Esame di Fisica Matematica III, a.a (8/2/2011)

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1 Esame di Fisica Matematica III, a.a (8//011) Tempo a disposizione: TRE ORE. Non e consentito l uso di appunti o calcolatrici. Svolgere tutti gli esercizi. Esercizio 1. Determinare la piu generale soluzione u(x, y) per l equazione x u x + x u y = y. Esercizio. Si determini, attraverso il metodo delle caratteristiche, la piu generale soluzione dell equazione delle onde u tt = u xx con dato iniziale u(x, 0) = φ(x) = x e kx, u t (x, 0) = ψ(x) = 0. Esercizio 3. Si consideri l equazione delle onde u tt = u xx sull intervallo x [1, 3] con condizioni al bordo u(1, t) = u(3, t) = 0 e condizione iniziale u(x, 0) = 0, u t (x, 0) = e (x ) 1/e. Se ne determini la soluzione in funzione dello sviluppo di Fourier dei dati iniziali [NB: non e richiesto di effettuare l integrale necessario a determinare esplicitamente ψ k ]. Esercizio 4. Si consideri l equazione di diffusione u t = u xx sulla retta con dato iniziale u(x, 0) = x e x /. Se ne determini la soluzione per t > 0. Esercizio 5. Si consideri l equazione del calore u t = 4 u xx sull intervallo x [0, L], con condizioni al bordo u x (0, t) = u x (L, t) = 0. Se ne determini la soluzione che soddisfa al dato iniziale u(x, 0) = 1 sin (πx/l). 1

2 Tabella delle piu comuni trasformate di Fourier Nel seguito indichiamo con δ(x) la delta di Dirac, con Θ(x) la funzione gradino, e con χ(a) la funzione caratteristica dell intervallo [ a, a], cioe Θ(x) = { 1 per x 0 0 per x < 0 ; f(x) = { 0 per x > A 1 per x A. La convenzione usata e la seguente: data una funzione f(x), la sua trasformata di Fourier e la funzione f(k) = 1 f(x) e ikx dx ; π la antitrasformata di Fourier della funzione f(k) e data da f(x) = 1 π f(k) e ikx dk. Il parametro A sara sempre supposto essere reale e positivo. f(x) f(k) f(x) f(k) χ(a) /π [sin(ak)/k] /π sin(ax)/x χ(a) (1/ π) e x /(A ) (A/ π) e A k / (A/ π) e A x / (1/ π) e k /(A ) e A x /π A A +k /π A A +x δ(x) (1/ π) 1 e A k π δ(k) x e x /(A ) i k A 3 e A k / i x e x / k e k / Integrale gaussiano generale Puo essere utile ricordare che per c reale e negativo si ha (p + qx + rx ) e a+bx+cx dx = = e a b /(4c) 1 4c π c (4c p bcq + b r cr)

3 SOLUZIONE Esercizio 1. Determinare la piu generale soluzione u(x, y) per l equazione xu x + xu y = y. L equazione alle caratteristiche sara La prima equazione fornisce dx x = dy x = du y. x y = z = const. ; scrivendo x = y + z l equazione dy/x = du/y diviene dy y + z = du y che si riscrive come y y + z integrando ambo i membri abbiamo dy = du ; y z log(y + z) = u C con C una costante (cioe una funzione arbitraria di z); abbiamo quindi u(x, y) = f(x y) + y (x y) log(x), con f una funzione (differenziabile) arbitraria del suo argomento. 1 Esercizio. Si determini, attraverso il metodo delle caratteristiche, la piu generale soluzione dell equazione delle onde u tt = u xx con dato iniziale u(x, 0) = φ(x) = xe kx, u t (x, 0) = ψ(x) = 0. Scriviamo u(x, t) = f(x t) + g(x + t) ; ne segue che u t = g (x + t) f (x t), ed al tempo t = 0 si ha u(x, 0) = f(x) + g(x) ; u t (x, 0) = g (x) f (x). Essendo u t (x, 0) = 0, dobbiamo avere f (x) = g (x), ossia g(x) = f(x) + c. 1 La stessa soluzione si puo anche scrivere come u(x, y) = g(x, y) + x (x y) log(x), con g(ξ) = f(ξ) ξ. 3

