5 Stati Limite di Esercizio

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1 5 Stati Limite di Esercizio

2 Stati limite di esercizio (SLE) Si definisce stato limite di esercizio (SLE) una qualsiasi condizione che comporta la perdita di funzionalità o il rapido deterioramento del sistema strutturale. Raggiunto uno stato limite di esercizio, cioè, il sistema strutturale non possiede più i requisiti per il suo corretto utilizzo in esercizio, anche in termini di durabilità e di estetica. Per le strutture in calcestruzzo armato gli SLE più importanti sono: - stato limite di tensione: elevate tensioni di compressione nel calcestruzzo possono provocare microfessure longitudinali con conseguenti problemi di durabilità o di eccessive deformazioni viscose; elevate tensioni nell acciaio teso possono indurre lesioni troppo ampie e permanentemente aperte con possibili problemi di durabilità; - stato limite di fessurazione: insorgono lesioni di ampiezza tale da compromettere il corretto utilizzo della struttura; - stato limite di deformazione: deformazioni e spostamenti eccessivi possono indurre danni eccessivi in elementi non strutturali come tramezzature, finiture, ecc. Per garantirsi dal raggiungimento degli SLE si devono eseguire le seguenti verifiche: - verifica delle tensioni di esercizio; - verifica di fessurazione; - verifica di deformabilità.

3 Valutazioni delle azioni di progetto Nelle verifiche agli stati limite di esercizio i carichi permanenti strutturali e non strutturali sono sempre considerati con i loro valori caratteristici, G k. Per i carichi variabili, Q k, si distinguono le seguenti tre diverse combinazioni: - Combinazione caratteristica (rara), che ha la probabilità del 5% di essere superata nel n periodo di riferimento F d = G k + Q k1 + ψ 0 j Q kj - Combinazione frequente, che ha la probabilità del 10% di essere superata nel periodo di n riferimento F d = G k +ψ 11 Q k1 + ψ 2 j Q kj - Combinazione quasi permanente, che ha la probabilità del 50% di essere superata nel periodo di riferimento, generalmente impiegata per valutare gli effetti a lungo termine F d = G k + n j=1 ψ 2 j Q kj j=2 j=2

4 Calcolo delle tensioni di esercizio Il calcolo delle tensioni in condizioni di esercizio si basa sulle seguenti ipotesi: - conservazione delle sezioni piane; - perfetta aderenza tra acciaio e calcestruzzo; - calcestruzzo non reagente a trazione (secondo stadio); - comportamento elastico lineare per il calcestruzzo compresso e per l acciaio teso e compresso. Per l acciaio l ipotesi di elasticità lineare è sempre verificata, perché la tensione agli SLE è sempre minore di quella di snervamento. Per il calcestruzzo, che presenta un comportamento non lineare anche per bassi livelli di tensione, si tratta invece di un approssimazione, che può essere accettata per il campo di tensione considerato, sempre inferiore a 0,60 f ck. Nei calcoli, tuttavia, è opportuno introdurre il modulo di elasticità secante. Per il calcolo delle tensioni si possono utilizzare i risultati della teoria tecnica della trave (problema di De Saint Venant) applicati alla sezione reagente omogeneizzata.

5 Omogeneizzazione dei materiali 1/2 Il concetto di omogeneizzazione dei materiali deriva dall ipotesi di perfetta aderenza tra acciaio e calcestruzzo, che implica l uguaglianza della deformazione tra ogni barra di acciaio e la corrispondente fibra di calcestruzzo posta alla stessa quota, cioè ε s = ε c Poiché per l ipotesi di elasticità lineare dei due materiali vale la legge di Hooke, si ha ε s = σ s e ε E c = s E c da cui, uguagliando le deformazioni, si ottiene in cui il coefficiente σ s = E s E c = n n = E s E c prende il nome di coefficiente di omogeneizzazione.

