EQUAZIONI LINEARI. Attività di recupero ATTIVITÀ DI RECUPERO. A. Rivedere il ripasso punto per punto nel testo e on line

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1 Attività di recupero A. Rivedere il ripasso punto per punto nel testo e on line B. Esercizi da completare e domande. Completare l uguaglianza: a þ a :::::, a) in modo che risulti un identità; b) in modo che risulti un equazione.. Riconoscere, fra le seguenti uguaglianze, quali sono identità e quali sono equazioni determinate. a) þ x ; y þ ðy þ Þ; x x þ 7x þ. b) x x; ðy þ Þðy Þ y ; 7ða Þ 7a 7a 7. c) ða Þ ðaþþ a; a 7 : a a 8 : a 5 ; ðx Þ ðxþþðx Þ,. Completare le seguenti uguaglianze in modo che ciascuna risulti un identità: a) 8a a ::::: ; b þ ::::: b ; a a ::::: ; 5a a a ð::::: Þ. b) a a þ ::::: ; 9b þ b b ð9þ :::::Þ ; ða þ bþ a þ ::::: þ b ; ða þ bþða ::::: Þa b.. Scrivere: a) un equazione intera nell incognita x; b) un equazione frazionaria nell incognita y. 5. Completare nel modo opportuno. due equazioni si dicono equivalenti quando: a) hanno la stessa incognita; b) hanno la stessa soluzione; c) hanno gli stessi termini noti.

2 . Scrivere, in ogni caso, due equazioni equivalenti a ciascuna di quelle date, applicando il principio di addizione. a) 0x x; 8x x; 5þ 7x 8x; 0 5x x. b) x þ þ7; x þ þ ; x þ 7 x þ9; x þ 8 x Scrivere, in ogni caso, due equazioni equivalenti a ciascuna di quelle date, applicando il principio di moltiplicazione. a) x ; x 9 5x ; þ x þ x; x 0 x 8. b) 0x 5 5 þ 5x; 8x 7x þ 9; 8 x 5 þ x; 5 x þ Ciascuna equazione data è stata trasformata in un equazione equivalente, a coefficienti numerici interi, ma nel procedimento sono stati commessi alcuni errori: individuarli e correggerli. a) b) x x ) x x x x þ ) x ) x ; x þ ) x x þ ; c) x 5 þ x ) x 5 þ x ) x 5 þ x ; d) x 7 x ) 8x 7 x ) 8x 7 x. 9. Collegare ciascuna equazione con quella ad essa equivalente, fra le tre proposte e riconoscere, in ogni caso, quale principio di equivalenza è stato applicato. a) x þ 5 x þ þ7 þ x þ 5 þ x þ 5 þ þ b) x 7 x 7 þ x þ 7 x 7 þ x c) 5x 0x 5x þ 7x 0x 5x 0x þ 5x 0x þ

3 d) x þ x þ x x þ x þ x e) 5 þ x 5 þ x þ 5x 0 5 þ x þ x C. Esercizi svolti 0. Risolvere l equazione: ðx Þ ð xþ ð xþ ð5 xþ. Prima di tutto, calcoliamo i prodotti indicati: x þ x x 0 þ x. Isoliamo in un membro, ad esempio nel primo, i termini che contengono l incognita: x þ x þ x x 0 þ þ : Riducendo i termini simili, otteniamo: 5x 5 (che è del tipo ax b). 5x Dividiamo i due membri per il coefficiente dell incognita: 5 5 ; cioe: x : 5 Poiché tutte le equazioni che si sono ottenute via via sono equivalenti tra loro e l ultima equazione è determinata ed ha come soluzione, anche l equazione data è determinata ed ha come soluzione. Volendo verificare l esattezza della soluzione trovata, cioè controllare se la soluzione ottenuta soddisfa effettivamente l uguaglianza tra i due membri dell equazione data, è sufficiente sostituire al posto della x sia nel o membro, sia nel o membro dell equazione proposta. Effettuando i calcoli nelle due espressioni che così si ottengono, si devono ottenere risultati uguali. Verifica o membro o membro ðx Þ ð xþ ð xþ ð5 xþ Sostituendo al posto della x, si ha, rispettivamente: ð Þ ð Þ ð Þ ð Þ ð Þ þ : ð Þ ð5 Þ ð5 Þ.

4 þ x. Risolvere l equazione: x 0 þ 7 þ x. Liberando l equazione dai denominatori, si ha: þ x x 0 þ 7 þ x ; da cui: ð þ xþ x 0 þ ð7 þ xþ, cioè: þ x x 0 þ þ x, isolando nel primo membro i termini con l incognita, si ha: x x x þ 0 þ, da cui, riducendo i termini simili: 0 x 0. Poiché questa equazione è un identità, anche quella proposta è un identità. Per accertarsi di questo, basta eseguire (separatamente) i calcoli indicati nei due membri dell equazione data: le espressioni che si ottengono devono essere identicamente uguali. Si ha infatti: o membro þ x ð þ xþ þ x x þ. o membro x 0 þ 7 þ x x 0 þ ð7 þ xþ x 0 þ þ x x þ.. Risolvere l equazione: þ 5ðx þ Þ x x Liberando l equazione dai denominatori, si ha: þ 5ðx þ Þ x ð xþ, da cui: þ 5x þ 5 x þ x. Isolando i termini con l incognita, si ha: 5x x x 5, e riducendo i termini simili, si ottiene: 0 x 0. Poiché questa equazione è impossibile, anche quella data è impossibile.. ðx þ Þþðx Þ x þ 7 Eseguiamo le moltiplicazioni indicate: x þ þ x x þ 7. Trasportiamo i membri con la x al primo membro e gli altri al secondo e riduciamo i termini simili: x þ x x 7 þ ) x : Moltiplicando i due membri per, cioè cambiando di segno tutti i termini, otteniamo: x, e dividendo i due membri per il coefficiente dell incognita, ricaviamo la soluzione dell equazione: x : :

