FM210 / MA - Seconda prova pre-esonero ( )

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1 FM10 / MA - Seconda prova pre-esonero ) 1. Un sistema meccanico è costituito da due sbarre uguali AB e BC, rettilinee, omogenee, di massa M elunghezza`, incernieratetraloro in B. Le due sbarre sono vincolate a muoversi in un piano verticale, mantenendo i loro estremi A e C sull asse orizzontale x. Oltreallaforza peso, sul sistema agiscono due forze elastiche di costante elastica k: la prima, di centro O =0, 0), agisce su A, mentrelaseconda,dicentro Q =`, 0), agisce su C. SiusinocomecoordinateLagrangianel angolo che la sbarra AB forma con la verticale discendente, misurato in senso antiorario, e l ascissa x del punto B. Sisupponganotuttiivincolicome ideali. Figura 1: Il sistema di due aste vincolato descritto nel testo. a) Scrivere la Lagrangiana del sistema e le equazioni di Eulero-Lagrange. b) Determinare i punti di equilibrio e studiarne la stabilità. c) Si integri il moto per quadrature più precisamente, si calcoli esplicitamente il moto di x esiriducaallaquadraturequellodi ) ese ne discuta la natura qualitativa. SOLUZIONE. a) Per scrivere la Lagrangiana del sistema occorre calcolare l energia cinetica e potenziale del sistema nelle coordinate Lagrangiane x, assegnate.

2 Energia cinetica. L energia cinetica totale è la somma delle energie cinetiche delle due aste, ognuna delle quali, usando il teorema di König, è la somma dell energia cinetica traslazionale associata al moto del centro di massa e dell energia cinetica di rotazione attorno al centro di massa. Il centro di massa dell asta AB è x G1 =x ` sin, ` cos ), cosicché ẋ G 1 =ẋ ` cos, ` sin ). Quindi l energia cinetica dell asta AB è T AB = M ẋ ` cos ) + 1 4` sin + 1 I G 1, dove l ultimo termine rappresenta l energia cinetica di rotazione attorno al centro di massa, con I G1 = 1 1 M`. Analogamente, T BC = M ` ẋ + cos ) + 1 4` sin + 1 M` 1. Sommando le due espressioni troviamo l energia cinetica totale: T = T AB + T BC = Mẋ + M` 3. Energia potenziale. L energia potenziale è la somma delle energia potenziali gravitazionali delle due aste più l energia potenziale elastica delle due molle: U = Mg`cos + 1 k x ` sin ) +` x ` sin ) = Mg`cos + k x `x + ` sin ` sin +`. La Lagrangiana del sistema è uguale all energia cinetica meno l energia potenziale. Quindi, eliminando una costante additiva, che non cambia le equazioni del moto, Lx,, ẋ, ) = = Mẋ + M` 3 kx `x)+mg`cos + k` sin +sin ), cosicché le equazioni di Eulero-Lagrange sono: Mẍ = kx `), M` = Mg`sin +k` sin cos +cos ). 3

3 b) I punti di equilibrio del sistema si ottengono ponendo i due membri di destra delle equazioni di Eulero-Lagrange uguali a zero: x eq = `, mentre eq è u n a s o l u z i o n e d e l l e q u a z i o n e Mgsin =k` cos 1 sin ). Si noti che in corrispondenza delle soluzioni di questa equazione, cos 6= 0infattisivedeimmediatamentechecos =0non è s o l u - zione), quindi posso dividere per cos eriscriverel equazioneequivalentemente nella forma: tan =1 sin, con = Mg/k`). Per stabilire quante soluzioni ammette tale equazione, possiamo procedere con un metodo grafico: disegnamo il grafico di tan edi1 sin econtiamoleintersezioni.sivedeimmediatamente che l equazione ammette due soluzioni, 1 0, )e, 3 ). Per determinare la stabilità dei punti di equilibrio, calcoliamo la matrice delle derivate seconde di ) x=`, = i = k 0 0 k` cos i +cos i sin i +sin i ) dove i {1, } e = Mg/k`). Per definizione, tan i =1 sin i ;quindi,nell elementoinbassoadestradellamatricedellederivate seconde possiamo rimpiazzare con 1 sin i )cos i / sin i, cosicché tale elemento è uguale a h 1 sin i ) i k` cos i +cos i sin i +sin i = sin i = k` 1 sin 3 i ), sin i che ha lo stesso segno di sin i :quindi,ricordandoche 1 0, /) e, 3 /), abbiamo che l elemento in basso a sinistra della matrice delle derivate seconde è positivo in 1 e negativo in. In conclusione, il punto di equilibrio x, ) =`, 1 )èstabile,in quanto corrisponde a un minimo non degenere dell energia potenziale, mentre `, )èinstabile,inquantocorrispondeaunpunto sella. c) L equazione del moto per la variabile x è q u e l l a d i u n o s c i l l a t o r e armonico: ẍ = k x `), che è risolta da M xt) =` +x 0 `)cos!t)+ v 0! sin!t), 3,

