Flessione non uniforme

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1 Capitolo V Flessione non uniforme.. Sezione on linea media rettilinea a tratti e nessun asse di simmetria Come ulteriore esempio suffiientemente generale, si onsideri il prisma avente la sezione mostrata in Fig.; la linea media U N i= i Γ = Γ è ostituita da N= tratti rettilinei i Γ ed è aratterizzata da un posto di Γ Γ ambiamento di direzione (p ) e da un Γ posto di biforazione (p ); la sezione è priva di assi di simmetria. Su iasun tratto si istituise un asissa rettilinea ρ i (i=,,n), Fig., si delimita p una porzione di sezione, ampita nella medesima figura, e se ne definise la normale usente m i ; il versore i indivi- Γ a p dua l orientamento della orda; lo spessore ˆ( ρ i ) (i=,,n) sia ostante lungo ia Fig. - Sezione rettilinea a tratti. sun tratto, e per sempliità di alolo sia uguale ad s per tutti i tratti. a p 5 a p p

2 76 Il ilindro di Saint-Venant m m ρ ρ m ρ m ρ Fig. - Riferimenti loali nei tratti regolari. Il sistema di riferimento entrale prinipale d inerzia è stato determinato in App.. In partiolare, nel sistema di riferimento xy di Fig., le equazioni degli assi x e x sono: asse x : y a = Tgϑ ( x a 6), asse x : y a = Tg ϑ + π x ( )( 6). a.77a.a y ϑ = a/ x ρ.77a d.6a x ρ d d ρ x ρ d a/6 x.5a.8a Fig. 5 Intersezioni dell asse neutro x on la linea media. Fig. 6 Calolo del momento statio S. Ugo A. Andreaus - SCIENZA DELLE COSTRUZIONI Progetto Leonardo - Editrie Esulapio - Bologna

3 V. Flessione non uniforme 77 Si supponga dapprima he la sezione sia soggetta ad una forza trasversale di intensità avente direzione parallela all asse entrale prinipale x, Fig. 5; pertanto l asse neutro della flessione non uniforme oinide on l altro asse entrale prinipale x. Nella medesima Fig. 5 sono indiati i posti d intersezione dell asse neutro on i tratti regolari di linea media interseati, le ui equazioni, nel riferimento xy di Fig. 5 sono: tratto Γ : y =, tratto Γ : x =, tratto Γ : y = a; Il ampo del valore medio della omponente dominante del vettore dello sforzo tangenziale è allora dato, a meno del fattore ostante - /(I s), dal momento statio S della porzione D z rispetto all asse neutro x, Eq. (.6). Gli elementi di superfiie ampiti in Fig. 6 hanno area infinitesima da=sdρ. Anora in Fig. 6, la quantità d i denota la distanza on segno del entro d area del generio elemento infinitesimo dall asse neutro x. Le quantità ρi e ρ i sono definite nelle Figg. e 6 rispettivamente e indiano, la prima, la distanza della orda i dall origine del tratto regolare Γ i, e, la seonda, la distanza dalla medesima origine del entro d area del generio elemento infinitesimo. ui di seguito si riportano le leggi analitihe dei momenti statii relativi ai singoli tratti regolari di linea media. Nel tratto Γ si ha: d ˆ ρ =.5a ρ Cos, ρ Sˆ ( ) ( ), ρ ρ ˆ ˆ Max S ρ = S.5a =.5sa ˆ ( ρ ) = ˆ d ( ρ ) sdρ = sρ (.5a ρ ) Cos, ρ a, ( ) ( ), ( a).7. S = sa Nel tratto Γ si ha: d ˆ ρ =.77a ρ Sen, Sˆ ( ) ( ) ρ, ρ ( ) ˆ ( ρ =.7sa + d ρ ) sdρ =.7sa sρ (.77a ρ ) Sen, ρ a, ( ρ ) = ρ., ˆ ( ) ˆ S ρ = S (.8a ) =.sa, ( a) =.. ˆ S = ρ a Min ˆ S sa Nel tratto Γ si ha: d ˆ ρ =.6a ρ Cos, ρ ( ) ( ), ρ Il alolo del momento d inerzia I rispetto all asse neutro x è sviluppato in App..

4 78 Il ilindro di Saint-Venant ρ ˆ Sˆ ( ρ ) = ˆ ( d ρ ) sdρ = sρ (.6a ρ ) Cos, ρ a, ( a ).7. S = sa Nel tratto Γ si ha: d ˆ ρ =.6a ρ Cos, Sˆ ( ) ( ) ρ, ρ ρ ˆ ( ρ ) = ˆ ( d ρ ) sdρ = sρ (.6a ρ ) Cos, ρ a, ( a ) =.5. S sa I diagrammi delle funzioni sopra determinate sono traiati in Fig. 7 on riferimento all orientamento istituito su iasun tratto rettilineo: il lato positivo di iasun tratto è allora fissato dai versori i, Fig. ; inoltre, i valori del momento statio sono a meno del fattore sa. Il ampo del vettore dello sforzo tangenziale tˆ ( ρ ) ( ρi ) S ()( ρ ) m S i = m i mi = i ; () I s è illustrato in Fig. 8; ovviamente, il diagramma di S m()( ρi ) è traiato, lungo iasun tratto, sul lato opposto rispetto a quello di S (ρ i ) a.7 -..a.7.5a.5 p 6 Fig. 7 - Diagramma di S. Fig. 8 - Diagramma di t e di S m(). Ugo A. Andreaus - SCIENZA DELLE COSTRUZIONI Progetto Leonardo - Editrie Esulapio - Bologna

5 V. Flessione non uniforme 79 Si può failmente dimostrare he, lungo iasun tratto regolare di spessore ostante, il diagramma di S m() è lineare, se la linea media è parallela all asse neutro; è parabolio, se la linea media non è parallela all asse neutro; presenta un posto di stazionarietà oinidente on il posto di intersezione, se linea media e asse neutro si interseano. Inoltre, se la linea media non ha punti di diramazione, il diagramma di S m() presenta un numero di inversioni di segno pari al numero d i volte in ui l asse neutro intersea la linea media meno uno [9]; on riferimento all esempio mostrato nelle Fig. 7 e 8, nel tratto Γ Γ è presente il posto di inversione p 6. x y.98a.67a x.8a ρ.a.6a a/6 ϑ = a/ Fig. 9 - Intersezioni dell asse neutro x on la linea media.. x ρ d d d d.a ρ.8a.8a ρ Fig. Calolo del momento statio S. Nel aso in ui la sezione di Fig. sia soggetta ad una forza trasversale nella direzione prinipale individuata dall asse x, l asse neutro oinide on l altro asse prinipale x, Fig. 9. La determinazione del ampo del vettore dello sforzo tangenziale tˆ ( ρ ) ( ρi ) S ( )( ρ ) m S i = m i mi = i ; () I s può allora essere effettuata on una proedura del tutto analoga a quella usata nel aso preedente. Nella medesima Fig. 9 sono indiati i posti d intersezione dell asse neutro on i tratti regolari di linea media interseati, le ui equazioni, nel riferimento xy di Fig. 9 sono:

6 8 Il ilindro di Saint-Venant tratto Γ : y =, tratto Γ : x =, tratto Γ : y = a ; Continuando a fare riferimento alla Fig. per quanto riguarda le asisse rettilinee nei singoli tratti regolari della linea media, in Fig. sono indiate le distanze dei posti d intersezione dell asse neutro on la linea media (o on i suoi prolungamenti) dall origine dei singoli tratti regolari. Il ampo del valore medio della omponente dominante del vettore dello sforzo tangenziale è allora dato, a meno del fattore ostante /(I s), dal momento statio S della porzione D z rispetto all asse neutro x, Eq. (.8). Gli elementi di superfiie ampiti in Fig. hanno area infinitesima da=sdρ. Anora in Fig., la quantità d i denota la distanza on segno del entro d area del generio elemento infinitesimo dall asse neutro x. Le quantità ρi e ρ i sono definite nelle Figg. e rispettivamente e indiano, la prima, la distanza della orda i dall origine del tratto regolare Γ i, e, la seonda, la distanza dalla medesima origine del entro d area del generio elemento infinitesimo. ui di seguito si riportano le leggi analitihe dei momenti statii relativi ai singoli tratti regolari di linea media. Nel tratto Γ si ha: d ˆ ρ = a ρ Sen =.6a ρ Sen, ρ Sˆ ( ) [( ) ] ( ), ρ ρ ( ρ ) = ˆ ( d ρ ) sdρ = sρ (.6a ρ ) Sen, ρ a, ˆ ˆ S ρ = S a =.6sa ( ) ( ). Min Nel tratto Γ si ha: d ˆ ρ =.a ρ Cos, ρ Sˆ ( ) ( ), ρ Min ( ) ˆ ( ρ =.6sa d ρ ) sdρ =.6sa sρ (.a ρ ) Cos, ρ a, ˆ ( ) ˆ S ρ = S (.a) =.67sa, ( a) =.5. ˆ ρ S sa Nel tratto Γ si ha: d ˆ ρ = a + ρ Sen =.7a + ρ Sen, ( ) [( ) ] ( ) ρ, ρ Il alolo del momento d inerzia I rispetto all asse neutro x è sviluppato in App.. Ugo A. Andreaus - SCIENZA DELLE COSTRUZIONI Progetto Leonardo - Editrie Esulapio - Bologna

7 V. Flessione non uniforme 8 Sˆ ρ ( ρ ) = ˆ ( d ρ ) sdρ = sρ (.7a + ρ ) Sen, ρ a, ˆ ˆ S = S ( a ).9sa. Max = Nel tratto Γ si ha: d ˆ ρ = a ρ Sen =.7a ρ Sen, Sˆ ( ) [( ) ] ( ) ρ, ρ ( ρ ) = ˆ d ( ρ ) sdρ = sρ (.7a ρ ) Cos, ρ a, ρ I diagrammi delle funzioni sopra determinate sono traiati in Fig. on riferimento all orientamento istituito su iasun tratto rettilineo: il lato positivo di iasun tratto è allora fissato dai versori i, Fig. ; inoltre, i valori del momento statio sono a meno del fattore sa. Il ampo del vettore dello sforzo tangenziale, Eq. (), è illustrato in Fig. ; ovviamente, il diagramma di S m( )( ρi ) è traiato, lungo iasun tratto, sul lato opposto rispetto a quello di S (ρ i ) a.6.6 Fig. - Diagramma di S. Fig. - Diagramma di t e di S m( ). Valgono anhe in questo aso le medesime osservazioni già fatte nel aso preedente ira l andamento del diagramma di S m( ).

8 8 Il ilindro di Saint-Venant. Il entro di taglio.. Formulazione Nell ambito della teoria approssimata della flessione non uniforme e sulla base delle onsiderazioni svolte in., il vettore dello sforzo tangenziale può essere espresso per il tramite dell Eq. (.8): t mm S S = S = + m. () I I Con riferimento alle Eqq. (.7) e (.8), si può dimostrare he in generale la forza risultante F r del ampo del vettore dello sforzo tangenziale oinide on la forza trasversale e medesima: Fr = t Γ ( ρ ) da = S ( ρ) m( ρ ) da = e. Γ m (5) Assumendo he la retta d azione della forza trasversale e passi per un generio posto p, è opportuno riordare he l Eq. () è stata riavata senza tenere onto della posizione della forza trasversale, ma essa dipende eslusivamente dall intensità e dalla direzione e, Eq. (.7) e Fig. 9; se si desidera quindi he al ampo di sforzo tangenziale desritto dall Eq. () e dovuto a, non si sovrapponga un ampo di sforzo tangenziale derivante dal momento torente provoato dalla forza trasversale stessa, Fig., x A p x T ( ) = [( p ) e] e, (6) Fig. - Forza trasversale eentria rispetto al entro di taglio. la forza trasversale deve passare per un posto privilegiato nel piano della sezione detto entro di taglio (o entro di flessione), denotato nel seguito on il simbolo. Per determinare - on approssimazione suffiiente per le appliazioni strutturali - la posizione del entro di taglio nelle sezioni aperte sottili, si può impiegare un proedimento he onsegue dalla trattazione approssimata della flessione non unifor- Ugo A. Andreaus - SCIENZA DELLE COSTRUZIONI Progetto Leonardo - Editrie Esulapio - Bologna

