Lezione. Prof. Pier Paolo Rossi Università degli Studi di Catania
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1 Lezione TEIA DELLE STRUZII Prof. Pier Paolo Rossi Università degli Studi di atania 1
2 Flessione omposta 2
3 Verifia di sezioni soggette a flessione omposta 3
4 Flessione omposta 1 stadio (Formule di Sienza delle ostruzioni) on riferimento alla sezione omogeneizzata vale la formula di Sienza delle ostruzioni Pertanto: E G E da E da E da E A G G E da E da E da E I 2 G 2 G E da E da E da E I essendo da da 0 e da 0 4
5 Flessione omposta 1 stadio (Formule di Sienza delle ostruzioni) on riferimento alla sezione omogeneizzata vale la formula di Sienza delle ostruzioni E G urvatura nel piano -z urvatura nel piano -z ovvero A I I 5
6 h d Flessione omposta 1 stadio (alolo delle tensioni) ma, s ma, s /n G ota 1: l asse neutro non passa per il barientro G della sezione omogen. Asse neutro ota 2: lo sforzo normale si intende appliato nel barientro della sezione in alestruzzo min s A I min s n A I s /n 6
7 h d Flessione omposta 1 stadio (alolo delle tensioni) ma ma, s, s /n G Asse neutro s s /n min min Le azioni di sforzo normale e momento flett. equivalgono ad uno sforzo normale on eentriità e e Il punto di appliazione dello sforzo normale eentrio è detto ETR DI SLLEITAZIE 7
8 h d Flessione omposta 1 stadio (alolo delle tensioni) ma ma, s, s /n G e n d s ds ss E E s s Asse neutro s s /n min min da E s s da EsSn 2 n en s da E s s da EsIn e n I S n n n da E s n da 0 s s 8
9 h d Flessione omposta 1 stadio (alolo delle tensioni) ma ma, s, s /n G e n d s ds ss E E s s Asse neutro s s /n min min da E s s da EsSn e s da E s da E I 2 n n s s n s S n n da E s n da 0 s s 9
10 h d Flessione omposta 1 stadio ma ma, s, s /n G Asse neutro s s /n min min Dati: Geometria della sezione Armature oppia - Inognite: Tensioni massime 10
11 Flessione omposta 1 stadio Se il entro di solleitazione è : sul ontorno del noiolo d inerzia interno al noiolo d inerzia esterno al noiolo d inerzia l asse neutro è tangente alla sezione l asse neutro è esterno alla sezione l asse neutro è interno alla sezione 11
12 h d Flessione omposta Estremi del noiolo d inerzia ma, s ma, s /n G e 1 d G,inf n 1 s s /n min 0 min 0 min e1 dg,inf 0 A I e 1 I Ad G,inf (e 1 e d G,inf sono in valore assoluto) 12
13 h d Flessione omposta Estremi del noiolo d inerzia ma 0, s ma 0, s /n d G,sup G e 2 n 1 s s /n min min ma e2 dg,sup 0 A I e 2 I Ad G,sup (e 2 e d G,sup sono in valore assoluto) 13
14 Esempio n. 1 1 stadio A s=2f14 =-100 k =50 km G As=4f20 30 Dati: Geometria della sezione Armature oppia - Inognite: Tensioni massime 14
15 Esempio n. 1 1 stadio G A s=2f14 =-100 k =50 km Proedura: 1. Individuazione dell asse neutro 30 As=4f20 2. Determinazione del momento d inerzia 3. alolo delle tensioni 15
16 Esempio n. 1 1 stadio A s=3.08 m² =-100 k =50 km G As=12.56 m² d G,sup =S/A =25.79 m ome già mostrato on riferimento alla flessione d G,inf =h-d G,sup =24.21 m semplie: I = m 4 16
17 Esempio n. 1 1 stadio A s=3.08 m² ma 4.31 Pa G -100 k 50 km Pa Attenzione: nel libro è stato trasurato il momento flettente generato 3 6 dallo sforzo normale e dall eentriità tra G e > f fk = 2.16 Pa,inf Pa ,sup 4.31 Pa min La sezione è fessurata 17