4 con! = q k, M x0 = x0) e v0 = x 0). L equazione del moto per la variabile e = u ) = 3 M g` cos + k` sin M ` u0 ), con sin )), che e quella di un sistema unidimensionale di massa unitaria e energia potenziale u ). La funzione u ) e periodica di periodo e, per quanto discusso sopra, ha un minimo in 1 e un massimo in : il suo grafico qualitativo e mostrato in Figura. Figura : Il grafico di u ). coincidono Le traiettorie del moto nel piano delle fasi ridotto, ) 0 con le curve di livello E = + u ), al variare di E 0, e sono mostrate in Figura 3. Come evidente, le curve di livello hanno qualitativamente la stessa forma di quelle del pendolo matematico, con la di erenza che i punti di equilibrio stabile e instabile sono in 1,, piuttosto che in 0,. In particolare, al variare di E 0 si ottengono: 1) moti periodici che consistono in oscillazioni attorno al punto di equilibrio stabile, ) moti periodici che consistono in oscillazioni aperte che si svolgono sempre in senso orario o sempre in senso antiorario, 3) moti aperiodici sulla separatrice, che convergono nel passato e nel futuro al punto di equilibrio instabile, impiegando un tempo infinito per raggiungerlo. 4

5 Figura 3: Grafico delle curve di livello E 0 = + u ), al variare di E 0. La soluzione per quadrature si ottiene invertendo t=± Z t) 0) p d E 0 u )), con l usuale convenzione per la scelta del segno il segno positivo si riferixsce a porzioni di traiettoria sul semipiano delle fasi postivo, e viceversa). 5

6 Tutorato 8 - MA/FM10 - /05/018 Esercizio 1. Per q>0 si consideri la lagrangiana Lq, q) = q q log q 1. Determinare l Hamiltoniana.. Determinare le equazioni di Hamilton. 3. Determinare la trasformazione canonica generata dalla funzione generatrice di seconda specie F q, P) =P log q. 4. Usare la trasformazione canonica trovata al punto precedente per integrare le equazioni del moto con dati iniziali q0) = 1, p0) = 0. SOLUZIONE. 1. Abbiamo q = q q da cui otteniamo q = pq equindi. Le equazioni di Hamilton sono: = pq = p 1 q q 3. La trasformazione canonica generata da F è data da = P q = log q da cui otteniamo la trasformazione 4. La nuova Hamiltoniana è data da HP, Q) = P Hp, q) = p q + log q 1) P p, q) =pq Qp, q) = log q ) + Q e le nuove equazioni del moto sono: da cui otteniamo Q = P P = 1 P t) =P 0) t, Qt) =Q0) + P 0)t t, con dati iniziali Q0) = log 1 = 0, P0) = 0 da cui otteniamo qt) =e t, pt) = te t 3) 1

7 Esercizio. Si consideri l Hamiltoniana H = p e q 1. Determinare le equazioni del moto.. Determinare la Lagrangiana associata. 3. Determinare la trasformazione canonica generata dalla funzione generatrice di prima specie F q, Q) =Q e q e determinare la nuova Hamiltoniana. 4. Usare la trasformazione canonica trovata al punto precedente per risolvere le equazioni con dati iniziali q0) = 0, p0) = 1. SOLUZIONE. 1. Le equazioni di Hamilton sono: q @q = pe q = p e q. Dalla prima equazione di Hamilton, abbiamo che p = qe q La Lagrangiana associata all Hamiltoniana assegnata è h i Lq, q) = max {p q Hq, p)} = p q Hq, p) = 1 p p= qe q q e q 3. La trasformazione canonica generata da F è = Q e q = Qeq che si può invertire in Q = p pe q/ P = p pe q/, q = log P Q ) p = 1 QP 4) Si noti che la trasformazione così determinata mappa in modo invertibile q, p) R 0, +1) inq, P ) 0, +1) 1, 0). L Hamiltoniana nelle nuove coordinate è HQ, P )= 1 Q4 4. Le equazioni di Hamilton nelle nuove coordinate sono semplicemente Q H la cui soluzione è P = Q3 Qt) =Q0), Pt) =P 0) Q0) 3 t. I dati iniziali q0) = 0, p0) = 1 corrispondono, nelle nuove variabili, a Q0) = 1, P 0) =, come si vede usando la prima delle 4). La soluzione desiderata nelle nuove variabili è, quindi, Qt) =1, Pt) = t + 1). Usando la seconda delle 4) otteniamo la soluzione desiderata nelle coordinate originali: che è definita per t> 1. qt) = logt + 1), pt) =t +1,