9 V. Flessione non uniforme 8 me,. e., e dalla teoria dei sistemi di forze equivalenti. L Eq. () può infatti essere utilizzata per valutare, in via approssimata, il momento M intorno all asse x (o ad un asse x ad esso parallelo, la ui traia nel piano della sezione è il posto p di oordinate x e x, se iò semplifia i aloli in quanto omporta l annullarsi di qualhe ontributo) equivalente al ampo di sforzo tangenziale dovuto alla forza trasversale e= e + e, M ( ) ( ) p = = p p t dρ e Γ [( x ) e + ( x x ) e ] S + S m d, = x ρ e (7) Γ I I dove p è il generio posto della linea media Γ, e tdρ è la forza elementare per unità di linea media. Conseguentemente, si può individuare dove deve passare la retta d azione he la forza risultante F r =e, Eq. (5), deve avere per dare rispetto al medesimo asse x, o x, un momento T ( p ) = [( p ) e] e = {[( x x ) e + ( x x ) e ] ( e + e )} e {[( x x ) e] e + [( x x ) e ] e } = (8) = e uguale a M. Per stabilire la posizione del entro di taglio si impone infatti l uguaglianza tra i terzi membri delle Eqq. (7) e (8), ottenendo due equazioni nelle due oordinate inognite x e x : [( ) + ( ) ] x x e x x e S m dρ e = Γ I (9a) x x e e e = x x {[( ) ] } ( ) ; [( ) + ( ) ] x x e x x e S m dρ = e Γ I Si riorda he la trattazione approssimata della flessione non uniforme seondo la teoria di Jourawski fornise per le sezioni sottili risultati tanto meglio approssimati quanto più piolo è lo spessore della parete.

10 8 Il ilindro di Saint-Venant {[( x x ) e ] e } e = ( x x ). (9b) Dalle Eqq. (9) si evine failmente he la posizione del entro di taglio, nell ambito della teoria di Jourawski per le sezioni aperte sottili, dipende eslusivamente dalla geometria della sezione, e in generale appartiene ad eventuali assi di simmetria della sezione stessa; da quest ultima osservazione onsegue l ovvia deduzione he se la sezione è dotata di due assi di simmetria, il entro di taglio oinide on la loro intersezione; inoltre, se la sezione è ostituita da tratti regolari rettilinei onvergenti in un unio posto, il entro di taglio oinide on questo posto di diramazione, Fig., in quanto le forze risultanti agenti sui singoli tratti hanno retta d azione passante per il posto d intersezione e quindi anhe la forza trasversale deve passare per quello stesso posto. Fig. Tratti rettilinei onvergenti in un posto. Ovviamente, affinhé sussista l equivalenza tra la forza risultante F r =e, la ui retta d azione è pensata passante per, e il ampo di t(), dato dall Eq. (), la retta d azione della forza risultante sarà olloata rispetto al polo p in modo tale he il suo momento rispetto ad esso, Eq. (8), sia onorde on quello del momento risultante dovuto al ampo del vettore dello sforzo tangenziale, Eq. (7). In altre parole, il entro di taglio è quel posto del piano della sezione retta del ilindro (prisma) di Saint-Venant tale he qualunque ampo di sforzo tangenziale t(), dovute alla forza trasversale e, ha momento rispetto a equivalente a zero, ioè M ( ) = ( p ) t dρ e =, p. Γ Γ () Ugo A. Andreaus - SCIENZA DELLE COSTRUZIONI Progetto Leonardo - Editrie Esulapio - Bologna

11 V. Flessione non uniforme 85 In definitiva, il entro di taglio è il entro di forza del ampo di sforzo tangenziale desritto dall Eq. (), App..II. []. Se sulla sezione è appliata una forza trasversale e nota in intensità, direzione e verso, ed è verifiata l ulteriore ondizione he la retta d azione di e passa per il entro di taglio, la trattazione approssimata della flessione non uniforme, sintetizzata x dall Eq. (), esaurise il ampo dello sforzo tangenziale relativa ai posti della x linea media. Se, invee, la retta d azione di e non passa per il entro di taglio, Fig. A, allora il ilindro (prisma) di Saint- T Venant è solleitato anhe da un momento torente uniforme dato dall Eq. (6), Fig. 5; il momento T( ) oinide on il mo- mento di trasporto della forza in ; al ampo di sforzo tangenziale fornito dalla Eq. () oorre allora sovrapporre il ampo di sforzo tangenziale dovuto al momen Fig. 5 - Momento torente dovuto all eentriità della forza trasversale. to torente T( ) seondo quanto studiato nel Cap. IV (Torsione). Nella proedura preedentemente desritta, la individuazione della posizione del ento di taglio è stata effettuando nel sistema di riferimento prinipale d inerzia ( A ;x,x,x ), del quale è rihiesta la preventiva determinazione; quest ultima omporta sovente aloli la ui tediosità può essere evitata riorrendo ad una proedura più speditiva - ma non per questo meno orretta riportata, per omodità del Lettore, in App.... Appliazioni strutturali Con riferimento all esempio mostrato in Figg., si selga ome polo opportuno il posto p p di intersezione dei tratti regolari Γ, Γ, Γ. L Eq. (9b) si partiolarizza in, Fig., - (x -.5a) = af, dove, Eq. (), F ρ o sρ.5a Cos a a = Sm()( ) sd ρ ρ = sd. ρ.8sa s

12 86 Il ilindro di Saint-Venant è l intensità della forza risultante agente sul tratto regolare Γ ; il momento di F rispetto al polo p è antiorario, quindi positivo. Si è supposto anhe he la forza trasversale dia rispetto al polo p un momento equiverso on quello di F. Pertanto, l ordinata del entro di taglio è x =.7. F a.7a x p A.5a x Fig. - Retta d azione di passante per il entro di taglio. Per alolare l asissa x del entro di taglio oorre utilizzare l Eq. (9a), he rihiede l appliazione della forza trasversale nella seonda direzione prinipale, Fig., - (-x +.a) = -af, e la determinazione del relativo ampo dello sforzo tangenziale per mezzo dell Eq. (); L intensità della forza risultante agente sul tratto Γ è allora: x -.a p.a A F Fig. - Retta d azione di passante per il entro di taglio. x F ρ sρ.6a Sen s o a a = Sm ( )( ρ) sdρ = sdρ.6..7sa In questo aso, il momento di F rispetto a p è orario e quindi negativo; si è supposto anora he dia un momento equiverso ad esso; pertanto risulta x =.a. Ugo A. Andreaus - SCIENZA DELLE COSTRUZIONI Progetto Leonardo - Editrie Esulapio - Bologna