6 Omogeneizzazione dei materiali 2/2 σ s = n n = E s E c Il valore del modulo di elasticità dell acciaio è costante e pari a E s = MPa. Il modulo di elasticità secante del calcestruzzo è funzione della resistenza a compressione ed è dato dalla relazione E c = f cm = f ck Tuttavia, per tener conto anche degli effetti differiti dei carichi a lungo termine, cioè del fenomeno della viscosità, si può assumere per il calcestruzzo un modulo di elasticità ridotto. Per considerare in maniera semplificata questi aspetti, le NTC08 stabiliscono di assumere per il coefficiente di omogeneizzazione il valore n = 15 (circa il doppio del reale rapporto tra i moduli elastici), indipendentemente dalla classe del calcestruzzo, dalla durata del carico e dal valore delle tensioni di compressione.

7 Calcolo delle tensioni in una sezione sottoposta a sforzo normale centrato Si consideri una sezione di calcestruzzo armato soggetta a uno sforzo di compressione N applicato nel suo baricentro G. Lo sforzo normale si ripartisce tra calcestruzzo e acciaio. Imponendo l equilibrio alla traslazione in direzione ortogonale alla sezione si ha: A c + σ s = N A c + n = N ( A c + n ) = N = m j j=1 A ic = A c + n area ideale di calcestruzzo (sezione omogeneizzata) A ic = N = N A ic σ s = n = n N A ic Nel caso di sforzo normale centrato di trazione, molto improbabile, il calcestruzzo non reagisce (secondo stadio) e lo sforzo nell armatura vale. σ s = N

8 Calcolo delle tensioni in una sezione sottoposta a flessione semplice 1/4 Si consideri una sezione di calcestruzzo armato soggetta a un momento flettente M. I risultati della teoria tecnica della trave (problema di De Saint Venant) vanno applicati alla sezione reagente omogeneizzata, costituita dall area del calcestruzzo compresso e dalle aree di acciaio teso e compresso, amplificate mediante il coefficiente n. Per definire la sezione reagente, che non è nota a priori, bisogna specificare la posizione dell asse neutro, che separa la parte di calcestruzzo compresso da quella di calcestruzzo non reagente. In accordo con la teoria tecnica della trave, la posizione dell asse neutro può essere individuata mediante la condizione che esso passi per il baricentro della sezione reagente. A titolo di esempio, il calcolo viene sviluppato per una sezione rettangolare soggetta a flessione retta, in cui l asse di sollecitazione coincide con l asse di simmetria.

9 Calcolo delle tensioni in una sezione sottoposta a flessione semplice 2/4 Si assume che il momento flettente sia tale da tendere le fibre inferiori. L asse di sollecitazione è verticale e coincide con uno degli assi principali d inerzia della sezione. Pertanto, la flessione è retta e l asse neutro n è orizzontale, e dista della quantità incognita x dal lembo superiore compresso della sezione. Poiché l asse neutro deve passare per il baricentro della sezione reagente, l incognita x può essere determinata imponendo che il momento statico della sezione reagente rispetto all asse neutro sia nullo, cioè S n = 0

10 Calcolo delle tensioni in una sezione sottoposta a flessione semplice 3/4 La relazione precedente si scrive: da cui si ottiene S n = bx2 2 n x 2 + 2n ( + ) b che, scartando la radice negativa, fornisce ( ) x = n + b ( x c) + n d x ( ) = 0 x 2n ( d + c ) b = 0 ( ) ( ) b d + c n +

11 Calcolo delle tensioni in una sezione sottoposta a flessione semplice 4/4 Nota la posizione dell asse neutro, il momento d inerzia della sezione reagente omogeneizzata rispetto a tale asse si ottiene dalla formula ( ) 2 + n ( d x) 2 I n = bx3 3 + n x c Le tensioni massime nel calcestruzzo e nell acciaio sono date dalle relazioni σ max c = M x σ I s = n M ( d x) σ n I s = n M n I n ( x c)

