Corsi di laurea in Matematica e Fisica - Anno Accademico 2017/18 FM210 / MA. Terzo Scritto [ ]

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1 Corsi di aurea in Matematica e Fisica - Anno Accademico 2017/18 FM210 / MA Terzo Scritto [ ] 1. Un sistema meccanico è costituito da una sbarra rettiinea omogenea pesante di massa M e unghezza vincoata a muoversi su un piano verticae in modo tae che estremo A appartenga a una guida paraboica di equazione y = x2. Otre aa forza gravitazionae i sistema è soggetto a una forza eastica che agisce su B dea forma F = k B B dove B è i punto de asse verticae passante per O con a stessa ordinata di B i.e. è a proiezione ortogonae di B su asse verticae passante per O. Figura 1: I sistema di due aste vincoato descritto ne testo. Tutti i vincoi sono supposti ideai. Si usino come coordinate Lagrangiane ascissa x de punto A e angoo θ mostrato in figura. a Scrivere a Lagrangiana de sistema e e equazioni di Euero-Lagrange. b Riconoscere che i punti x θ = π sono punti di equiibrio e studiarne a stabiità a variare di k. c Determinare gi eventuai atri punti di equiibrio a variare di k e facotativo studiarne a stabiità. d Si scega un punto di equiibrio stabie e si ricavino e equazioni de moto inearizzate attorno a tae punto di equiibrio equazione dee piccoe osciazioni. Si determinino e frequenze proprie dee piccoe osciazioni. SOLUZIONE. a Per scrivere a Lagrangiana de sistema occorre cacoare energia cinetica e potenziae de sistema nea coordinata Lagrangiane θ assegnata.

2 Energia cinetica. Grazie a teorema di König energia cinetica de asta è uguae aa somma de energia cinetica trasazionae associata a moto de centro di massa e de energia cinetica di rotazione attorno a centro di massa. I punto A ha coordinate x A = x x2 i punto B ha coordinate x B = x + sin θ x2 centro di massa G ha coordinate x G = x + 2 mentre cos θ cosicché i x2 sin θ 2 cos θ. La veocità de centro di massa è quindi ẋ G = ẋ1 x + θcos 2 θ sin θ. Quindi energia cinetica de asta è T = M 2 ẋ G I G θ 2 = = M 2 [ẋ x θ 2 + ẋ θcos θ + x ] sin θ + 1 M θ 2 = M 2 ẋ2 1 + x2 2 + M 2 6 θ 2 + M 2 ẋ θcos θ + x sin θ dove i termine 1 2 I θ G 2 rappresenta energia cinetica di rotazione attorno a centro di massa e abbiamo usato che I G = 1 12 M2. Energia potenziae. L energia potenziae è a somma de energia potenziae gravitazionae de asta più energia potenziae eastica dea moa: U = x 2 2 cos θ kx + sin θ2 1 = 1 k + x 2 + kx sin θ cos θ k2 sin 2 θ dove abbiamo usato che: a coordinata verticae di x G è x2 a coordinata orizzontae di x B è x + sin θ. 2 cos θ; La Lagrangiana de sistema è uguae a energia cinetica meno energia potenziae. Quindi Lx θ ẋ θ = M 2 ẋ2 1 + x2 2 + M 2 6 θ 2 + M 2 ẋ θcos θ + x sin θ 1 k + x 2 kx sin θ + cos θ k2 sin 2 θ cosicché e equazioni di Euero-Lagrange sono: d [Mẋ 1 + x2 M + dt 2 2 θcos θ + x ] sin θ = = Mẋ 2 x 2 + M 2 ẋ θ sin θ k + x k sin θ. d [M 2 dt 3 θ + M 2 ẋcos θ + x ] sin θ = = M 2 ẋ θ sin θ + x cos θ kx cos θ 2 sin θ k 2 sin θ cos θ.

3 Cacoando espicitamente e derivate a membro di sinistra e dividendo per a seconda equazione troviamo: Mẍ 1 + x2 2 + M 2 θcos θ + x sin θ + M 2 θ 2 sin θ + x cos θ = x k sin θ. = Mẋ 2 x 2 k + M 3 θ + M 2 ẍcos θ + x sin θ + M ẋ2 sin θ = = kx cos θ 2 sin θ k sin θ cos θ. b I sistema di equazioni per i punti di equiibrio è { k + x + k sin θ = 0 kx cos θ + 2 sin θ + k sin θ cos θ = 0 2 che è evidentemente risoto da x θ = 0 0 e da x θ = 0 π i che dimostra che tai punti sono di equiibrio. Per studiare a stabiità di tai punti andiamo a considerare a matrice Hessiana de potenziae U = Ux θ in eq.1 cacoata nei punti 0 0 e 0 π. Si ha e potenze di inverse negi eementi e 22 dea matrice sono sceti in modo tae che tutti gi eementi dea matrice abbiano e stesse dimensioni fisiche: Hx θ := 2 U 1 2 U x 2 x θ 1 2 U 1 2 U x θ 2 θ 2 = k + k cos θ Cacoando Hessiana in 0 0 troviamo k + H0 0 = k k x k + k k cos θ sin θ + cos θ + kcos2 θ sin 2. θ che è definita positiva: di conseguenza 0 0 è stabie per ogni sceta di k > 0. Se invece cacoiamo Hessiana in 0 π troviamo: k + H0 π = k k + k che è definita positiva se e soo se i suo determinante è positivo i.e. se 1 2 k + > Quindi se k > / i punto di equiibrio 0 π è stabie. Viceversa se k < / a matrice Hessiana ha un autovaore positivo e uno negativo e i punto di equiibrio è instabie. c Per identificare agtri punti di equiibrio otre 0 0 e 0 π studiamo i sistema 2 per sin θ 0. In ta caso rimpiazzando a souzione dea prima equazione nea seconda e dividendo per sin θ troviamo: k 1 k k + / cos θ + = 0 cos θ = k