13 V. Flessione non uniforme 87. SEZIONI PLURICONNESSE DI PICCOLO SPESSORE. Il ampo del vettore dello sforzo tangenziale.. Sezioni plurionnesse La trattazione svolta nel paragrafo preedente a proposito di una partiolare sezione bionnessa può essere failmente estesa alle sezioni on grado di onnessione C maggiore di due. Per sempliità di esposizione e senza perdita di generalità, si onsidera la sezione mostrata in Fig. a (C=), soggetta alla forza trasversale di intensità nella direzione e. Si assume, anhe in questa situazione, he in ogni posto di una generia orda della sezione il vettore dello sforzo tangenziale è diretto ome la tangente alla linea media e he la sua intensità è ostante lungo la orda: q t = m = S dove india la lunghezza della orda., mm () q q a) sezione effettiva, b) sezione determinata; Fig. - Sezione plurionnessa sottile. Il grado di indeterminazione dinamia è allora C-. Per risolvere il problema, si introduono sulla sezione C- sonnessioni ideali in modo da renderla monoonnessa, Fig. b; si può ora alolare, per la sezione monoonnessa il ampo determinato q del flusso del vettore dello sforzo tangenziale mediante l Eq. (.8): S S q = +, () I I dove, ome al solito, e sono le omponenti di seondo le direzioni prinipali della sezione. Poihé il ampo q non è quello effettivo, esso darà luogo ad una deformazione non ongruente, on uno sorrimento relativo, nella direzione dell asse del ilindro, della sezione in orrispondenza delle sonnessioni effettuate al fine di rendere dinami-

14 88 Il ilindro di Saint-Venant amente determinata la sezione. Per ristabilire la ongruenza,.i.5,, si deve appliare su iasuno dei ili originariamente hiusi un ampo di oazione ostante rappresentato da un flusso q i (i=,..., C-) del vettore dello sforzo tangenziale attraverso la orda, Fig., onvenzionalmente in senso antiorario; tale ampo di oazione è dinamiamente equivalente al ampo di sforzo he si avrebbe sul ilo integro, ioè prima della sonnessione, se fosse onsiderato alla stregua di un ilindro di Saint-Venant soggetto ad un momento torente uniforme, Eq. (IV..9). Il ampo di sforzo tangenziale è allora dato dalla sovrapposizione della soluzione dinamiamente determinata e dei C- ampi di oazione q i : C q = q + q. () i= i q q a) prima oazione, b) seonda oazione; Fig. - Flussi oattivi. Nel aso di sezioni plurionnesse di ordine C si hanno tante equazioni di ongruenza quante sono le sonnessioni ideali operate per rendere la sezione monoonnessa. Appliando il Teorema dei Lavori Virtuali, Eq. (.III..), nella versione delle azioni virtuali e degli spostamenti effettivi, e riordando la relazione ostitutiva he per un materiale elastio lineare omogeneo isotropo lega la variazione angolare γ allo sforzo tangenziale S m, Eq. (I.5.), le (C-) equazioni di ongruenza si srivono nel modo seguente (i=,,,c-): C qi q i i ij j δ γ dρ + =, i δ γ dρ Γ Γi j= q C q qj i i + i ij δ dρ q δ dρ = Γi G Γi G j=, Ugo A. Andreaus - SCIENZA DELLE COSTRUZIONI Progetto Leonardo - Editrie Esulapio - Bologna

15 V. Flessione non uniforme 89 Γ i δ dρ C q i dρ + j ij = q δ Γi j= Il simbolo Γ i india la linea media del ilo i-esimo ; ρ denota l asissa urvilinea istituita lungo la suddetta linea media, onvenzionalmente orientata in modo da perorrere il ilo in senso antiorario; = ˆ ( ρ ) è la funzione seondo ui varia la lunghezza della orda lungo il generio tratto regolare della linea media. Gli operatori δ i e δ ij servono a filtrare i ontributi he provengono dai vari tratti regolari dei ili oinvolti nelle sommatorie presenti nell Eq. (5). L operatore δ i vale o - seondo he i flussi q e q i siano onordi o disordi nel generio tratto regolare del ilo i-esimo ; L operatore δ ij vale se, per quanto onerne il tratto del ilo i-esimo interessato dalla irolazione, esso è in omune on il ilo j-esimo e è perorso nel medesimo verso nei due ili i-esimo e j-esimo oinvolti, vale - in aso ontrario; vale zero se il lato suddetto non è in omune, Fig. ; ovviamente si pone δ ij = nel aso in ui il tratto appartiene al ilo i-esimo stesso (i=j).. (5) δ = δ = δ = δ= Γ δ= δ= Γ δ= δ = δ = δ = a) primo ilo, b) seondo ilo; Fig. I ili. La soluzione del sistema di equazioni algebrihe lineari in C- inognite e a matrie dei oeffiienti non singolare, onsente di determinare i ampi di oazione q i ; l uso dell Eq. () porta alla onosenza del ampo di sforzo tangenziale esistente nella sezione moltepliemente onnessa: C q qi S m = +. (6) i=.. Appliazione strutturale La sezione retta presa in onsiderazione è quella trionnessa già illustrata in Fig. IV. e soggetta al momento torente in IV... La figura a presenta la sezione determinata, le asisse rettilinee istituite sui singoli tratti regolari e la forza esterna agente,

16 9 Il ilindro di Saint-Venant ioè la forza trasversale ; le figure b e mostrano i diagrammi dei flussi del problema determinato e dei due problemi virtuali. I momenti statii, Eq. (), sono alolati rispetto all asse neutro (l asse prinipale x, he è anhe asse di simmetria della sezione). p 5 p p p 6 x p p a q I / a a a) asisse rettilinee e forza esterna, b) flusso dovuto alla forza esterna; Fig. Problema determinato. Si riportano in Tab., a meno del fattore /I, le leggi analitihe he governano il flusso del vettore dello sforzo tangenziale nella sezione determinata, Fig. b. Il segno è riferito all asissa rettilinea loale definita in iasun tratto regolare, Fig. a. Tab. - Sforzo tangenziale determinato. Tratto q I Intervallo p -p s ( a ρ) ρ ρ a p -p saρ ρ a p -p s ( a ρ) ρ ρ a p -p 5 sa ( a + ρ ) ρ a p 5 -p 6 s a + a ρ ρ ρ a [ ( ) ] p 6 -p ( a ρ ) p -p ( a ρ ) sa ρ a sa ρ a Non si ritiene neessario riportare le leggi analitihe dei flussi virtuali in quanto i diagrammi mostrati nelle Figg. a,b sono suffiientemente espliativi. Il segno è riferito all asissa rettilinea loale definita in iasun tratto regolare, Fig. a. Ugo A. Andreaus - SCIENZA DELLE COSTRUZIONI Progetto Leonardo - Editrie Esulapio - Bologna

