Modelli di secondo grado

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1 MATEMATICAperTUTTI ESERCIZIO SVOLTO Le equazioni di secondo grado incompete. Un equazione di secondo grado si può sempre scrivere nea sua forma normae ax þ bx þ c 0 dove a, b, c sono numeri reai con a 6 0 atrimenti equazione diventa ineare. Se uno dei coefficienti b o c è nuo, equazione si dice incompeta. n Se equazione ha a forma ax þ bx 0, cioè manca i termine noto, basta raccogiere x a fattor comune ed appicare a egge di annuamento de prodotto. Per esempio: 6x þ x 0 xð6x þ Þ 0 x 0 _ x 6 x 9x 0 xðx 9Þ 0 x 0 _ x 9 n Se equazione ha a forma ax þ c 0, cioè manca i termine in x, si isoa x e si ottiene: ax c! x c a Ponendo c a k, si tratta di risovere equazione x k : pffiffiffi se k > 0 e souzioni sono e seguenti: x k se k < 0 equazione non ha souzioni reai Per esempio: x 9 0 x 9 rffiffiffiffi 9 x x þ 0 x equazione non ha souzioni reai n Se equazione ha a forma ax 0, cioè mancano sia i termine in x che i termine noto, basta dividere entrambi i membri per i coefficiente a e appicare a egge di annuamento de prodotto. Tae equazione ammette sempre due souzioni entrambe nue. Per esempio: x 0 x 0 x x 0 x 0 _ x 0 Risovi e seguenti equazioni incompete. a. x 0 b. x þ x 0 a. x þ x 0 b. 6x þ 0 a. x x 0 b. 6 x þ 9 0

2 ESERCIZIO SVOLTO Le equazioni di secondo grado compete. Quando equazione è competa, cioè è de tipo ax þ bx þ c 0 con tutti i coefficienti diversi da zero, e souzioni si ottengono appicando a seguente formua x b p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi b ac a in cui espressione b ac si chiama discriminante e si indica con i simboo. Per esempio: n ne equazione x x 0 è a, b, c, quindi e souzioni sono qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x ð Þ ð Þ ð Þ p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi þ n ne equazione x þ x 0 è a, b, c, quindi e souzioni sono x p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð Þ p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi þ Le souzioni di un equazione di secondo grado dipendono da vaore de discriminante; in particoare: n se > 0, e souzioni de equazione sono numeri reai e distinti n se 0, e souzioni sono numeri reai coincidenti n se < 0, e souzioni non sono numeri reai. Risovi in R e seguenti equazioni. 6 a. x þ x 0 b. x x 0 7 a. x þ x þ 0 b. x x þ 9 0 x þ x 7 x ESERCIZIO GUIDATO x þ x þ L equazione è frazionaria, deve quindi essere x 6 ^ x 6 ; si ha aora che D ::::::::::::::::::: Liberando equazione dai denominatori e svogendo i cacoi trovi equazione e cui souzioni sono... x x 0 Poiché tai souzioni appartengono a dominio, S ::::::::::::::::::::

3 Risovi in R e seguenti equazioni frazionarie. 0 x þ x þ x þ x x x x þ (Attenzione: dee souzioni trovate una non appartiene a dominio, quindi...) x x þ 7 x 9 x x x þ 6x þ 9 6 x þ x þ x þ ESERCIZIO SVOLTO Se i coefficiente b de equazione ax þ bx þ c 0èpari, per determinare e souzioni conviene usare a formua ridotta: sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi b b ac x a Per esempio, ne equazione x þ x þ 0èb, quindi b ; appicando a formua ridotta otteniamo: x p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Risovi in R e seguenti equazioni appicando a formua ridotta: a. x þ 6x 7 0 b. x þ x 0 ESERCIZIO SVOLTO I egami fra coefficienti e souzioni. Ricordiamo che fra e souzioni x e x di un equazione di secondo grado ed i coefficienti a, b, c sussistono e seguenti reazioni: x þ x b a e x x c a Per esempio, data equazione x x þ 0 si ha che: x þ x e x x Posto s x þ x e p x x, equazione può essere scritta nea forma x sx þ p 0. Queste reazioni ci permettono di: n determinare rapidamente in acuni casi e souzioni di un equazione senza appicare a formua risoutiva. Per esempio, de equazione x x 0 sappiamo che x þ x ex x ; quindi i due numeri i cui prodotto è e a cui somma è sono þ e. Quindi S f, g. n individuare due numeri conoscendo a oro somma s ed i oro prodotto p. Per esempio, se s e p per trovare i due numeri possiamo risovere equazione x x 0, ricaviamo così che i due numeri sono e.