18 Esempio n. 2 1 stadio A s=3.08 m² alolo del momento di prima fessurazione G -100 k? d f A I G,inf fk on 30 As=12.56 m² f fk = 2.16 Pa 3 2 I f ffk 2.16 d 2 A G,inf km 6 18
19 Flessione omposta 2 stadio el seondo stadio di omportamento è nota la sezione reagente. Le formule per il alolo della oppia - resistente sono diverse a seonda he la sezione reagente sia ostituita da sole armature, solo alestruzzo oppure da armature e alestruzzo. Per tale motivo saranno separatamente onsiderati i asi : - Sforzo normale di trazione interno al noiolo entrale d inerzia - Sforzo normale di ompressione interno al noiolo entrale d inerzia - asi rimanenti 19
20 h d Flessione omposta 2 stadio (Sforzo normale di trazione interno al noiolo) G s d G,sup d G,inf 1 aso: sforzo normale di trazione interno al noiolo entrale delle sole armature. In tale aso, solo le armature reagisono d G,sup d hd G,inf S Asd As ' A A A s G,sup ' s e As As I ' d A A s ' s 2 20
21 h d Flessione omposta 2 stadio (Sforzo normale di trazione interno al noiolo) G s 1,s 2,s d G,sup dg,inf e 1 e 2 ota: gli estremi del noiolo entrale d`inerzia delle sole armature non oinidono on le posizioni delle armature e ' 2 I As As d Ad A A A A d 1 ' ' G,inf s s s s e ' 2 I As As d Ad A A A da 2 ' ' G,sup s s s s se A s =A s... e e 1 2 d 2h 2 21
22 h d Flessione omposta 2 stadio (Sforzo normale di trazione interno al noiolo) G s 1,s 2,s d G,sup d G,inf e,s Quando si applia il prinipio di sovrapposizione degli effetti, questi devono essere alolati on riferimento ad una stessa sezione resistente. s A e I,s el aso in esame, sia le tensioni provoate dallo sforzo normale he quelle ausate dal momento flettente devono essere alolate sulla sezione ostituita dalle sole armature!! 22
23 h d Flessione omposta 2 stadio (Sforzo normale di trazione interno al noiolo) G s 1,s 2,s d G,sup h/2 d G,inf h/2 e,s d G d s A e I,s dove e,s h d 2 G,inf Il momento flettente va alolato rispetto al barientro della sezione resistente!! d d G 23
24 Esempio n. 3 2 stadio (Sforzo normale di trazione interno al noiolo) A s=6 m² 4 A (10+6) m² G s 1,s 2,s d G,sup d G,inf 200 k 30 km As=10 m² 4 4 S m d G,sup = 0.365m d = 0.235m G,inf Il momento d inerzia vale : I m 24
25 Esempio n. 3 2 stadio (Sforzo normale di trazione interno al noiolo) A s=6 m² 1,s 36.5 G s 2,s k 30 km e 1 e 2 e,s d G d As=10 m² d d G e e 1 2 I m A d G,inf I m A d G,sup e,s h 2 d G,inf m 25
26 Esempio n. 3 2 stadio (Sforzo normale di trazione interno al noiolo) A s=6 m² 1,s 36.5 ' s G s 2,s k 30 km 8.5 s As=10 m² s Pa ' s Pa
27 h d Flessione omposta 2 stadio (Sforzo normale di ompress. interno al noiolo) G +s d G,sup d G,inf 2 aso: sforzo normale di ompressione interno al noiolo entrale del alestruzzo più armature. In tale aso, reagisono sia le armature he il alestruzzo (tutto) A b h n A A 2 ' s s bh ' S n Asd As 2 quindi dg,sup S A d hd G,inf G,sup 27
28 h d Flessione omposta 2 stadio (Sforzo normale di ompress. interno al noiolo) G +s d G,sup 2 aso: sforzo normale di ompressione interno al noiolo entrale del alestruzzo più armature. d G,inf 2 3 h bh I b hdg,sup na na ' dg,inf dg,sup s s 2 28
29 h d Flessione omposta 2 stadio (Sforzo normale di ompress. interno al noiolo) G +s 1,+s 2,+s d G,sup d G,inf e 1 e 2 e,s e,+s d d G h d 2 G,inf e 1 I Ad G,inf e 2 I Ad G,sup e A n s e,s I 29
