Per superare l esame è necessario ottenere almeno 18 pt, di cui almeno 6pt nella parte di probabilita e statistica (esercizi 8,9,10).

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1 Esame per il corso di Matematica per Farmacia (Proff. G. Gaeta & N. Bressan) Febbraio 06 Tempo a disposizione: due ore e mezza. Per superare l esame è necessario ottenere almeno 8 pt, di cui almeno 6pt nella parte di probabilita e statistica (esercizi 8,9,0). Gli esercizi -7 assegnano 3 punti ognuno, gli esercizi 8-0 assegnano 4 punti ognuno. Riportare su questo foglio lo svolgimento essenziale dei calcoli, consegnare sia questo (bella copia) che i fogli di brutta. Nome e Cognome (in stampatello): Matricola: Esercizio Calcolare i seguenti limiti a) sin(x) lim x 0 tan(x) b) sin(4x) lim x 0 x c) sin (x/) lim x 0 x

2 Esercizio Calcolare la derivata della funzione f(x) = sin(x) cos(3x) tan(4x) Esercizio 3 Determinare i primi due termini non nulli del polinomio di Taylor intorno ad x = x 0 = 0 per la funzione f(x) = x e x / Esercizio 4 Determinare gli asintoti (orizzontali, verticali ed obliqui) per la funzione x4 3x f(x) = + x

3 Esercizio 5 Calcolare cos[log(x)] dx Esercizio 6 Calcolare cos 4 (x) dx Esercizio 7 Calcolare (x + ) e x +4x+3 dx 3

4 Esercizio 8 Due scatole contengono sia cioccolatini fondenti che al latte (con la stessa confezione, quindi indistinguibili finché incartati). Nella scatola A i cioccolatini fondenti sono il 40 %, nella scatola B il 30 %. Se si prende un cioccolatino da ognuna delle due scatole, qual e la probabilita P (F ) che ambedue siano fondenti? la probabilita P (L) che ambedue siano al latte? Esercizio 9 Una funzione aleatoria continua f(x) puo assumere valori sull asse reale, ed ha densità di probabilita p(x) = π ( + x ). Determinare la media, la varianza e la deviazione standard per f(x) = x. Esercizio 0 Un certo apparecchio si guasta con probabilita p = 0.00 per giorno. Qual e la probabilita che in dieci anni (3000 giorni lavorativi) si sia guastato piu di tre volte? 4

5 SOLUZIONI Esercizio a) lim x 0 sin(x) tan(x) = lim x 0 cos(x) = ; b) lim x 0 sin(4x) x c) lim x 0 sin (x/) x sin(y) = lim = 4 ; y 0 y/4 ( ) sin(x/) = lim = x 0 x ( ) = 4. Esercizio f(x) = sin(x) cos(3x) tan(4x) f (x) = cos(x) cos(3x) tan(4x) 3 sin(x) sin(3x) tan(4x) sin(x) cos(3x) cos (4x). Esercizio 3 Determinare i primi due termini non nulli del polinomio di Taylor intorno ad x = x 0 = 0 per la funzione f(x) = x e x / f (x) = (x ) x e x /, f (0) = 0 ; f (x) = ( 5x + x 4 ) e x /, f (0) = ; f (x) = ( 9x + x 4 ) x e x /, f (0) = 0 ; f (x) = (x 6 4x x ) e x /, f (0) =. Quindi, essendo P (x) = k [P (k) /k!](x x 0 ) k, risulta P (x) = x x4 + O(x 6 ) 5

6 Esercizio 4 Determinare gli asintoti (orizzontali, verticali ed obliqui) per la funzione x4 3x f(x) = + x Il denominatore e sempre positivo: invece il numeratore e positivo solo per x > 3; quindi il dominio di definizione della funzione e x > 3. Non vi sono asintoti verticali od orizzontali. Possiamo riscrivere la funzione come f(x) = x 4 ( 3/x ) x ( + /x ) = x ( 3/x ) ( + /x ) ed e chiaro che per x ± la funzione si comporta come f (x) = x ; quindi gli asintoti obliqui esistono e sono dati da y = x per x + e da y = x per x. Esercizio 5 cos[log(x)] dx = x [sin(log x) + cos(log x)] + C Esercizio 6 cos 4 (x) = 3 tan(x) [ + ] cos (x) + C Esercizio 7 (x + ) e x +4x+3 dx = [ ] + ex +4x+3 = ( e 8 ) Esercizio 8 Due scatole contengono cioccolatini fondenti ed al latte con la stessa confezione. Nella scatola A i cioccolatini fondenti sono il 40 %, nella scatola B il 30 %. Se si prende un cioccolatino da ognuna delle due scatole, qual e la probabilita P (F ) che ambedue siano fondenti? la probabilita P (L) che ambedue siano al latte? Si tratta di eventi indipendenti; quindi P (F ) = (0.4) (0.3) = 0., P (L) = ( 0.4) ( 0.3) = (0.6) (0.7) = 0.4 6

7 Esercizio 9 Una funzione aleatoria continua f(x) puo assumere valori sull asse reale, ed ha densità di probabilita p(x) = π ( + x ). Determinare la media, la varianza e la deviazione standard per f(x) = x. Per la media si ha evidentemente zero dato che p(x) e simmetrica. M(x) = M(x ) = + + x p(x) dx = 0 x p(x) dx = [( x + ) arctan(x) x π (x + ) ] + = Abbiamo e quindi anche σ =. σ = M(x ) [M(x)] = Esercizio 0 Un certo apparecchio si guasta con probabilita p = 0.00 per giorno. Qual e la probabilita che in dieci anni (3000 giorni lavorativi) si sia guastato piu di tre volte? Indichiamo con p(k) la probabilita che si sia guastato k volte. Evidentemente P = [p(0) + p() + p() + p(3)]. Per p(k) possiamo considerare la distribuzione di Poisson con p = 0 3 n = 3000, quindi con A = np = 3. Abbiamo quindi ed ed otteniamo immediatamente Segue che P = p(k) = Ak k! e A, P (0) = e 3, P () = 3e 3, P () = 9 e 3, p(3) = 7 6 e 3. [ ] e 3 = 3 e =