12 Esempio

13 Esempio

14 Sezioni riconducibili alla rettangolare

15 Calcolo delle tensioni in una sezione sottoposta a flessione composta 1/2 Una sezione è sollecitata a flessione composta, quando in essa agiscono contemporaneamente uno sforzo normale N e un momento flettente M. Queste azioni equivalgono alla sola forza assiale N applicata in un punto C, detto centro di sollecitazione, spostato rispetto al baricentro G della sezione della quantità e = M N che viene anche chiamata eccentricità. La flessione composta si dice anche presso o tensoflessione, a seconda del segno dello sforzo normale N. Nel seguito sarà considerato solo il caso di flessione composta retta, di maggiore interesse applicativo. In questo caso, il centro di sollecitazione C giace su uno degli assi principali d inerzia della sezione. e x = M x N s = asse di sollecitazione Si osserva che le sollecitazioni di sforzo normale centrato N e di flessione semplice M rappresentano due casi particolari della sollecitazione di flessione composta. Nel primo l eccentricità è nulla, nel secondo è infinita, con il valore dello sforzo normale pari a zero.

16 Calcolo delle tensioni in una sezione sottoposta a flessione composta 2/2 Per le sezioni in calcestruzzo armato, il calcolo delle tensioni deve essere condotto secondo due differenti modalità, che corrispondono ai seguenti due casi: - l asse neutro è esterno alla sezione che risulta interamente reagente o a compressione (tutta l area del calcestruzzo e tutta l area dell acciaio), o a trazione (solo l area dell acciaio). La flessione composta si dice di piccola eccentricità. In questo caso si può applicare il principio di sovrapposizione degli effetti e le tensioni possono essere calcolate considerando separatamente l azione di N e di M, sommando infine i risultati; - l asse neutro taglia la sezione, individuando una parte di calcestruzzo teso non reagente; la sezione risulta parzializzata, con la sua parte resistente costituita dal calcestruzzo compresso e dall acciaio teso e compresso. La flessione composta si dice di grande eccentricità. In questo caso non si può applicare il principio di sovrapposizione degli effetti e le tensioni devono essere calcolate considerando l azione simultanea di N e di M. Inoltre, per le proprietà del nocciolo centrale d inerzia, si ha che: - se il centro di sollecitazione è interno al nocciolo, l asse neutro è esterno alla sezione (piccola eccentricità) - se il centro di sollecitazione è sul contorno del nocciolo, l asse neutro è tangente alla sezione (piccola eccentricità) - se il centro di sollecitazione è esterno al nocciolo, l asse neutro taglia la sezione (grande eccentricità)

17 Estremi del nocciolo centrale d inerzia Per la sollecitazione di flessione composta retta non è necessario conoscere l intero nocciolo centrale d inerzia, ma è sufficiente determinare la posizione dei suoi estremi, C 1 e C 2, sull asse di sollecitazione, cioè le distanze e 1 ed e 2 dal baricentro. Ricordando le proprietà del nocciolo si ha: e 1 = e 2 = ρ 2 x = d G,inf ρ 2 x = d G,sup I x A d G,inf I x A d G,sup Nel caso di un sezione in calcestruzzo armato, se lo sforzo normale è di compressione: I x è il momento d inerzia dell intera sezione omogeneizzata rispetto all asse baricentrico x, ortogonale all asse di sollecitazione s, A è l area dell intera sezione omogeneizzata, ρ x è il raggio d inerzia rispetto all asse x. La sezione è tutta compressa se C è compreso tra C 1 e C 2, altrimenti si parzializza. Invece, se lo sforzo normale è di trazione: I x è il momento d inerzia dell area delle armature rispetto a x e A è l area delle armature. La sezione è tutta tesa se C è compreso tra C 1 e C 2 e reagiscono solo le armature, altrimenti si parzializza.

18 Sforzo normale di trazione interno al nocciolo 1/2 Considerando l area delle sole armature, si calcola il momento statico rispetto al lembo superiore e poi la posizione del loro baricentro G s : A = + S = d + c d G,sup = S A = d + c + d G,inf = h d G,sup Le distanze degli estremi del nocciolo C 1,s e C 2,s dal baricentro G s si ottengono mediante le seguenti espressioni: I x = A ( s d G,inf c) 2 + ( d G,sup c) 2 = ( d c) 2 + e 1 = e 2 = I x = A d G,inf + I x = A d G,sup + ( d c) 2 c + d ( d c) 2 d + Nel caso particolare in cui ( ) 2 c e 1 = e 2 = d c 2h =, risulta

