Esame di Fisica Matematica III, a.a (27/9/2011)

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1 Esame di Fisica Matematica III, a.a (7/9/011) Tempo a disposizione: DUE ORE. Non e consentito l uso di appunti o calcolatrici. Svolgere tutti gli esercizi. Esercizio 1. Si determini, attraverso il metodo delle caratteristiche, la piu generale soluzione dell equazione delle onde u tt = u xx con dato iniziale u(x, 0) = φ(x) = x e kx, u t (x, 0) = ψ(x) = 0. Esercizio. Si consideri l operatore A = 1 ( ) d dx, definito su L (R). Determinare A + e dimostrare la formula ottenuta. Esercizio 3. Si consideri l equazione del calore u t = α u xx sull intervallo x [ π, π] con condizioni al bordo periodiche u(0, t) = u(l, t) e dato iniziale Se ne dia la soluzione per t 0. u(x, 0) = φ(x) = cos(x). Esercizio 4. Determinare la piu generale soluzione u(x, y) per l equazione x u x + x u y = y. 1

2 Tabella delle piu comuni trasformate di Fourier Nel seguito indichiamo con δ(x) la delta di Dirac, con Θ(x) la funzione gradino, e con χ(a) la funzione caratteristica dell intervallo [ a, a], cioe Θ(x) = { 1 per x 0 0 per x < 0 ; χ(x) = { 0 per x > A 1 per x A. La convenzione usata e la seguente: data una funzione f(x), la sua trasformata di Fourier e la funzione f(k) = 1 f(x) e ikx dx ; π la antitrasformata di Fourier della funzione f(k) e data da f(x) = 1 π f(k) e ikx dk. Il parametro A sara sempre supposto essere reale e positivo. f(x) f(k) f(x) f(k) χ(a) /π [sin(ak)/k] /π sin(ax)/x χ(a) (1/ π) e x /(A ) (A/ π) e A k / (A/ π) e A x / (1/ π) e k /(A ) e A x /π A A +k /π A A +x δ(x) (1/ π) 1 e A k π δ(k) x e x /(A ) i k A 3 e A k / i x e x / k e k / Integrale gaussiano generale Puo essere utile ricordare che per c reale e negativo si ha (p + qx + rx ) e a+bx+cx dx = = e [a (b /(4c))] 1 4c π c (4c p bcq + b r cr)

3 SOLUZIONI. Esercizio 1. Scriviamo u(x, t) = f(x t) + g(x + t) ; ne segue che u t = g (x + t) f (x t), ed al tempo t = 0 si ha u(x, 0) = f(x) + g(x) ; u t (x, 0) = g (x) f (x). Essendo u t (x, 0) = 0, dobbiamo avere f (x) = g (x), ossia g(x) = f(x) + c. La condizione su u(x, 0) fornisce allora f(x) + c = φ(x) = x e kx. Possiamo quindi porre c = 0, ed abbiamo f(x) = x, g(x) = x. e kx e kx La soluzione cercata e dunque u(x, t) = x t e k(x t) + x + t e k(x+t). Esercizio. Per definizione, A + e tale che (f, Ag) = (A + f, g) per ogni f e g nello spazio funzionale su cui A e definito, in questo caso L (R); ricordiamo che le funzioni in L soddisferanno lim x f k (x) = 0. Integrando per parti, abbiamo (f, Ag) = f(x)g (x)dx = f(x)g (x) + = f(x)g (x) + f (x)g (x) + + per quanto detto sopra, i termini di bordo sono nulli, e quindi f (x)g (x)dx f (x)g(x)dx ; (f, Ag) = f (x)g(x)dx := (A + f, g). 3

4 Ne segue che A + = d dx = A. Esercizio 3. Le condizioni al bordo periodiche (con periodo π) assicurano che possiamo scrivere u(x, t) = A k (t) cos(kx) + B k (t) sin(kx) ; le condizioni al bordo non vincolano le costanti A k e B k. Abbiamo quindi u t (x, t) = A k(t) cos(kx) + B k(t) sin(kx), u xx (x, t) = ( k ) A k (t) cos(kx) + l equazione del calore richiede di avere ( k )B k (t) sin(kx) ; A k = α k A k, B k = α k B k ; queste danno A k (t) = A k (0) e α k t, B k (t) = B k (0) e α k t. La condizione iniziale assicura che A k (0) = δ k1, B k (0) = 0 ; quindi la soluzione e semplicemente u(x, t) = e αt cos(x). Esercizio 4. L equazione alle caratteristiche sara La prima equazione fornisce dx x = dy x = du y. x y = z = const. ; scrivendo x = y + z l equazione dy/x = du/y diviene dy y + z = du y 4

5 che si riscrive come y y + z integrando ambo i membri abbiamo dy = du ; y z log(y + z) = u C con C una costante (cioe una funzione arbitraria di z); abbiamo quindi u(x, y) = f(x y) + y (x y) log(x), con f una funzione (differenziabile) arbitraria del suo argomento. La stessa soluzione si puo anche scrivere come u(x, y) = g(x y) + x (x y) log(x), con g(ξ) = f(ξ) ξ. 5