Esercizio 1. Dare la definizione di funzione continua in un punto x 0. 4x 3 2x 2 + x 3x 2 + 2x. (x + 1)3. y(x) = ln[(x 1)/x]. lim

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1 Esame per il corso di Matematica per CTF (Prof. G. Gaeta) 3 Gennaio 24 Tempo a disposizione: tre ore; non sono ammessi ausili (libri, appunti, etc); sono ammesse calcolatrici senza funzioni di memoria testo. I diversi esercizi hanno lo stesso peso in termini di voto finale, pur non essendo della stessa difficoltà. Esercizio. Dare la definizione di funzione continua in un punto x. Esercizio 2. Calcolare lim x 4x 3 2x 2 + x 3x 2 + 2x. Esercizio 3. Calcolare la derivata della funzione y(x) = (x + )3 x 3/2. Esercizio 4. Calcolare il limite lim x ln[(x + )/x] ln[(x )/x]. Esercizio 5. Determinare i punti estremali, nonché la loro natura ed il valore assunto in essi dalla funzione, per y(x) = x [ln x] 2. Esercizio 6. Calcolare l integrale indefinito cotg(5x 7). Esercizio 7. Calcolare l integrale definito π/2 cos 2 (x).

2 Esercizio 8. Determinare la soluzione generale dell equazione differenziale dt = + x2 + t 2, nonché quella che soddisfa la condizione iniziale x() =. Esercizio 9. La probabilità di colpire un bersaglio con un colpo è p =.6. Se si tirano n colpi, qual è la probabilità di fare almeno un centro, per n = 2, 3, 4? Esercizio. Una misura viene ripetuta più volte, fornendo misure diverse. La frequenza delle misure ottenute è data nella tabella seguente. x Frequenza Determinare la media, la dispersione e la deviazione standard (empiriche) per questa misura. 2

3 SOLUZIONE NOTA BENE: Per molti esercizi le soluzioni possibili non erano uniche; qui viene proposta una soluzione, ma altre possono essere considerate valide. Esercizio : La definizione fornita nella sezione II.9 del testo è la seguente: La funzione y = f(x) si dice continua in x = x se essa è definita in un intorno B di x (incluso il punto x ) e se ovvero se lim [f(x + h) f(x )] =, h lim f(x + h) = f(x ). h Esercizio 2: Raccogliendo una x sia al denominatore che al numeratore, e semplificando, otteniamo immediatamente che il limite cercato è /2. In alternativa si può procedere usando il teorema de l Hopital. Esercizio 3: Utilizzando le formule standard per la derivazione di funzioni composte, otteniamo y (x) = (3/2)(x + ) 2 (x )x 5/2. Esercizio 4: Usiamo il teorema de L Hopital: abbiamo d d dobbiamo quindi calcolare ln[(x + )/x] = x + x 2, ln[(x )/x] = x x 2 ; x x 2 lim x x + x 2 = lim x x + x =. In laternativa, è possibile usare la serie di Taylor per ln( ± /x). Esercizio 5: La funzione è definita per x (a causa del logaritmo; si può accettare anche il punto x = in quanto la funzione ha un limite finito per x + ). Nei punti estremali interni al dominio si ha derivata nulla, e quindi questi si determinano richiedendo l annullarsi della derivata; per identificare la natura Mi scuso per aver messo in rete una precedente versione in cui la soluzione dell esercizio 9 era incompleta (si calcolava solo Q(n)). 3

4 del punto estremale, si può calcolare la derivata seconda (o effettuare lo studio del segno della derivata prima). In questo caso si ha y (x) = [2 + ln(x)] ln(x) ; y (x) = 2 x [ + ln(x)]. Si hanno quindi un massimo in x M = e 2, y(x M ) = 4e 2 ; ed un minimo in x m =, y(x m ) =. Inoltre al bordo del dominio di definizione, in x =, la funzione ammette il limite y = ; questo è dunque un altro punto estremale Esercizio 6: Ricordiamo che ponendo cotg(x) = cos(x) sin(x) ; y = sin(5x 7), dy = 5 cos(5x 7), l integrale da calcolare diviene dy I = = (/5) ln y + C = (/5) ln sin(5x 7) + C. 5y Esercizio 7: Ricordando che abbiamo I = = 2 π/2 cos 2 (x) = + cos(2x) 2 cos 2 (x) = 2 [x + 2 sin(2x) ] π/2 π/2, = π 4. [ + cos(2x)] Esercizio 8: Si tratta di una equazione differenziabile separabile, che si risolve riscrivendola nella forma + x 2 = dt + t 2. Ricordiamo ora l integrale elementare Dunque l equazione fornisce = arctan(x) + K. + x2 arctan(x) = arctan(t) + K = arctan(t) + arctan(c), ( ) 4

5 in cui abbiamo scritto K = arctan(c). Per esplicitare questa come x in funzione di t e bene ricordare che tan(x) = sin(x)/ cos(x), da cui segue anche che tan(x+y) = sin(x + y) cos(x + y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y) cos(x) cos(y) sin(x) sin(y) = tan(x) + tan(y) tan(x) tan(y). Usando questa scrittura, e prendendo la tangente di ambo i membri della (*), otteniamo quindi x = t + C tc. La soluzione generale dell equazione differenziale proposta e quindi x(t) = t + C Ct. Per t = si ha x() = C, quindi richiedere x() = significa imporre C = ; la soluzione corrispondente è x(t) = + t t. Le soluzioni ottenute sono valide rispettivamente per t /C (la soluzione generale) e per t (la soluzione particolare). Esercizio 9: Colpire il bersaglio in almeno un tentativo è l evento complementare al mancarlo in tutti i tentativi. La probabilita q = p di mancare il bersaglio in un colpo è q =.4; quindi la probabilità di mancare il bersaglio in n colpi è Q(n) = q n = (4/) n ; quello di colpirlo almeno una volta è Abbiamo quindi P(n) = Q(n). Q(2) = =.6, Q(3) = =.64, Q(4) = =.256 ; e pertanto P(2) = =.84, P(3) = =.936, P(4) = = Esercizio : Indichiamo con x n i diversi risultati (ve ne sono sei in totale) della misura di x, e con f n le corrispondenti frequenze; sia N = k f k. Abbiamo allora per la media M(x) e per la dispersione D(x) M(x) = 6 x k f k, D(x) = N N k= la deviazione standard σ(x) e fornita da 6 [x k M(x)] 2 f k ; k= σ(x) = D(x). 5

6 La dispersione puo anche essere calcolata (in modo piu rapido) come dove la media di x 2 e D(x) = M(x 2 ) [M(x)] 2, M(x 2 ) = N 6 x 2 k f k. k= Applicando queste formule, otteniamo dapprima N = ; M(x) =.226 ; M(x 2 ) Segue da queste che D(x) = M(x 2 ) [M(x)] 2 = =.42, e quindi σ(x).25. 6