4 che ammette due souzioni distinte se e soo se k < 1 i.e. k > /. In ta caso i due punti di equiibrio aggiuntivi otre 0 0 e 0 π sono x θ = ± 1 + β sin α π ± α dove β = 1+β k e α = arccos 2. d Studiamo e piccoe osciazioni attorno a 0 0. Le equazioni de moto inearizzate attorno a tae punto di equiibrio sono: Mẍ + M 2 θ = k + x kθ M 3 θ + M 2 ẍ = kx k + θ. In forma matriciae tae sistema di equazioni prende a forma: 1 1/2 1 + β 1 M v = k v 1/2 1/ β/2 dove v = x θ e di nuovo β = k. Le frequenze proprie dee piccoe osciazioni sono ω ± = λ ± dove λ ± sono e due souzioni de seguente poinomio caratteristico: [ 1 + β 1 1 1/2 ] det k λm = β/2 1/2 1/3 Risovendo tae equazione si trova: λ ± = ω0 [ β ± ] 4 + 2β + 19β 2 dove ω 0 = k/m.

5 2. Si consideri i sistema Hamitoniano di Hamitoniana Hq 1 q 2 p 1 p 2 = p p2 2 p 1 p q2 1 + q q 1 q 2. a Scrivere e equazioni di Hamiton. b Determinare a trasformazione canonica tae che Q 1 = q 1 + q 2 Q 2 = q 2 e cacoarne inversa identificando a funzione generatrice di seconda specie ad essa associata. c Usare a trasformazione canonica precedente per risovere e equazioni de moto per dati iniziai quasiasi. Verificare espicitamente che a souzione trovata risove e equazioni di Hamiton originai. SOLUZIONE. a Le equazioni di Hamiton prendono a forma: q 1 = H p 1 = 2p 1 p 2 q 2 = H p 2 = p 2 p 1 ṗ 1 = H q 1 = q 1 q 2 ṗ 2 = H q 2 = 2q 2 q 1. b Cerchiamo a funzione generatrice di seconda specie Sq 1 q 2 P 1 P 2 per a trasformazione canonica richiesta: si ha Q 1 = S P 1 Q 2 = S P 2 p 1 = S q 1 Imponendo che Q 1 = q 1 + q 2 e Q 2 = q 2 troviamo S P 1 = q 1 + q 2 S P 2 = q 2. Quindi una possibie sceta per S è sempicemente: Sq 1 q 2 P 1 P 2 = P 1 q 1 + q 2 + P 2 q 2 che è associata aa trasformazione p 2 = S q 2. Q 1 = q 1 + q 2 Q 2 = q 2 p 1 = P 1 p 2 = P 1 + P 2. La trasformazione diretta è quindi Q 1 = q 1 + q 2 Q 2 = q 2 P 1 = p 1 P 2 = p 2 p 1 mentre inversa è q 1 = Q 1 Q 2 q 2 = Q 2 p 1 = P 1 p 2 = P 1 + P 2.

6 c Usando a trasformazione canonica inversa otteniamo Hamitoniana nee nuove variabii: HQ 1 Q 2 P 1 P 2 = HQ 1 Q 2 Q 2 P 1 P 1 + P 2. Svogendo espressione troviamo: HQ 1 Q 2 P 1 P 2 = 1 2 e cui equazioni de moto sono: Q Q P1 2 + P2 2 Q 1 = P 1 Q 2 = P 2 P 1 = Q 1 P 2 = Q 2. Tai equazioni atro non sono che e equazioni di due osciatori armonici disaccoppiati a cui souzione è Q 1 t = Q 1 0 cos t + P 1 0 sin t P 1 t = Q 1 0 sin t + P 1 0 cos t Q 2 t = Q 2 0 cos t + P 2 0 sin t P 2 t = Q 2 0 sin t + P 2 0 cos t. Usando a trasformazione canonica inversa possiamo quindi ottenere a souzione nee variabii originai: q 1 t = q 1 0 cos t + 2p 1 0 p 2 0 sin t p 1 t = q q 2 0 sin t + p 1 0 cos t q 2 t = q 2 0 cos t + p 2 0 p 1 0 sin t p 2 t = q q 2 0 sin t + p 2 0 cos t. La verifica che tai souzioni risovono e equazioni originai è eementare e viene asciata a ettore.