1. Domini e limiti in più variabili

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1 1. Domini e limiti in più variabili Davide Catania davide.catania@unibs.it Esercitazioni di Analisi Matematica 2 A.A. 2016/17

2 Domini Limiti lungo restrizioni Inesistenza del limite Calcolo di limiti con coordinate polari Ulteriori esercizi

3 Esercizio 1 Determina e rappresenta il dominio di f (x,y) = y x + ln(3x) x 2 y 2.

4 Esercizio 2 Determina e rappresenta il dominio di f (x,y) = 1 cos(2πx) 2 + 3ln(x y) xy

5 Esercizio 3 Calcola l area del dominio di f (x,y) = 7y x 2 + 2arcsiny.

6 Esercizio 4 (Tema d esame 30/03/2010) Determina il dominio della funzione ln(x 2 + y 2 1) 1 f (x,y) = 4 x 2 y 2 +. π 2 arctan(x2 + y 2 1)

7 2 ρ < 2

8 Esercizio 5 Determina e rappresenta il dominio di x 2 y 2 f (x,y) = 4 ln(x 2 + y 2 2) + earctan(x2 y).

9 Domini Limiti lungo restrizioni Inesistenza del limite Calcolo di limiti con coordinate polari Ulteriori esercizi

10 Esercizio 6 Calcola il limite per (x,y) (0,0) di lungo le seguenti restrizioni: (a) gli assi cartesiani, (b) la retta y = x, (c) la generica retta y = mx, (d) la parabola x = y 2. x2 f (x,y) = x 2 + y 4

11 f (x,y) = x2 assi cartesiani e y = x x 2 +y 4

12 f (x,y) = x2 y = mx e x = y 2 x 2 +y 4

13 Esercizio 7 Sia f : R 2 x \ {(0,0)} R data da f (x,y) = 2 + y 2 xy 0, x x 2 + 3y 4 xy < 0. Calcola il limite di f per (x,y) (0,0) lungo (a) la retta y = 2x; (b) la retta y = 3x. x 4

14 Esercizio 8 Sia α > 0 e sia f : R 2 \ {(0,0)} R data da x 4 x f (x,y) = 2 + y 2 1 x 2 + y 2 se y α x, altrimenti. Determina per quali valori di α esiste il limite di f per (x,y) (0,0) lungo y = 2x e y = x 2.

15 f (x,y) = { x 4 x 2 +y 2 1 x 2 +y 2 se y α x, altrimenti. y = 2x

16 f (x,y) = { x 4 x 2 +y 2 1 x 2 +y 2 se y α x, altrimenti. y = x 2

17 Domini Limiti lungo restrizioni Inesistenza del limite Calcolo di limiti con coordinate polari Ulteriori esercizi

18 Esercizio 9 Dimostra che non esiste x 2 + 2y 3 lim (x,y) (0,0) x 2 + y 2.

19 Nota 1. Per provare che un limite non esiste, basta trovare due restrizioni con limiti diversi. Sono spesso utili restrizioni del tipo: y = 0, y = mx, y = ax 2, y = mx α, x = 0, x = my, x = ay 2, x = my α. Queste restrizioni valgono per (x, y) (0,0). Nota 2. Dato un limite per (x,y) (x 0,y 0 ), con la sostituzione X = x x 0, Y = y y 0 ci si riconduce a un limite per (X,Y ) (0,0) (spesso utile, perché possiamo applicare limiti notevoli e formula di Taylor).

20 Esercizio 10 Dimostra che non esiste lim (x,y) (0,0) x 2 y 2 x 4 + 4y 4.

21 Esercizio 11 Calcola (se esiste) sin(x 1) e x 1 +1 lim (x,y) (1,0) (x 1) 2 + y 2.

22 Esercizio 12 Verifica che non esiste xy lim (x,y) + e x2 +1. (x,y) + significa x 2 + y 2 +.

23 Domini Limiti lungo restrizioni Inesistenza del limite Calcolo di limiti con coordinate polari Ulteriori esercizi

24 Per calcolare lim f (x,y), (x,y) (x 0,y 0 ) possiamo usare le coordinate polari: { x = x 0 + ρ cosϑ, y = y 0 + ρ sinϑ. In particolare, (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = ρ 2. Otteniamo una funzione e F(ρ,ϑ) = f (x 0 + ρ cosϑ,y 0 + ρ sinϑ) lim f (x,y) = l lim F(ρ,ϑ) = l uniformemente in ϑ. (x,y) (x 0,y 0 ) ρ 0