17 V. Flessione non uniforme 9 q = q = a) flusso virtuale n, b) flusso virtuale n ; Fig. Problemi virtuali. Le due equazioni di ongruenza, Eq. (5) e Fig., si srivono allora I s sa [ ρ + a ] dρ + a a a ( a ρ ) ρ dρ ( ρ + a) dρ ( a ρ ) sa a aq ( a ρ ) dρ + 6aq + 5 =, s a s a sa a I ( a ρ ) ρ dρ [( a ρ ) ρ + a] dρ ρ dρ + sa a aq ( a ρ ) dρ + 5aq + 8 =. Risolvendo il sistema delle due equazione algebrihe lineari si ottengono i due flussi oattivi he garantisono l assenza di sorrimenti dei lembi delle sonnessioni nella direzione assiale del prisma di Saint-Venant. 6q + 5q sa =, q = sa I I =. q q sa q = sa I 6 I s.6 sa, I.7 sa. I Appliando la proprietà di sovrapposizione degli effetti, Eq. (6), si ottiene lo sforzo tangenziale effettivo totale nella sezione, rappresentato analitiamente in Tab. e grafiamente in Fig. 5, a meno del fattore a /I. Il segno è riferito all asissa rettilinea loale definita in iasun tratto regolare, Fig. a. Tratto Tab. - Sforzo tangenziale effettivo totale. S mi Intervallo a ρ ρ + 7a ρ a p -p ( ) 6

18 9 Il ilindro di Saint-Venant p -p ( ρ +7a 6)a ρ a p -p ( a ρ ) ρ + a ρ a p -p 5 ( + 7 6) a a ( a + ρ) ρ a p 5 -p 6 ( + 7 6) a a + ( a ρ ) ρ ρ a [ ] p 6 -p ( + 7 6) a ( a ρ) p -p 7 6 a ( a ρ ) a ρ a a ρ a I Sm a,86. Il entro di taglio.. Sezioni plurionnesse Fig. 5 Sforzo tangenziale effettivo totale. È faile estendere alle sezioni moltepliemente onnesse on parete di piolo spessore la trattazione approssimata, presentata in.., he onsente di determinare il entro di taglio di una sezione monoonnessa,. Infatti per determinare la posizione del entro di taglio di una sezione hiusa sottile basta segliere un polo opportuno p e uguagliare le Eqq. (.7) e (.8), usando l aortezza di sostituire in esse le Eqq. () e (6): i= ρ (9) C i ( p p ) q q m + d e = [( p ) e] e, Γ dove p è il generio posto della linea media Γ. Mettendo in evidenza in entrambi i membri dell Eq. (9) (vettoriale) i termini e e uguagliando i oeffiienti omologhi a e membro, si ottengono due e- quazioni (salari) nelle due inognite x e x, ioè proprio nelle oordinate del entro Ugo A. Andreaus - SCIENZA DELLE COSTRUZIONI Progetto Leonardo - Editrie Esulapio - Bologna

19 V. Flessione non uniforme 9 di taglio. Ovviamente, ome già osservato per le sezioni monoonnesse, il entro di taglio si trova su eventuali assi di simmetria posseduti dalla sezione, Fig. 9a ,9a p d a) sezione retta, b)equivalenza dei momenti; Fig. 9 - Centro di taglio. Riprendendo in esame l appliazione strutturale studiata in.., Fig. 9a, la determinazione della posizione del entro di taglio può essere effettuata on riferimento al posto opportuno p indiato in Fig. 9b. Il momento torente interno, equivalente al ampo dello sforzo tangenziale dato analitiamente in Tab. e rappresentato grafiamente in Fig. 5, è allora fornito da: T I a [ ] ( ρ + 7a ) a int 6 sa = ( a ρ ) ρ + 7a 6 dρ + [ a] dρ + a [( + 7 6) a a( a + ρ ) ] dρ + [ ] 7 {( + 7 6) a a + ( a ρ ) } a.68a. ρ a In Fig. 9b le forze risultanti agenti sui singoli tratti regolari sono date a meno del fattore sa I. Il segno negativo di T int sta ad indiare he esso ha verso orario. Il en- tro di taglio si trova allora alla sinistra di p, in modo he abbia anh essa momento orario rispetto al polo opportuno, ad una distanza (da p lungo l asse di simmetria): 69 d = T int.9a, affinhé il momento esterno T est = d sia uguale in modulo a T int. Per riavare il valore di d, è stato fatto uso dell espressione, App. I.,

20 9 Il ilindro di Saint-Venant 7 I = sa + sa a = sa. Per onfronto si riporta anhe la distanza del entro d area da p (lungo l asse di simmetria): sa d A = = a.a; 9sa 9 esso si trova pertanto alla sinistra del entro di taglio. Come già si è avuto modo di osservare a proposito delle sezioni aperte sottili, Figg. 5 e 8, e delle sezioni sottili bionnesse, Fig. 7b, se la retta d azione di non passa per il entro di taglio, allora il ilindro (prisma) di Saint-Venant è solleitato anhe da un momento torente uniforme dato dall Eq. (.6); al ampo di sforzo tangenziale fornito dall Eq. (6) oorre allora sovrapporre, Fig. 9, il ampo di sforzo tangenziale dovuto a questo momento torente, seondo quanto studiato in IV., e preisamente in IV..., on riferimento alla partiolare sezione mostrata in Fig. IV.. Ugo A. Andreaus - SCIENZA DELLE COSTRUZIONI Progetto Leonardo - Editrie Esulapio - Bologna

21 V. Flessione non uniforme 95 Appendie : CAMPO dello SPOSTAMENTO Nel aso di flessione non uniforme intorno all asse x, per prismi di Saint-Venant aventi sezione rettangolare di piolo spessore (s/h x, d, d,, d,,), il ampo di spostamento d=d e +d e +d e si può ottenere in via approssimata integrando l Eq. (I..a), ove E è definito dall Eq. (.). Dal punto di vista puramente dinamio, la flessione non uniforme può essere pensata ome effetto della sovrapposizione della forza trasversale e del momento flettente M ; pertanto i due effetti possono essere valutati separatamente e poi sovrapposti. I termini puramente flessionali sono rionduibili a quelli della flessione uniforme, App. III., tenendo onto he ora il momento flettente varia linearmente on x, Eq. (.) e Fig., anzihé essere ostante [7,8], e he il ampo di deformazione E f è dato dall Eq. (.a). Per quanto riguarda l effetto della forza trasversale, il ampo della variazione angolare, Eqq. I.5., γ = GI h x dovuto allo sforzo tangenziale Eq..9, Fig. 5 e Fig. I., provoa l ingobbamento della sezione, Fig. 5a; poihé d altra parte è ostante lungo l asse x, l ingobbamento non varia da sezione a sezione, Fig. 5b. Per x =±h/, si ha γ =; pertanto, ai lembi della sezione, gli elementi rettilinei referenziali rispettivamente paralleli alla linea d asse e alla sezione retta si trasformano in elementi urvilinei attuali mantenendosi mutuamente ortogonali. Lungo l asse neutro (x =) risulta: ˆ Max γ = γ = G sh ( ).

