Prova scritta di metà corso venerdì 20 aprile 2007

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1 Prova sritta di metà orso venerdì 0 aprile 007 Laurea in Sienza e Ingegneria dei Materiali anno aademio Istituzioni di Fisia della Materia - Prof. Lorenzo Marrui Tempo a disposizione: ore e 30 minuti Uso degli appunti o di libri: NON AMMESSO; uso della alolatrie: AMMESSO Nota: per lasiare un margine di reupero interno a questo ompito, il totale dei punti a disposizione è fissato a 3 invee he a 30, ma il voto massimo di questo sritto ai fini della media per il voto finale resta omunque 30/30. 1) Un onda elettromagnetia armonia piana di frequenza ν = 1.5 GHz possiede le seguenti aratteristihe: ampiezza di ampo elettrio E 0 = 3 kv/m, direzione del ampo elettrio parallela all asse, fase iniziale nulla (rispetto all origine del riferimento artesiano), direzione di propagazione parallela all asse x nel verso positivo (si veda figura 1). Determinare (a) la lunghezza d onda, (b) l intensità (media) dell onda, () il valore del ampo elettrio dell onda nel punto r 0 di oordinate (x 0, 0, z 0 ) = (995 m, 10 m, 0) all istante di tempo t = 0. Supponiamo ora he nel punto r 0 sia olloata una nano-partiella di massa m = 1 ng he presenta una aria elettria q = 3.14 C. La partiella è immersa in un fluido visoso he produe su di essa una forza F = ηv, on η = 3.34 Ns/m, dove v è la veloità della partiella. A partire dall istante di tempo t = 0, la partiella è lasiata libera di muoversi sotto l effetto della forza elettria dell onda (trasurate la forza magnetia) e della forza visosa, on veloità iniziale nulla. Calolate (d) l ampiezza delle osillazioni della partiella indotte dal ampo elettrio a regime. Determinate inoltre (e) l espressione della legge del moto della partiella tenendo onto anhe del periodo transitorio iniziale (basta trovarla in notazione omplessa, senza tornare alla notazione reale). Supponete ora di avere anhe un onda armonia sferia, di frequenza uguale a quella dell onda piana e fase iniziale nulla, generata a partire dall origine del sistema di riferimento, ome indiato in figura. L ampiezza del ampo elettrio di questa seonda onda è tale da oinidere on quella dell onda piana ad una distanza L = x 0 = 10 m dall origine. Alla stessa distanza x = L, lungo l asse x è posto uno shermo piano, perpendiolare all asse x (ossia parallelo al piano z), su ui entrambe le onde inidono simultaneamente ed interferisono (si assume he la polarizzazione sia la stessa per le due onde). Determinare (f) la forma e la posizione delle frange d interferenza ostruttiva e distruttiva he si generano sullo shermo. [punti: a = 3; b = 3; = ; d = 3; e = ; f = 3] [NOTA: non è indispensabile rispondere alle domande preedenti per affrontare la domanda (f)] Nano-partiella shermo x x Figura 1 L Figura ) Srivete un saggio di almeno mezza pagina ma non oltre una pagina su una delle seguenti due trae, a vostra selta (ma NON ENTRAMBE). [punti: 8] a. Onde armonihe: proprietà generali, rilevanza fisia e rilevanza matematia. b. Definire il onetto di larghezza di banda di un onda e disutere il legame di tale quantità on la massima veloità alla quale l onda può trasportare informazioni. Costante dielettria del vuoto ε 0 = F/m ATTENZIONE: la prova ontinua alla pagina seguente...

2 seonda pagina Pr ova sritta di metà orso 0/4/007 Istituzioni di Fisia della Materia Prof. Lorenzo Marrui 3) TEST (vale 1 punto per ogni domanda, 8 punti in totale) COGNOME: NOME: MATRICOLA: a) Qual è o quali sono le inognite in un equazione differenziale del tipo d f df 0 a + b + f =? dx dx La funzione f(x). b) Quando un sistema dinamio si trova in un modo normale di osillazione, tutti i suoi orpi si muovono simultaneamente di moto armonio. In questa situazione, in quali aratteristihe questi moti armonii possono differenziarsi tra loro? Nell ampiezza e la fase dell osillazione ) Nelle onde meanihe, soluzioni dell equazione di D Alembert (ad esempio onde sonore, onde sulla atena di pendoli, e.), osa fissa la veloità delle onde? [LE CONDIZIONI AL CONTORNO] [LE CONDIZIONI INIZIALI] [L AMPIEZZA DELL ONDA] [L ENERGIA TOTALE DELL ONDA] [ALCUNI PARAMETRI CHE APPAIONO NELL EQUAZIONE DIFFERENZIALE] d) Quali sono le ondizioni iniziali he devono essere assegnate riguardo al ampo ξ(x,t) per poter individuare in modo univoo la soluzione dell equazione di D Almbert (delle onde): ξ ξ(x,0) e ( x,0) t e) Un onda viaggia in avanti (nel verso positivo dell asse x) on veloità v 0 e ha una forma iniziale, per t=0, data dall espressione ξ(x) = (a+bx)/(a bx 3 ). Srivere l espressione dell onda per tempi suessivi: a+ b( x v0t) ξ ( xt, ) = 3 a b( x v0t) f) Individuare tra i seguenti oggetti, quelli he NON sono onde elettromagnetihe di nessun tipo e barrarli: [raggi n] [raggi x] [raggi alfa] [raggi beta] [raggi gamma] [raggi delta] [raggi atodii] [raggi ultravioletti] [lue visibile di olore marrone] [raggi omega] [alore irraggiato] [segnali radio] g) Se un onda elettromagnetia possiede in un erto punto dello spazio ad un erto istante un ampo elettrio pari a 1 V/m, quanto vale il ampo magnetio nello stesso punto e nello stesso istante? B = E/ = 40 nt h) Un nano-risonatore luminoso uni-dimensionale (1D) ha una lunghezza pari a 50 nm. Quali tra le seguenti sono lunghezze d onda possibili della lue onfinata all interno del risonatore? [500 nm] [50 nm] [1.5 µm] [10 8 m] [1500 nm] [10 6 m]

