Prova scritta di metà corso mercoledì 12 maggio 2010

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1 Prova sritta di metà orso meroledì maggio 00 aurea in Sienza e Ingegneria dei Materiali anno aademio Istituzioni di Fisia della Materia - Prof. orenzo Marrui Tempo a disposizione: ora e 55 minuti Uso degli appunti o di libri: NON AMMESSO; uso della alolatrie: AMMESSO Nota: per lasiare un margine di reupero interno a questo ompito, il totale dei punti a disposizione è fissato a 3 invee he a 30, ma il voto massimo di questo sritto ai fini della media per il voto finale resta omunque 30/30. ) Una assa austia genera onde sonore all interno di un tubo di sezione S = 500 m e lunghezza =.00 m, posto ad una temperatura T = 300 K. a membrana della assa austia è inizialmente ferma nella sua posizione di riposo. A partire dall istante t = 0, la membrana della assa si muove avanti e indietro lungo l asse x del tubo, eseguendo un movimento osillatorio armonio, on 4000 osillazioni omplete al minuto. Il movimento iniziale della membrana è nel verso positivo dell asse x. Calolare la frequenza ilia (a), la lunghezza d onda (b) e la fase iniziale () delle onde sonore generate, quest ultima posizionando l origine dell asse x in orrispondenza della posizione di riposo della membrana. Sapendo he quando l onda sonora armonia generata dalla membrana ha raggiunto l estremità finale del tubo, la sua energia omplessiva (mediata per le osillazioni) è pari a 700 mj, alolare anhe l ampiezza (d) dello spostamento dell aria assoiato all onda. Si può dimostrare he la pressione dell aria p(x,t) in presenza dell onda sonora è legata allo spostamento dell aria ξ(x,t) dalla seguente legge: p= p 0 γ ξ. Il tubo x termina on un apertura all aria esterna, dove la pressione risulta fissata a quella atmosferia di equilibrio. Calolare (e) l ampiezza dello spostamento dell aria in orrispondenza dell apertura del tubo, tenendo onto anhe dell effetto di questa apertura sulle onde presenti nel tubo (ma attenzione: non dovete onsiderare la situazione a regime, onsiderate solo la situazione he si realizza poo dopo he l onda generata dalla membrana ha raggiunto l apertura del tubo). Il sistema desritto presenta una serie di frequenze di risonanza aratteristihe per le quali una vibrazione anhe molto piola della membrana può generare onde sonore estremamente intense all interno del tubo. Determinare tali frequenze (f), speifiando il valore numerio di quella più piola. [punti: a = 3; b = 3; = 3; d = 3; e = ; f = ] [Promemoria dell analogia tra suono e atena di pendoli: il modulo elastio K della atena di pendoli viene sostituito ome segue: K γp 0 S, dove p Pa è la pressione atmosferia di equilibrio e γ = 7/5 per un gas biatomio ome l aria; la densità lineare di massa dell aria nel tubo ρ l va determinata a partire dalla densità di volume dell aria ρ = M m p 0 /(RT), dove M m 9 g/mol è la massa molare dell aria, R = 8.3 J/(K mol) è la ostante dei gas e T è la temperatura assoluta a ui si trova l aria.] ξ x ) Srivete un saggio di almeno mezza pagina ma non oltre una pagina su una delle seguenti due trae, a vostra selta (ma NON ENTRAMBE). [punti: 8] a. Introdurre le diverse definizioni possibili di probabilità e i rispettivi ampi di appliazione. b. Illustrare l utilizzo e la generalità del metodo degli esponenziali omplessi nella riera di soluzioni partiolari e generali di molte equazioni differenziali della fisia, sia alle derivate intere he alle derivate parziali, definendone anhe i limiti di appliabilità. ATTENZIONE: la prova ontinua alla pagina seguente...