19 Sforzo normale di trazione interno al nocciolo 2/2 L eccentricità e x,s di C rispetto al baricentro delle armature G s si ottiene sottraendo all eccentricità rispetto al baricentro geometrico della sezione O (punto di applicazione convenzionale dello sforzo normale N) la distanza d OG tra G s ed O. Si ha cioè Se risulta e x,s = M x N h 2 d G,inf e 1 < e x,s < e 2 la sezione è tutta tesa e la tensione nell armatura è fornita dall espressione σ s = N A + N e x,s I x y

20 Esempio

21 Sforzo normale di compressione interno al nocciolo 1/2 Considerando l intera sezione omogeneizzata, si calcola il momento statico rispetto al lembo superiore e poi la posizione del baricentro G c+s : ( ) A = bh + n + ( ) S = bh2 2 + n d + c d G,sup = S A d G,inf = h d G,sup Le distanze degli estremi del nocciolo C 1,c+s e C 2,c+s dal baricentro G c+s si ottengono mediante le seguenti espressioni: I x = bh bh d G,sup h 2 2 ( ) 2 + n ( d G,sup c) 2 + n d G,inf c e 1 = I x A d G,inf e 2 = I x A d G,sup

22 Sforzo normale di compressione interno al nocciolo 2/2 L eccentricità e x,c+s di C rispetto al baricentro G c+s si ottiene sottraendo all eccentricità rispetto al baricentro geometrico della sezione O (punto di applicazione convenzionale dello sforzo normale) la distanza d OG tra G c+s ed O. Si ha cioè Se risulta e x,c+s = M x N h 2 d G,inf e 1 < e x,c+s < e 2 la sezione è tutta compressa e le tensioni nel calcestruzzo e nell armatura sono fornite dalle espressioni = N A + N e x,c+s y σ I s = n N x A + N e x,c+s y In caso contrario, si è in presenza di grande eccentricità e la sezione si parzializza. I x

23 Esempio

24 Sforzo normale di compressione esterno al nocciolo 1/3 Se il centro di sollecitazione è esterno al nocciolo, l asse neutro taglia la sezione, che risulta parzializzata. Il problema è governato dalle equazioni di equilibrio alla traslazione e alla rotazione, scritte rispetto all asse neutro della sezione parzializzata, la cui posizione è inizialmente incognita. Nel caso di una sezione rettangolare soggetta a pressoflessione, tali equazioni assumono la forma: x ( y) b dy + σ s σ s = N 0 x ( y) b y dy + σ s 0 ( x c) σ s d x ( ) = N e n c σ s n Poiché per la similitudine dei triangoli, risulta d ( y) y = x σ s ( ) x = n x c x = σ s n d x ( ) c σ s n si può scrivere ( y) = x y σ s = n x ( x c) σ s = n x ( d x )

25 Sforzo normale di compressione esterno al nocciolo 2/3 Sostituendo nelle equazioni di equilibrio si ha x x x b y dy + n A 0 s x b y 2 dy + n A 0 s ( x c) n d x ( ) ( x c) 2 n d x = N ( ) 2 = N e n Le quantità tra parentesi quadre rappresentano il momento statico S n e il momento d inerzia I n della sezione reagente rispetto all asse neutro. Si può quindi scrivere d c c σ s σ s n n x S n = N Dalla prima si ottiene x I n = N e n = N S n x che sostituita nella seconda fornisce I n = S n e n in cui e n = x + d C

26 Sforzo normale di compressione esterno al nocciolo 3/3 I n = S n e n Da questa relazione, tenendo conto che S n = bx2 2 n (x c) + n (d x) = = b 2 x2 n + ( ) x + n( d + c) d c c σ s n I n = bx3 3 + n (x c)2 + n (d x) 2 = e che = b 3 x3 + n + ( ) x 2 2n( d + c) x + n d 2 + ( c 2 ) e n = x + d C, dopo alcuni passaggi si ottiene l equazione dell asse neutro σ s n x 3 3d C x 2 + 6n b d d C ( ) + ( ) c d C x 6n b d ( d d C ) + c( c d C ) = 0 Determinata, con un procedimento numerico, la posizione dell asse neutro, la tensione massima nel calcestruzzo compresso e le tensioni nell acciaio compresso e teso si ottengono dalle relazioni = N S n x σ s = n N S n ( x c) σ s = n N ( d x) S n

