Prova scritta di metà corso mercoledì 6 maggio 2015

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1 Prova scritta di metà corso mercoledì 6 maggio 215 Laurea in Scienza e Ingegneria dei Materiali anno accademico Istituzioni di Fisica della Materia - Prof. Lorenzo Marrucci Tempo a disposizione: 1 ora e 55 minuti Uso degli appunti o di libri: NON AMMESSO; uso della calcolatrice: AMMESSO Nota: lasciare un margine di recuo interno a questo compito, il totale dei punti a disposizione è fissato a 32 invece che a 3, ma il voto massimo di questo scritto ai fini della media il voto finale resta comunque 3/3. 1) Considerate una catena infinita di pendoli uguali, ciascuno di massa m = 5. g, sospesi con fili molto lunghi e collegati a due a due da molle uguali (come in figura). La distanza tra i punti di sospensione di due pendoli consecutivi è pari a 4. cm. x Inizialmente, nella regione centrale della catena vi è un onda armonica che viaggia verso destra. In particolare si misura che il pendolo P collocato nel punto x = 5. m della catena compie esattamente 15 oscillazioni al minuto con ampiezza di 2. cm. Inoltre, si misura che il pendolo Q collocato in x = 49.6 m (ossia 4 cm più avanti) compie oscillazioni ritardate nel tempo di 5 ms rispetto a quelle del pendolo P ( esempio, il pendolo Q raggiunge ciascun massimo di oscillazione 5 ms dopo il pendolo P e analogamente le altre fasi). I pendoli collocati tra P e Q presentano oscillazioni con ritardo inferiore. A partire da questi dati misurati, calcolare il iodo T dell onda (a), la velocità di propagazione v (b), la lunghezza d onda λ (c) e la costante elastica k e delle molle (d). In realtà l onda armonica considerata non è un onda armonica ideale ma è un pacchetto d onde rettangolare che si estende una lunghezza complessiva sulla catena L = 32 m, poi annullarsi bruscamente al di fuori di questo intervallo. Assumendo che t = il centro del pacchetto sia localizzato in x = d = 5 m, scrivere l espressione matematica di tale pacchetto d onde in funzione di spazio x e tempo t (in notazione complessa oppure reale) (e). Calcolare quindi l energia totale del pacchetto d onde (senza includere nel calcolo gli effetti di bordo relativi all inizio e la fine del pacchetto) (f) e la sua larghezza di banda in frequenza (g) (definita come distanza dei due zeri più prossimi al massimo centrale; nota: potete calcolare la banda di frequenze spaziali o temporali, a vostra scelta). Infine, supponete che nella regione x > la catena di pendoli cambi bruscamente le sue caratteristiche, ed in particolare abbia molle di costante elastica quattro volte più grande rispetto a quelle della regione x < e masse uguali. Sapendo che il pacchetto d onde di cui ai punti precedenti si trova inizialmente tutto nella regione x < d, determinare le caratteristiche delle onde che si avranno sulla catena molto tempo dopo che il pacchetto d onde avrà raggiunto l origine (h). [punti: a = 2; b = 3; c = 3; d = 2; e = 1; f = 1; g = 2; h = 2] 2) Scrivete un saggio di almeno mezza pagina ma non oltre una pagina su una delle seguenti due tracce, a vostra scelta (ma NON ENTRAMBE). [punti: 8] a. Illustrare il fenomeno della risonanza, dimostrandone le principali proprietà mediante l analisi delle equazioni dinamiche di un sistema fisico specifico, preso ad esempio. b. Illustrare il concetto di onde longitudinali e trasversali, facendo esempi di sistemi fisici che presentano queste due tipologie di onde e spiegando anche il concetto di polarizzazione dell onda nel caso delle onde trasversali. ATTENZIONE: la prova continua alla pagina seguente...