4 n scrivere equazione che ha come souzioni due numeri assegnati. Per esempio, equazione che ha come souzioni x e x 7, tenendo presente che x þ x þ7 x x 7 è x x 0. n scomporre in fattori un trinomio di secondo grado; vae infatti a reazione ax þ bx þ c aðx x Þðx x Þ essendo x e x e souzioni de equazione ax þ bx þ c 0. Per esempio, scomponiamo i trinomio x þ x : risoviamo equazione x þ x 0 x 7 appichiamo a formua tenendo presente che è a x ðx þ Þ ðx Þðx þ Þ 6 Senza appicare a formua risoutiva, trova e souzioni dee equazioni: a. x x 6 0 b. x x þ 0 7 Determina due numeri sapendo che: a. a somma è 6 e i prodotto è 6 b. a somma è e i prodotto è c. a somma è e i prodotto è Scrivi equazione che ha come souzione i numeri: a. e b. e c. e d. e 9 Scomponi in fattori i seguenti trinomi di secondo grado: a. x x b. x þ x c. x 9x d. 6x þ x þ 6 0 ESERCIZIO GUIDATO Ne equazione parametrica x ðk þ Þx k þ 0, vogiamo determinare i vaore de parametro k in modo che e radici siano reai e che: a. una souzione sia nua b. e radici siano coincidenti c. una dee radici sia opposto de atra d. una radice sia inverso de atra. a. Sostituisci 0 ne equazione a posto di x; ottieni che deve essere k :::::::::::::::::: b. Le souzioni di un equazione di secondo grado sono coincidenti se i discriminante vae zero, quindi... c. Se x x, aora x þ x 0; appicando a reazione sua somma dee souzioni trovi equazione..., da cui ricavi che... d. Se x x, aora x x ; appicando a reazione su prodotto dee souzioni trovi che...

5 Ne equazione parametrica x kx þ k 0, determina i parametro in modo che e radici siano reai e che: a. x b. x þ x c. x x ESERCIZIO SVOLTO La paraboa: equazione e grafico. La paraboa è i uogo dei punti che hanno uguae distanza da un punto fisso F detto fuoco eda una retta fissa d detta direttrice; a rappresentazione grafica di questo uogo è in figura a. Le caratteristiche geometriche di una paraboa sono riassunte nee seguenti considerazioni (figura b.): n è una curva simmetrica rispetto aa retta che passa per i fuoco ed è perpendicoare aa direttrice; tae retta si dice asse dea paraboa n i punto V di intersezione de asse con a paraboa si chiama vertice. a. b. In un sistema di riferimento cartesiano che ha asse x paraeo aa direttrice e asse y paraeo a asse di simmetria, equazione di una paraboa ha a forma y ax þ bx þ c Posto b ac, e coordinate de vertice dea paraboa e equazione de asse di simmetria si trovano con e formue: vertice: V b a, asse: x b a a L ordinata de vertice, che è un punto dea paraboa, si può anche trovare sostituendo nea sua equazione i vaore cacoato de ascissa. Per esempio, data a paraboa di equazione y x x nea quae a, b, c siha che: xv y V þ equazione de asse x! Vð, Þ Per cacoare ordinata de vertice, una vota trovata a sua ascissa, si può anche procedere per sostituzione: y V. Si può inotre dire che se a > 0 a paraboa è concava verso ato, se a < 0èconcava verso i basso. Per tracciare i grafico di una paraboa si devono sempre determinare e coordinate de vertice e quee di quache atro punto a nostra sceta. Nea ricerca di questi punti occorre tenere presente che asse di simmetria dea paraboa è paraeo a asse y e passa per i vertice, quindi atri punti, otre a quei cacoati, si possono trovare per simmetria. Spesso poi è conveniente attribuire i vaore 0 aa x trovando in questo modo i punto di intersezione con asse y. Per esempio, a precedente paraboa di equazione y x x passa per i punti individuati nea seguente tabea e per i oro simmetrici rispetto a asse dea paraboa ed i suo grafico è nea figura a ato: x 0 y

