2. Derivate e differenziabilità

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1 2. Derivate e differenziabilità Davide Catania davide.catania@unibs.it Esercitazioni di Analisi Matematica 2 A.A. 2016/17

2 Derivate parziali Derivate direzionali Differenziabilità

3 Data f (x,y), la derivata parziale rispetto a x calcolata nel punto (x 0,y 0 ) si indica con x f (x 0,y 0 ) o f x (x 0,y 0 ). Si calcola considerando y costante e derivando rispetto a x, poi si sostituisce il punto (x 0,y 0 ). Nota. Possiamo sostituire y = y 0 prima di derivare rispetto a x. Analogamente per la derivata rispetto a y, indicata con y f (x 0,y 0 ) o f y (x 0,y 0 ) (i ruoli di x e y sono scambiati).

4 Esercizio 1 Data f (x,y) = ln(1 + x 2 + y), calcola x f (1,0), y f (1,2).

5 Esercizio 2 Data f (x,y) = y ln(1 + x2 + y) e arctan(x+cosy) + ( x3 2xy sin 3 y + 1)x 2, calcola x f (1,0).

6 Il gradiente di una funzione f (x,y) è la funzione vettoriale f = ( x f, y f ). Il gradiente di una funzione f (x,y,z) è la funzione vettoriale f = ( x f, y f, z f ).

7 Esercizio 3 Calcola f (1,1), dove f (x,y) = (x + y) 3 + cos(πy).

8 Esercizio 4 Calcola f (1,2,2), dove f (x,y,z) = arctan(x + 2y + z 2 ).

9 Nei punti di raccordo o dove non è garantita la derivabilità (si annulla l argomento di moduli o radici), è necessario usare la definizione di derivata parziale: f (x 0 + h,y 0 ) f (x 0,y 0 ) x f (x 0,y 0 ) = lim, h 0 h f (x 0,y 0 + k) f (x 0,y 0 ) y f (x 0,y 0 ) = lim. k 0 k

10 Esercizio 5 Calcola f (0,0), dove f (x,y) = (x + y) x.

11 Esercizio 6 Calcola x f (0,0) e y f (0,0) per f : R 2 R data da f (x,y) = { y e y +x se y > x 2, x 2 + ln(1 + arctany 2 ) se y x 2.

12 { y e y +x se y > x 2, f (x,y) = x 2 + ln(1 + arctany 2 ) se y x 2.

13 Esercizio 7 { sinx + y se y > 2x, Determina α in modo che f (x,y) = αx + siny se y 2x ammetta derivata parziale x f in (0,0).

14 Esercizio 8 y 2 cos 1 se y /= 0, Data f (x,y) = y 0 se y = 0, calcola y f e verifica che non è continua in (0,0).

15 Data la superficie z = f (x,y) con f di classe C 1 (derivate parziali continue), il piano tangente nel punto ( x 0,y 0,f (x 0,y 0 ) ) ha equazione z = f (x 0,y 0 ) + x f (x 0,y 0 )(x x 0 ) + y f (x 0,y 0 )(y y 0 ).

16 Esercizio 9 Determina il piano tangente a z = xy e x2y in (1,1).

17 Derivate parziali Derivate direzionali Differenziabilità

18 Data una funzione f di classe C 1 e di n variabili, e un vettore n-dimensionale v non nullo, la derivata rispetto al vettore v di f è data da v f = f v = f v. La derivata direzionale rispetto a v, o nella direzione di v, è la derivata rispetto al vettore di norma uno v v. Nota 1. In entrambi i casi, basta f differenziabile (vedi poi). Nota 2. Se v = (v 1,v 2,v 3 ), allora v = v1 2 + v2 2 + v2 3.

19 Esercizio 10 Data f (x,y) = x 2 + y 3 e v = (1,2), calcola v f (1,1) e la derivata di f nel punto (1,1) nella direzione di v.