27 Verifica delle tensioni di esercizio Per limitare la fessurazione longitudinale del calcestruzzo compresso, le NTC08 prescrivono che, per la combinazione dei carichi rara, la tensione massima nel calcestruzzo non sia superiore al 60% della resistenza caratteristica cilindrica, cioè 0,60 f ck Per limitare le deformazioni viscose del calcestruzzo compresso, le NTC08 prescrivono che, per la combinazione dei carichi quasi permanente, la tensione massima nel calcestruzzo non sia superiore al 45% della resistenza caratteristica cilindrica, cioè 0,45 f ck Per evitare fessurazioni eccessive del calcestruzzo teso, le NTC08 prescrivono che, per la combinazione dei carichi rara, la tensione massima nell acciaio non sia superiore all 80% della resistenza caratteristica di snervamento, cioè σ s 0,80 f yk

28 Stato limite di fessurazione 1/2 Il comportamento di una trave in calcestruzzo armato è governato da fenomeni fessurativi che, a causa della limitata resistenza a trazione del calcestruzzo, si manifestano anche per bassi livelli di carico e quindi anche in condizioni di esercizio. Sottoponendo una trave a un carico verticale crescente, nella parte tesa cominciano a formarsi fessure verticali nelle zone dove prevale la sollecitazione di flessione, e fessure inclinate dove prevale la sollecitazione di taglio. Le fessure si formano progressivamente all aumentare del carico, fino a che la loro distanza non raggiunge un valore limite. A questo punto la fessurazione è stabilizzata: al crescere del carico non si formano altre lesioni, ma aumenta l ampiezza di quelle che si sono già formate. (Video 1 2 3)

29 Stato limite di fessurazione 2/2 La fessurazione deve essere limitata a un livello tale da non pregiudicare il funzionamento della struttura e/o il suo aspetto estetico. Si distinguono i seguenti tre stati limite: a) Stato limite di decompressione Corrisponde a non ammettere alcuna tensione di trazione; è una condizione richiesta in ambienti molto aggressivi; il calcolo si riconduce a un analisi elastica verificando che non si manifestino tensioni di trazione. b) Stato limite di formazione delle fessure Corrisponde a considerare il calcestruzzo reagente a trazione; anche in questo caso il calcolo si riconduce a un analisi elastica, verificando che la tensione massima non superi la resistenza a trazione, eventualmente ridotta secondo un opportuno coefficiente di sicurezza. c) Stato limite di apertura delle fessure Si accetta che la resistenza a trazione sia superata e che si possano formare delle fessure; la verifica consiste nel controllo dell ampiezza delle fessure, poiché la loro eccessiva apertura può favorire la corrosione dell armatura per effetto di agenti esterni aggressivi.

30 La formazione delle fessure 1/4 In una trave inflessa, il comportamento della parte di calcestruzzo teso al di sotto dell asse neutro si può assimilare a quello un tirante in cui si sono aperte delle fessure. Pertanto, l analisi del fenomeno fessurativo di una trave si può ricondurre a ciò che accade in un prisma di calcestruzzo armato alle cui estremità sono applicate forze di trazione.

31 La formazione delle fessure 2/4 Si consideri un elemento strutturale in calcestruzzo di classe C25/30, avente sezione trasversale quadrata di lato pari a 20 cm, armato con 4 barre φ14 di acciaio B450C, sottoposto a uno sforzo di trazione N. f ctk = 0.7 f ctm E c = La resistenza caratteristica a trazione del calcestruzzo è pari a f ctk = 1,80 MPa, mentre i moduli di elasticità del calcestruzzo e dell acciaio valgono E c = MPa ed E s = MPa rispettivamente. Per bassi valori del carico: (i) non si aprono lesioni e la sezione è ovunque tutta reagente, (ii) vale l ipotesi di perfetta aderenza tra barre di armatura e calcestruzzo, (iii) il legame costitutivo del calcestruzzo può essere assunto lineare. In questa fase, in cui il comportamento del calcestruzzo è quello del cosiddetto primo stadio, tutti i punti dell asta sono soggetti alla medesima deformazione ε = ε c = ε s e, di conseguenza, la tensione nell acciaio è n volte maggiore di quella del calcestruzzo, dove il coefficiente di omogeneizzazione n assume il valore n = E s = E c = 6,67 f cm 10 f ctm = f ck 0.3 f cm = f ck + 8

