Analisi Matematica 3 - Soluzioni Tutorato 3

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1 Analisi Matematica - Soluzioni Tutorato Università degli Studi Roma Tre - Dipartimento di Matematica Docente: Luca Biasco Tutori: Patrizio Caddeo, Jacopo Tenan novembre Discutere la continuità e la differenziabilità delle seguenti funzioni. (x log(1 + x ))(e y 1) (a) f(x, y) = x 4 + y 4 se (x, y) (0, 0) La funzione è continua e differenziabile in tutto il dominio, infatti: x log(1 + x ) = x 4 g(x), dove g(x) è una funzione 1 C, e y 1 = y h(y), dove h(y) è una funzione C. A questo punto, abbiamo f(x, y) = x4 y x 4 +y 4 g(x)h(y), e possiamo concludere che f è differenziabile (e quindi continua) su tutto il dominio in quanto x4 y è una funzione differenziabile (in quanto omogenea di grado ), g e h sono funzioni differenziabili x 4 +y 4 (in quanto C ) ed f è pertanto prodotto di funzioni differenziabili. y + e x cos x x se (x, y) (0, 0) (b) f(x, y) = x + y La funzione è continua ovunque e differenziabile fuori dall origine, infatti: f è continua e differenziabile fuori dall origine in quanto rapporto di funzioni continue e differenziabili. Per quanto riguarda l origine, scriviamo: e x cos x x = x + x g(x), con g funzione C (e tale che g(0) = 1 6, anche se in questo caso ciò sarà irrilevante). Pertanto f(x, y) = y +x +x g(x) = x + y + x g(x), e x +y x +y 1 In un intorno dell origine, possiamo scrivere g(x) = 1 x + x4... dallo sviluppo 4 del logaritmo, ma per l appunto questo è valido solamente in un intorno dell origine: il logaritmo, a differenza di funzioni come l esponenziale, seni o coseni, ha una serie di Taylor che converge solo in un intervallo ristretto. In questo caso possiamo dire che h(y) = 1 + y + y y R. 6 1

2 quindi concludiamo che f è continua nell origine in quanto somma di funzioni continue (il secondo addendo è un omogenea di grado moltiplicata per una funzione C ) ma non differenziabile in quanto somma di una funzione non differenziabile ( x + y, x che è omogenea di grado 1) ed una differenziabile ( g(x), x +y che è prodotto di un omogenea di grado ed una funzione C ). (c) f(x, y) = e x x cos x x x + y se (x, y) (0, 0) La funzione è continua e differenziabile ovunque, infatti: f è continua e differenziabile fuori dall origine in quanto rapporto di funzioni continue. Per quanto riguarda l origine, scriviamo: e x x cos x x = x g(x), con g funzione C (e tale che g(0) = 1 6, anche se in questo caso sarà irrilevante). Abbiamo x pertanto f(x, y) = g(x), e concludiamo quindi che f è x +y sia continua che differenziabile nell origine in quanto prodotto di x funzioni continue e differenziabili ( è omogenea di grado e g è C ). sin (y ) y + x 4 (d) f(x, y) = x +y x + y se (x, y) (0, 0) La funzione è continua e differenziabile ovunque, infatti: f è continua e differenziabile fuori dall origine in quanto rapporto di funzioni continue e differenziabili. Per quanto riguarda l origine, scriviamo: sin(y ) y = y 4 g(y), con g funzione C (e tale che g(0) = 0, anche se in questo caso ciò sarà irrilevante). Nota: Potevamo dire molto di più: sin(y ) y = y 6 h(y) (con h funzione C e tale che h(0) = 1 6, ma l informazione sin(y ) y = y 4 g(y) sarà sufficiente ad arrivare al risultato. Abbiamo pertanto f(x, y) = y4 g(y) + x4, e concludiamo x +y x +y quindi che f è sia continua che differenziabile nell origine in quanto somma di funzioni continue e differenziabili ( 4 g(y) è diffe- y x +y renziabile in quanto prodotto di un omogenea di grado ed una funzione C x, mentre 4 è omogenea di grado ). x +y Se f = h + l è somma di una funzione differenziabile h ed una non differenziabile l allora f non può essere differenziabile, perché altrimenti lo sarebbe anche l = f h in quanto differenza di funzioni differenziabili.