30 Esempio n. 4 2 stadio (Sforzo normale di ompress. interno al noiolo) G +s 1,+s 2,+s A s=6 m² d G,sup dg,inf -500 k 40 km A (10+6) m² S 15( )= m As=10 m² d G,sup =0.3076m d =0.2924m G,inf Il momento d inerzia vale : I m
31 Esempio n. 4 2 stadio (Sforzo normale di ompress. interno al noiolo) A s=6 m² G +s 1,+s 2,+s d G,sup d G,inf -500 k 40 km e 1 e 2 e,+s d G d As=10 m² e 1 = m e,s h dg,inf m e 2 = m
32 Esempio n. 4 2 stadio (Sforzo normale di ompress. interno al noiolo) A s=6 m²,sup G +s 1,+s 2,+s d G,sup d G,inf -500 k 40 km As=10 m² 8.76 ' s 61.8 Pa,inf s 13.1Pa ,sup = Pa ,inf = Pa
33 Flessione omposta 2 stadio (Sforzo normale esterno al noiolo) n d >0 e >0 G s 1,s 2,s d G,sup d G,inf d <0 e <0 n e n >0 G +s 1,+s 2,+s d G,sup d G,inf e n <0 3 aso: sforzo normale di trazione esterno al noiolo entrale delle sole armature. 4 aso: sforzo normale di ompressione esterno al noiolo entrale del alestruzzo più armature. 33
34 Flessione omposta 2 stadio (Sforzo normale esterno al noiolo) n d >0 e >0 G s 1,s 2,s d G,sup d G,inf d <0 e <0 n e n >0 G +s 1,+s 2,+s d G,sup d G,inf e n <0 distanza del entro di solleitazione dall`asse neutro distanza del entro di solleitazione dal bordo superiore h d =e + 2 e n=d- 34
35 Flessione omposta 2 stadio (Sforzo normale esterno al noiolo) n d >0 e >0 G s 1,s 2,s d G,sup d G,inf d <0 e <0 n e n >0 G +s 1,+s 2,+s d G,sup d G,inf e n <0 1. Determinazione dell asse neutro n Sn e n=in oppure S d - =I n 35
36 Flessione omposta 2 stadio (Sforzo normale esterno al noiolo) n d >0 e >0 G s 1,s 2,s d G,sup d G,inf d <0 e <0 n e n >0 G +s 1,+s 2,+s d G,sup d G,inf e n <0 2 b ' S n=- -na s -+nas d- 2 3 b ' 2 2 I n= +na s - +nas d- 3 da ui 36
37 Flessione omposta 2 stadio (Sforzo normale esterno al noiolo) n d >0 e >0 G s 1,s 2,s d G,sup d G,inf d <0 e <0 n e n >0 G +s 1,+s 2,+s d G,sup d G,inf e n <0 La posizione dell`asse neutro si ottiene dalla risoluzione della seguente equazione di terzo grado 3 2 6n ' 6n ' -3d + A s d-d +As -d - Asd d-d +As -d =0 b b 37
38 Flessione omposta 2 stadio (Sforzo normale esterno al noiolo) n d >0 e >0 G s 1,s 2,s d G,sup d G,inf d <0 e <0 n e n >0 G +s 1,+s 2,+s d G,sup d G,inf e n <0 2. alolo delle tensioni s S n e s n S n s 38
39 Esempio n. 5 2 stadio (Sforzo normale esterno al noiolo) d <0 e <0 1,+s A s=6 m² =-450 k e n <0 h d =e m G +s 2,+s =180 km Dalla risoluzione dell`equazione di terzo grado si ha: As=10 m² = m Riorda 2 b ' S n=- -na s -+nas d S n= m
40 Esempio n. 5 2 stadio (Sforzo normale esterno al noiolo) d <0 e <0 1,+s A s=6 m² =-450 k e n <0 n,sup ' s G +s 2,+s =180 km s As=10 m²,inf = Pa ,sup s,inf = Pa
41 Sezioni non rettangolari 2 stadio n n Se la parte ompressa è rettangolare... Se la parte ompressa non è rettangolare... la sezione può essere trattata ome rettangolare la sezione può essere trattata ome rettangolare 41
42 Sezioni non rettangolari 2 stadio n In presenza di una sezione rettangolare a tratti si può fare inizialmente l ipotesi he la parte ompressa sia rettangolare (nel aso in figura, he l asse neutro tagli l anima superiore). Se l asse neutro taglia l anima superiore Si determina la posizione dell asse neutro on la formula: Sn e n=in la posizione dell asse neutro è orretta e il momento d inerzia della sezione reagente omogeneizzata può essere alolato on le formule della sezione rettangolare. 42
