Modulo di Matematica per il Corso di Laurea in Farmacia, cognomi M-Z Soluzioni del TEMA 1 del 6 febbraio 2012

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1 Modulo di Matematica per il Corso di Laurea in Farmacia, cognomi M-Z Soluzioni del TEMA del 6 febbraio Esercizio. Indichiamo con Ω: lo spazio degli eventi, in questo caso la popolazione; V : l evento che una persona sia vaccinata; N: l evento che una persona non sia vaccinata; M: l evento che una persona sia malata. Il testo dell esercizio ci dice che: pv ) 7%.7, pm N) %., pm V ) %., e al punto a) ci chiede di calcolare pm), mentre al punto b) di calcolare pv M). Si noti che pn) pv ) La legge delle alternative ci dice che pm) pm V ) pv ) + pm N) pn) %, che risponde alla domanda a). La formula di Bayes implica che pv M) pm V ) pv ) pm) % dove significa circa e abbiamo approssimato la percentuale alla prima cifra decimale. In conclusione la risposta alla domanda a) è.3%, mentre la risposta alla domanda b) è circa 3.3%. Esercizio. Indichiamo con x i il tempo di vita dei batteri calcolato in ore) e con f i, per i,..., 5, il numero delle osservazioni. Il testo dell esercizio ci dice che: x, x 3, x 3 5, x 4 6, x 5 8, f 5, f 3, f 3 8, f 4 4, f 5 3. L istogramma dei dati raccolti è rappresentato in figura. La moda è x 3 ore, perché è il valore più frequente. La media è µ f x + f x + f 5 x f + f + + f ore. Per ottenere lo stesso risultato si poteva ipotizzare che la media fosse vicina a 4 e calcolare: µ 4 + f x 4) + f x 4) + + f 5 x 5 4) f + + f 5 5 3) + 3 ) ore. Elencando tutti i valori x i secondo la loro frequenza, in ordine crescente, ai posti 5 e 5 c è x 3, quindi la mediana è x 3 + x 3 )/ x 3 5 ore.

2 y x x x 3 x 4 x 5 x Figura. Istogramma dell esercizio. La varianza è σ f x µ) + f x µ) + + f 5 x 5 µ) f + f + + f ) ) ) ) ) , da cui segue che lo scarto quadratico medio è σ ore. Esercizio 3. La frazione non è definita quando il denominatore x è, cioè quando x ±. Quindi il dominio della funzione f è R \ {± }, ), ), ). La funzione fx) non è pari, per esempio perché f ) f), né dispari, ancora perché f ) f). Si ha f), quindi il grafico di f interseca l asse y nel punto, ). Inoltre si ha fx) quando x + x, cioè x ± + 8 ± 3 { quindi il grafico di f interseca l asse x nei punti, ) e, ). Il numeratore x +x è positivo per valori esterni, cioè per x < e x >. Il denominatore x è positivo pure per valori esterni, cioè per x < e x >. Mettendoli insieme, la funzione fx) è positiva per x <, per < x < e per x >, mentre fx) è negativa per < x < e per < x <.

3 Studiamo gli eventuali asintoti della funzione fx). Si ha fx) x )x + ) x ± x ± x )x + ) ± fx) x )x + ) x ± x ± x )x + ) ± quindi le rette x e x sono asintoti verticali di fx). Inoltre si ha x + fx) x ) x + x ± x ± x ) x x x ±, x x quindi la retta y è asintoto orizzontale di fx), sia a + che a. Calcoliamo la derivata di fx). A questo scopo, ricordiamo che la derivata di una frazione Nel nostro caso si ha gx) hx) è g x)hx) h x)gx) hx). f x) x + )x ) xx + x ) x ) x3 + x 4x x 3 x + 4x x ) x x ) x + x ). Sia il numeratore che il denominatore della frazione sono sempre positivi, nei punti in cui fx) è definita, quindi f x) è sempre negativa, quando è definita. Ne segue che fx) è sempre decrescente e non ha né massimi né minimi. Calcoliamo la derivata seconda di fx). Si ha f x) xx ) 4xx )x + ) x ) 4 xx ) 4xx + ) x ) 3 x3 4x 4x 3 8x x ) 3 xx + 6) x ) 3. Siccome x + 6 è sempre positivo, il numeratore è positivo per x > e negativo per x <, mentre il denominatore è positivo per x < e per x > ed è negativo per < x <. Mettendoli insieme, f x) è positiva, e fx) è convessa, per < x < e per x > e f x) è negativa, e fx) concava, per x < e < x <. Non ci sono flessi in x e x perché fuori dal dominio di fx) e di f x), mentre fx) ha un punto di flesso in x dove f). Si può allora tracciare un grafico approssimativo della funzione fx) come nella figura. Esercizio 4. Siccome cos), il ite è una forma indeterminata. Moltiplichiamo numeratore e denominatore della frazione per + cosx)): cosx) x 3x x cosx)) + cosx)) 3x + cosx)) x sin x) 3x + cosx)) x dove la penultima uguaglianza segue dal ite notevole sinx) x x cos x) x 3x + cosx)) 3 + cosx)) 6, sin x), che implica. x x 3

4 x y x fx), ) y, ), ) x Figura. Grafico della funzione fx) Equivalentemente, si può usare il teorema di De l Hôpital: derivando numeratore e denominatore due volte si ottiene cosx) sinx) cosx) x 3x x 6x x 6 6. Esercizio 5. Si noti che la derivata di e x è xe x, quindi 3xe x dx 3 xe x dx 3 [e x] 3 e 4 e ) 3 3 e 4. Esercizio 6. Due eventi A e B si dicono incompatibili se la loro intersezione è vuota, cioè se A B. Due eventi si dicono indipendenti se pa B) pa) o equivalentemente pa B) pa)pb). 4

5 Per esempio, nel lancio di un dado non truccato, gli eventi {} e {3} sono incompatibili, mentre gli eventi A {, 3, 5} e B {3, 6} sono indipendenti perché A B {3} e pa B) /6 pa)pb) / /3. Non è vero che due eventi incompatibili sono indipendenti, per esempio gli eventi incompatibili E {} e F {3} non sono indipendenti perché pe F ) ma pe)pf ) /6 /6 /36. Dipartimento di Matematica Università degli Studi di Ferrara 5