DINAMICA DI SISTEMI AEROSPAZIALI

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1 DINAMICA DI SISTEMI AEROSPAZIALI Tema d esame Esercizio 1. I sistema in figura, posto ne piano verticae, è costituito da un disco di raggio R, massa M e momento d inerzia baricentrico J che rotoa su una parete verticae. A centro de disco è incernierata un asta di unghezza e massa trascurabie. L estremo A de asta è vincoato a scorrere su una guida orizzontae. Un eemento visco-eastico di caratteristiche k, c coega i punto A a teaio. 1.a Determinare i precarico statico da appicare aa moa per far sì che a condizione θ = π/3 sia di equiibrio statico; 1.b determinare a massa M e a costante di smorzamento c che portano a frequenza caratteristica e i fattore di smorzamento ai vaori ω d e ξ d. M, R, J g θ A O k, c θ, θ h f s f d M d, R, J M g d Esercizio. I sistema in figura, posto ne piano verticae, è composto da un disco di raggio R, massa M d, e momento d inerzia baricentrico J, che rotoa senza strisciare su una guida orizzontae, e da una massa M costretta a strisciare su un piano orizzontae scabro. I due corpi sono vincoati tra oro da un asta di unghezza e massa trascurabie. Sono noti i coefficiente di attrito statico de contatto tra disco e terreno, f s, e i coefficiente di attrito dinamico de contatto tra massa e terreno, f d..a Determinare o spazio di arresto de sistema a partire daa condizione iniziae θ0 = Ω 0 ;.b verificare aderenza de disco. Esercizio 3. La figura rappresenta un motore eettrico in corrente continua a magneti permanenti. Sia i rotore R che o statore S possono ruotare attorno a proprio asse asse di rotazione è orizzontae ne disegno. Lo statore, ovvero invoucro esterno, ha inerzia pari a J s. Rispetto ad esso, supportato da due cuscinetti, è vincoato a ruotare abero de rotore, di inerzia J r. Resistenza e induttanza d armatura sono rispettivamente e L a ; a costante caratteristica de motore è K; i motore è aimentato da una tensione imposta e a. J r L a S R J s 3.a Scrivere agi stati e equazioni dea dinamica de sistema e impostarne o studio dea stabiità; 3.b residuaizzare staticamente a dinamica dea parte eettrica e scrivere e equazioni dea dinamica de sistema approssimato. J m ω m, C m M τ 1, η 1 τ, η T 1 T C u J v J p Esercizio 4. Ne sistema in figura un motore di inerzia J m e coppia motrice C m = A Bω m, con A, B > 0, aziona un eica attraverso due trasmissioni di rendimento η 1, η e rapporto di trasmissione τ 1, τ. Tra a prima e a seconda trasmissione è presente un voano di inerzia J v. A vae dea seconda trasmissione è posta un eica a due pae, entrambe aventi momento d inerzia rispetto a asse di rotazione pari a J p. I momento di resistenza aerodinamica risutante agente sue pae è C u = D ω u ω u, con D > 0. 4.a Determinare a veocità a regime de sistema, ne ipotesi di moto diretto; 4.b scrivere espressione dee reazioni scaricate su teaio daa trasmissione, in condizioni di spunto. N.B.: si definisca e si commenti opportunamente quasivogia dato ritenuto mancante.

2 Traccia di souzione Esercizio 1. Equiibrio statico I sistema, a meno deo smorzatore viscoso che non concorre aa determinazione de equiibrio statico è conservativo. L equazione di equiibrio statico è dunque dv dθ = 0 1 θ0 L energia potenziae de sistema, in coordinate fisiche, è V = Mgh + 1 k Che è possibie riscrivere secondo nea soa coordinata ibera θ attraverso i seguenti egami cinematici: h = sin θ = cos θ + R i 3a 3b La 1 diviene quindi Mg cos θ 0 k cos θ 0 + R i sin θ 0 = 0 4 ovvero, tenendo conto che si richiede θ 0 = π/3: Mg 3 k + R i = 0 5 che risota rispetto a i fornisce i = + R Mg 3k 6 Dimensionamento dea massa de disco e deo smorzamento viscoso L energia cinetica de sistema, in coordinate fisiche, è T = 1 Mḣ + 1 J ḣ R mentre a funzione dissipativa associata ao smorzatore viscoso, anch essa scritta in coordinate fisiche, è 7 D = 1 8 I egami hθ e θ sono già noti daa scrittura de energia potenziae, quindi ḣθ e θ sono immediatamente ricavabii derivando e 3: ḣ = cos θ θ = sin θ θ É ora possibie riscrivere energia cinetica e funzione di dissipazione T = 1 M + R cos θ θ = 1 J θ θ D = 1 c sin θ θ = 1 c θ θ 9a 9b 10a 10b