6 Trova e coordinate de vertice e equazione de asse dee seguenti paraboe e costruiscine poi i grafico. y x þ y x þ x y x þ x 6 y x þ x 7 y x þ y x x þ 9 ESERCIZIO SVOLTO Gi zeri di una paraboa. Considerando una paraboa di equazione y ax þ bx þ c, si chiamano zeri dea paraboa e souzioni de equazione ax þ bx þ c 0; da punto di vista grafico questi vaori corrispondono ae ascisse dei punti di intersezione dea paraboa con asse x. Per esempio, gi zeri dea paraboa di equazione y 6x þ x sono e souzioni de equazione 6x þ x 0 : x p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi þ 7 Trova gi zeri dee seguenti funzioni. 0 y x þ 0x y 9x þ 9x y x þ x y x þ 7x ESERCIZIO SVOLTO Le disequazioni di secondo grado intere. Ricordiamo i passi da eseguire per risovere una disequazione di secondo grado intera: n svogere i cacoi fino ad arrivare ad avere una disequazione dea forma ax þ bx þ c > 0 (oppure ax þ bx þ c < 0) in cui si può sempre supporre che sia a > 0 (in caso contrario basta cambiare segni e verso dea disequazione) n risovere equazione di secondo grado associata ax þ bx þ c 0 n rappresentare a paraboa associata y ax þ bx þ c n scegiere intervao dee souzioni. Ne risovere equazione di secondo grado associata si possono presentare tre casi a seconda de vaore de discriminante: > 0, 0, < 0: > 0 numero souzioni de equazione souzioni reai distinte rappresentazione dea paraboa segno de vaore di y dea paraboa i trinomio ax þ bx þ c è positivo per x < x _ x > x i trinomio ax þ bx þ c è negativo per x < x < x i trinomio ax þ bx þ c si annua per x x _ x x 6

7 numero souzioni de equazione rappresentazione dea paraboa segno de vaore di y dea paraboa 0 souzione reae i trinomio ax þ bx þ c è positivo per tutti i vaori di x tranne per x x 0 i trinomio ax þ bx þ c non è mai negativo i trinomio ax þ bx þ c si annua per x x 0 < 0 0 souzioni reai i trinomio ax þ bx þ c è positivo per tutti i vaori di x i trinomio ax þ bx þ c non è mai negativo i trinomio ax þ bx þ c non si annua mai Se a disequazione ha verso maggiore di zero, a souzione è data da quei vaori di x che rendono i trinomio ax þ bx þ c positivo; se i verso è minore di zero, a souzione è data da quei vaori di x che rendono i trinomio ax þ bx þ c negativo. Per esempio risoviamo e seguenti disequazioni: x > 0 p risoviamo equazione x 0: x ffiffiffi pffiffiffi _ x disegniamo a paraboa corrispondente (figura a ato) p insieme dee souzioni è x < ffiffiffi pffiffiffi _ x > ð xþð þ xþ > 6x svogiamo i cacoi 9x þ 6x þ > 0! 9x 6x < 0 risoviamo equazione 9x 6x 0 x p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 9 þ 6 p ffiffiffi p ffiffiffi 9 9 disegniamo a paraboa corrispondente (figura a ato) insieme dee souzioni è p ffiffiffi < x < þ p ffiffiffi Risovi e seguenti disequazioni di secondo grado. x x > 0 6 x x þ < 0 7 x x þ > 0 ðx Þðx þ Þ < 9 x þ x þ x x þ x 6 x > x 0 ðx Þ < ðx þ Þðx þ Þ x x þ > ðx Þ 7

8 þ x x þ < xxþ ð Þ þ ESERCIZIO SVOLTO Le disequazioni frazionarie. Ogni disequazione frazionaria si può scrivere nea forma Ax ð Þ Bx ð Þ > 0 (oppure Ax ð Þ < 0) e bisogna ricordare che i denominatori non si possono eiminare a meno di sapere a Bx ð Þ priori se sono positivi o negativi. Conviene poi procedere così: studiare i segno di ogni fattore che si trova a numeratore e di ogni fattore che si trova a denominatore costruire a tabea dei segni determinare i segno dea frazione in ciascun intervao scegiere gi intervai dee souzioni. x Risoviamo per esempio a disequazione: 6 x x > 0 Studiamo i segno de numeratore andando a vedere quando è positivo: x 6 > 0 se x < 6 _ x > 6 Studiamo in modo anaogo i segno de denominatore: x x > 0 x ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p þ x < _ x > 7 Costruiamo a tabea dei segni: 7 Poiché vogiamo che a frazione sia positiva, insieme dee souzioni è x < 6 _ < x < 6 _ x > 7 Risovi e seguenti disequazioni frazionarie. 9x x þ x þ > 0 6 x þ x x 0x þ 0 7 6x x x 0x 0 x x 0 x 9 7 x þ x < 0 0 x þ > x ESERCIZIO SVOLTO I sistemi di disequazioni. Ricordiamo che per risovere un sistema di disequazioni si deve: n risovere ciascuna disequazione de sistema