22 96 Il ilindro di Saint-Venant a) sezione retta, b) elemento di prisma; Fig. 5 - Campo della variazione angolare. Limitandoi in questa sede a studiare l influenza della sola forza trasversale, il ampo di spostamento d si ottiene integrando l Eq. (I..a), ove E t è definito dall Eq. (.b) [7]: x d = x ϕx, G sh h (a) d = ϕ x, G sh (b) d. () Il ampo di spostamento d è definito a meno di un piolo spostamento rigido d = d e + d e + d e, Eq. (.I..8) e.v., dove: r r d r r r = d ϕ x + ϕx, d r = d ϕ x + ϕx, d r = d + ϕx ϕx. In partiolare, d =d e +d e +d e rappresenta una generia traslazione del prisma di Saint-Venant, mentre ϕ, ϕ, ϕ, sono le ampiezze degli angoli di rotazione intorno ai tre assi oordinati x,x,x. Nel diagramma mostrato in Fig. 5, l origine o del sistema di riferimento (o;x,x,x ) è stata assunta oinidente on il entro d area della base di sinistra D del prisma, sono state annullate la traslazione d e le rotazioni ϕ e ϕ, ed è stato posto q o; la rotazione ϕ è stata per il momento lasiata indeterminata, rin- Ugo A. Andreaus - SCIENZA DELLE COSTRUZIONI Progetto Leonardo - Editrie Esulapio - Bologna

23 V. Flessione non uniforme 97 viando all App. (Fattore di Taglio) una disussione più approfondita sul valore da assegnare ad essa nelle appliazioni strutturali. Per il momento i limitiamo ad osservare he le Eqq. () permettono allora di determinare la forma he il ilindro assume in onseguenza dell appliazione delle forze e e e sulle basi D l e D rispettivamente, Fig. 5. Fig. 5 - Campo dello spostamento dovuto allo sforzo tangenziale. Appendie : FATTORE di TAGLIO Interessante dal punto di vista delle appliazioni è l identifiazione della rigidezza trasversale C, Eq. (.IV..), nella generia direzione e, Eq. (.), della trave monodimensionale on i parametri geometrii ed elastii del ilindro (prisma) di Saint-Venant. uesta operazione può essere eseguita imponendo l equivalenza delle densità di energia di deformazione elastia per due elementi, entrambi di lunghezza unitaria, uno di trave monodimensionale soggetto a forza trasversale ostante, Eq. (.IV..) on N=M=, e Fig. 5a: u =, C l altro, indiato on P, del prisma di Saint-Venant soggetto a forza trasversale ostante nella generia direzione e, Fig. 5b: U = S mγ m dv = P S G P m dv =

24 98 Il ilindro di Saint-Venant = dz G D e e I S e e + I S da = κ. GA avendo fatto uso delle Eqq. (.6) e (I.5.); nella Fig. 5 i due elementi sono stati onsiderati inastrati all estremità sinistra in quanto si è interessati agli spostamenti e alle rotazioni relative della sezione di destra rispetto a quella di sinistra; inoltre, nella Fig. 5 si è fatta oinidere la generia direzione e on la direzione oordinata e per ragioni di sempliità grafia; pertanto risulta. e e S e e S κ = A dz + da () D I I L Eq. (), funzione della forma e delle dimensioni della sezione, fornise l espressione approssimata del fattore di taglio. Il fattore di taglio, he è sempre maggiore dell unità, varia, per una stessa sezione, al variare dell asse di solleitazione e. Infine, uguagliando l Eq. () on l Eqq. (.IV..) si ottiene: () C GA = κ C =. GA κ Nel aso partiolare di sezione rettangolare sottile (s/h ), Fig. 5a, κ 6 = ; 5 si identifia a questo punto la deformazione trasversale γ on l angolo di rotazione ϕ dell elemento di trave intorno all asse x ; uguagliando l energia di deformazione U (lavoro interno), Eq., on il lavoro esterno speso dalla forza trasversale nella omponente trasversale ϕ dello spostamento, Fig. 5a, Eq. (.V..), 6 5 G sh = ( ϕ ), si ottiene una valutazione approssimata e mediata della rotazione intorno all asse x, Eqq. A., 6 ϕ =. 5 G bh Ugo A. Andreaus - SCIENZA DELLE COSTRUZIONI Progetto Leonardo - Editrie Esulapio - Bologna

25 V. Flessione non uniforme 99 È questa la ondizione di vinolo he meglio approssima le effettive ondizioni d inastro in o su tutta l altezza della trave, Fig. 5, oppure quelle di ontinuità della trave on una parete o on un altra trave [7]. S γ S = G = 6 sh x h γ = ϕ γ = C ϕ = SdA D a) trave monodimensionale, b) ilindro (prisma); Fig. 5 Identifiazione della rigidezza trasversale I = sa sa + sa =.8sa. Appendie : CENTRO di TAGLIO RIFERITO a DUE ASSI NEU- TRI UALUNUE In. la individuazione della posizione del ento di taglio è stata effettuando nel sistema di riferimento prinipale d inerzia ( A ;x,x,x ), del quale è rihiesta la preventiva determinazione; quest ultima omporta sovente aloli la ui tediosità può essere evitata riorrendo alla proedura più speditiva - ma non per questo meno orretta - di seguito riportata. Giova riordare he nella flessione uniforme deviata, III., il momento agente sulla sezione retta è stato espresso in funzione delle sue omponenti, Eq. (III..), Me = M e + M e ()