8 . Si considerino le equazioni del moto q = q p per q>0ep R. ṗ = p q 1/q, a) Si riconosca che tale sistema di equazioni è Hamiltoniano e si determini l Hamiltoniana corrispondente. b) Si calcoli la trasformazione canonica associata alla funzione generatrice di seconda specie Gq, P) =P log q c) Si determini l Hamiltoniana nelle nuove variabili Q, P. Si calcolino e risolvano le corrispondenti equazioni di Hamilton. d) Si usi la trasformazione determinata sopra, nonché la soluzione delle equazioni del moto nelle variabili Q, P ), per risolvere le equazioni del moto originali per le variabili q, p), in corrispondenza dei dati iniziali q0) = p0) = 1. Si verifichi esplicitamente che la soluzione trovata risolve le equazioni del moto originali. SOLUZIONE. a) Il sistema assegnato è Hamiltoniano se e solo se esiste Hq, p) tale p Hq, p) =q p q Hq, p) =p q +1/q. Integrando le due equazioni troviamo Hq, p) = q p +logq. b) La trasformazione canonica associata alla funzione generatrice di seconda specie Gq, P) =P log q è t a l e c h e = P q, che si può invertire in: Q =logq, P = qp,, =logq, q = e Q, p = Pe Q, che è proprio la trasformazione canonica richiesta. 6

9 c) L Hamiltoniana nelle nuove variabili è HQ, P )= P le cui equazioni di Hamilton sono: Q = P, P = 1. + Q, d) La soluzione alle equazioni di Hamilton nelle variabili Q, P ) è P t) =P 0) t, Qt) =Q0) + P 0)t t. I dati iniziali nelle variabili Q, P )corrispondenti a q0) = p0) = 1sono: Q0) = log 1 = 0 e P 0) = 1. La soluzione Qt),Pt)) con tale dato iniziale è quindi Qt) =t t, Pt) =1 t. La soluzione nelle variabili originali è qt) =e Qt) = e t t /, pt) =1 t)e t+t /. Per verificare che tale legge oraria soddisfa le equazioni di Hamilton originali, calcoliamo le derivate: qt) =1 t)e t t /? = q t)pt), pt) = e t+t / 1 t) e t+t /? = qt)p t) 1 qt). Usando che qt) = e t t / e pt) = 1 t)e t+t / si verifica immediatamente che tali relazioni sono verificate, come desiderato. 7

10 Esercizio 3. Si consideri la Lagrangiana Lq, q) =q q 1. Per quali valori di q la Lagrangiana L è regolare?. Determinare l Hamiltoniana associata e le corrispondenti equazioni di Hamilton. 3. Si dimostri che la trasformazione di coordinate Q = p P = 4q è canonica, mostrando che è la trasformazione associata alla funzione generatrice di seconda specie F q, P) = 4 q 3 9 P. Su quale dominio è definita la trasformazione?. Determinare l Hamiltoniana nelle nuove coordinate. 4. Usare la trasformazione canonica del punto precedente per risolvere le equazioni del moto con dato iniziale q0) = 1, q0) = /3. 4q 3p SOLUZIONE. Si veda la soluzione all esercizio 3 del tutorato 11 del corso di Meccanica Analitica, A.A.014/15, disponibile al link: 11.pdf Esercizio Data l Hamiltoniana H = p m + Uq) con q, p) R 6,siverifichiche,seUq) è invariante rispetto a rotazioni attorno all asse ê 3 i.e., Uq) =V p q 1 + q,q 3), per un opportuna funzione V ), allora la parentesi di