2 seconda pagina Prova scritta di metà corso 6/5/215 Istituzioni di Fisica della Materia Prof. Lorenzo Marrucci 3) TEST (vale 1 punto ogni domanda, 8 punti in totale) COGNOME e NOME: MATRICOLA: a) Il gioco del calcio è caratterizzato da una notevole dipendenza da eventi fortuiti, la cui probabilità ovviamente dipende dalla qualità media della squadra e dell avversario. Supponete che una certa particolare squadra abbia una probabilità di segnare unità di tempo pari a p =.2 gol/min. Qual è la probabilità che la squadra segni 3 gol in una singola partita di 9 minuti? b) Misure ripetute del iodo di oscillazione di un oscillatore sono le seguenti (espresse in µs): 22.4, 22.6, 22.5, 22.9, Riportare il risultato complessivo della misura con la corrispondente incertezza una confidenza del 95%: c) Un corpo di forma cubica ha una massa di (15.±.6) g. Lo spigolo del cubo ha una lunghezza di (5.±.1) mm. Assumendo che le incertezze siano di tipo massimo, calcolare la densità del corpo e riportarla con la sua incertezza: d) Specificare la condizione dinamica che deve soddisfare un sistema fisico composto da molti corpi poter dire che il sistema si trova in un modo normale di oscillazione: e) In una catena infinita di pendoli caratterizzata da velocità delle onde v =.5 m/s, tutti i pendoli sono inizialmente fermi in posizione verticale. Al tempo t = viene impressa un velocità negativa pari a.2 m/s al pendolo A posto in x A =. Dopo quanto tempo inizierà a muoversi (se mai si muoverà) un pendolo B posto nel punto x B = 4 m? f) Determinare le due frequenze caratteristiche più basse di un risonatore elettromagnetico consistente in due specchi affacciati che distano tra loro 15 cm (frequenze cicliche): g) Determinare le componenti del vettore d onda k di un onda armonica piana sonora di frequenza ciclica 5 Hz che si propaga nella direzione giacente nel piano xz che forma un angolo di 3 con l asse x (velocità del suono = 34 m/s): h) Scrivere l espressione matematica di un onda armonica sferica generata da una sorgente puntiforme collocata nel punto r = (x, y, z ) (cioè NON collocata nell origine delle coordinate):

3 Soluzione dell esercizio 1 a) Il dato che il pendolo P compie 15 oscillazioni al minuto corrisponde ad una frequenza ciclica di ν = 15 min 1 = 15/6 s 1 =.25 Hz Questa è anche la frequenza dell intera onda armonica. Da questa otteniamo ω = 2πν = 1.57 rad/s e il Periodo dell onda: T = 1/ν = 4. s b) Il ritardo t = 5 ms nell oscillazione del pendolo Q rispetto al pendolo P ci dice che l onda si muove della distanza x = x Q x P = 4 cm nel tempo t. Quindi la velocità di propagazione risulta velocità di propagazione: v = x / t =.4/.5 m/s =.8 m/s A questo stesso risultato si può arrivare anche scrivendo l equazione dell onda armonica e imponendo che nel punto P e nel punto Q vi sia un massimo (o un altro momento equivalente) dell oscillazione rispettivamente due tempi t 1 e t 2 che differiscono di t. Questo fornisce il rapporto ω/k ossia la velocità dell onda. c) Usando la relazione di dissione, si ha Lunghezza d onda: λ = v / ν = 3.2 m d) La velocità di propagazione è legata alla costante elastica delle molle tramite la seguente relazione: v = K ρ l = δ x k e m, dove abbiamo chiamato δx = 4 cm la distanza tra i pendoli (avendo già utilizzato il simbolo x) e nella seconda espressione abbiamo usato le relazioni ρ l = m / Δx, K = k e Δx, da cui otteniamo Costante elastica molle: k e = m v δ x e) 2 = = 2. N/m L espressione completa del pacchetto d onde (in notazione complessa) è la seguente: Pacchetto d onde: ξ(x,t) = Ae ik x iω t x v t < d L / 2 d L / 2 < x v t < d + L / 2 x v t > d + L / 2 dove abbiamo ora introdotto i simboli k e ω indicare le frequenze centrali del pacchetto d onde, coincidenti con le k e ω che prima avevamo attribuito all onda armonica.