3 cos (xy) 1 se (x, y) (0, 0) (e) f(x, y) = (x + y ) La funzione è continua ovunque e differenziabile fuori dall origine, infatti: f è continua e differenziabile fuori dall origine in quanto rapporto di funzioni continue e differenziabili. Per quanto riguarda l origine, scriviamo cos (xy) 1 = (cos(xy) 1)(cos (xy)+cos(xy)+1) = (cos(xy) 1)h(x, y), con h(x, y) := cos (xy) + cos(xy) + 1 funzione C e tale che h(x, y) = ; inoltre cos(xy) 1 = x y g(x, y), con g funzione C tale che g(0, 0) = 1. Abbiamo pertanto f(x, y) = x y h(x, y)g(x, y), e possiamo concludere quindi (x +y ) f(x,y) g(x,y)h(x,y) = x y (x +y ) che f è continua nell origine in quanto prodotto di funzioni continue, ma non differenziabile in tale punto in quanto se lo fosse, lo sarebbe anche la funzione in quanto rapporto di funzioni differenziabili (e questa è una contraddizione dal x momento che y è omogenea di grado 1 e non costante). (x +y ) Nota: Abbiamo potuto dividere per g(x, y)h(x, y) in quanto entrambe le funzioni sono continue ed hanno un valore diverso da 0 nel punto (0, 0) (e pertanto anche in un intorno di quest ultimo). (f) f(x, y) = x arctan y y sin x x 4 + y se (x, y) (0, 0) La funzione è continua ovunque e differenziabile fuori dall origine, infatti: f è continua e differenziabile fuori dall origine in quanto rapporto di funzioni continue e differenziabili. Per quanto riguarda l origine, scriviamo x arctan y y sin x = xy g(y) + yx h(x), con h e g funzioni C tali che g(0) = 1, h(0) = 1 6. Abbiamo pertanto f(x, y) = xy g(y) + yx h(y). Ora, le funzioni yx x 4 +y x 4 +y xy e sono entrambe continue, infatti: x 4 +y x 4 +y xy x 4 +y xy(y +x 4 ) x 4 +y = xy 0, yx y x 4 +y +x 4 x = x x 4 +y x x 4 +y 0 (omogeneità) x 4 +y 4 e quindi concludiamo che f è continua nell origine, in quanto somma di funzioni continue (g e h sono continue). Per quanto riguarda la differenziabilità invece, abbiamo che è differen- xy x 4 +y ziabile nell origine, mentre yx no, infatti: entrambe le funzioni x 4 +y hanno derivate parziali nulle nell origine, ma

4 xy lim (x,y) (0,0) = 0 in quanto (x 4 +y ) x +y xy xy(y +x 4 ) = xy 0 x +y (x 4 +y ) x +y e quindi xy x 4 +y (x 4 +y ) x +y è differenziabile nell origine, mentre yx lim (x,y) (0,0) (x 4 +y ) x +y non esiste, in quanto calcolato nel percorso (x, x ) dà come risultato 1 o 1 a seconda che si prendano x positive o negative4. yx Pertanto non è differenziabile nell origine. Concludiamo x 4 +y quindi che neanche f lo è, in quanto se lo fosse allora lo sarebbe yx anche = 1 x 4 +y h(y) (f(x, y) xy g(y)) in quanto prodotto di x 4 +y funzioni differenziabili. Nota: Di nuovo, abbiamo potuto dividere per h(y) in quanto h(0) 0 (e pertanto h(y) 0 in tutto un intorno di (0, 0)). e y y 1 (g) f(x, y) = x se (x, y) (0, 0) + y La funzione è continua ovunque e differenziabile fuori dall origine, infatti: f è continua fuori dall origine in quanto rapporto di funzioni continue. Per quanto riguarda la differenziabilità fuori dall origine, potrebbero esserci dei problemi con la derivata parziale in y nei punti (x 0, 0) (dove y non è derivabile). In realtà, scrivendo e y y 1 = y g(y) (con g C e g(0) = 1 ) e quindi f(x, y) = y x + y g(y), notiamo che nei punti (x 0, 0) con x 0 0: h lim 1 h 0 x 0 + h h = 1 x 0 lim h 0 h = 0 y ossia la funzione ammette derivata