2 seonda pagina Prova sritta di metà orso /5/00 Istituzioni di Fisia della Materia Prof. orenzo Marrui 3) TEST (vale punto per ogni domanda, 8 punti in totale) COGNOME e NOME: MATRICOA: a) Il signor Bonaventura ha una probabilità del 0% di ereditare un milione di euro da una zia ed una probabilità del 0% di vinere un milione di euro ad una lotteria. Qual è la probabilità omplessiva he il signor Bonaventura si ritrovi ad essere milionario? b) Un ghepardo perorre una distanza di (00±) m in un tempo di (4.00±0.04) s. Calolare la veloità del ghepardo ompleta di inertezza: ) Un osillatore presenta una frequenza di risonanza ω 0 = Mrad/s, ed un tempo di smorzamento τ = /γ = 0 ms. Se l osillatore è sottoposto ad una forza esterna osillante, alolare il fattore di amplifiazione delle osillazioni in risonanza rispetto al aso di bassa frequenza: d) espressione he desrive qualsiasi moto possibile di un sistema di tre osillatori aoppiati, e 3 è la seguente: iωt i3ωt i5ωt iωt i3ωt i5ωt iωt i3ωt i5 t x() t = ae + be e ; x() t = ae + be + 3 e ; x3() t = ae be + e ω, dove a, b e sono tre ostanti indeterminate. Determinare le frequenze aratteristihe e i vettori di ampiezze omplesse (autovettori) di tutti i modi normali del sistema: e) In una atena di pendoli aratterizzata da veloità delle onde v 0 = 0.5 m/s, tutti i pendoli sono inizialmente fermi in posizione vertiale. Al tempo t = 0 viene impressa un veloità positiva al pendolo A posto in x A = m. Dopo quanto tempo si muoverà (se si muoverà) un pendolo B posto in x B = 3 m? f) Una stazione radio dispone di una banda di frequenze larga 50 khz. Qual è la durata del più breve impulso di segnale he la stazione può inviare o rievere? g) Calolate l ampiezza del ampo magnetio di un onda elettromagnetia il ui ampo elettrio osilla on ampiezza E 0 = 3 kv/m: h) Determinare la lunghezza d onda e la direzione di propagazione (espressa a parole) di un onda piana on vettore d onda k = (00, 0, 00) rad/m:

3 Soluzione dell eserizio a) a membrana ompie 4000 osillazioni in 60 seondi, per ui la frequenza ilia è: Frequenza: 4000 ν = = 700 Hz 60 b) Dobbiamo determinare prima di tutto la veloità v 0 delle onde sonore, partendo dalla solita espressione per la atena dei pendoli e sfruttando la orrispondenza K γp 0 S e la relazione tra densità lineare e densità di volume per la massa ρ l = ρs: K γ p S γ p γrt = = = = = ρl ρs ρ Mm 347 m/s Ora possiamo alolare la lunghezza d onda usando la normale relazione di dispersione 347 unghezza d onda: λ = = = 0.50 m = 50 m ν 700 ) Segliamo l origine dell asse x in orrispondenza della posizione di equilibrio della membrana. Per determinare la fase iniziale, sriviamo l espressione reale dell onda armonia generata, in termini di spostamento dell aria ξ: ξ ( xt, ) = Aos( kx ωt+ ϕ) Per x = 0 (ossia sulla membrana) e t = 0, si ha ξ (0,0) = Aos( ϕ ) Sapendo he questa posizione deve anhe orrispondere alla posizione di equilibrio, ossia di spostamento nullo, il oseno deve annullarsi, per ui si ha ϕ = ±π/. Il segno della fase iniziale dipende da ome inizia a muoversi la membrana, se in avanti o indietro. Dato he la membrana inizia a muoversi in avanti, si deve avere ( ω ) ξ(0, t) = Aos t + ϕ > 0 per t > 0 piolo. Quindi si verifia he questo si ottiene per Fase iniziale: ϕ = +π/ d) Dall energia totale E dell onda possiamo alolare la densità di energia per unità di lunghezza ome segue: de E = dx