4 f) Per calcolare l energia conviene usare la f(x) del pacchetto d onde in notazione reale, ossia f (x) = Re[ ξ(x,) ] = Acos k x x < d L / 2 d L / 2 < x < d + L / 2 x > d + L / 2 e quindi abbiamo la densità di energia de dx = Kf '2 = Kk 2 A 2 sin 2 k x x < d L / 2 d L / 2 < x < d + L / 2 x > d + L / 2 da cui si ottiene Energia totale dell onda: E = g) de dx dx = Kk 2 A 2 sin 2 k x dx = 1 Kk 2 A 2 L = 19.7 mj 2 d+l/2 d L/2 Per calcolare la larghezza di banda serve innanzitutto la trasformata di Fourier: a(k) = 1 2π + f (x)e ikx dx = A 2π d+l/2 d L/2 = A sin ( k k )L / 2 e i k k π k k ( )d e i ( k k )x dx = A 2π e i k x= d+l/2 ( k)x x= d L/2 i( k k) = A ( 2π ei k k )d e i k k ( )L/2 e i k k i( k k) ( )L/2 = Il modulo a(k) di questa trasformata presenta un massimo nel punto k = k, come ci aspettiamo. Inoltre il modulo si annulla nei punti in cui il seno si annulla, ossia k = k ± π L / 2 da cui la larghezza di banda (in frequenze spaziali) è Larghezza di banda: Δk = 4π L =.39 rad/m Questo risultato è identico al caso del pacchetto d onde rettangolare centrato nel punto x = anziché x = d. In effetti le trasformate di Fourier differiscono il fattore di fase exp[i(k-k )d], ma prendendo il modulo vengono a coincidere. Era anche ragionevole supporre che la posizione del pacchetto d onde non potesse influenzarne la larghezza di banda. La larghezza di banda temporale, esempio ciclica, è quindi data da ν = v k = 5 mhz. h)

5 Le condizioni al bordo da imporre al campo ξ nel punto x = di contatto tra le due catene sono le seguenti. I pendoli al bordo devono fare approssimativamente lo stesso movimento (nel limite continuo), ossia: ξ 1 (x=,t) = ξ 2 (x=,t) (1) dove ξ 1 e ξ 2 sono due funzioni che rappresentano rispettivamente il campo ξ x< (prima catena) e x> (seconda catena). Inoltre, dobbiamo imporre che la forza elastica scambiata tra le due catene sia la stessa. La forza elastica scambiata tra due pendoli adiacenti è data dalla seguente espressione: ξn ξn 1 ξ Fnn, 1 = ke( ξn ξn 1) = keδx K Δx x (2) Perciò l uguaglianza delle forze scambiate ai due lati del punto di contatto si traduce nella seguente condizione: K 1 ξ 1 x x= = K 2 ξ 2 x x= ξ 1 x x= = 4 ξ 2 x x= (3) dove nella seconda espressione abbiamo usato il fatto che la costante elastica nella catena 2 è il quadruplo di quella nella regione 1. E anche utile determinare la velocità delle onde sulla seconda catena. La velocità delle onde è proporzionale alla radice quadrata di K, cui: v 2 = 2v 1 (4) Scriviamo ora la soluzione generale dell equazione di D Alembert le due regioni: ξ 1 = f (t x / v 1 ) + g(t + x / v 1 ) ξ 2 = h(t x / v 2 ) + p(t x / v 2 ) (5) In questa espressione f, g e h sono l onda incidente e riflessa nella regione 1 e quella trasmessa nella regione 2. L onda p sarebbe un onda nella regione 2 che viaggia verso il punto x =. Date le condizioni iniziali del problema (ossia che inizialmente non ci sono onde nella regione 2), quest ultima si deve annullare. Si è inoltre scelto questioni di convenienza nei calcoli di scrivere l argomento di queste funzioni come t±x/v anziché x±vt, cosa comunque del tutto equivalente. Sostituendo le (5) nelle condizioni (1) e (3) otteniamo: f (t) + g(t) = h(t) 1 f (t) + 1 g (t) = 4 h (t) v 1 v 1 v 2 (6) dove con l apice indichiamo la derivata rispetto all argomento della funzione (la convenienza di usare t±x/v come argomento delle funzioni si vede proprio in questa equazione, ché x = tutte e tre le funzioni in gioco diventano funzioni del medesimo argomento t). Integrando rispetto al tempo la seconda delle (6) (e ponendo a zero la costante d integrazione, che non descrive un onda) e introducendo il rapporto tra le velocità dato dalla (4), otteniamo le seguenti equazioni f (t) + g(t) = h(t) f (t) g(t) = 2h(t) (7) Possiamo ora risolvere le due equazioni l onda trasmessa h(t) e l onda riflessa g(t), ottenendo:

6 h(t) = 2 3 f (t) g(t) = 1 3 f (t) (8) Queste relazioni ci forniscono tutte le caratteristiche delle onde nelle due regioni.

7 SOLUZIONI seconda pagina Prova scritta di metà corso 6/5/215 Istituzioni di Fisica della Materia Prof. Lorenzo Marrucci 4) TEST (vale 1 punto ogni domanda, 8 punti in totale) i) Il gioco del calcio è caratterizzato da una notevole dipendenza da eventi fortuiti, la cui probabilità ovviamente dipende dalla qualità media della squadra e dell avversario. Supponete che una certa particolare squadra abbia una probabilità di segnare unità di tempo pari a p =.2 gol/min. Qual è la probabilità che la squadra segni 3 gol in una singola partita di 9 minuti? La distribuzione della variabile casuale numero di gol è una Poissoniana con media µ = 9p = 1.8 gol. Quindi si ha P(3) = µ 3 3! e µ =.16 = 16% j) Misure ripetute del iodo di oscillazione di un oscillatore sono le seguenti (espresse in µs): 22.4, 22.6, 22.5, 22.9, Riportare il risultato complessivo della misura con la corrispondente incertezza una confidenza del 95%: T = (22.6 ±.17) µs o anche (arrotondando l errore a una cifra) T = (22.6 ±.2) µs k) Un corpo di forma cubica ha una massa di (15.±.6) g. Lo spigolo del cubo ha una lunghezza di (5.±.1) mm. Assumendo che le incertezze siano di tipo massimo, calcolare la densità del corpo e riportarla con la sua incertezza: ρ = M/V = M/L 3 = 1.2 g/cm 3 ± 1% = (1.2 ±.12) g/cm 3 l) Specificare la condizione dinamica che deve soddisfare un sistema fisico composto da molti corpi poter dire che il sistema si trova in un modo normale di oscillazione: Tutti i corpi del sistema devono stare oscillando alla medesima frequenza m) In una catena infinita di pendoli caratterizzata da velocità delle onde v =.5 m/s, tutti i pendoli sono inizialmente fermi in posizione verticale. Al tempo t = viene impressa un velocità negativa pari a.2 m/s al pendolo A posto in x A =. Dopo quanto tempo inizierà a muoversi (se mai si muoverà) un pendolo B posto nel punto x B = 4 m? Si muove dopo un tempo t = x B /v = 8 s n) Determinare le due frequenze caratteristiche più basse di un risonatore elettromagnetico consistente in due specchi affacciati che distano tra loro 15 cm (frequenze cicliche): Le frequenze cicliche del risonatore sono c ν = n con n=1,2,, da cui ottengo: 1 GHz e 2 GHz 2L o) Determinare le componenti del vettore d onda k di un onda armonica piana sonora di frequenza ciclica 5 Hz che si propaga nella direzione giacente nel piano xz che forma un angolo di 3 con l asse x (velocità del suono = 34 m/s): Il modulo è k = 2πν v = 9.23 rad/m da cui: k x = k cos(3 ) = 7.99 rad/m, k y =, k z = k sin(3 ) = k/2 = 4.62 rad/m p) Scrivere l espressione matematica di un onda armonica sferica generata da una sorgente puntiforme collocata nel punto r = (x, y, z ) (cioè NON collocata nell origine delle coordinate): ξ(r,t) = A r r e ik r r iωt = A (x x ) 2 + (y y ) 2 + (z z ) 2 eik (x x ) 2 +(y y ) 2 +(z z ) 2 iωt