parziale in y nulla in x + y (x 0, 0), ed essendo poi anche la derivata parziale in x nulla (si annulla il rapporto incrementale) vediamo che k lim (h,k) (0,0) ((x 0 +h) + k ) = 1 k h +k x 0 lim (h,k) (0,0) = 0 h +k y per omogeneità. Concludiamo pertanto che è differenziabile nei punti del tipo (x 0, 0) (con x 0 0), e quindi lo è anche f x + y essendo quest ultima prodotto di tale funzione e g (che è C ). Nota: Si poteva notare (prima o dopo aver verificato l esistenza della derivata parziale in y nei punti (x 0, 0)) che in realtà la y funzione non ha alcun problema di derivabilità (parziale in x + y y) e in particolare di differenziabilità nei punti (x 0, 0), in quanto provando a calcolare esplicitamente la derivata parziale in un 4 Tutto ciò in realtà è superfluo, in quanto a noi bastava semplicemente concludere che il limite non fosse nullo. 4

5 punto generico (a priori diverso da (x 0, 0)) con le usuali regole di derivazione si trova: d dy ( y x + y ) = y(x + y ) y y y = yx +y y (x + y ) (x + y ) Tale funzione è definita e continua in tutti i punti diversi dall origine (in particolare essa vale 0 nei punti del tipo (x 0, 0)), e questo implica che la derivata parziale in y nei punti in cui non era assicurata la derivabilità esiste e coincide proprio con il valore di tale funzione nei punti in questione 5. Quindi, in particolare, f ammette derivate parziali continue fuori dall origine (per la derivata parziale in x non c è bisogno di discutere nulla), e quindi è differenziabile fuori dall origine per il Teorema del Differenziale Totale. Infine, per quanto riguarda la differenziabilità nell origine, abbiamo che la funzione (definita come 0 in (0, 0)) non ammette y x + y derivata parziale nell origine, in quanto: lim h 0 h h h = lim h 0 h h che non esiste in quanto limite destro e sinistro non coincidono. Nota: Si poteva notare direttamente che la funzione calcolata in (0, y) vale y, che non è derivabile in y = 0. y Quindi la funzione non è differenziabile in (0, 0) e pertanto non può esserlo neanche f, altrimenti lo sarebbe x + y anche y x + y = f(x,y) g(y). Nota: Di nuovo, abbiamo potuto dividere per g(y) in quanto g(0) 0 (e pertanto g(y) 0 in tutto un intorno di (0, 0)). 5 Se la funzione derivata di una certa funzione ammette limite in un certo punto, la derivata nel punto esiste ed è proprio tale valore limite. Questo segue dalla Regola di De g(x) g(x L Hospital: lim 0 ) g x x0 x x 0 = lim (x) x x0 = lim 1 x x0 g (x). 5

6 . Determinare i punti stazionari delle seguenti funzioni e stabilire quali tra essi sono punti di massimo o di minimo (locali). (a) f(x, y) = y ( x6 y y 4 ) Troviamo i punti stazionari: il gradiente di f è f = (y x 5, yx6 8y 6y 5 ). Poste le componenti uguali a 0, dalla prima equazione deduciamo che x = 0 oppure y = 0: nel primo caso dalla seconda equazione otteniamo y (4 + y ) = 0, e quindi y = 0, mentre imponendo proprio y = 0 otteniamo che le equazioni risultano verificate per ogni scelta di x. Pertanto i punti stazionari sono tutti e soli quelli del tipo (x 0, 0), con x 0 R. La matrice Hessiana si annulla in tutti i punti stazionari, e quindi dobbiamo studiare manualmente il comportamento di f intorno ad essi. Cominciamo notando che f(x 0, 0) = 0 x 0 R, e pertanto è sufficiente studiare il segno di