32 La formazione delle fessure 3/4 Il comportamento lineare continua fino al raggiungimento della tensione di rottura nel calcestruzzo, che si assume pari al suo valore caratteristico f ctk = 1,80 MPa, cui corrispondono la deformazione ε c = ε s = f ctk = 1,80 E c = 5, e la tensione nell acciaio σ s = n = 6,67 1,80 = 12,01 MPa Il valore della forza assiale per cui si raggiunge tale tensione è denominato sforzo normale di fessurazione, N r, e vale N r = f ctk ( A c + n ) = 1,80( ,67 4 1,54) 10 2 = N = 79,4 kn 12,01

33 La formazione delle fessure 4/4 Raggiunta la tensione di rottura nel calcestruzzo, il tirante si fessura. Poiché la tensione è ovunque la stessa, la fessurazione dovrebbe avvenire nello stesso istante in tutte le sezioni. Tuttavia, poiché il materiale è per sua natura eterogeneo, le sue proprietà sono diverse da punto a punto. La prima fessura si aprirà, quindi, nella sezione meno resistente, la cui posizione non può essere determinata a priori per via teorica. In corrispondenza della fessura, poiché le due facce di calcestruzzo si sono distaccate, lo sforzo di trazione è applicato direttamente alle barre di acciaio. Il comportamento corrisponde a quello che viene chiamato secondo stadio. La tensione e la deformazione nell acciaio risulta: σ s = N r = = 128,9 MPa 2 4 1,54 10 ε s = σ s E s = 128, = 61, ,9 128,9

34 La propagazione delle fessure 1/3 In prossimità della lesione le barre sono immerse nel calcestruzzo integro e sono soggette a una forza di trazione che tende a sfilarle. Pertanto, nascono tensioni di aderenza tra acciaio e calcestruzzo, che si possono assumere costanti e pari al loro valore caratteristico f bk. Si può ritenere che la diffusione delle tensioni nel calcestruzzo riguardi solo una parte della sua area, A ct,eff, da definire in maniera opportuna, che in tale area la tensione sia uniforme e che cresca al crescere della distanza dalla fessura. Per l equilibrio a una distanza Δz dalla fessura si m ha A ct,eff = f bk Δz πφ i da cui, poiché le barre hanno tutte lo stesso diametro, = f bk Δz mπφ = f bk Δz A ct,eff A ct,eff φ / 4 = 4 f bk Δz φ in cui ρ eff 128,9 è la percentuale geometrica di armatura. i=1 128,9 = 4 f bk A ct,eff φ ρ eff Δz

35 La propagazione delle fessure 2/3 = 4 f bk φ ρ eff Δz Si nota che la tensione di trazione nel calcestruzzo cresce linearmente con la distanza dalla fessura, fino a raggiungere nuovamente il valore f ctk a una distanza l r pari a σ l r = 1 c φ Δz = f ctk l r 4 f bk ρ eff Contemporaneamente la tensione nell acciaio si riduce fino al valore che aveva prima della fessurazione. f ctk 61, ,9 12,01

36 La propagazione delle fessure 3/3 Al crescere, anche di poco, dello sforzo normale si formeranno progressivamente altre fessure. La distanza s r tra due lesioni successive non può essere inferiore a l r, perché entro tale distanza la tensione nel calcestruzzo è inferiore alla resistenza a trazione. Se due fessure si formano a distanza superiore a 2l r, tra loro si potranno formare altre fessure perché esiste un tratto in cui la tensione nel calcestruzzo è pari a quella di rottura. Al contrario, se la distanza è inferiore a 2l r, tra loro non si potrà formare un ulteriore fessura, perché il calcestruzzo non raggiunge la tensione di rottura. Risulta quindi l r s r 2l r.

