LEZIONE # 7. y(t) grandezza in ingresso (misurando) x(t) grandezza in uscita (deflessione o risposta dello strumento)

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1 Appunti di Misure Meanihe & Termihe orso di Laurea Magistrale in Ingegneria Meania (ordinamento ex 7/4) Faoltà di Ingegneria Civile e Industriale - Università degli studi di Roma La Sapienza LEZIONE # 7 Uno strumento si die dinamiamente lineare se è possibile desrivere il moto del suo equipaggio mobile (usita dello strumento) mediante un equazione differenziale lineare (a oeffiienti ostanti). d x dx y( Strumento x( per esempio: a b x y( dt dt y( grandezza in ingresso (misurando) x( grandezza in usita (deflessione o risposta dello strumento) ome noto, la soluzione dell equazione differenziale di sopra può essere sritta nella forma: x( x ( x ( tr rg soluzione dell omogenea assoiata rappresenta il transitorio dello strumento integrale partiolare desrive la risposta a regime per il partiolare ingresso in esame Figura 7.1 Lo studio dinamio di uno strumento viene ondotto per mezzo di due ingressi di prova tipii, partiolarmente adatti a mettere in evidenza le aratteristihe dinamihe he si manifestano nel transitorio (di inserzione) di uno strumento e nel omportamento a regime. Per lo studio di x tr ( si utilizzerà la risposta al gradino mentre per lo studio di x rg ( si farà riferimento alla risposta in frequenza. A.A. 13/14 LEZ #7 pag. 1

2 Appunti di Misure Meanihe & Termihe orso di Laurea Magistrale in Ingegneria Meania (ordinamento ex 7/4) Faoltà di Ingegneria Civile e Industriale - Università degli studi di Roma La Sapienza Strumenti di ordine zero: Quando l equazione differenziale si presenta nella forma più semplie, senza termini on le derivate a x b y b x y a il segnale (o l indiazione) in usita è direttamente proporzionale alla grandezza in ingresso! nell equazione dinamia la variabile tempo non ompare in forma espliita quindi, la risposta dello strumento è istantanea, non è ritardo tra ingresso e usita si tratta di un omportamento dinamio ideale he solo pohi strumenti riesono ad approssimare. esempio: il potenziometro ome trasduttore di spostamento y( Figura 7. la maglia hiusa alla sinistra del iruito è alimentata dalla batteria E, vale quindi E = R I. In un istante di tempo qualunque, la spazzola, he si trova nella generia posizione y(, fornise in usita una differenza di potenziale e( proporzionale alla resistenza r( he è una partizione di R ; Y y( ma R e r( S S dove on S si è indiata la sezione del filo he ostituise la resistenza; E r( y( / S y( quindi e( r( I r( E E E R R Y / S Y dove la variabile tempo t non ompare espliitamente, ma solo ome variabile indipendente della posizione y y(. E Si osservi he e y è anhe la urva di graduazione del potenziometro, impiegato ome Y de E trasduttore di posizione, infatti la derivata è la sensibilità del trasduttore espressa in dy Y [V/m]. A.A. 13/14 LEZ #7 pag.

3 Appunti di Misure Meanihe & Termihe orso di Laurea Magistrale in Ingegneria Meania (ordinamento ex 7/4) Faoltà di Ingegneria Civile e Industriale - Università degli studi di Roma La Sapienza Il fatto he l equazione dinamia di uno strumento possa oinidere on la urva di graduazione aade solo per strumenti di ordine zero. Uno strumento di ordine zero risponde istantaneamente alle variazioni dell ingresso perhé al suo interno non ha luoghi o elementi dove l energia in transito può essere immagazzinata. Strumenti del 1 ordine: uno strumento apae di immagazzinare energia (meania, termia, elettria ) in una sola forma, in un luogo interno ovvero in uno dei suoi elementi ostitutivi (molla, massa, ondensatore ) è uno strumento del primo ordine. Lo studio dinamio degli strumenti del 1 ordine verrà ondotto a partire da un esempio meanio shematio, ovvero uno strumento ostituito da un indiatore S virtualmente privo di massa, sostenuto al telaio da un elemento elastio di ostante e da uno smorzatore visoso di ostante. si inizi immaginando di tirare manualmente l indiatore S fino alla posizione x all istante t= si immagini di lasiare improvvisamente l indiatore S l energia elastia immagazzinata nella molla viene quindi liberata e tende a riportare l indiatore S nella posizione d equilibrio x= Figura 7.3 durante lo spostamento verso x= lo smorzatore eserita una forza he si oppone al moto stesso In ogni istante t del moto, fino al raggiungimento della posizione x= vale l equilibrio delle forze: x x ovvero x x he è un equazione differenziale del 1 ordine omogenea; in tutta la fase del moto la veloità dell indiatore S è x x proporzionale alla posizione raggiunta. Si noti he essendo x uno spostamento, quindi on dimensioni [L], il oeffiiente deve avere le dimensioni di [t -1 ]. Per ui si ha he t ha le dimensioni di un tempo. è la ostante di tempo dello strumento del 1 ordine in esame. La soluzione generale dell equazione differenziale del 1 ordine di sopra è ben nota ed è un esponenziale deresente: x( x il grafio dello spostamento in funzione del tempo è riportato sotto nella figura 7.4. e t A.A. 13/14 LEZ #7 pag. 3

