Esercizio 1 Scrivere le equazioni di Eulero-Lagrange per il sistema bidimensionale di Lagrangiana. = q 2 2q 2. L = q 1 d L. = q 2. = q 1 2q 1.

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1 1 4 o tutorato - FM210/MA - 17/4/2017 Eserizio 1 Srivere le equazioni di Eulero-Lagrange per il sistema bidimensionale di Lagrangiana L(q, q) = q 2 q 1 q 1 q 2 2q 1 q 2 e trovarne espliitamente la soluzione. Le equazioni di Eulero-Lagrange sono della forma: d = dt q i q i q 1 = q 2 2q 2 = q 2 d = q 2 q 1 dt q 1 q 2 = q 1 2q 1 = q 1 d = q 1 q 2 dt q 2 q 2 = q 2 2q 2 q 1 = q 1 2q 1 Le ui soluzioni sono: q 2 (t) = q 2 (0)e t q 1 (t) = q 1 (0)e t Eserizio 2 Si onsideri un pendolo ostituito da una molla di lunghezza di riposo l sospesa a un punto di sospensione O, al ui estremo libero è appesa una massa m (vedi Fig.1). Si sriva la Lagrangiana del sistema usando le oordinate x e θ, dove l + x è la lunghezza della molla e θ l angolo formato on la vertiale verso il basso, ome in figura. Si determinino le equazioni di Eulero-Lagrange orrispondenti. Figure 1

2 2 Consideriamo il seguente sistema di riferimento: x 2 Riordiamo he la Lagrangiana è definita ome: L = T U dove T è l energia inetia e U è il potenziale. Cominiamo on risriveri le oordinate,m e x 2,m del punto di massa m in termini delle oordinate x e θ:,m = (l + x) sin θ x 2,m = (l + x) os θ ẋ 1,m = ẋ sin θ + (l + x) θ os θ ẋ 2,m = ẋ os θ (l + x) θ sin θ T = 1 2 m(ẋ2 1,m+ẋ 2 2,m) = 1 2 m[(ẋ sin θ+(l+x) θ os θ) 2 +(ẋ os θ (l+x) θ sin θ) 2 ] = 1 2 m[ẋ2 +(l+x) 2 θ] Notiamo he il orpo di massa m è soggetto sia alla forza peso he alla forza elastia: U = U el + U grav = 1 2 kx2 mg(l + x) os θ Pertanto la Lagrangiana sarà: L = T U = 1 2 m[ẋ2 + (l + x) 2 θ2 ] 1 2 kx2 + mg(l + x) os θ Da ui: x = m(l + x) θ 2 kx + mg os θ ẋ = mẋ d dt ẋ = mẍ θ = mg(l + x) sin θ θ = m(l + d x)2 θ dt θ = 2m(l + x)ẋ θ + m(l + x) 2 θ mẍ = m(l + x) θ 2 kx + mg os θ 2(l + x)ẋ θ + (l + x) 2 θ = g(l + x) sin θ

3 3 Eserizio 3 Lagrangiana Srivere le equazioni di Eulero-Lagrange per il sistema tridimensionale di L(x, ẋ) = m 2 ẋ2 ev (x) + eẋ A(x), dove V (x) e A(x) sono funzioni assegnate di x R 3 (V è una funzione salare, a valori in R, mentre A è una funzione vettoriale, a valori in R 3 ). Si rionosa he le equazioni del moto oinidono on le equazioni del moto di una partiella di aria e in un ampo elettrio E = V e ampo magnetio B = A. Notiamo he L(x, ẋ) = L(x, y, z, ẋ, ẏ, ż) = m 2 (ẋ2 + ẏ 2 + ż 2 ) ev (x, y, z) + e(ẋa 1 (x, y, z) + ẏa 2 (x, y, z) + ża 3 (x, y, z)) x = e V x + e(ẋ A 1 x + ż A 3 x ) ẋ = mẋ + ea 1(x, y, z) d dt ẋ = mẍ + e(ẋ A 1 x + ẏ A 1 y + ż A 1 y = e V y + e(ẋ A 1 y + ẏ A 2 y ) ẏ = mẏ + ea 2(x, y, z) d dt ẏ = mÿ + e(ẋ A 2 y + ż A 2 z = e V z + e(ẋ A 1 z + ẏ A 2 z + ż A 3 ż = mż + ea 3(x, y, z) d dt ż = m z + e(ẋ A 3 x + ẏ A 3 mẍ + e(ẋ A 1 x + ẏ A 1 y + ż A 1 = e V x + e(ẋ A 1 x + ż A 3 x ) mÿ + e(ẋ A 2 y + ż A 2 = e V y + e(ẋ A 1 y + ẏ A 2 y ) m z + e(ẋ A 3 x + ẏ A 3 z = e V z + e(ẋ A 1 z + ẏ A 2 z + ż A 3 mẍ = e V x + e[ ẏ ( A 2 x A 1 ) ( A 3 + ż y x A 1 )] z mÿ = e V y + e[ ẋ ( A 1 y A 2 ) ( A 3 + ż x y A 2 )] z m z = e V z + e[ ẋ ( A 1 z A 3 ) ( A 2 + ẏ x z A 3 )] y Che sono le equazioni del moto di una partiella di aria e in un ampo elettrio E = V e ampo magnetio B = A.