f(x, y) in intorni di tali punti. Se x 0 0, il termine x6 y y 4 tende a x 0 6 per (x, y) (x 0, 0), ed essendo tale valore sempre positivo per x 0 0 esisterà, per permanenza del segno, un intorno di (x 0, 0) in cui x6 y y 4 > 0, e in cui si ha quindi f(x, y) 0 (il termine y è sempre maggiore o uguale di 0). Concludiamo pertanto che i punti (x 0, 0) sono sempre minimi per x 0 0. Veniamo ora all origine: provando a calcolare la funzione lungo gli assi o le bisettrici otteniamo come unica informazione il fatto che l origine non può essere un minimo (ad esempio f(0, y) = y 8 che è negativo per ogni y vicino a 0). Intuitivamente, nel termine tra parentesi i termini nelle variabili x e y sono indipendenti fra loro ed hanno sempre segno opposto, quindi dovrebbe essere possibile, facendo tendere una variabile a 0 più lentamente dell altra e viceversa, riuscire ad ottenere segni diversi in intorni dell origine. Tuttavia, se si prova ad usare delle rette come percorsi, quando ci si trova molto vicino a 0 (il molto varia da retta a retta) il segno sarà sempre negativo, e il motivo è che una relazione lineare tra x e y farà sempre sì che il segno sarà deciso, per punti molto vicini all origine, dalla potenza più bassa (in questo caso quindi da y ). Tale premessa serviva per giustificare la scelta del seguente percorso: ( 6 y, y), con y > 0. Abbiamo f( 6 y, y) = y ( y y y 4 ) = y ( 1 y y ) che è positivo per y > 0 piccolo (i termini y e y tendono a 0). È chiaro che il percorso è stato scelto apposta in modo da abbassare la potenza di x fino a rendere il termine x 6 quello prevalente. Combinando quindi i risultati ottenuti, concludiamo che l origine è una sella. Nota: Si poteva equivalentemente prendere un percorso del tipo (x, x 6 ) al posto di ( 6 y, y): f(x, x 6 ) = x 1 ( x6 x1 x 4 ) = 6

7 x 18 ( 1 x6 x 18 ) che è positivo per x piccolo. Abbiamo scelto quello con la radice perché l idea di abbassare il grado del termine in x è forse più intuitiva di quella di alzare il grado dei termini in y, ma le cose sono equivalenti algebricamente. Nota: Se proviamo a calcolare la funzione lungo una generica retta per l origine, otteniamo g m (t) := f(t, mt) = m t ( t6 m t m 4 t 4 ) 6. La derivata di tale funzione in t è g m(t) = 8 m t 7 4m 4 t 6m 6 t 5 = m t ( 8 t4 4m 6m 4 t ). Per stabilire la natura del punto critico t = 0 di tale funzione g m dobbiamo studiare il segno della derivata intorno a t = 0, ma è chiaro che, supponendo m 0 (sappiamo già che nei punti (x, 0) la funzione f si annulla, e così anche g m ), se t è abbastanza piccolo il termine tra parentesi nella derivata prima di g m è negativo (il segno è dato dal termine 4m ), e quindi g m è positiva in un piccolo intorno prima di t = 0 (il termine t cancella il segno dato da 4m ), e negativa in un piccolo intorno dopo t = 0. Pertanto il punto t = 0 è un massimo per g m, e così deve essere per ogni m (per m = 0 g m è costante). Perché, quindi, nonostante l origine risulti massimo lungo ogni direzione fissata, esso non è davvero un massimo per la funzione f? Il motivo è che gli intervalli in cui la funzione g ha derivata positiva-negativa intorno a t = 0 sono sempre più piccoli e tendono ad annullarsi al crescere di m, e pertanto non è possibile sul piano trovare un intorno dell origine per