43 h d Sezioni non rettangolari 2 stadio s b B Se l asse neutro non taglia l anima superiore la posizione alolata dell asse neutro è errata. La posizione dell asse neutro deve essere rivalutata ipotizzando he l asse neutro tagli l ala. La nuova posizione dell asse neutro può essere alolata imponendo Sn e n=in dove S n e I n sono definiti in funzione della forma non rettangolare della parte ompressa. 43
44 Esempio n. 8 2 stadio A s=10 m² 1,s =400 k =160 km entro di solleitazione interno al noiolo delle sole armature: =G s SEZIE TUTTA TESA e =0.40 m 2,s 30 As=10 m² e = 0.40 m 400 I e 1= Ad 2065 e 2=e1 G,inf m 44
45 Esempio n. 8 2 stadio A s=10 m² 1,s =400 k =160 km ' s =G s 2,s As=10 m² s= Pa s 3 6 ' s = Pa 45
46 Esempio n. 9 2 stadio A s=10 m² 1,s =400 k =400 km entro di solleitazione esterno al noiolo delle sole armature: =G s SEZIE PARZIALIZZATA 2,s e =1 m As=10 m² 400 e = 400 1m =13.39 m 46
47 Esempio n. 9 2 stadio A s=10 m² ma 1,s =400 k =400 km ' s =G s 2,s 3 As=10 m² ma= Pa Sn = s Pa m 2 s 47
48 h d Flessione omposta 3 stadio ma f d, s G n s min Dati: Geometria della sezione Armature oppia Ed - Ed Inognite: omento resistente Rd orrispondente a Ed 48
49 h d Flessione omposta 3 stadio A s Proedura: G 1. Individuazione dell asse neutro 2. alolo delle tensioni As 3. alolo del momento resistente 49
50 h d h d assimo sforzo normale 3 stadio A s f d A s f d f d As As assimo sforzo di ompressione assimo sforzo di trazione Rd= - A fd As,tot fd Rd=As,tot fd 50
51 Individuazione asse neutro 3 stadio Avendo posto solo un limite alla deformazione massima del alestruzzo, esistono due possibilità relativamente ai diagrammi di deformazione : Sezione parzializzata Sezione tutta ompressa u n 2 min 51
52 h d Individuazione asse neutro 3 stadio A s ma f d, s G ' s n s s min 0 Lo sforzo normale orrispondente al diagramma di passaggio tra sezioni parzializzate e tutte ompresse è: Rd= - A fd As,i s,i 52
53 h d Individuazione asse neutro 3 stadio (sezione parzializzata) A s u, s f d s k G As min s s 1. Individuazione dell asse neutro: + s + s = Ed (equilibrio alla traslazione) 53
54 h d Risultante delle tensioni armatura ompressa (sezione parzializzata) A s u f d s, s G s f d As min s d ' s se s > d s= A f u ' ' s ' ' ' se s d s fd = A d ' s s s ' s d 54
55 h d Risultante delle tensioni armatura ompressa (sezione parzializzata) A s u f d s, s G As min s s s d u se s > d s= A f s se s d f = A s d d s d s s s 55
56 h d Risultante delle tensioni armatura ompressa (sezione parzializzata) A s u, s f d s k G As min s s = b f d per sezione rettangolare, =
57 alolo dell asse neutro Stato limite ultimo Per sezione rettangolare, parzializzata e on armature snervate, si ottiene un equazione di primo grado he ha ome soluzione ' A A f s s bf d d Ed Ed positivo se trazione Una volta trovata la profondità dell asse neutro oorre verifiare he le armature siano snervate. Se iò aade la soluzione trovata è orretta. 57
58 alolo dell asse neutro Stato limite ultimo Se almeno una delle armature non è snervata, la soluzione dell equazione va rierata per tentativi, ossia fissando valori della profondità dell asse neutro e verifiando il soddisfaimento dell equilibrio alla traslazione longitudinale: + s + s = Ed 58