4 Questa è legata all ampiezza dello spostamento dell aria ome per la atena dei pendoli de dx = Kk A Usando anhe qui la orrispondenza K γp 0 S, otteniamo de dx E = = γ p0sk A Riavando l ampiezza, si ha: E λ E Ampiezza spostamento aria: A = = = 0.8 mm γ pk S π γ ps e) a faia aperta del tubo vinola la pressione dell onda ad essere uguale a quella atmosferia di riposo p 0. Pertanto per x = vale la ondizione al ontorno seguente: ξ p( x =, t) = p γ = p x x= da ui otteniamo ξ x x= = 0 () Questa ondizione al ontorno genera un onda riflessa, però on aratteristihe leggermente diverse da quelle dell onda riflessa da un estremo fisso (ome sarebbe se il tubo fosse hiuso). Utilizziamo questa ondizione per determinare l espressione dell onda riflessa. Utilizzando la notazione omplessa, possiamo srivere onda inidente: ξ = Ae i i ( ωt) ikx dove l ampiezza omplessa è Ai i = Ae ϕ, on A e ϕ determinate preedentemente. onda riflessa: ξ = Ae r r ( ω ) i kx t a ondizione () fornise: ika e ik iωt ika e = 0 ik iωt i r da ui A r = Ae i ik Il ampo totale ξ(x,t) risultante dalla sovrapposizione dell onda inidente e dell onda riflessa è quindi il seguente: ξ ξ ξ [ ] (, ) ikx i ω t ik ikx i ω t ik ikx ik ikx + ik i ω t ik x t os ( ) i ω = t i + r = Aie + Ai e = Aie e + e e = Ai e k x e

5 Per x =, il ampo ξ osilla on ampiezza omplessa A i e ik = A e ik+iϕ. ampiezza reale di osillazione è data dal modulo di questa ampiezza omplessa, ossia da A (perhé l esponenziale ha modulo ). Quindi, abbiamo la risposta Ampiezza di osillazione aria all usita del tubo: A =.6 mm f) e frequenze aratteristihe del sistema sono quelle di un risonatore, in ui però le due ondizioni al ontorno sono diverse. Quella in orrispondenza della membrana è la solita ondizione di annullamento del ampo di spostamento ξ, mentre quella in orrispondenza dell apertura è la ondizione di annullamento della variazione di pressione, ossia della derivata spaziale della ξ. e frequenze possibili di questo risonatore si possono trovare proedendo ome segue. Per una data frequenza ω il ampo ξ è dato in generale dalla sovrapposizione di due onde armonihe ontro-propaganti (he sono le unihe soluzioni dell equazione delle onde he hanno la frequenza data): ikx iωt ξ ( xt, ) = Ae + Ae ikx iωt () Questa espressione va poi soggetta alle due ondizioni al ontorno: ondizione alla membrana: ξ ( ) i t (0, t) = A + A e ω = 0 ξ ik iωt ik iωt ondizione all apertura del tubo: = ikae ika e = 0 x x= a prima ondizione mi impone ondizione A = A. a seonda, dopo aver sostituito questa prima, mi fornise la os( k ) = 0 da ui ottengo le frequenze spaziali k ammesse: k = ( n + ) π dove n è un intero qualsiasi. Per tali frequenze, il ampo interno al tubo dato dalla () diventa il seguente: ( n+ ) π x ξ (, ) = os iωt x t A e Dato he os( α)=os(α), si vede he gli n negativi restituisono le stesse soluzioni degli n positivi. Invee, n = 0 è una soluzione diversa, da onsiderare (al ontrario di quanto suede on il risonatore in ui entrambi gli estremi sono tenuti fermi). e frequenze temporali sono ottenute dalle frequenze spaziali tramite la relazione di dispersione, per ui si ha: frequenze possibili: ν ( n + ) v = 0 = 0,,, n In partiolare la frequenza più bassa (frequenza fondamentale) è quella he si ottiene on n = 0, ossia

6 frequenza fondamentale: ν 0 = = 43 Hz 4 Va notato he le altre frequenze possibili sono solo i multipli interi dispari di questa frequenza fondamentale e non tutti i multipli interi.

