parte. 9 Quantità di Moto Relatiistia (II) La omponente della quantità di moto lassia si srie, per un singolo punto materiale: Q m m t non ambia passando a un SdR in moto relatio lungo, mentre ambia t. Potremmo allora prendere il tempo proprio inee del tempo t, perhé non ambia. t Q m m t m m Introduzione alla Relatiità Ristretta. V parte. 30 Quantità di Moto Relatiistia (III) Quantità di Moto Relatiistia (IV) Deiniamo allora la quantità di moto relatiistia: Q m m, Poihé si ha: Q m m Dunque il prinipio di orrispondenza è soddisatto. Q Q r m Q m La quantità di moto relatiistia osì deinita: Q m m si onsera negli urti in tutti i SdR inerziali. Q Q r m Q m Introduzione alla Relatiità Ristretta. V parte. 3 Introduzione alla Relatiità Ristretta. V parte. 3

9 Massa Relatiistia Massa Relatiistia (II) Possiamo anhe esprimere la quantità di moto relatiistia (detta la massa lassia ): Q m0 ome: Q m doe la quantità: m( ) è detta massa relatiistia. m( ) m( ) Nell espressione della massa relatiistia: m m( ) 0 la massa lassia è anhe la massa nel SdR in ui il orpo è in quiete. è periò detta massa a riposo o massa inariante: è inariante per trasormazioni di Lorentz in quanto per deinizione è la massa nel SdR in ui il orpo è in quiete. m( ) m( ) Introduzione alla Relatiità Ristretta. V parte. 33 Introduzione alla Relatiità Ristretta. V parte. 34 Massa Relatiistia (III) Energia Relatiistia L aumento relatiistio della massa: m( ) è stato eriiato in ari esperimenti di delessione di elettroni; è eriiato inoltre nel unzionamento di tutti gli aeleratori di partielle. m( ) m( ) Consideriamo l identità matematia: La quantità è un inariante per trasormazioni di Lorentz, essendo sempre uguale a. Moltipliando la ambo i membri della relazione per 4 (pure inariante) si ottiene: m 0 ( 4 ) m 0 4 Introduzione alla Relatiità Ristretta. V parte. 35 Introduzione alla Relatiità Ristretta. V parte. 36

10 Energia Relatiistia (II) Riordando he Q, oero: Q si ottiene l inariante: m 0 ( 4 ) m Q 4 Consideriamo ora nel primo termine la quantità : Introduzione alla Relatiità Ristretta. V parte. 37 Energia Relatiistia (III) T Nel limite non relatiistio << si ha: m m Nel II termine rionosiamo l energia inetia lassia T. Possiamo allora deinire l energia totale relatiistia ome: E 0.5 Introduzione alla Relatiità Ristretta. V parte. 38 E E T Energia Relatiistia (IV) Potremo sriere la preedente identità inariante: 4 Q 4 ome: E Q 4 Essendo il II membro inariante per trasormazioni di Lorentz, anhe il I membro è inariante: E Q E Q E E E T Energia Relatiistia (V) I 3 termini dell equazione: E Q m 0 4 hanno tutti le dimensioni di un energia al quadrato. Il termine: E 0 è l energia he il orpo possiede quando la sua eloità è nulla. È detto periò energia a riposo. E E E T Introduzione alla Relatiità Ristretta. V parte Introduzione alla Relatiità Ristretta. V parte. 40

11 Energia Relatiistia (VI) L energia inetia relatiistia si può sriere ome: E E 0 E ( ) Come abbiamo isto: << m << T m 0 << E + 0 E E T Energia Relatiistia (VII) Si osseri inoltre he, dalle deinizioni: Q E E diidendo la prima per la seonda e riaando Q si ottiene: Q E E E T Introduzione alla Relatiità Ristretta. V parte Introduzione alla Relatiità Ristretta. V parte. 4 Energia Relatiistia (VIII) Conserazione dell Energia Relatiistia Un orpo in quiete possiede un energia non nulla: Nella Fisia Classia l energia meania si onsera. Meania lassia: l energia è deinita a meno di una ostante additia arbitraria. La relatiità issa il alore di tale ostante attribuendole un signiiato ben deinito: quantità di energia ontenuta nella massa del orpo. Nella Chimia Classia si onsera la massa (prinipio di Laoisier). Nella Fisia Relatiistia massa ed energia meania possono non onserarsi: Una parte dell energia a riposo, o tutta, può trasormarsi in energia inetia o in un altra orma di energia. Nuoa legge di onserazione. È possibile onersione di massa in energia o ieersa. Tuttaia si onsera la somma dell energia meania e della massa (moltipliata per ). Generalizza le due leggi lassihe di onserazione: Massa, Energia meania. Introduzione alla Relatiità Ristretta. V parte. 43 Introduzione alla Relatiità Ristretta. V parte. 44

12 Conserazione dell Energia Relatiistia (II) Nei proessi (relatiistii) tra nulei o partielle subnuleari le trasormazioni di massa in energia inetia aengono ontinuamente: P. es., una partiella può deadere in due partielle più leggere (somma masse < massa madre) e più eloi: parte della massa della partiella madre si è trasormata in energia inetia. Vieersa aendo sontrare protoni ad altissima energia in un aeleratore di partielle si possono ottenere partielle di massa molto superiore alla somma delle masse dei protoni: parte dell energia inetia si è trasormata in massa. Introduzione alla Relatiità Ristretta. V parte. 45 Trasormazione della Quantità di Moto e dell Energia Vogliamo ora troare ome ambiano quantità di moto ed energia nel passaggio da un SdR inerziale a un altro. Abbiamo deinito la quantità di moto relatiistia ome: Q, Q m 0, Q m z z 0 Inoltre, dalle deinizioni di energia e tempo proprio: t t E t Introduzione alla Relatiità Ristretta. V parte. 46 Trasormazione della Quantità di Moto e dell Energia (II) Dalle espressioni: t E, Q m 0, Q m 0, Q m z z 0 onsiderando he, e sono inarianti per trasormazioni di Lorentz, si ede he le 4 grandezze: E,Q,Q,Q z si debbono trasormare, per trasormazioni di Lorentz, ome le grandezze: t,,,z E Dunque la quaterna ordinata è un,q,q,q z quadriettore dello spazio di Minkowsk. Trasormazione della Quantità di Moto e dell Energia (III) Dunque dalle trasormazioni delle oordinate troiamo le trasormazioni di energia e quantità di moto: t E Q Q z Q z t t t z z E E Q Q Q E Q Q Q z Q z Introduzione alla Relatiità Ristretta. V parte. 47 Introduzione alla Relatiità Ristretta. V parte. 48

13 Trasormazione della Quantità di Moto e dell Energia (IV) Aremo in onlusione, per le trasormazioni dirette e inerse: E E Q Q Q E Q Q Q z Q z E E + Q Q Q + E Q Q Q z Q z Il Seondo Prinipio della Dinamia Detto anhe legge di Newton, in meania lassia (essendo m ostante) si srie: F d Q d m m d dt dt dt m a In meania relatiistia oorre onsiderare he la massa dipende dalla eloità: F d Q dt d m dt m d dt + dm ma + dm dt dt Forza e aelerazione non hanno più la stessa direzione. La orza ha una omponente parallela all aelerazione e una omponente parallela alla eloità. Introduzione alla Relatiità Ristretta. V parte. 49 Introduzione alla Relatiità Ristretta. V parte. 50