il quale quale ogni retta fissata renda un massimo il punto t = 0 in tutti i punti della retta appartenenti all intorno. Da tale discorso risulta (forse) chiaro anche il motivo per cui è difficile trovare una successione di punti in cui la funzione è positiva se ci si focalizza troppo su rette fissate e non si dà ad essi la possibilità di cambiare direzione (come succede nel percorso curvo che abbiamo scelto nella soluzione: ( 6 y, y)). (b) f(x, y) = x y x + x Troviamo i punti stazionari: il gradiente di f è f = (xy 6x + 6x, x y ). Poste le componenti uguali a 0, dalla seconda equazione otteniamo che x = 0 oppure y = 0: nel primo caso, anche la prima equazione è sempre verificata e pertanto otteniamo che tutti i punti del tipo (0, y 0 ) sono punti critici, mentre nel secondo caso otteniamo (supponendo x 0 per non ricadere nel caso di prima) + x = 0, ossia x = 1. Pertanto l unico altro punto critico è (1, 0). La matrice Hessiana di f è f (x, y) = 6 La funzione g m(t) ha come grafico un taglio, fatto con un piano ortogonale al piano xy e passante per l origine, del grafico tridimensionale di f, e il piano tagliante interseca il piano xy proprio nella retta di quest ultimo con coefficiente angolare m. 7

8 ( y 1x + 18x 6xy ) 6xy 6x, e pertanto il determinante è nullo in y tutti i punti critici. Studiamone manualmente la natura: Per il punto (1, 0), notiamo innanzitutto che f(1, 0) = 1, ed essendo f(1, y) = y 1 concludiamo che in ogni intorno di (1, 0) la funzione assume valori sia più grandi che più piccoli di 1 (basta prendere punti del tipo (1, y) con y prima positive e poi negative), e quindi il punto è una sella. Per i punti del tipo (0, y 0 ), notiamo innanzitutto che f(0, y 0 ) = 0, e quindi è sufficiente studiare il segno di f in intorni del punto (0, y 0 ). Si ha f(x, y) = x (y + x), e dal momento che y + x y 0 per (x, y) (0, y 0 ), deduciamo che se y 0 (ossia se y 0 ) il segno della funzione intorno al punto critico sarà (per permanenza del segno) lo stesso di y 0 (perché il termine x è sempre positivo o nullo), e pertanto concludiamo che se y 0 < allora (0, y 0 ) è un punto di massimo, mentre se y 0 > allora (0, y 0 ) è un punto di minimo. Infine, se y 0 =, notiamo che f(x, ) = x (che cambia segno a seconda che si prendano x positive o negative), e pertanto concludiamo che il punto (0, ) è un punto di sella. (c) f(x, y) = π + x y xy 5 Troviamo i punti stazionari: il gradiente di f è f = (x y y 5, x y 5xy 4 ) = (y (x y ), xy (x 5y )). Poste le componenti uguali a 0, dalla prima equazione otteniamo che y = 0 oppure x y = 0: nel primo caso otteniamo che la seconda equazione è sempre soddisfatta, e pertanto i punti del tipo (x 0, 0) sono critici, mentre nel secondo abbiamo che deve essere soddisfatta anche x 5y = 0 (se una tra x o y vale 0 si ritorna al caso di prima), ma questo insieme alla prima equazione implica x = y = 0. Concludiamo pertanto che i punti critici sono tutti e soli quelli del tipo (x 0, 0). Il determinante della matrice Hessiana si annulla in tali punti, e pertanto dobbiamo studiarne la natura manualmente. Notiamo innanzitutto che f(x 0, 0) = π, e quindi è sufficiente studiare, negli intorni dei punti critici, il segno di f(x, y) π = x y xy 5 = y (x xy ). Poiché x xy x 0 per (x, y) (x 0, 0), deduciamo che se