25 Se l R, lim F(ρ,ϑ) = l ρ 0 uniformemente in ϑ significa che esiste una funzione G(ρ) (che non dipende da ϑ) tale che lim ρ 0 F(ρ,ϑ) l lim G(ρ) = 0. Nota. Se F(ρ,ϑ) = g(ρ)h(ρ,ϑ) con lim ρ 0 g(ρ) = 0, h limitata per ρ 0, allora uniformemente in ϑ. ρ 0 lim F(ρ,ϑ) = 0 ρ 0

26 Esercizio 13 Calcola lim (x,y) (0,0) x 4 y 4 x 2 + y 2.

27 Esercizio 14 Calcola lim (x,y) (0,0) sinx 4 x 2 + 3y 2.

28 Esercizio 15 Calcola lim (x,y) (1,0) e 2(x 1)2 1 x 1 + y 2.

29 lim 2ρ cos 2 ϑ ρ 0 + cosϑ + ρ sin 2 ϑ

30 Esercizio 16 Calcola lim (x,y) (0,0) xy x 2 + 2y 2.

31 Esercizio 17 Calcola lim (x,y) (0,0) (x2 + y 2 ) y.

32 Esercizio 18 Calcola lim (x,y) (0,0) x 2 x y.

33 Esercizio 19 Determina per quali valori di α R la funzione è continua in R 2. sinxy 4 f (x,y) = x 2 + 2y 2 se (x,y) /= (0,0), α se (x,y) = (0,0)

34 lim (x,y) (0,0) xy 4 x 2 + 2y 2

35 Esercizio 20 (Tema d esame 25/03/2013) Discuti la continuità di (x 2 + y 2 ) α 1 se (x,y) /= (0,0), f (x,y) = x + y 0 se (x,y) = (0,0) al variare di α R.

36 lim ρ sinϑ + cosϑ ρ2α 3

37 lim ρ sinϑ + cosϑ ρ2α 3

38 Esercizio 21 (Tema d esame 05/02/2010) Determina per quali α > 0 la funzione y 7α f (x,y) = 3(x 2 + y 2 ) 3/2 sin(x2 + y 2 )e y/x se x /= 0, 0 se x = 0 è continua in (0,0).

39 lim ρ ρ7α 1 sinϑ 7α e tanϑ

40 Domini Limiti lungo restrizioni Inesistenza del limite Calcolo di limiti con coordinate polari Ulteriori esercizi

41 Esercizio 22 Determina e rappresenta nel piano cartesiano il dominio della funzione f (x,y) = lg x (36 4x 2 9y 2 ).

42 Esercizio 23 Calcola, se esiste, lim (x,y) (0,0) 2x y x 2 + y 2.

43 Esercizio 24 Calcola lim (x,y) (0,1) x + y 1. x 1 y

44 Esercizio 25 (Tema d esame 03/09/2014) Discuti la continuità in (0,0) di 0 se (x,y) = (0,0), sin(x 2 + y 2 ) f (x,y) = (x 2 + y 2 ) 1/4 se (x,y) A \ {(0,0)}, ln(1 + x 2 + y 2 ) x 2 + y 2 se (x,y) R 2 \ A, dove A = {(x,y) R 2 : y 3x 2 }.

45 0 se (x,y) = (0,0), sin(x 2 + y 2 ) se f (x,y) = (x 2 + y 2 ) 1/4 (x,y) A \ {(0,0)}, ln(1 + x 2 + y 2 ) se (x,y) R 2 \ A, x 2 + y 2 y 3x 2

46 Esercizio 26 Discuti, al variare di n N, la continuità della funzione xy n f n (x,y) = x 2 + y 2 (x,y) /= (0,0), 0 (x,y) = (0,0).