26 Il ilindro di Saint-Venant riferite agli assi entrali prinipali d inerzia x,x ; l asse neutro, Eq. (III..), rappresentato dalla retta di equazione M M x x = I I () passa per il entro d area A della sezione stessa; I e I sono i momenti prinipali d inerzia della sezione retta rispetto agli assi prinipali x e x, rispettivamente. Si indihi ora on η la distanza del generio posto p della sezione retta dall asse neutro n, Fig. 55; la omponente assiale S dello sforzo può allora essere espressa in funzione di questa distanza mediante al formula monomia: S = η. () Naturalmente il ampo di S deve essere equivalente al sistema ostituito dalla sola oppia M di Fig. 55, il ui asse momento è ortogonale all asse di solleitazione s. Si riorda he il sistema di forze esterne di ontatto sulla base D l ha momento M s rispetto a s nullo. Esso ha invee momento rispetto a n pari alla proiezione ortogonale M n di M su n ; pertanto si ha: M n = M [( p o) ( Se )] da e = η da = I, e en = n n (a) Dl Dl = [( p o) ( S )] da e = ηξ da = I, p D, M s = e s ns l (b) Dl Dl dove e n e e s ono i versori degli assi neutro e di solleitazione, ξ è la distanza di p da s, I n è il momento d inerzia della sezione retta D l rispetto all asse neutro e I ns è il momento entrifugo rispetto agli assi neutro e di solleitazione della medesima sezione, App. I.. Dalle Eqq. (a) e () segue la formula monomia della flessione uniforme deviata: M n S = η I (5) la ui rappresentazione grafia è data dal diagramma di Fig. 55. Si rileva espliitamente he nella flessione uniforme deviata in tutti i posti della sezione retta he appartengono ad una parallela all asse neutro la omponente S ha lo stesso valore e lo stesso segno. Inoltre la S è massima in valore assoluto nei posti he distano maggiormente dall asse neutro (p a e p b in Fig. 55). Pertanto, ome già visto nell osservazione per la flessione retta, App. III., anhe nel aso di flessione deviata la forma della sezione più onveniente è quella in ui il materiale è disposto il più lontano possibile dall asse neutro. n Ugo A. Andreaus - SCIENZA DELLE COSTRUZIONI Progetto Leonardo - Editrie Esulapio - Bologna

27 V. Flessione non uniforme f p a p ξ η A M n S M n f f M n D l s p b Fig. 55 Flessione uniforme deviata. Fig. 56 Flessione non uniforme deviata. Nei., il problema della flessione non uniforme è stato affrontato nel riferimento prinipale d inerzia, appliando una alla volta le due omponenti e della forza trasversale e e poi sfruttando la proprietà di sovrapposizione degli effetti, Eqq. (.7), e (.8); in questa sede si vuole invee studiare il medesimo problema appliando direttamente fin dall inizio una forza trasversale ostante lungo l asse del ilindro, avente intensità e direzione e, Eq. (.7): e = e + e ; (6) nella generia sezione retta di asissa x si hanno i momenti flettenti, Eqq. (.) e (.5): M = - (l-x ), M = (l-x ). (7) Si definise asse neutro e si denota anora on il simbolo n l insieme dei posti del piano della sezione retta in ui S =. Sostituendo le Eqq. (7) nell Eq. () si può failmente dimostrare he l asse neutro del problema della flessione non uniforme è la retta avente equazione: x x = ; I I (8) pertanto l asse neutro è una retta passante per il entro d area. Si denoti ora on f la retta normale a n, orientata in modo he la proiezione ortogonale di e su f, f, sia positiva, Fig. 56. Proedendo ome per la flessione uniforme deviata e indiando on e n il versore dell asse neutro e on e f e n quello della retta f, si può porre:

28 Il ilindro di Saint-Venant M n = (M e +M e ) e n = [- (l-x )e + (l-x )e ] e n = = [- (l-x )e - (l-x )e ] e f = - (l-x ) [ e + e ] e f = = - (l-x )e e f = - (l-x ) f (9) avendo fatto uso dell Eq. () e della proprietà dei vettori ortogonali e e n =e e f, e e n =- e e f. Sostituendo l Eq. (9) nell Eq. (5) risulta allora: S M ( l x) ) n f = η = η. In In () Con una dizione partiolarmente signifiativa, si può periò parlare di forza trasversale retta o di forza trasversale deviata, a seonda ioè he la flessione non uniforme legata alla forza trasversale sia a sua volta retta o deviata, rispettivamente. Una trattazione approssimata del tutto analoga a quella sviluppata in. e he non vale la pena ripetere in questa sede ondue per il ampo del vettore dello sforzo tangenziale nelle sezioni di piolo spessore ad una formula analoga all Eq. (.): f Sn t = S mm = m, () I dove S n è il momento statio (o del ordine), rispetto all asse neutro, della porzione di sezione D, individuata dalla orda di lunghezza ; e m è il versore della normale alla orda. Seguendo la proedura già delineata in., per stabilire la posizione del entro di taglio oorre a questo punto valutare il momento interno M, equivalente a quello del ampo del vettore dello sforzo tangenziale desritto dall Eq. (), per due diverse direzioni dell asse neutro: 5 si possono osì riavare due diverse rette d azione per la forza trasversale e, per intersezione delle due rette d azione ottenute, individuare il entro di taglio. 6 n La trattazione approssimata della flessione non uniforme fornise per le sezioni sottili risultati aettabili nell ambito delle inertezze onnesse alle appliazioni strutturali. 5 La selta delle direzioni deve essere fatta on riteri preferenziali, adottando quelle he, per la partiolare natura della sezione, offrono garanzie di migliore approssimazione e impliano una maggiore failità di alolo per la determinazione dei momenti statii. 6 L errore he si ommette nel valutare in questo modo la posizione del entro di taglio può essere anhe notevole, derivando dal margine di impreisione he si aetta adottando i risultati della teoria approssimata anzihé quelli esatti. A seonda delle direzioni Ugo A. Andreaus - SCIENZA DELLE COSTRUZIONI Progetto Leonardo - Editrie Esulapio - Bologna

29 V. Flessione non uniforme Si seglie un asse neutro n I nel modo più onveniente per la suessiva determinazione del ampo del vettore dello sforzo tangenziale t I e, indiando on f I la normale a n I passante per il entro d area della sezione retta, si suppone (per semplifiare i aloli) he la proiezione ortogonale f I di I su f I sia pari a, Fig. 57a. Poihé il sistema ostituito dalla sola forza I e il sistema ostituito dal ampo t I, Fig. 57b, sono equivalenti, si può determinare la retta d azione r I di I, la quale passa per, ome la retta d azione della forza risultante di t I, Fig. 57. r I d I p I f I A f I n I t I I a) b) ) Fig. 57 Primo asse neutro opportuno. A questo punto, si deve eseguire una seonda volta il proedimento po anzi aennato, segliendo un seondo asse neutro n II n I, appliando una seonda forza trasversale II, avente anh essa proiezione ortogonale f II di intensità unitaria su f II, Fig. 58a, e determinando, ome nel aso preedente, la retta d azione r II, Fig. 58, della forza risultante di t II, Fig. 58b. Il posto d intersezione tra r I e r II è, Fig. 58. A f II f II n II t II r I r II II d II p II a) b) ) preselte per l asse neutro, la posizione del entro di taglio è inoltre diversa perhé diversa è l approssimazione he si onsegue per il tramite dell Eq. ().