x 0 0 il segno di f in un intorno del punto (x 0, 0) sarà dato dal prodotto del segno di y e quello di x 0 (che è lo stesso di x 0 ), ma dal momento che y prende sia valori negativi che valori positivi in qualunque intorno di (x 0, 0), concludiamo che quest ultimo è sempre un punto di sella (per x 0 0). Per il punto (0, 0) il discorso appena fatto non funziona, ma calcolando la funzione x y xy 5 lungo il percorso (x, x ) si ottiene x 9 x 11, che ha lo stesso segno di x 9 in un intorno abbastanza piccolo dell origine, e pertanto la quantità 8

9 x y xy 5 assume valori sia positivi che negativi in qualunque intorno dell origine, che è pertanto un punto di sella. Nota: Un altro modo per discutere il caso del punto (0, 0) poteva essere quello di considerare i percorsi (x, x) e (x, x), o ancora (x, x) e (x, x). (d) f(x, y) = (y + 1) (x 1 y) Troviamo i punti stazionari: il gradiente di f è f = (x(y + 1), (y + 1)(x 1 y) (y + 1) ). Poste le componenti uguali a 0, dalla prima equazione deduciamo che x = 0 oppure y = 1: nel primo caso dalla seconda otteniamo y = 1, mentre imponendo proprio y = 1 otteniamo che le equazioni risultano verificate per qualsiasi scelta di x. Pertanto i punti stazionari sono tutti e soli quelli del tipo (x 0, 1), con x 0 R. La matrice Hessiana ha determinante nullo nei punti stazionari, e pertanto dobbiamo studiare manualmente il comportamento di f in intorni di tali punti. Cominciamo notando che f(x 0, 1) = 0 x 0 R, e pertanto è sufficiente studiare il segno di f(x, y) in intorni di tali punti (ossia con x vicina a x 0, e y vicina a 1). Notiamo che x 1 y tende a x 0 per (x, y) (x 0, 1), e pertanto se x 0 0 tale valore sarà sempre positivo e quindi esisterà, per permanenza del segno, un intorno di (x 0, 1) in cui x 1 y > 0, e in cui si ha quindi f(x, y) 0 (il termine (y 1) è sempre maggiore o uguale di 0). Concludiamo pertanto che i punti (x 0, 1) sono sempre minimi per x 0 0. Per quanto riguarda il punto (0, 1), notiamo che f(0, y) = (y+ 1), che è positivo per y < 1, negativo per y > 1 (tenere a mente che stiamo in un intorno di (0, 1), e quindi con y vicine a 1). Pertanto in ogni intorno di (0, 1) è sempre possibile trovare punti in cui f cambia segno, e concludiamo quindi che (0, 1) è una sella. (e) f(x, y) = x 5 x 4 cos y Troviamo i punti stazionari: il gradiente di f è f = (5x 4 4x cos y, x 4 sin y) = (x (5x 4 cos y), x 4 sin y). Poste le componenti uguali a 0, dalla seconda ricaviamo che x = 0 oppure y = kπ (per qualche k Z): nel primo caso otteniamo che la prima equazione è sempre soddisfatta, e pertanto i punti del tipo (0, y 0 ) sono critici, mentre nel secondo caso otteniamo (supponendo x 0 per non ricadere nel caso di prima) x = 4 5 cos(kπ) = 4 5 ( 1)k. Pertanto i punti critici sono quelli del tipo (0, y 0 ) e quelli del tipo ( 4 5 ( 1)k, kπ). La matrice Hessiana di f è f (x, y) = ( 0x 1x cos y 4x ) sin y 4x sin y x 4, e nei punti ( 4 cos y 5 ( 1)k, kπ) ottenia- 9