20 Esercizio 11 Calcola la derivata di f (x,y,z) = x + 2z 2 in (1,0,1) rispetto a v = (2,3,0).

21 Nei punti di raccordo o dove non è garantita la derivabilità, la derivata di f (x,y) in (x 0,y 0 ) rispetto a un vettore v = (v 1,v 2 ) deve essere calcolata usando la definizione: f (x 0 + tv 1,y 0 + tv 2 ) f (x 0,y 0 ) v f (x 0,y 0 ) = lim. t 0 t

22 Esercizio 12 Dati v = (1,2), w = ( 1,1) e f (x,y) = e x ( y + x 2 ), calcolare (se esistono) v f (0,0) e w f (1,3).

23 f (x,y) = e x ( y + x 2 ), w = ( 1,1).

24 Esercizio 13 { x 2 se xy 0, Data f (x,y) = x y se xy < 0, calcolane la derivata in (0,0) rispetto a v = (1,2) e w = (1, 2).

25 Derivate parziali Derivate direzionali Differenziabilità

26 La funzione f (x,y) è differenziabile nel punto (x 0,y 0 ) se esistono (finite) le derivate parziali in (x 0,y 0 ) e f (x 0 + h,y 0 + k) f (x 0,y 0 ) x f (x 0,y 0 )h y f (x 0,y 0 )k lim = 0. (h,k) (0,0) h 2 + k 2

27 Esercizio 14 x 3 Stabilisci se f (x,y) = x 2 + y 2 se (x,y) /= (0,0), 0 se (x,y) = (0,0) è differenziabile in (0,0).

28 { x 3 se (x,y) /= (0,0), f (x,y) = x 2 +y 2 0 se (x,y) = (0,0).

29 Esercizio 15 ln(1 + x 2 + y 2 )(x + y) Per α R, sia f α (x,y) = (x 2 + y 2 ) 2α+3 (x,y) /= (0,0), 0 (x,y) = (0,0). Determina per quali valori di α la funzione f α è differenziabile in (0,0).

30 { ln(1+x 2 +y 2 )(x+y) (x,y) /= (0,0), f α (x,y) = (x 2 +y 2 ) 2α+3 0 (x,y) = (0,0).

31 Esercizio 16 arctanx 2 Sia α R e sia f (x,y) = (x 2 + y 2 ) α 2 (x,y) /= (0,0), 0 (x,y) = (0,0). Determina per quali valori di α la funzione è differenziabile.

32 { arctanx 2 (x,y) /= (0,0), f (x,y) = (x 2 +y 2 ) α 2 0 (x,y) = (0,0).

33 Esercizio 17 y 2 cos 1 se y /= 0, Verifica che f (x,y) = y 0 se y = 0, è differenziabile in (0,0), ma non di classe C 1 (hai già verificato che y f non è continua in (0,0)).

34 Esercizio 18 {e 1 (x Data f (x,y) = 2 +3y 2 ) α se (x,y) /= (0,0), 0 altrimenti, discutere continuità e differenziabilità di f su R 2.

35 {e 1 (x 2 +3y 2 ) α se (x,y) /= (0,0), f (x,y) = 0 altrimenti.

36 Esercizio 19 (Tema esame 14/01/2013) Studia continuità e differenziabilità in (0,0) di (e 7sinx xy 2 1) f (x,y) = x 2 + y 2 se (x,y) /= (0,0), 0 se (x,y) = (0,0).

37 { (e 7sinx 1) xy2 se (x,y) /= (0,0), f (x,y) = x 2 +y 2 0 se (x,y) = (0,0).

38 Nota. f di classe C 1 f differenziabile f differenziabile Nota bene! f continua e ammette derivata rispetto a ogni vettore f ammette derivata rispetto a ogni vettore non implica, in generale, f continua

39 Esercizio 20 Verifica che tutte le derivate direzionali di ( x 2 ) 2 y f (x,y) = x 4 + y 2 se (x,y) /= (0,0), 0 se (x,y) = (0,0) nel punto (0,0) sono nulle, ma f non è continua in (0,0). Suggerimento: calcola la derivata direzionale rispetto a un generico versore (vettore di modulo 1) u = (cosα,sinα). Per la continuità, considera la restrizione a y = mx 2.

40 Nota. La funzione precedente ha tutte le derivate direzionali u f (0,0) = 0, in particolare f (0,0) = (0,0), dunque u f (0,0) = f (0,0) u = 0 u, u = 1, ma f non è differenziabile in (0,0) (dato che non è continua). Dunque l uguaglianza u f = f u u NON IMPLICA, in generale, la differenziabilità di f.