G. Parmeggiani 15/5/2017. Algebra e matematica discreta, a.a. 2016/2017, Scuola di Scienze - Corso di laurea: Svolgimento degli Esercizi per casa 5

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1 G. Parmeggiani 5/5/7 Algera e matematia disreta, a.a. 6/7, Suola di Sienze - Corso di laurea: parte di Algera Informatia Svolgimento degli Eserizi per asa 5 Si dia quale delle due seguenti posizioni definise un appliazione lineare: (a T : M n (C M n (C definita da T (A A T per ogni A M n (C; ( T : M n (C M n (C definita da T (A A per ogni A M n (C. Fissato i {, }, per vedere he T i : M n (C M n (C è un appliazione lineare oorre verifiare he siano soddisfatte le seguenti ondizioni: ( T i (A + B T i (A + T i (B per ogni A, B M n (C; ( T i (αa αt i (A per ogni A M n (C ed ogni α C. T verifia la ondizione (? Poihè la trasposta della somma di matrii è la somma delle trasposte si ha: T (A + B (A + B T A T + B T T (A + T (B A, B M n (C. Dunque T verifia la ondizione (. T verifia la ondizione (? Poihè la trasposta del prodotto di una matrie per uno salare è il prodotto della trasposta della matrie per lo salare, si ha: T (αa (αa T αa T αt (A A M n (C, α C. Dunque T verifia la ondizione (. Verifiando entrame le ondizioni ( e (, T è un appliazione lineare. T verifia la ondizione (? Essendo T (A + B (A + B (A + B(A + B A + BA + AB + B T (A A T (B B

2 se fosse T (A + B T (A + T (B per ogni A, B M n (C, saree ( BA + AB O A, B M n (C Ma ( è falsa: si prenda, ad esempio, A B I n. Dunque T non verifia la ondizione ( e quindi non è un appliazione lineare. Sia T : M (C C definita da T (A Ae per ogni A M (C. (a Si provi he T è un appliazione lineare. ( Si trovino il nuleo Ker(T e l immagine Im(T di T. (a M (C e C sono entrami spazi vettoriali omplessi. Verifiare he T è un appliazione lineare signifia verifiare he sono soddisfatte le seguenti ondizioni: ( T (A + B T (A + T (B per ogni A, B M (C; ( T (αa αt (A per ogni A M (C ed ogni α C. (: T (A + B (A + Be Ae + Be T (A + T (B A, B M (C; Dunque T verifia la ondizione (. (: T (αa (αae α(ae αt (A A M (C, α C. Dunque T verifia anhe la ondizione (, per ui è un appliazione lineare. ( Poihè T (A Ae è la a olonna di A, allora Ker(T {A M (C g(a } è l insieme delle matrii omplesse on la prima olonna nulla, ossia { a, } a Ker(T C, Im(T {T (A A M (C} è l insieme dei vettori ( di C he siano prime a olonne di matrii omplesse. Poihè per ogni C esiste A M (C a a tale he sia la prima olonna di A (si prenda, ad esempio A, allora Im(T C. 3 Sia T : R M (R definita da: T ( a a a + a ( a R

3 (a Si provi he T è un appliazione lineare. ( Si determini la matrie A assoiata ad T rispetto alle asi ordinate {( ( { } B ; e D ; ; ; } su dominio e odominio rispettivamente. ( Per provare he T è un appliazione lineare oorre provare : a a a a. T ( + T + T a,, a, R. T (α a a αt α, a, R. T ( ( a + ( a T ( ( a + a + ( a + a (a + a + ( + (a + a ( + + ( a + a (a + + (a + (a + (a + a a + a a + + a a T + T ( a a ( a αa αa αa + α. T (α T α αa α α αa α(a + a a + a α αt α(a α a ( La matrie A assoiata ad T rispetto alle asi ordinate B e D su dominio e odominio rispettivamente è la matrie ( ( A C D (T C D (T. 3