5 . x þ ðx Þ x Procedendo come negli esempi precedenti, si ottiene: x þ x 8 x ) x x þ x 8 ) 0 x : Perciò l equazione proposta non ammette alcuna soluzione e quindi è impossibile. 5. Completare le parti mancanti e risolvere l equazione proposta. x þ 5 x È una equazione lineare, numerica, intera. x þ 0 x ::::: ::::: Abbiamo calcolato il... x þ 0 x Abbiamo... x x :::::::::: Abbiamo applicato il... ::::::::::::: x þ Abbiamo applicato il.... Risolvere l equazione: x þ½ð5 xþ ðxþþš 0x: Eseguiamo le operazioni indicate: x þ ::::: x ::::: ::::: : Poi, per il... principio di..., possiamo trasportare, cambiandoli di..., i termini con l incognita x :::::::::::::::::::: membro e i termini... al secondo membro: x :::::::::::::::::::: :::::::::::::::::::: ; a questo punto riduciamo i... : ::::: x :::::. Infine dividiamo per... entrambi i..., otteniamo: x :::::::::::::::::::: : Nell ultimo passaggio quale principio è stato applicato?... D. Esercizi proposti Risolvere e verificare le seguenti equazioni lineari a coefficienti numerici. 7. x þ x þ x 7x þ 5; x þ x 5 x þ. ; 8. x þ x þ 5 x þ x þ ; 8x þ þ 5x 7 x. ½; Š 9. þ x þ x þ x þ 7; x þ x 5 x þ. ½ ; Š 0. ðx Þ ; ðx þ 5Þ 7; 7ðy Þ 7. ½La stessa soluzioneš 5

6 . ð xþ ; 5ð5 xþ 05; 7ð xþ. ½0; ; 5Š. 5ðx Þ 7 0; 5ðx þ 7Þ 8 57; 7ð7 xþþ7 5. ½; ; 5Š. ð5x Þ 0 9x; 5x ðx 7Þ ; 8x ðþ5xþ 9. ; ;. ð0 xþ ðx 5Þ; ðx Þ ð xþ. ½5; Š x þ 8 9 x þ 5x; x 7 x; þx 5 þx. ; 7 ; impossibile. þ ðx 5Þ þ ðx Þ 8ð xþþ. 7. 0ðx þ Þþ0 5½ðx þ Þ ðx ÞŠ x þ ð xþ x þ ðx 8Þþ8 ð 5xÞ. ½ImpossibileŠ 9. 5ðx 7 þ 5xÞ 5x 0ðx xþ 5. ½Š 0. x 5ðx þ Þ 7x ðx Þ. ½ImpossibileŠ. ðx Þ ð xþ ðx þ Þþx 7. ½IdentitàŠ. ½ ð 5xÞ ð þ xþš ½ ð xþ ð xþš. ½8Š. ½ ð8 xþ ðx 0ÞŠ ½ ðx 0ÞþŠ 0. ½0Š. 7 f7 ½7 ð7 xþšg x f x ½ x ð xþšg. ½0Š 5. 5 x fx 5 ½5 x ðx 5ÞŠg f ½ ð xþšg. ½Š. ðx Þðx Þ x 7x þ 0. ½Š 7. ð xþð þ xþ ðx 5Þ 9x. ½Š 8. ðx Þ ðx Þ þ 5. ½ Š 9. ðx Þðx ÞþðþxÞðx Þ ðx Þ þ 8x ðx Þ þ 5x x ðx þ 7Þ. ½Š. ðx þ Þ x ðx þ Þ ðx þ Þ. ½Š. xðx þ Þðx þ Þ ðx þ Þ þ xð xþð xþ. ½ Š

7 . ð xþ ðxþþð xþ þðxþþ ð xþþð xþ. ½ Š. ð8 þ xþ þð5þxþ ð9þ5xþ 0x. 5. ð xþ ð þ xþ þ 5 ðx x þ Þðx þ x þ Þþð xþð þ xþ. ½ Š. ðx x Þðx x þ Þ ðx x þ Þðx þ x Þ x ð xþ. 7. ½x ð þ xþ Šþ ð xþ þ 5 x. ½Š 8. ½ ðx Þþ5 0xŠ x 5 þ 0x. ½ImpossibileŠ 9. ½ x ðx Þþð xþþšþ5 þ 7x x þ fx ½x ðx þ Þ Š 7g ðx þ Þ 7x þ. ½Š 7