59 alolo dell asse neutro Stato limite ultimo Se la sezione è tutta ompressa il valore della profondità dell asse neutro va rierato anora tramite la relazione: + s + s = Ed La risultante delle tensioni di ompressione è sempre alolata ome = b f d. In tal aso i valori di e k valgono: 4 = min = min min
60 h d omento resistente A s u, s f d s k G As min s s 2. alolo del momento resistente (rispetto al barientro della sezione) Rd = ( s - s ) (h/2 ) - (h/2- k ) 60/71 per sezione rettangolare, k =
61 Esempio n. 16 Sezione rettangolare tensoinflessa A s=6 m 2 G =300 k =45 km Poihé è di trazione la sezione è parzializzata As=10 m 2 Se entrambe le armature fossero snervate sarebbe (A A' )f bf s s d Ed d 4.18 m ma questo valore non è aettabile (è negativo) 61
62 Esempio n. 16 Sezione rettangolare tensoinflessa A s=6 m 2 u f d k =300 k =45 km, s s G As=10 m 2 L equilibrio alla traslazione longitudinale è rispettato se =3.69 m s Pa s ' s ' s s s ' s 59.4 Pa k s 62
63 Esempio n. 16 Sezione rettangolare tensoinflessa A s=6 m 2 u f d k =300 k =45 km, s s G As=10 m 2 s s L equilibrio alla rotazione intorno ad fornise il momento resistente Rd = ( s - s ) (h/2 ) - (h/2- k ) Rd km 2 63
64 Esempio n. 17 Sezione rettangolare pressoinflessa G A s=6 m 2 =-675 k =270 km As=10 m k s ' s Se si immagina =h si ha: s ' s s 46.7Pa ' s Pa Lo sforzo normale di ompressione è inferiore. Pertanto, la sezione è parzializzata 64
65 Esempio n. 17 Sezione rettangolare pressoinflessa G A s=6 m 2 =-675 k =270 km As=10 m 2 L equilibrio alla traslazione longitudinale è rispettato se =24.15 m s ' s k u, s s f d s s k 65
66 Esempio n. 17 Sezione rettangolare pressoinflessa A s=6 m 2 u, s f d s k G =-675 k =270 km As=10 m 2 s s L equilibrio alla rotazione intorno ad fornise il momento resistente Rd = ( s - s ) (h/2 ) - (h/2- k ) Rd km 2 66
67 h d Risultante delle tensioni armatura superiore (sezione tutta ompressa) A s ma f d s G 3/7 h 4/7 h, s 2 As s min ' d 1 s 2 min min 4 7h dove min min 2 67
68 h d Risultante delle tensioni armatura superiore (sezione tutta ompressa) A s ma f d s G 3/7 h 4/7 h, s 2 As s min noto s ' se s > d s fd s = -A s f d ' ' s se s d f ' = A' ' s d d s s s 68
69 h d Risultante delle tensioni armatura inferiore (sezione tutta ompressa) A s s G 3/7 h 4/7 h ' s 2 As s min s 1 s 2 min min 4 7h dove min min 2 69
70 h d Risultante delle tensioni armatura inferiore (sezione tutta ompressa) A s s G 3/7 h 4/7 h ' s 2 As s min s noto s se s > d s f d s= Asf s se s d f = A s d d s s s 70
71 h d Risultante delle tensioni alestruzzo (sezione tutta ompressa) A s s G 3/7 h 4/7 h ' s 2 k h As s min s = b h f d In questo aso dipende da min per sezione rettangolare: min 21 71
72 Valori di per sezione rettangolare min
73 h d omento resistente A s s G 3/7 h 4/7 h ' s 2 k h As s min s 2. alolo del momento resistente (rispetto al barientro della sezione) Rd = ( s - s ) (h/2 ) - (h/2- k h) per sezione rettangolare: min min /71 73
74 Valori di e k per sezione rettangolare min
75 Esempio n. 18 Sezione rettangolare pressoinflessa G A s=6 m 2 =-2500 k =120 km Lo sforzo normale di ompressione (-2500 k) è superiore a quello relativo a =h ( k). Pertanto, la sezione è ompletamente ompressa As=10 m 2 75