4 La condizione su u(x, 0) fornisce allora f(x) + c = φ(x) = x e kx. Possiamo quindi porre c = 0, ed abbiamo f(x) = x e kx, g(x) = x e kx. La soluzione cercata e dunque u(x, t) = x t e k(x t) + x + t e k(x+t). Esercizio 3. Si consideri l equazione delle onde u tt = u xx sull intervallo x [1, 3] con condizioni al bordo u(1, t) = u(3, t) = 0 e condizione iniziale Se ne determini la soluzione. u(x, 0) = 0, u t (x, 0) = e (x ) 1/e. Con un cambio di coordinate del tipo x = aξ + b possiamo portarci a considerare l intervallo (0, π); perche cio avvenga deve essere 1 = b, 3 = aπ + 1, e dunque scegliamo a = /π, b = 1 ; x = (/π)ξ + 1 ; ξ = (π/)(x 1). L equazione diviene allora, per u = u(ξ, t), u tt = (π/) u ξξ, con condizioni al bordo u(0, t) = 0 = u(π, t), e condizione iniziale u(ξ, 0) = 0, u t (ξ, 0) = ψ(ξ) = e (4/π) (ξ π/) 1/e. ( ) Avendo un problema con condizioni al bordo di Dirichlet, sviluppiamo in serie di Fourier di soli seni, A k (t) sin(kξ) ; 4

5 l equazione delle onde richiede allora che sia d A k dt = ( ) π k A k, e quindi possiamo scrivere la soluzione generale e allora A k (t) = α k sin[k(π/)t] + β k cos(k(π/)t] ; (α k sin[k(π/)t] + β k cos(k(π/)t]) sin(kξ). Passiamo a considerare le condizioni iniziali. Al tempo t = 0 abbiamo u(ξ, 0) = k β k sin(kξ) ; essendo u(ξ, 0) = 0, deve essere β k = 0 k, e quindi α k sin[k(π/)t] sin(kξ). Ne segue che u t (ξ, t) = k α k k (π/) cos[k(π/)t] sin(kξ), ed a t = 0 abbiamo u t (ξ, 0) = k [α k k (π/)] sin(kξ). Questa deve coincidere con la ψ(x) fornita nel testo, o meglio visto che stiamo lavorando con la coordinata ξ con la ψ(ξ) fornita nella (*). Sviluppando questa in serie di seni, scriveremo ψ(ξ) = k Ψ k sin(kξ), con Ψ k = 1 π π 0 ψ(ξ) sin(kξ) dξ = 1 π π 0 ( ) e (4/π) (ξ π/) 1/e sin(kξ) dξ. Avremo quindi ka k (π/) = Ψ k, α k = k π Ψ k, 5

6 e pertanto k π Ψ k sin[k(π/)t] sin(kξ) ; u(x, t) = k k π Ψ k sin[k(π/)t] sin[k((/π)ξ + 1)]. Esercizio 4. Si consideri l equazione di diffusione u t = u xx sulla retta con dato iniziale u(x, 0) = x e x /. Se ne determini la soluzione per t > 0. La soluzione dell equazione del calore (in questo caso con α = 1) con dato iniziale u(x, 0) = φ(x) e fornita da u(x, t) = 1 πt e (x y) /(4t) φ(y) dy. In questo caso abbiamo quindi u(x, t) = 1 πt e (x y) /(4t) y e y / dy, che si riscrive anche come u(x, t) = 1 πt y exp[ ((1+t)/(4t)) y + (x/(t)) y (x /(4t))] dy. Usando la formula per l integrale fornita nel testo, abbiamo u(x, t) = e x /(+4t) x + t + 4t (1 + t) 5/. Esercizio 5. Si consideri l equazione del calore u t = 4 u xx sull intervallo x [0, L], con condizioni al bordo u x (0, t) = u x (L, t) = 0. Se ne determini la soluzione che soddisfa al dato iniziale u(x, 0) = 1 sin (πx/l). Avendo condizioni al bordo di Dirichlet, sviluppiamo in serie di soli coseni, u(x, t) = k A k (t) cos(k(π/l)x) ; le A k dovranno soddisfare da k dt = 4 k π L A k, 6

7 e quindi A k (t) = e 4k (π/l) t A(0). Al tempo t = 0 abbiamo u(x, 0) = k A k (0) cos(k(π/l)x) ; questa deve essere uguale a Φ(x) = 1 sin (πx/l) = cos(4(π/l)x) ; ne segue che gli A k (0) sono tutti nulli tranne A 4 (0) = 1, e la soluzione e u(x, t) = e 64(π/L)t cos(4(π/l)x). 7