30 Il ilindro di Saint-Venant Fig. 58 Seondo asse neutro opportuno. Operativamente, selto un polo p α (α=i,ii) nel modo più onveniente per il suessivo alolo del momento interno risultante di t α, Figg. 57 e 58, si valuta quest ultimo ome: M { m d }, α α α α ( p ) [( p p ) S ( ) m], = ρ e Γ quindi si alola la distanza della retta d azione della risultante α dal polo ome: M α α (, p ). () α d = () α Ovviamente, data l equivalenza tra la forza trasversale α, la ui retta d azione passa per, e il ampo t α, la retta d azione della forza trasversale α sarà olloata rispetto al polo p α in modo tale he il suo momento rispetto ad esso sia onorde on M α, Figg. 57 e 58. Appendie 5: SEZIONI SIMMETRICHE BICONNESSE SOTTILI Nelle Figg. 6a 6a sono rappresentati tre tipi aratteristii di sezione soggetti alla omponente trasversale > della forza di ontatto, onorde on l asse x ; l andamento della omponente tangenziale Sm dello sforzo t lungo la linea media (tratteggiata) è illustrato nelle Figg. 6b 6b. Come nelle trattazioni preedenti, questa omponente può essere assunta uniformemente ripartita lungo la orda, la ui lunghezza è ; lo sforzo tangenziale t = Smm è d altra parte diretto ome la tangente m alla linea media nel posto di intersezione on la orda. La simmetria della sezione rispetto Ugo A. Andreaus - SCIENZA DELLE COSTRUZIONI Progetto Leonardo - Editrie Esulapio - Bologna

31 V. Flessione non uniforme 5 all asse x si tradue nella simmetria della distribuzione della forza di sorrimento x speifia (ioè per unità di lunghezza di linea media) q = Sm. Ne segue he nei posti sull asse x il flusso q deve annullarsi per poter verifiare ontemporaneamente le ondizioni di equilibrio e simmetria. Per fissare le idee si faia riferi- q q mento all esempio mostrato in Fig. 6a e si esamini la situazione nella flangia superiore; in partiolare si onsideri l intorno infinitesimo del posto di intersezione tra asse di simmetria e linea media, dx x Fig. 59, dove on la linea tratto-punto si è evidenziato il piano x -x di simmetria; il sistema di forze di sorrimento speifihe Fig. 59 (di intensità q) soddisfa dovunque il requi sito della simmetria ma non quello dell equilibrio nella direzione x. Solo la ondizione q= è in grado di ottemperare entrambe le rihieste. Con riferimento alla generia oppia di orde, nel rispetto della simmetria si ha, Figg. 6a 6a: S S q =, Sm =, I I ove S è il momento statio rispetto all asse x della parte di sezione isolata dalla oppia di orde. Nella sezione rettangolare ava, Fig 6b ( < ), si ha, Fig. 6b: h Sm = ρ I nella flangia, b h h ρ S m = + ρ I nell anima. Si noti he, avendo assunto <, il valore dello sforzo aumenta in proporzione al rapporto / nel passaggio dalla flangia (ρ =b/) all anima (ρ =). Il momento d inerzia dell intera sezione rispetto all asse neutro x della flessione è I = [ bh /+ h /], a meno di termini di ordine superiore al primo nello spessore. I valori signifiativi della omponente tangenziale dello sforzo sono:

32 Il ilindro di Saint-Venant Ugo A. Andreaus - SCIENZA DELLE COSTRUZIONI Progetto Leonardo - Editrie Esulapio - Bologna 6 = = = = m m bh I h b I b S S Min ρ nella flangia; ( ) = = = = = m m b S bh I h b I S ρ ρ nell anima, all intersezione on la flangia; + = + = = = 8 m m h bh I h h h b I h S S Max ρ nell anima, all intersezione della linea media on l asse neutro della flessione x. ρ ρ x x h/ b/ a) Geometria, b) Sforzo tangenziale; Fig. 6 Sezione rettangolare ava. Nella sezione triangolare ava, Fig. 6a ( < ), si ha, Fig. 6b:

33 V. Flessione non uniforme 7 y S = I m = I a ( ρ ya ) ρ nella flangia, b ρ b Sm = ya ρ ya CosArTan I h nell anima. Anhe in questo aso si può osservare he lo sforzo tangenziale attinge il valore massimo nell anima, all intersezione della linea media on l asse neutro della flessione x. Per determinare la posizione del entro d area A si può alolare l area della sezione ome A=( b+h/cosα) on α=artan[b/(h)] e assumere ome asse di riferimento x la linea media della flangia; rispetto ad esso il momento statio della sezione è S x = (h/cosα)(h/); pertanto risulta y a =S x /A=[( / )(b/h)cosα+]/h. Il momento d inerzia dell intera sezione rispetto all asse neutro x della flessione è, a meno di termini di ordine superiore al primo nello spessore, I =(/)[ (h/cosα)]h -Ay a. h x x ρ y a ρ b/ a) Geometria, b) Sforzo tangenziale; Fig. 6 Sezione triangolare ava. Infine, nella sezione irolare ava, Fig. 6a (=ost ϕ ), si ha, Fig. 6b:

34 8 Il ilindro di Saint-Venant ϕ ( )( Sm = xda RCosϕ Rdϕ ) R Senϕ, I = = D I I dove I = πr,.., e quindi: MinS m = S m πr ( ϕ = π ) =. Il fattore di taglio, Eq. A., è allora dato da: A ϕ S ϕ A κ = = Rdϕ I I ( ) ϕ ( R Sen ) Rd = ; La rigidezza trasversale della sezione in direzione x può quindi essere alolata ome C=GA/=GπR, Eq. (.9). ϕ ϕ ϕ ϕ x x a) Geometria, b) Sforzo tangenziale; Fig. 6 Sezione irolare ava. Ugo A. Andreaus - SCIENZA DELLE COSTRUZIONI Progetto Leonardo - Editrie Esulapio - Bologna