4 Appunti di Misure Meanihe & Termihe orso di Laurea Magistrale in Ingegneria Meania (ordinamento ex 7/4) Faoltà di Ingegneria Civile e Industriale - Università degli studi di Roma La Sapienza Per t = x( ) x si ha la ondizione iniziale, x x ( ) x è la tangente alla urva dello spostamento in x x() Figura 7.4 Si osservi he la ostante di tempo ha un signifiato geometrio notevole: è la sottotangente alla urva nel punto x x(), o anhe in un qualunque altro punto x t della urva di traiettoria. 1 Al tempo t = λ si ha x( ) xe. 37 x l indiatore S ha viaggiato ira il 63% della traiettoria he deve perorrere per tornare alla posizione di equilibrio x=. Nel aso generale si onsidera la risposta al gradino dello strumento. Lo strumento in esame ha ome grandezza d ingresso una forza, appliata in qualhe modo direttamente all indiatore S. La risposta al gradino è un buon modello per lo studio dei transitori d inserzione dello strumento. Se al tempo t = viene appliata istantaneamente una forza ostante F l equazione differenziale he desrive il moto dell indiatore è x x F he è anora un equazione differenziale del 1 ordine, ma non omogenea. La soluzione ompleta di un equazione differenziale del genere, ome già rihiamato, ha la forma x( x tr x dove x tr è l integrale generale dell omogenea assoiata e desrive il transitorio d inserzione dello strumento, mentre x rg è un integrale partiolare e desrive il omportamento a regime dello strumento. Si osservi he a regime (per t ) la veloità dell indiatore è neessariamente nulla ( x ) quindi la posizione assunta dall indiatore è x rg. Questo è un integrale partiolare dell equazione differenziale. L integrale generale ha una forma analoga a quella appena studiata, ma rovesiata. E F t quindi un esponenziale resente xtr e. La soluzione finale è la somma dei due integrali A.A. 13/14 LEZ #7 pag. 4 rg

5 Appunti di Misure Meanihe & Termihe orso di Laurea Magistrale in Ingegneria Meania (ordinamento ex 7/4) Faoltà di Ingegneria Civile e Industriale - Università degli studi di Roma La Sapienza F t t F F x( xtr xrg e 1 e si osservi nuovamente sulla figura 7.5 il signifiato geometrio della ostante di tempo quale / sottotangente alla urva nel punto x() infatti tg x (). Figura 7.5 F 1 si osservi infine he per t = λ vale ) 1 e x(. 63 ovvero l indiatore S ha perorso il 63% della sua strada per raggiungere la posizione d equilibrio finale x rg. Quando si è interessati soprattutto a studiare la rapidità dello strumento nelle ondizioni di regime, lo shema più idoneo è quello della risposta in frequenza dello strumento. Figura 7.6 Per studiare la risposta in frequenza di uno strumento oorre he al suo equipaggio mobile, o più in generale al suo ingresso, sia inviato un segnale periodio on un ontenuto armonio qualunque. Per le ragioni già disusse, è possibile fare riferimento ad un segnale puramente sinusoidale on frequenza variabile. Una possibile modalità per appliare un ingresso sinusoidale allo strumento meanio del 1 ordine studiato fin ora, è shematizzata di fiano nella figura 7.6. Al telaio S, supposto metallio, viene appliata on ontinuità la forza: F( sent Un tale ingresso non produe a regime aluna posizione d equilibrio. A.A. 13/14 LEZ #7 pag. 5