3 Le rispettive forme quadratiche si ottengono sempicemente vautando i momento d inerzia ridotto e i coefficiente di smorzamento ridotto nea posizione di equiibrio statico θ 0 = π/3: T = 1 J θ 0 θ = 1 M + J θ R 11a 4 D = 1 c θ 0 θ = 1 c 3 θ 11b 4 La forma quadratica de energia potenziae si ottiene espandendo a sua espressione in funzione di θ fino a secondo ordine: V = V θ dv 0 + dθ θ + 1 d V θ0 dθ θ 1 θ0 ovvero V = 1 Mg sin θ0 + k sin θ 0 k cos θ 0 i cos θ 0 θ = Mg + 3k 4 θ = 1 k θ 0 θ L equazione di moto ibero de sistema, inearizzata ne intorno dea configurazione di equiibrio, sarà aora J θ 0 θ + c θ 0 θ + k θ 0 θ = Le espressioni dea frequenza propria de sistema smorzato e de coefficiente di smorzamento sono c ξ d = J k ω d = 1 ξd k /J 15 Eevando a seconda a quadrato e mettendo in evidenza J si ottiene i vaore richiesto di M: J = 1 ξ d ωd k 1 M + JR = 1 ξ d 4 ωd k M = 1 ξ d ω d 4k 4J R 16a 16b 16c Daa prima, anch essa eevata a quadrato, si ottiene invece i vaore richiesto di c: c = 4k J ξd [ c 3 4 = k ξd 4k 1 ξ d ωd [ c = 4k ξ d 3 4k 1 ξ d ω d 3J ] R ] 3J R 17a 17b 17c Esercizio. Tempo di arresto Si considerino i seguenti sottosistemi: i soo disco, con asta rimossa e separato da piano orizzontae su cui rotoa;

4 a massa soa massa M, separata da piano orizzontae; Occorre mettere in evidenza, su entrambi i sottosistemi azione assiae B agente ne asta, diretta ungo asse de asta stessa e e reazioni, normai e tangenziai, che i corpi scambiano con i piani orizzontai. Si farà riferimento a quee scambiate fra i disco e i piano orizzontae con i simboi N d e T d, mentre N e T identificheranno e omooghe reazioni scambiate fra a massa e i piano orizzontae su cui striscia. In quest utimo caso, è presente anche un momento reattivo W che impedisce aa massa di ruotare. L angoo che asta forma con orizzontae è h + R d/ ϕ = arcsin 18 Da equiibrio di forze in direzione verticae de soo disco si ottiene M d g + B sin ϕ N d = 0 19 mentre da equiibrio in direzione orizzontae M d R θ B cos ϕ T d = 0 0 Infine, equiibrio di momenti intorno a centro de disco fornisce J θ + T d R = 0 1 Per quanto riguarda a massa, considerando equiibrio in direzione verticae si ottiene N Mg + B sin θ = 0 mentre in direzione orizzontae si ha f d N + MR θ + B cos ϕ = 0 3 avendo sfruttato a condizione di attrito dinamico che sussiste fra a massa e i piano: i moduo dea forza tangenziae è f d N, mentre a sua direzione è opposta a moto reativo massa-piano, ovvero verso sinistra ne disegno. Da equiibrio dei momenti intorno aa cerniera si ottiene infine W f d N d = 0 4 Daa si ottiene espressione di N in funzione di B e Mg: N = Mg B sin ϕ 5 che sostituita nea 3 porta a f d Mg B sin ϕ + MR θ + B cos ϕ = 0 6 risovendo rispetto a B si ottiene B = f dmg + MR θ f d sin ϕ cos ϕ 7 espressione che può essere sostituita nea 0 unitamente aa 1 per ottenere equazione di moto de sistema: M d R + M d R f d Mg + MR θ θ f d sin ϕ cos ϕ R cos ϕ + J θ = 0 MR cos ϕ cos ϕ f d sin ϕ + J θ + f dm g cos ϕ cos ϕ f d sin ϕ = 0 8a 8b

5 Definendo J = M d R MR cos ϕ + cos ϕ f d sin ϕ + J e C att = sintetico a 8b, che risota rispetto a θ porta a: f dm g cos ϕ, si può scrivere in modo moto più cos ϕ f d sin ϕ θ = C att J Da momento che angoo ϕ non cambia durante i moto e che i disco rotoa senza strisciare per ipotesi, acceerazione angoare θ risuta costante. I moto de sistema è quindi uniformemente deceerato e o spazio percorso s, considerando condizioni iniziai s0 = 0 e v0 = R θ0 = RΩ 0, è 9 st = Ω 0 Rt + 1 R θt 30 Vautando equazione precedente in t = t f, con t f pari a si ottiene t f = v f v 0 a = v 0 R θ st f = 1 v0 a = 1 v0 R θ = 1 RΩ 0 J C att 31 3 Verifica di aderenza I disco si trova in aderenza quando T d f s N d 33 Sfruttando quando scritto in precedenza nee 0, 1 e 7 si ottiene N d = M d g + B sin ϕ = M d g + f dmg + MR θ f d sin ϕ cos ϕ sin ϕ T d = J θ R La 33 diviene quindi J θ R f s M d g + f dmg + MR θ f d sin ϕ cos ϕ sin ϕ ovvero θ J R + f smr sin ϕ f s M d g + f dmg sin ϕ cos ϕ f d sin ϕ f d sin ϕ cos ϕ 34a 34b che infine porta a θ f s M d g + f dmg sin ϕ J f d sin ϕ cos ϕ R + f 1 smr sin ϕ 37 cos ϕ f d sin ϕ Esercizio 3. Scrittura dee equazioni dea dinamica de sistema Si prendano come gradi di ibertà reativi a sistema meccanico a veocità angoare de rotore ω r e a veocità angoare deo statore ω s. I motore eettrico genera una coppia interna che avora per a rotazione reativa.