3 Soluzione dell eserizio 1 a) Sia = m/s la veloità della lue (e di tutte le onde elettromagnetihe nel vuoto). La lunghezza d onda è data da λ = /ν = / = 0 m b) L intensità media dell onda (onda elettromagnetia armonia) è: 1 I = ε E = 1 kw/m ) 0 0 Il ampo elettrio dell onda in tutto lo spazio e in funzione del tempo sarà dato da E = (0, E, 0) on E = E 0 os(kx ωt) Nel punto r 0 si ha quindi E = E 0 os(kx 0 ωt) = E 0 os(ωt+ϕ) on ϕ = kx 0 + nπ = πx 0 /λ + nπ = π/ dove n = 50 è un intero selto per far riadere la fase nell intervallo 0 π (essendo omunque la fase definita a meno di un multiplo di π), per ragioni di omodità. Dato he os(α π/) = sin(α), si ha allora E = E 0 sin(ωt) Al tempo t = 0 si ha quindi E(r 0 ) = 0. d) La forza elettria agente sulla partiella è pari a F = qe(x,,z,t), dove le oordinate x,, z da usare sono quelle della partiella ad ogni istante di tempo, per ui in linea di prinipio sono anh esse funzioni di t. Visto he la partiella inizialmente è ferma e la forza è sempre diretta ome l asse, è però evidente he il moto della partiella si svolgerà eslusivamente lungo l asse, mentre le oordinate x e z restano ostanti e uguali ai valori iniziali. Periò la forza (omponente ) agente sulla partiella è data dall espressione F = qe (x 0,t)= qe 0 sin(ωt) Per determinare il moto della partiella, sriviamo ora la F = ma per la sola omponente : d d + η = 0 sin ( ω ) m qe t dt dt Risriviamo questa equazione in notazione omplessa nel modo seguente:

4 d m dt d dt iωt + η = iqe0e (1) (dove il fattore i serve ad avere la giusta fase della forzante). Per trovare l ampiezza dell osillazione indotta a regime nella partiella, basta erare una soluzione di tipo esponenziale on lo stesso andamento della forzante: i t = Ae ω () Sostituendo questa soluzione di prova nella (1), otteniamo A iqe0 = iηω mω L ampiezza reale dell osillazione è il modulo di questa ampiezza omplessa, per ui si ha iqe0 qe0 qe0 ω A= A = = = = 100 nm iηω mω η + m ω e) ( ηω) + ( mω ) Per alolare la legge del moto, basta sommare alla (), he rappresenta una soluzione partiolare dell equazione (1), una soluzione dell equazione omogenea assoiata alla (1). L equazione omogenea assoiata è la seguente: d d η 0 m dt + = (3) dt Per risolverla, usiamo il metodo degli esponenziali omplessi, on una soluzione di prova = Ae αt Sostituendo questa soluzione nella (3), otteniamo mα + ηα = 0 da ui abbiamo le due soluzioni indipendenti α = 0 e α = η m Quindi la soluzione generale dell equazione omogenea (3) è la seguente: t () = B+ Ce ηtm Questa soluzione va sommata alla () e i dà la soluzione omplessiva ηtm iωt t () = B+ Ce + Ae (4) Imponendo le ondizioni iniziali (0) = 0 e v (0) = 0, otteniamo il valore delle ostanti B e C. Sostituendolo nella (4), otteniamo l espressione finale della legge del moto (in notazione omplessa):

5 iωt iωm ηt m t () = 0 + A e 1+ ( e 1) η f) La forma delle frange d interferenza è definita dalla differenza di fase tra l onda piana e quella sferia. La fase dell onda piana sullo shermo è Φ 1 (x=l,x,,t) = kl ωt dove k = π/λ è il numero d onde. La fase dell onda sferia sullo shermo è invee Φ ( =,,, ) = = + + x Lzt kr ω t k L z ω t dove r = x + + z è la distanza dalla sorgente dell onda. La differenza di fase tra le due onde è quindi la seguente: Φ (, ) = Φ Φ = + + z 1 k L z kl Per determinare le urve di interferenza ostruttiva ompleta sullo shermo, basta porre Φ(,z) = nπ, dove n è un intero qualsiasi. Per determinare quelle di interferenza distruttiva ompleta, dobbiamo porre Φ(,z) = nπ+π = (n+1)π. In pratia, erhiamo tutte le urve he risolvono la seguente equazione: Φ(,z) = nπ e avremo per n pari le urve di interferenza ostruttiva e per n dispari quelle di interferenza distruttiva. Dopo semplii passaggi, vediamo he queste urve sono desritte dalle seguente equazione: z nlλ n λ ρ = + = + (5) 4 dove ρ è la distanza dal entro dello shermo (posto in = z = 0). Quindi le frange d interferenza hanno forma irolare. Sono erhi onentrii, alternativamente hiari e suri, di raggio dato dall equazione (5). Dato he per n = 0 (pari), abbiamo interferenza ostruttiva e ρ = 0, ne onsegue he al entro dello shermo si ha interferenza ostruttiva. Il raggio della prima frangia sura è di 1.4 m.