4 Dalla definizione di T si ottiene: T, T quindi 3, ( 3 A C D C D. Caloliamo le oordinate rispetto alla ase ordinata D di un generio elemento R a d. α a C D β d δ γ α + β a d + δ + γ γ α + β β + δ β γ a β d α + β γ a/ Risolvendo il sistema otteniamo, β + δ α β d β d δ β d quindi d a C D d d d. a/ 3 In partiolare, speializzando a,, otteniamo C D 3, C D. / / La matrie A assoiata ad T rispetto alle asi ordinate B e D su dominio e odominio rispettivamente è quindi la matrie A 3. / / 4

5 4 Siano B v ; v ; v 3 B v ; v ; v 3. e Dopo aver provato he B e B sono due asi ordinate di R 3, si alolino le matrii di passaggio M B B (da B a B e M B B (da B a B. Siano A ed A le matrii he hanno ome olonne gli elementi di B e di B rispettivamente. Per provare he B e B sono due asi ordinate di R 3, oorre provare he A ed A hanno entrame rango uguale a 3. Faendo una E.G. su A si ottiene: A E ( E 3( E ( U per ui rk(ark(u 3, ed, analogamente, faendo una E.G. su A si ottiene: A E 3( E 3( U per ui rk(a rk(u 3. E 3( 5

6 La matrie di passaggio M B B da B a B è M B B ( C B (v C B (v C B (v 3 C B ( C B ( C B (. Per alolarla, piuttosto he alolare separatamente C B (, C B ( e C B (, aloliamo C B ( a per un generio vettore a R 3, e spe- ializziamo la formula ottenuta ai tre diversi vettori C B ( a α β δ a α + β + δ,,. Poihè α + β + δ α + β + δ, β + δ α, β e δ sono soluzioni del sistema lineare α + β + δ a ( α + β + δ β + δ Faendo una E.G. sulla matrie aumentata di ( otteniamo a E 3 ( E ( E ( a a a a a + da ui, on la sostituzione all indietro, δ a + β a α β δ + a a + + a + a 6

7 Dunque C B ( a a, per ui a + C B (, C B (, C B (, e quindi Analogamente si ha: M B B. M B B C B ( C B ( C B (, ma dal momento he M B B l algoritmo di Gauss-Jordan: M B B, aloliamo M B B usando ( M B B I 3 / /. / E( E( E 3( E ( E 3 (/ E 3 ( Dunque 7

8 M B B M B B. 5 Sia A 6 la matrie assoiata ad un appliazione lineare T : R R 3 rispetto alle asi ordinate { } B v ; v e D w ; w ; w 3 su dominio e odominio rispettivamente. Si determini la matrie A assoiata ad T rispetto alle asi ordinate { } B 4 3 v ; v e 5 D w ; w ; w 3 su dominio e odominio rispettivamente. La matrie A assoiata ad T rispetto alle asi ordinate B e D su dominio e odominio rispettivamente è la matrie dove M D D A M D D AM B B è la matrie di passaggio da D a D e M B B è la matrie di passaggio da B a B. Per alolare M D D M D D ( C D (w C D (w C D (w 3, aloliamo prima le oordinate rispetto a D di un generio C D ( a α β δ t.. a α +β +δ a R 3. α + β β δ 8

9 Dal momento he α + β a β δ otteniamo: C D ( a a +. δ β α a β a + In partiolare, speializzando a w, w e w 3 ; C D (w C D (, C D (w C D (, C D (w 3 C D ( per ui, M D D M D D. Per alolare M B B ( C B (v C B (v, aloliamo per prima osa a le oordinate rispetto a B di un generio R. a C B α β t.. a α + β α β α + β Dal momento he { α β a α + β { α a + β a { α (a + / β ( a/ a otteniamo C B (a + /. ( a/ In partiolare, speializzando a v e v : 9

10 C B (v 4 C B per ui M B B 4. e C B (v 3 C B 5 4, La matrie A he erhiamo è quindi A M D D AM B B