6 Appunti di Misure Meanihe & Termihe orso di Laurea Magistrale in Ingegneria Meania (ordinamento ex 7/4) Faoltà di Ingegneria Civile e Industriale - Università degli studi di Roma La Sapienza L equazione differenziale he desrive il moto dell indiatore I è: x x F sent Si erherà ora di omprendere ome varia l ampiezza dell indiazione in usita x( al variare della frequenza ω della grandezza di ingresso e he ritardo avrà la risposta dello strumento al variare della frequenza ω della F(. La soluzione dell equazione differenziale di sopra avrà anora la forma x( x tr x In questa fase non si è più interessati all integrale generale x tr e si era solo di individuare un possibile integrale partiolare x rg. Per un ingresso sinusoidale elementare quale quello ipotizzato, se la frequenza ω non è troppo elevata, vi saranno buone probabilità he lo strumento riesa ad indiare in usita una sinusoide he ha la stessa frequenza del segnale in ingresso ma possiede uno sfasamento φ (ritardo): ( X sen( t ) x rg rg E onveniente srivere nell equazione differenziale i termini di ingresso e di usita in notazione esponenziale. Questa è una desrizione matematia dei vettori rappresentativi (fasori) dell ingresso e dell usita nel piano omplesso. ingresso: usita: F( F e x( X e jt e jt j Figura 7.7 Per riavare l integrale partiolare, si sostituisono i termini di sopra nell equazione differenziale del moto dell equipaggio mobile: j jt j jt j X e e Xe e F e jt j X j e F X e j F dove è lo spostamento massimo e è la ostante di tempo j j 1 Razionalizzando i termini e alolando il modulo della funzione razionalizzata si ottiene: X 1 X G 1 1 il rapporto tra l ampiezza dell indiazione in usita e dello spostamento massimo dell equipaggio mobile dello strumento (a frequenza virtualmente nulla) è l amplifiazione o guadagno, mentre artg A.A. 13/14 LEZ #7 pag. 6

7 Appunti di Misure Meanihe & Termihe orso di Laurea Magistrale in Ingegneria Meania (ordinamento ex 7/4) Faoltà di Ingegneria Civile e Industriale - Università degli studi di Roma La Sapienza l aro tangente del rapporto tra parte immaginaria e parte reale della risposta omplessa è l angolo di ritardo dell usita o sfasamento tra ingresso e usita dello strumento! Il guadagno e lo sfasamento degli strumenti del primo ordine vengono riportati su un diagramma artesiano in funzione della frequenza ridotta ωλ. In tal modo, i grafii risultano adimensionali ed hanno la medesima forma per ogni strumento del 1 ordine, ome in figura 7.8. Dipendentemente dal valore di λ, he deve essere determinato per iasuno strumento in esame, resta individuato il 1 valore della frequenza aratteristia. La ω assume il signifiato di frequenza di taglio ed esprime l estensione della banda passante a 3db. 1 1 Si osservi he per ωλ = 1 G. 77 pratiamente f è la f t a 3 db Figura 7.8 Si evidenzia, anora una volta, per gli strumenti del primo ordine l importanza della ostante di tempo λ, essa rappresenta il parametro fondamentale per lo studio dinamio di detti strumenti. esempio: dinamia del termometro a liquido in ogni intervallino di tempo dt he preede il raggiungimento dello equilibrio termio, il fluido termometrio rieve la quantità di alore dq dall ambiente, he si trova a temperatura T a maggiore della temperatura di partenza T del fluido, ed aumenta la propria temperatura T. dq AT ( a T) dt (alore eduto dall ambiente) dq m dt (alore aquistato dal fluido) Figura 7.9 dove m è la massa del fluido è il alore speifio è il oeffiiente di sambio termio A è la superfiie di sambio termio A.A. 13/14 LEZ #7 pag. 7

8 Appunti di Misure Meanihe & Termihe orso di Laurea Magistrale in Ingegneria Meania (ordinamento ex 7/4) Faoltà di Ingegneria Civile e Industriale - Università degli studi di Roma La Sapienza m dt AT ( a T) dt dt m AT dt m dt T A dt a T a AT he è l equazione differenziale rappresentativa della dinamia on ui un termometro a liquido risponde ad un gradino di temperatura in ingresso. m In analogia a quanto osservato per lo strumento meanio di prima è la ostante di tempo A In onlusione, si osservino on attenzione due fatti fondamentali: nello studio dell equazione differenziale lineare he desrive la risposta dinamia degli strumenti (1) la soluzione dell omogenea assoiata x tr ( non dipende mai dalla natura della forzante in ingresso e () è possibile alolare un integrale partiolare x rg ( anhe per un ingresso a gradino. Gli ingressi a gradino e sinusoidale rappresentano quindi solamente due shemi partiolarmente semplii ed effiai per lo studio delle aratteristihe dinamihe degli strumenti. Si osservi infine he la ostante di tempo per gli strumenti del 1 ordine failmente risulta essere dell ordine dei seondi. Se ipotizziamo, per esempio, una λ = 1s si ha on semplii aloli: da ui si riava f 1 f. 16Hz si rionose subito ome gli strumenti del 1 ordine abbiano in genere una frequenza di taglio reale piuttosto bassa e siano quindi poo adatti all impiego on grandezze in ingresso rapidamente variabili. Note: Figure 7.; 7.3; 7.4; 7.5; 7.6; 7.9 ourtesy of: Brana F.P. Misure Meanihe ed. ESA Figure 7.1; 7.7; 7.8 ourtesy of: Doebelin E.O. Measurement systems, appliation and design MGraw Hill A.A. 13/14 LEZ #7 pag. 8