10 ( 64 mo quindi f ( 4 5 ( 1)k, kπ) = 5 ( 1)k ), e pertanto 65 ( 1)k ( 4 5 ( 1)k, kπ) è un minimo per k pari, un massimo per k dispari. Nei punti del tipo (0, y 0 ) il determinante della matrice Hessiana è nullo, e pertanto dobbiamo studiare la natura di tali punti manualmente. Innanzitutto notiamo che f(0, y 0 ) = 0, e quindi è sufficiente studiare il segno di f(x, y) in intorni dei punti critici. Si ha f(x, y) = x 4 (x cos y), e poiché x cos y cos y 0 per (x, y) (0, y 0 ), deduciamo che se cos y 0 0 (ossia se x π +kπ) il segno di f in un intorno del punto (0, y 0 ) sarà, per permanenza del segno, lo stesso di cos y 0 (in quanto il termine x 4 è sempre positivo o nullo), e pertanto (0, y 0 ) è un massimo per y 0 ( π +kπ, π +kπ) (ossia dove cos y 0 è positivo e quindi cos y 0 negativo), mentre è un minimo per y 0 ( π +kπ, π+kπ) (ossia dove cos y 0 è negativo e quindi cos y 0 positivo). Infine, i punti del tipo (0, π + kπ) sono tutte selle, in quanto f(x, π + kπ) = x5 che assume valori sia negativi che positivi in qualunque intorno di (0, π + kπ). (f) f(x, y) = x y xy + y 4 Troviamo i punti stazionari: il gradiente di f è f = (x y y, x y xy + 4y ) = (y (x 1), y(x x + y )). Poste le componenti uguali a 0, dalla prima equazione otteniamo che y = 0 oppure x = ± 1 : nel primo caso la seconda equazione è sempre soddisfatta, e pertanto i punti del tipo (x 0, 0) sono critici, mentre nel secondo caso otteniamo (supponendo y 0 per non ricadere nel caso precedente) che l unica condizione accettabile è x = 1, che porta a y = ± 1. Pertanto otteniamo che i punti critici sono quelli del tipo (x 0, 0) e i due punti ( 1, ± 1 ). La matrice Hessiana di f è f ( 6xy 6x (x, y) = ) y y 6x y y x x + 1y, e nei punti ( 1, ± 1 ) otteniamo quindi f ( 1, ± 1 ( ) ) = 0 8 0, e pertanto entrambi i punti in questione sono minimi. Nei punti del tipo (x 0, 0) il determinante della matrice Hessiana è nullo, e pertanto dobbiamo studiare la natura di tali punti manualmente. Innanzitutto notiamo che f(x 0, 0) = 0, e quindi è sufficiente studiare il segno di f(x, y) in intorni dei punti critici. Si ha f(x, y) = y (x x + y ), e poiché x x + y x 0 x 0 per (x, y) (x 0, 0), deduciamo che se x 0 x 0 0 (ossia se x 0 0, 1, 1) il segno di f sarà, per permanenza del segno, lo stesso di x 0 x 0 in un intorno del punto (x 0, 0) (il termine y è 10

11 sempre positivo o nullo), e pertanto il punto (x 0, 0) è un massimo per x 0 < 1 0 < x 0 < 1 (ossia dove x 0 x 0 è negativo), mentre è un minimo per 1 < x 0 < 0 x 0 > 1 (ossia dove x 0 x 0 è positivo). Infine, i punti (0, 0), (1, 0) e ( 1, 0) sono selle, infatti: per (0, 0) scegliamo il percorso (x, x) e otteniamo f(x, x) = x + x 4 + x 5, che vicino all origine ha il segno di x e assume pertanto sia valori negativi che positivi in qualunque intorno di (0, 0); per (1, 0) il percorso (1 + y, y) porta a f(1 + y, y) = y + y 4 + y 5, che vicino al punto (1, 0) ha il segno di y ) e assume pertanto sia valori negativi che positivi in qualunque suo intorno; per ( 1, 0) concludiamo similmente al caso precedente considerando il percorso ( 1 + y, y). (g) f(x, y) = x y x 4 y + x y Notiamo innanzitutto che x è una funzione C (non abbiamo quindi problemi di derivabilità e in particolare valgono le solite regole per la matrice Hessiana) { con ( x ) = x x x = x x = x x 0 x x < 0 Troviamo ora i punti stazionari: il gradiente di f è f = (x x y 4x y + x y, y x x 4 + x ) = (x y( x x y 4x + ), x (y x + x x )) Poste le componenti uguali a 0, dalla seconda equazione otteniamo x = 0 oppure y = x x x : nel primo caso la prima equazione è sempre soddisfatta, e pertanto i punti del tipo (0, y 0 ) sono critici; nel secondo caso, se y = 0 otteniamo il punto (1, 0), altrimenti distinguiamo due casi: { 4x + y = 1) Se x > 0 abbiamo, la cui soluzione è x + y = 1 ( 5, 1 5 ). { 4x + y = ) Se x < 0 abbiamo, la cui soluzione è ( 5 x + y = 1, 1 5 ), che però non è accettabile in quanto 5 > 0. Concludiamo pertanto che i punti critici sono i punti (1, 0), ( 5, 1 5 ) e quelli del tipo (0, y 0 ). La matrice( Hessiana di f è 6y f (x, y) = x 1x y + 6xy 6x x y 4x + x ) 6x x y 4x + x x e si ha: ( ) 0 1 f (1, 0) = 1 1 ( 6 f ( 5, 1 5 ) = 15 7 )

12 Pertanto deduciamo che il punto (1, 0) è una sella (determinante negativo), mentre il punto ( 5, 1 5 ) è un minimo (determinante e traccia positivi). Per i punti del tipo (0, y 0 ) la matrice si annulla, e pertanto dobbiamo studiarne la natura manualmente. Notiamo innanzitutto che f(0, y 0 ) = 0, e pertanto è sufficiente studiare il segno di f in intorni di tali punti. Si ha f(x, y) = x y(y x + x x ). Notiamo che, se y 0 0, il segno della funzione in un intorno abbastanza piccolo di (0, y 0 ) è determinato dal termine y 0 fuori dalla parentesi e dai termini y 0 e x x (che varia tra + e 1 in qualunque intorno di (0, y 0 )). Distinguiamo quindi dei casi: i. Se y 0 > 1, per x negative il termine tra parentesi avrà il segno di y 0 1 (che è positivo) in ogni intorno abbastanza piccolo di (0, y 0 ), e dal momento che per x positive il termine tra parentesi ha sempre segno positivo a prescindere da y 0 (in intorni piccoli) deduciamo che la funzione avrà segno positivo (in quanto x è maggiore o uguale di 0 e y 0 è positivo), e pertanto il punto (0, y 0 ) sarà un minimo. ii. Se y 0 < 1, le conclusioni sono le stesse di prima per il termine tra parentesi, ma l y 0 di fuori rende stavolta il segno negativo, e quindi il punto (0, y 0 ) sarà un massimo. iii. Se 0 < y 0 < 1 o 1 < y 0 < 0, per x negative il termine tra parentesi avrà il segno di y 0 1 (che è negativo) in ogni intorno abbastanza piccolo di (0, y 0 ), e dal momento che per x positive il termine tra parentesi ha sempre segno positivo a prescindere da y 0 (in intorni piccoli) deduciamo che la funzione cambia segno in qualsiasi intorno (i termini davanti alle parentesi hanno segno fissato), e quindi il punto (0, y 0 ) è una sella. iv. I punti (0, 1), (0, 0) e (0, 1) sono tutte selle, infatti: -per il punto (0, 1), scegliendo dei punti (x, y) vicini a (0, 1) con x < 0 e 1 < y < 0 il termine tra parentesi avrà segno negativo, mentre scegliendo dei punti (x, y) vicini a (0, 1) con x > 0 e y qualsiasi il termine tra parentesi avrà segno positivo (e quindi f cambierà segno in ogni intorno, essendo il segno dei termini fuori dalla parentesi fissato in un intorno di (0, 1)); -per il punto (0, 1), scegliendo dei punti (x, y) vicini a (0, 1) con x < 0 e 0 < y < 1 il termine tra parentesi avrà segno negativo, mentre scegliendo dei punti (x, y) vicini a (0, 1) con x > 0 e y qualsiasi il termine tra parentesi avrà segno positivo (e quindi f cambierà segno in ogni intorno, essendo il segno dei termini fuori dalla parentesi fissato in un intorno 1

13 di (0, 1)); -per il punto (0, 0), se si prendono i percorsi (x, x) e (x, x), per x abbastanza piccola la funzione avrà rispettivamente il segno di x 4 e x 4, e pertanto f cambierà segno in ogni intorno di (0, 0). 1