9 n costruire a tabea dee souzioni n determinare intersezione degi insiemi souzione. x > 0 Risoviamo per esempio i seguente sistema: 6x þ x > 0 Risoviamo a prima disequazione de sistema: x > 0 se x < _ x > S Risoviamo a seconda disequazione: 6x þ x > 0 x p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi þ x < Costruiamo a tabea dee souzioni: _ x > S L insieme dee souzioni è x < _ x >. x < 0 x x > 0 x þ x < 0 x < 0 6 ESERCIZIO SVOLTO x x > 0 x þ > 0 xð xþ >< < 0 6x x 0 >: x < x I sistemi di secondo grado. Un sistema di equazioni è di secondo grado se una dee equazioni che o compongono è di secondo grado e e atre sono tutte di primo. Per risovere un sistema di questo tipo è conveniente usare i metodo di sostituzione e ricavare espressione di una dee variabii da una dee equazioni di primo grado. Osserva esempio. x y þ 6ðx þ Þ 0 x y þ 0 Conviene ricavare i vaore di y daa seconda equazione perché nea prima questa variabie compare una soa vota ed è di primo grado: x ðx þ Þþ6x þ 6 0 x þ x þ 0 y x þ y x þ Risoviamo equazione di secondo grado nea variabie x: x p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 6 9

10 Otteniamo aora i due sistemi: x y x þ e x y x þ e cui souzioni sono: x y e x y Quindi S fð, Þ; ð, Þg. 7 Risovi i seguenti sistemi di secondo grado. y þ x ðx Þðx þ Þ y x þ 0 < x y x þ : y ðx Þ 9 < ðy xþ x : y 6 x x 60 < y x þ 0 : y þ x þ 0 6 ESERCIZIO GUIDATO Troviamo e coordinate dei punti di intersezione dea paraboa di equazione y x x þ con a retta di equazione y x þ. Le coordinate dei punti di intersezione di due curve si determinano risovendo i sistema dee oro equazioni, ne nostro caso: >< y x x þ >: y x þ Competa a risouzione de sistema. 6 Trova e coordinate dei punti A e B di intersezione dea paraboa di equazione y x 6x þ 0 con a bisettrice de primo e terzo quadrante. Risutati di acuni esercizi.. a. S, ; b. S 0,. a. S 0, ; b. S. a. S 0, 6 ; b. S 6. a. S, ; b. S, 7. a. S ; b. S 9. S p ffiffiffi 6. S,. S 7, 0. S 7 pffiffiffiffiffi. S 0

11 p. a. S f, 7g; b. S ffiffiffi 6. a. S f 7, 9g; b. S f7, g p 7. a., ; b., ; c. ffiffiffi. a. x þ x þ 0; b. x 9x þ 0; c. 6x x 0; d. 6x þ 7x a. ðx Þðx þ Þ; b. ð xþðx Þ; c. ðx þ Þðx Þ; d. ðx þ Þðx þ Þ 0. souzioni reai se k _ k ; a. k ; b. k _ k ; c. 69k; d. k. souzioni reai k R; a. k 6; b. k ; c. k 0. V ð0, Þ, x 0. Vð, Þ, x. V, 9 ; x 6. V, 7 ; x 7. Vð0, Þ; x 0. V, ; x 0. x _ x. x _ x. x _ x. x 0 _ x. x < _ x > 6. per nessun vaore di x 7. x R. < x < 9. 0 x 0. x < _ x > 0 pffiffiffi. x < _ x > þ p ffiffiffi. S R. x < _ x > 0. x > 0 6. x _ x < _ x > 7 7. x < 0 _ x < 0. x _ x < 9. x < _ < x < _ x > 9 p 0. ffiffiffi pffiffiffi < x < _ x >. x <. x < 0 _ x >. < x < _ < x <. x < 7. S, ; ð, Þ. S, ( 60. S, 9 ;, ) 9. S, 6. Að, Þ, Bð7, Þ ;, 6. Að, Þ; Bð, Þ