6 La coppia motrice è appicata su rotore e suo statore con segno opposto. In modo anaogo a tensione indotta su motore eettrico sarà proporzionae aa veocità reativa: J r ω r = +C m, 38 J s ω s = C m, 39 di a L a dt + i a + Kω r ω s = e a, 40 con C m = Ki a. Le equazioni differenziai che descrivono i sistema eettromeccanico de primo ordine, ineari. Definendo come vettore degi stati x = {ω r, ω s, i a } T e come ingresso a tensione di aimentazione u = e a, a forma di stato sarà: con ẋ = Ax + Bu, 0 0 +K/J r A = 0 0 K/J s, 4 K/L a K/L a /L a 0 B = 0. 1/L a Lo studio dea stabiità si effettua cacoando gi autovaori dea matrice A. I poinomio caratteristico è de terzo ordine e può essere vautato mediante a regoa di Sarrus: det{λi A} = λ λ + R a + λ K + λ K, 45 L a L a J r L a J s = λ λ + λ L a + K J r + J s L a J r J s 41 44, 46 da cui si evince che i sistema è stabie ma non asintoticamente, data a presenza di una radice nua egata a moto rigido de sistema e due radici con parte reae negativa poinomio de secondo ordine con coefficienti positivi. Residuaizzazione statica dea parte eettrica di La residuaizzazione dea parte eettrica si ottiene considerando nuo i contributo L a a dt ne equazione de motore eettrico: i a = e a K ω r ω s 47 e sostituendo espressione ottenuta sue equazioni reative aa parte meccanica: ea J r ω r = +K K ω r ω s, 48 ea J s ω s = K K ω r ω s, 49 che possono essere facimente disaccoppiate definendo e coordinate che rappresentano a veocità reativa rotore statore, ω = ω r ω s, e a veocità angoare media pesata con e inerzie ω G = Jrωr+Jsωs J r+j s. In questo modo è possibie scindere a dinamica de moto rigido de sistema: J r + J s ω G = 0, da moto reativo, 50 J r J s J r + J s ω + K ω = K e a, 51 da cui si evince una dinamica de primo ordine con costante di tempo τ = J r J s K J r + J s.

7 Esercizio 4. Veocità di regime In condizione di regime e coppie che entrano ne biancio di potenza sono soo quea motrice e quea associata a utiizzatore. Ipotizzando moto diretto, i biancio di potenze restituisce a seguente equazione: η 1 η C m τ 1 τ C u = 0, 5 η 1 η A Bω m τ 1 τ 3 Dω m ω m = Considerando ω m > 0 a veocità di regime si ottiene risovendo equazione agebrica di secondo grado ω m = η 1η B τ 1 τ 3 D ± η1 η B + 4τ 1 τ 3 η 1 η AD τ 1 τ 3, 54 D da cui si prende soo a souzione positiva, che soddisfa e ipotesi fatte in precedenza. Reazioni scaricate daa seconda trasmissione Si ricava prima acceerazione in condizione di spunto, ipotizzando moto diretto: ω m = η 1η A J rid, 55 con J rid = η 1 η J m + η τ 1 J v + τ 1 τ J p. La reazione scaricata su teaio si ricava da equiibrio di coppie sua seconda trasmissione, isoando a trasmissione da resto de sistema e mettendo in evidenza e coppie trasmesse dagi aberi a monte e vae. La coppia a monte, C 1, si ricava da biancio di potenze de sistema considerando motore, prima trasmissione e voano. La coppia restituita, in condizione di spunto, è quindi pari a: C 1 = 1 η 1 A η 1 J m + τ1 J v η 1η A, 56 τ 1 J rid mentre a coppia a vae, in condizione di spunto, conterrà soo a coppia d inerzia generata da eica: C = τ 1 τ J p η 1 η A J rid. 57 Una vota staccata a trasmissione da teaio è necessario definire una coppia vincoare, C v. L equiibrio dee tre coppie, C 1 + C + C v = 0, fornisce i vaore dea coppia vincoare: C v = τ 1 τ η 1 η A J p 1 η 1 A η 1 J m + τ1 J v η 1η A. 58 J rid τ 1 J rid La coppia scaricata su teaio avrà segno opposto, C t = C v.