LEZIONE # 17. massa entrante = massa uscente m e = m u

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1 LEZIONE # 7 Le misure di portata sono basate sul prinipio di onservazione della massa del luido in movimento. In un tubo di lusso generio, in assenza di sorgenti o di perdite, per ogni intervallo di tempo, si può srivere: massa entrante = massa usente m e = m u V e V = u E possibile dare diverse deinizioni della portata, a seonda he nella deinizione venga inlusa o meno la densità e l aelerazione di gravità g: V Portata in massa: Q v = gv Portata in peso: Q p = V Portata in volume: Q v = Si osservi he se si prende in onsiderazione una superiie nominale S ome nello shema sotto, il luido he attraversa la superiie S nel tempo perorre mediamente uno spazio Δx : S Δx Volume = S Δx = S v = Qv Δx on v = veloità dell elemento luido. La misura della portata Q nei laboratori viene eseguita mediante la misura diretta delle grandezze he ompaiono nelle deinizioni. In ambito industriale, ovvero nelle ondotte, la misura della portata Q viene atta on rierimento alla portata volumetria Q v = S v. La sezione S della tubazione è in genere una grandezza nota. Il problema è he non altrettanto nota risulta la veloità v del luido dentro la tubazione. Figura 7. Il proilo delle veloità del luido dentro la tubazione assume orma parabolia, ome in igura 7. (a) se il lusso rimane in regime laminare e orma anhe più omplessa, ome in igura 7. (b) se il lusso sade nel regime turbolento. A.A. 009/0 LEZ #7 pag.

2 Nel aso di luidi inompressibili (=ost), oorre misurare in qualhe modo il proilo delle veloità e riavare la veloità media v in modo da poter srivere: Q v = S v = π r v. Se la tubazione ha un diametro ampio e il luido si muove nel tubo on veloità suiientemente elevata, è possibile pensare di introdurre nella tubazione un tubo di Pitot e di rilevare le veloità del luido a diverse distanze dal raggio. Per interpolazione si alola quindi la veloità media v. Quando il diametro della tubazione è insuiiente e, soprattutto, quando le veloità del luido all interno del tubo sono basse ( v < 3 4m / s ), si impiegano i metodi deprimogeni he mirano a determinare la veloità v nel ondotto per mezzo di una depressione Δp prodotta artiiialmente nella vena luida. Figura 7. Nel venturimetro, rappresentato in igura 7., la portata Q v è ostante in ogni sezione, ovvero Q v = S v = S v. Per i luidi inompressibili, essendo la sezione S < S si ottiene quindi la veloità v > v. Nella sezione ontratta la veloità è più alta. Si applihi ora il teorema di Bernoulli di onservazione dell energia tra le sezioni S e S : p + v = p + v p p = ( v v ) S si deinise oeiiente di strozzamento: = S Z < ed essendo: v = v v = Z v S S A.A. 009/0 LEZ #7 pag.

3 Il oeiiente Z è un attore geometrio. In genere, è ornito dal ostruttore oppure è ailmente alolabile. p p = v ( Z ) ( p p ) ( p p ) v = v = Z Z ( ) ( ) la veloità v nella sezione ontratta è ottenuta attraverso la misura della depressione Δp provoata dalla strozzatura. A questo punto, per la portata in volume si ottiene ailmente: Q v = S v = S ( p p ) ( Z ) e per la portata in peso altrettanto ailmente si riava: Q p = gs ( p p ) ( Z ) = gs ( p p ) Z on i termini, G, S, v he sono noti e il Δp he viene misurato da un manometro ollegato alle prese p e p segnate in igura 7.. Nella pratia sono sempre presenti delle perdite tra le sezioni di Qreale misura S ed S he sono portate in onto mediante un oeiiente di elusso C = <. Qideale Inoltre, lo stesso oeiiente di elusso non è ostante, ma dipende dal numero di Reynolds del luido. Il oeiiente C = C(Re) è tabellato ed è ornito dai ostruttori di venturimetri. Valori di C > 0.9 non sono inrequenti. Il punto debole prinipale del venturimetro è la lunghezza, dovuta alla presenza del tratto divergente, dove viene reuperata la pressione (quasi tutta). Per non indurre distahi di vena e provoare turbolenze nel lusso, la oniità del tratto divergente è limitata a pohi gradi (7 5 ) e questa irostanza allunga di molto la dimensione assiale dello strumento. Si tenga presente he il venturimetro deve essere inserito al posto di un tratto di tubazione. Si osservi anhe he, alla ine del tratto divergente non tutto il ario (pressione) viene reuperato, rimane un Δp negativo he rappresenta la perdita di ario omplessiva dovuta alla presenza dello strumento sulla linea. Se questa perdita di ario non viene ompensata on l erogazione di un supplemento di pressione da parte della pompa he spinge il luido, la portata misurata risulta minore di quella he si avrebbe avuto in assenza del venturimetro. La perdita di ario viene ad essere direttamente proporzionale all errore d inserzione dello strumento. Se non si ha a disposizione lo spazio per inserire sulla tubazione un venturimetro, si può tentare la misura della portata mediante uno strumento a diaramma, riportato sotto nella igura 7.3. La urva di graduazione è la medesima del venturimetro, ma il oeiiente di elusso C tiene onto delle notevoli perdite di ario inali, he possono raggiungere anhe il 40%. La posizione della sezione di vena ontratta è deliata e può essere alterata da disturbi nel lusso. Per tutti questi motivi, il oeiiente di elusso qui è unzione di più parametri: C = C(Re, Z, posizione prese di p). I misuratori a diaramma sono ostruiti seguendo una rigida normalizzazione, e sono venduti on le tabelle dei oeiienti di elusso allegate. A.A. 009/0 LEZ #7 pag. 3