37 La fessurazione in elementi inflessi Per gli elementi inflessi la fessurazione si manifesta quando al lembo teso la tensione di trazione massima è pari alla resistenza a trazione del calcestruzzo, assunta pari alla resistenza media f ctm. Il corrispondente momento prende il nome di momento di prima fessurazione, M cr. Tale momento si può calcolare assumendo la sezione tutta reagente e imponendo che al lembo teso la tensione sia pari a f ctm ( f ctm = M cr I n f ctm = f ck ( h x) M cr = f ctm I n h x Secondo le NTC08, lo stato limite di fessurazione si raggiunge quando nella fibra più sollecitata a trazione la tensione è pari a: ), cioè σ t = f ctm 1,2 f ctm Analogamente al caso del tirante, quando al crescere del carico il momento supera il valore di prima fessurazione, M cr, altre fessure si formeranno a una certa distanza dalla prima, fin quando si raggiungerà una condizione di fessurazione stabilizzata, in cui può crescere solo l ampiezza delle fessure esistenti.

38 Osservazioni - La fessurazione è un fenomeno discontinuo, che interessa solo un numero limitato di sezioni, la cui posizione è legata all eterogeneità del calcestruzzo. - La separazione dell elemento in più conci definiti dalle fessure, fa sì che le barre in corrispondenza di ogni fessura siano sollecitate dall intero sforzo di trazione. - Le tensioni tangenziali di aderenza, che nascono nelle zone limitrofe alle fessure lungo l interfaccia tra calcestruzzo teso e barre di acciaio, (i) si oppongono allo sfilamento delle barre indotto dallo sforzo di trazione e (ii) riducono le tensioni nelle barre, trasferendole al calcestruzzo integro.

39 Calcolo dell ampiezza delle fessure 1/2 Indicando con ε sm ed ε cm le deformazioni delle barre di acciaio e del calcestruzzo, l ampiezza delle fessure può essere calcolata tenendo conto che nel tratto compreso tra una fessura e la successiva, di lunghezza s r, le barre di acciaio si allungano di s r ε sm, mentre il calcestruzzo si allunga della quantità minore s r ε cm. Pertanto, il valore di calcolo dell ampiezza delle fessure è dato dalla relazione w d = s r,max ( ε sm ε cm ) in cui s r,max è il valore caratteristico superiore della distanza tra le fessure. Quando la distanza tra le armature è inferiore a 5( c + φ 2), dove c è il copriferro e φ è il diametro medio delle barre, la Circolare 617 fornisce per s r,max la seguente espressione s r,max = k 3 c + k 1 k 2 k 4 in cui k 1 = 0,8 per barre ad aderenza migliorata, k 2 = 0,5 nel caso di flessione e 1,0 nel caso di trazione pura, k 3 = 3,4 e k 4 = 0,425. Inoltre, ρ eff è la percentuale geometrica di armatura, definita in precedenza ρ eff = A ct,eff φ ρ eff

40 Calcolo dell ampiezza delle fessure 2/2 La differenza tra le deformazioni può essere calcolata mediante la seguente relazione ε sm ε cm = σ s E s 1 β σ sr σ s in cui β = 0,6 per carichi di breve durata β = 0,4 per carichi di lunga durata σ sr è la tensione nelle barre di acciaio allo stato limite di fessurazione σ s è la tensione nelle barre di acciaio all atto dell apertura delle fessure E s è il modulo di elasticità dell acciaio

41 Stato limite di apertura delle fessure La verifica allo stato limite di apertura delle fessure viene eseguita per limitare il rischio di corrosione dell armatura. La verifica è legata alle condizioni ambientali, alla durata del carico e alla sensibilità dell armatura alla corrosione. Si considerano poco sensibili alla corrosione gli acciai per il calcestruzzo ordinario, mentre si considerano sensibili quelli per il calcestruzzo precompresso. La verifica, a seconda dei casi, è riferita a uno dei seguenti valori nominali w 1 = 0,2 mm w 2 = 0,3 mm w 3 = 0,4 mm e si esegue secondo le indicazioni riportate nella seguente tabella