4 4 Eserizio 4 Stabilire he forma assumono le equazioni di Newton mẍ = U(x), on x R 3, in oordinate sferihe. A tale sopo, usare la trasformazione di oordinate r sin θ os φ x = r sin θ sin φ f(r, θ, φ), r os θ e determinare la Lagrangiana L(r, θ, φ, ṙ, θ, φ) orrispondente alla Lagrangiana meania L(x, ẋ) = m 2 ẋ2 U(x) nelle nuove oordinate. Srivere le equazioni di Eulero-Lagrange per la Lagrangiana L(r, θ, φ, ṙ, θ, φ). Si rionosa he, se il potenziale V (r, θ, φ) = U(f(r, θ, φ)) dipende dalle sole variabili r e θ, allora il sistema ammette una grandezza onservata, e si determini tale grandezza. Analogamente, se V (r, θ, φ) dipende dalla sola variabile r, allora il sistema ammette due grandezze onservate; si determinino tali grandezze. ṙ sin θ os φ + r os θ os φ θ r sin θ sin φ φ ẋ = ṙ sin θ sin φ + r os θ sin φ θ + r sin θ os φ φ ṙ os θ r sin θ θ Pertanto la Lagrangiana diventa: ẋ 2 = ṙ 2 + r 2 θ2 + r 2 sin 2 θ φ 2 L(r, θ, φ, ṙ, θ, φ) = m 2 (ṙ2 + r 2 θ2 + r 2 sin 2 θ φ 2 ) V (r, θ, φ) L r = mr( θ 2 + sin 2 θ φ 2 ) V r L ṙ = mṙ d L dt ṙ = m r L θ = mr2 sin θ os θ φ 2 V θ L θ = d mr2 θ dt L φ = V φ L = m θ θ L φ = mr2 sin 2 θ φ d L dt φ = m(2rṙ sin2 θ φ + 2r 2 os θ sin θ θ φ + r 2 sin 2 θ φ) m r = mr( θ 2 + sin 2 θ φ 2 ) V r m θ = mr 2 sin θ os θ φ 2 V θ m(2rṙ sin 2 θ φ + 2r 2 os θ sin θ θ φ + r 2 sin 2 θ φ) = V φ

5 Eserizio 5 (Legge di Snell) ( ) x Un raggio di lue si propaga in una regione bidimensionale di oordinate x = R y 2 on veloità dipendente dal punto: v(x) = /n(x), dove n(x) 1 è hiamato indie di rifrazione loale, e stiamo supponendo he tale indie sia una funzione della sola oordinata orizzontale x. ( ) x1 Seondo il prinipio di Fermat, il raggio di lue si propaga dal punto al punto y ( ) 1 x2, on < x 2, in modo tale da minimizzare il tempo T di perorrenza tra i due punti. y 2 Si verifihi he, se y = f(x) è l equazione artesiana della traiettoria seguita dal raggio di lue, allora x2 T = T [f] = 1 + f (x) 2 n(x) dx. Si sriva l equazione di Eulero-Lagrange orrispondente alla ondizione di minimo tempo di perorrenza. Si rionosa he tale equazione implia he la seguente ombinazione è onservata: n(x) sin θ(x) = ost., dove θ(x) è l angolo formato dalla tangente alla urva y = f(x) nel punto (x, f(x)) on l asse orizzontale. Sia T il tempo in ui il raggio va dal punto T = x2 dt = x2 dt(x) ( x1 y 1 ) al punto ( x2 y 2 ). Abbiamo dove dt(x) è il tempo impiegato dal raggio di lue per perorrere un tratto di urva infinitesimo, orrispondente a una variazione delle asisse uguale a dx, a partire dal punto (x, f(x)). Nell istante in ui la partiella si trova in (x, f(x)), si ha he v(x) = n(x) = dl dx, dove dl è il valore assoluto dello spostamento infinitesimo del raggio di lue lungo la urva, i.e, dl = dx (1, f (x)) e quindi: v(x) = n(x) = dx 1 + f dt (x) 2 Da questa relazione si trova he dt(x) = dx 1 + f (x) 2 n(x). Sostituendo nella formula per T troviamo: x2 T = T [f] = 1 + f (x) 2 n(x) dx. La Lagrangiana è: 5 L(f(x), f (x), x) = 1 + f (x) 2 n(x) = L(f (x), x) f(x) = 0

6 6 f (x) = n(x) 1 + f f (x) (x) 2 f (x)=tan θ(x) = L equazione di Eulero-Lagrange è: n(x) sin θ(x) d n(x) sin θ(x) = 0 n(x) sin θ(x) = ost. dx Eserizio 6 Determinare la forma he assume una orda pesante di lunghezza l, i ui estremi sono fissati nei punti A e B del piano vertiale x y (tale forma definise una urva hiamata atenaria). A tale sopo, si determini la urva passante in A e B he minimizza l energia potenziale gravitazionale, tra tutte quelle a lunghezza fissata l. Si proeda ome segue: Si mostri he il problema orrisponde a minimizzare il funzionale A L 0,b 1 (q) = b1 0 L(q(x), q(x))dx, L(q(x), q(x)) := (λ gρq) 1 + q 2 nello spazio delle urve M 0,b1 (0, b 2 ). Qui g = (0, g) è l aelerazione di gravità, ρ la densità lineare della orda, e λ una ostante (moltipliatore di Lagrange) he va fissata in modo tale he la lunghezza totale della urva b q 2 (x)dx sia uguale ad l. [Suggerimento: si osservi he l energia potenziale gravitazionale di un elemento dl di urva attorno a (x, q(x)) è ρg 1 + q 2 (x).] Si sriva l equazione di Eulero-Lagrange per la urva ottimale. Mostrare he tale equazione è risolta da un oseno iperbolio di ampiezza opportuna. Si veda la soluzione al link: pdf