4 Figura 7.3 Se si dispone di poo spazio ma è anhe neessario limitare le perdite di ario inali, oorre are una selta di ompromesso e si può installare un misuratore di portata a boaglio, he rappresenta una via di mezzo tra il venturimetro e il diaramma. Le perdite di ario inali sono dell ordine del 5 0%. La urva di graduazione è sempre la stessa del venturimetro perhé il enomeno isio alla base non ambia. Una sezione di misuratore a boaglio è riportata di sotto nella igura 7.4. A.A. 009/0 LEZ #7 pag. 4

5 Figura 7.4 Un graio he mostra le perdite di ario a onronto per i tre metodi deprimogeni della misura di d portata è riportato nella igura 7.5 seguente, dove β = < è il rapporto tra i diametri delle due d sezioni, ed è direttamente proporzionale al oeiiente di strozzamento Z. A.A. 009/0 LEZ #7 pag. 5

6 Figura 7.5 I metodi deprimogeni qui esposti non esaurisono di erto tutte le possibilità per la misura della portata. Esistono metodi a turbina, metodi elettromagnetii e metodi ultrasonori ad eetto doppler he onsentono di avere in usita direttamente un segnale elettrio. Lo studio dettagliato di questi dispositivi è rimandato ai orsi speialistii. Per onludere l argomento si desidera però aennare al prinipio di unzionamento di un misuratore di portata partiolare, ompletamente meanio, basato sul galleggiamento di un indiatore in rotazione dentro il lusso: il lussimetro. Con rierimento alla igura 7.6, il lussimetro è ostituito da un tubo di vetro o di materiale plastio trasparente on orma lievemente tronoonia. Esso viene inserito in posizione vertiale sul tubo di erogazione del luido. Come si vede anhe nell esempio di igura 7.6, sulla parte esterna del tubo è inisa la graduazione. All interno del tubo tronoonio è inserito un galleggiante di materiale e di orma opportuni. Quando non vi è passaggio di luido (Q=0) il galleggiante è adagiato sul ondo del tubo trasparente. Quando invee viene atto passare il luido, il galleggiante viene sollevato dal lusso e, a seonda della portata Q, si posiziona ad una erta altezza in orrispondenza della quale l operatore legge direttamente il valore della portata sulla sala graduata. La urva di graduazione è basata sulla semplie relazione di equilibro tra le orze: peso del galleggiante (in aqua) = spinta del lusso. A.A. 009/0 LEZ #7 pag. 6

7 Figura 7.6 Peso del galleggiante (in aqua ) = * gv on * = (densità del galleggiante densità del luido) e V volume del galleggiante. Spinta del luido = ( p p )A on p p dierenza di pressione esistente tra le zone prima e dopo il galleggiante e A sezione massima del galleggiante. ( ) gv = ( p p )A gv ( ) = p p Δp ost A = essendo tutte le grandezze he igurano nel termine a sinistra dell equazione ostanti, risulta ostante anhe la dierenza di pressione tra sotto e sopra il galleggiante. Tra l altro, il Δp dipende solo da attori geometrii e dalla dierenza ostante di densità tra galleggiante e luido, quindi non dipende dalla quota raggiunta dal galleggiante. Si applihi ora il teorema di Bernoulli per la onservazione dell energia: p p = v La veloità v he ompare in questa relazione è relativa alla sezione anulare di passaggio del luido he si viene a reare tra il galleggiante e il tubo tronoonio, proprio in virtù dell elevazione del galleggiante. Essendo il Δp ostante, dall equazione di Bernoulli si rionose he anhe la veloità v del lusso in orrispondenza della sezione anulare è ostante, e questo vale per qualunque sezione anulare ovvero, per qualunque quota raggiunta dal galleggiante. Inserendo quindi la relazione di Bernoulli nell equazione di sopra si ottiene: gv ( ) = v v gv = A gv v = A A Se v è ostante per ogni sezione anulare ovvero, per ogni quota del galleggiante, essendo Q v = S v, on S sezione anulare, al variare di Q deve variare proporzionalmente la sezione anulare S, eo perhé è assolutamente neessario ostruire il ondotto trasparente on orma tronoonia. Per la portata del luido si ottiene quindi: A.A. 009/0 LEZ #7 pag. 7

8 Q v = C S v = C S gv A urva di graduazione lineare! dove C è il ben noto oeiiente di elusso. I lussometri sono misuratori di portata estremamente semplii ed aidabili, unzionano bene anhe per piole portate e sono utilizzati speialmente nelle appliazioni dove oorre avere la ertezza del lusso (ad es. la misura della portata di ossigeno o di aria mediale nelle amere operatorie). Note: Figure 9., 9., 9.6 ourtesy o: Behwith, Marangoni, Lienhard Mehanial Measurements Addison & Wesley Figure 9., 9.3, 9.4, 9.5 ourtesy o: Figliola, Beasley Theory and Design or Mehanial Measurement John Wiley & Sons, In. A.A. 009/0 LEZ #7 pag. 8