42 Verifica dell ampiezza delle fessure senza calcolo diretto Le NTC08 precisano che la verifica dell ampiezza di fessurazione può anche essere condotta senza calcolo diretto, limitando la tensione di trazione nell armatura, valutata nella sezione parzializzata per la combinazione di carico pertinente, ad un massimo correlato al diametro delle barre e alla loro spaziatura. La verifica consiste nel determinare la tensione nell armatura per ogni condizione di carico da considerare, e controllando che questa sia compatibile con i diametri e le spaziature prescelte, indicate nelle tabelle seguenti Si nota che per limitare l ampiezza delle fessure è opportuno: a) ridurre la tensione nell acciaio b) impiegare barre di piccolo diametro c) disporre un armatura opportunamente diffusa

43 Area minima di armatura in zona tesa 1/2 Per evitare che all atto della fessurazione un elemento strutturale possa manifestare un comportamento fragile, è necessario che l armatura sia sufficiente a sopportare elasticamente la forza di trazione che il calcestruzzo teso era in grado di assorbire. 1) Sezione interamente tesa Si deve garantire che N y > N cr cioè f yk > f ctm ( A ct + n )! f ctm A ct da cui si ottiene > f ctm f yk A ct

44 Area minima di armatura in zona tesa 2/2 2) Sezione inflessa Si deve verificare che M y > M cr In una sezione rettangolare di base b e altezza h si ha M y! 0,9 d f yk! 0,8 h f yk bh 2 M cr! f ctm 6 = f ctm avendo posto A ct = bh/2. Risulta quindi h 3 > 0,4 f ctm f yk bh 2 = f ctm h A ct 3 A ct Le NTC08 forniscono la relazione che per le costruzioni in zona sismica diventa > 0,26 f ctm f yk b t d > 1,4 f yk b t d in cui b t è la larghezza della zona tesa di calcestruzzo.

45 Stato limite di deformazione 1/2 Un eccessiva deformazione degli elementi strutturali può comportare l insorgere di problemi di funzionalità. Tuttavia, per le strutture in calcestruzzo armato è molto complicato calcolare in maniera rigorosa spostamenti e deformazioni. Si preferisce pertanto eseguire verifiche semplificate, che consistono nel rispettare adeguati limiti del rapporto tra la luce degli elementi strutturali e l altezza della loro sezione trasversale. A tale scopo la Circolare 617 fornisce la relazione l h k 11+ 0,0015 f ck 500 ρ + ρ f yk,cal in cui,eff e,cal sono l area dell armatura tesa effettivamente disposta e l area di quella calcolata, mentre ρ = bd ρ = bd sono le percentuali geometriche dell armatura tesa e compressa. Il coefficiente k è riportato nella tabella seguente in funzione del tipo di sistema strutturale cui si riconduce l elemento strutturale considerato.,eff

46 Stato limite di deformazione 2/2 Nella seguente tabella, oltre ai valori del coefficiente k, sono riportati i valori limite del rapporto l/h per elementi strutturali poco (0,5%), mediamente (1,0%) o molto (1,5%) armati, con riferimento a un calcestruzzo di classe C25/30 e a un acciaio di tipo B450C. Nel caso di elemento strutturali di luce superiore a 7,00 m, i valori limite devono essere ridotti del rapporto 7/l.

47 Riferimenti bibliografici 1. D.M. 14 gennaio Norme tecniche per le costruzioni. Ministero delle Infrastrutture e dei Trasporti, G.U. n. 29 del 4 febbraio 2008, Supplemento Ordinario n. 30, 2008, (NTC08). 2. Circolare 2 febbraio 2009 n Istruzioni per l applicazione delle Nuove norme tecniche per le costruzioni di cui al D.M. 14 gennaio 2008, approvata dal Consiglio Superiore dei Lavori Pubblici. 3. Mezzina Mauro (a cura di), Fondamenti di Tecnica delle Costruzioni, Città Studi Edizioni, Ghersi Aurelio, Il cemento armato (seconda edizione), Dario Flaccovio Editore, Cosenza E., Manfredi G., Pecce M., Strutture in cemento armato, basi della progettazione (seconda edizione), Ulrico Hoepli Editore, 2015.