7 SOUZIONI seonda pagina Prova sritta di metà orso /5/00 Istituzioni di Fisia della Materia Prof. orenzo Marrui 4) TEST (vale punto per ogni domanda, 8 punti in totale) COGNOME e NOME: MATRICOA: i) Il signor Bonaventura ha una probabilità del 0% di ereditare un milione di euro da una zia ed una probabilità del 0% di vinere un milione di euro ad una lotteria. Qual è la probabilità omplessiva he il signor Bonaventura si ritrovi ad essere milionario? evento he il sig. Bonaventura diventi milionario (evento M) è dato dall unione dei due eventi (hiamamoli Z e ), he però non sono inompatibili (possono aadere entrambi). Trattandosi di due eventi hiaramente indipendenti: P(M) = P(Z)+P() P(Z)P() = 36% j) Un ghepardo perorre una distanza di (00±) m in un tempo di (4.00±0.04) s. Calolare la veloità del ghepardo ompleta di inertezza: errore relativo del rapporto è la somma degli errori relativi, he in questo aso sono del % e dell %. Periò l errore è dato da %+% = 3%. a veloità è 00/4 = 5 m/s, on un errore del 3%, o anhe V = (5.0 ± 0.8) m/s k) Un osillatore presenta una frequenza di risonanza ω 0 = Mrad/s, ed un tempo di smorzamento τ = /γ = 0 ms. Se l osillatore è sottoposto ad una forza esterna osillante, alolare il fattore di amplifiazione delle osillazioni in risonanza rispetto al aso di bassa frequenza: Il fattore di amplifiazione è dato dal fattore di qualità, dato da Q = πτ/t = ω 0 /γ = τω 0 / = 0 4 = 0000 l) espressione he desrive qualsiasi moto possibile di un sistema di tre osillatori aoppiati, e 3 è la seguente: iωt i3ωt i5ωt iωt i3ωt i5ωt iωt i3ωt i5 t x() t = ae + be e ; x() t = ae + be + 3 e ; x3() t = ae be + e ω, dove a, b e sono tre ostanti indeterminate. Determinare le frequenze aratteristihe e i vettori di ampiezze omplesse (autovettori) di tutti i modi normali del sistema: Frequenze: ω, 3ω, 5ω. Vettori ampiezze:,, 3 m) In una atena di pendoli aratterizzata da veloità delle onde v 0 = 0.5 m/s, tutti i pendoli sono inizialmente fermi in posizione vertiale. Al tempo t = 0 viene impressa un veloità positiva al pendolo A posto in x A = m. Dopo quanto tempo si muoverà (se si muoverà) un pendolo B posto in x B = 3 m? xb xa 5 Il tempo è lo stesso neessario ad un onda a propagarsi dal pendolo A al pendolo B: t = = = 0 s 0.5 n) Una stazione radio dispone di una banda di frequenze larga 50 khz. Qual è la durata del più breve impulso di segnale he la stazione può inviare o rievere? Δ t =.6 μs Δω = 4πΔν = o) Calolate l ampiezza del ampo magnetio di un onda elettromagnetia il ui ampo elettrio osilla on ampiezza E 0 = 3 kv/m: B E 5 / = = 0 T = 0μT p) Determinare la lunghezza d onda e la direzione di propagazione (espressa a parole) di un onda piana on vettore d onda k = (00, 0, 00) rad/m: π π λ = = = 4.4 m a direzione è la bisettrie tra gli assi xz, verso il basso e sinistra. k 00