76 Esempio n. 18 Sezione rettangolare pressoinflessa s A s=6 m 2 3/7 h ' s k h G 1 4 /7 h =-2500 k =120 km As=10 m 2 s 2 min min 4/7 h 2 s s min Se si pone = d s 2 1 min min 4 /7 h
77 Esempio n. 18 Sezione rettangolare pressoinflessa s G As=10 m k ' s A s=6 m 2 =-2500 k =120 km Se si pone = k s 89.6 k ' 1 s k
78 Esempio n. 18 Sezione rettangolare pressoinflessa G As=10 m 2 A s=6 m 2 =-2500 k =120 km Attenzione: la sezione non è verifiata perhé il momento resistente (118.8 km) è inferiore al momento agente (120 km) min min L equilibrio alla rotazione intorno ad fornise il momento resistente Rd = ( s - s ) (h/2 ) - (h/2- k ) Rd km 2 78
79 Domini - per flessione omposta retta 79
80 Domini di resistenza Stato limite ultimo Dominio di resistenza, o urva di interazione = insieme delle oppie - per ui ε ma è uguale a ε u P (generio punto del dominio) 80
81 Domini di resistenza Stato limite ultimo Per riavare una oppia - del dominio 1. Si definise la retta limite di deformazione 2. Si alolano le tensioni 3. Si alolano le aratteristihe ed tramite equilibrio alla traslazione ed alla rotazione 81
82 Domini di resistenza Stato limite ultimo u u u A ' s s d = su D d 0 2 A u A D E E 82
83 Domini di resistenza Stato limite ultimo ambiando l armatura, si ottengono tanti diagrammi A s = 0 83
84 h d Diagramma A A s f d s, s G A A f ' s s d As ' h A A f 2 s s d s ota: Se le armature sono eguali il momento flettente è nullo. 84/71 Il punto di oordinate - giae sull asse. s 84
85 h d Diagramma D G A s =h n u, s s f d s ' s As min 0 Per gli usuali valori di opriferro, l armatura sup. è snervata mentre quella inf. è elastia. u ' bhfd A s As f d h d 85/71 2 u ' h bh f A A f dd 2 d s s d 85
86 h d Diagramma E A s =h 2, s f d f d G n s f d As bhf A A ' f d s s d ' h A A f 2 s s d ota: Se le armature sono eguali il momento flettente è nullo. 86/71 Il punto di oordinate - giae sull asse. 86
87 Domini - per flessione omposta deviata 105
88 Pressoflessione deviata Proedimento per la ostruzione del dominio - z - - analogo a quello desritto per pressoflessione retta - più ompliato per l inlinazione dell asse neutro 0 u f d f d A sz n h d A s z b A sz A s d d a) deformazioni f d ls a b) tensioni 106
89 Dominio allo SLU z 107
90 Dominio allo SLU 600 km A s = 15 m k -300 z
91 Dominio allo SLU z z,rd p,rd q 1 onsiglio: usare p = q = 1.5 z 2,Rd = 0.75 = 1 ota: per 0 si può usare un esponente maggiore, fino a 2 = 0.25 = 0.5 = 0 = 0.25 z 109
92 onsiderazioni el alolare il momento resistente Rd, si dovrebbe prendere in onsiderazione anhe l armatura sul lato vertiale A s, A s,z 110
93 onsiderazioni iò porterebbe ad un inremento del momento resistente 600 km A sz = 15 m 2, A s = 6 m A sz = 15 m 2 A sz = 0, A s = 6 m A sz = k
94 onsiderazioni ontemporaneamente, la presenza di momento nella direzione trasversale ridue il momento resistente 2,Rd = 0.75 = 1,Rd = 0 = 0.25 = 0.5 = ,Rd z z,rd * z,rd 0.9 z,rd 114
95 Indiazioni operative Finhé il momento trasversale non è eessivo, i due effetti si ompensano E possibile progettare a pressoflessione retta, separatamente per le due direzioni, e poi effettuare un ontrollo a pressoflessione deviata 115
96 FIE 116
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