Problemi sulle equazioni parametriche

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1 A Problemi sulle equazioni arametriche Le soluzioni di un equazione letterale sono funzioni dei arametri che in essa comaiono e ci si uò chiedere er quali valori di tali arametri un equazione ha delle soluzioni che soddisfano articolari condizioni. Per esemio, data l equazione x þ ðk Þx k ¼ 0 ci interessa saere er quali valori di k le soluzioni sono reali coincidenti. Si otrebbero trovare le soluzioni in funzione del arametro k e oi imorre che siano uguali, ma è molto iù semlice ragionare sul discriminante: un equazione di secondo grado ammette soluzioni reali coincidenti se ¼ 0. Calcoliamo allora il discriminante e oniamolo uguale a zero: ¼ ðk Þ þ8k ¼ k þ 6k þ! k þ 6k þ ¼ 0!! k ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 9 ¼ ffiffiffi ffiffiffi 8 ¼ þ ffiffiffi Otterremo quindi soluzioni coincidenti attribuendo a k i valori ffiffiffi ffiffiffi oure þ. I roblemi che coinvolgono le relazioni fra i arametri di un equazione letterale e le sue soluzioni, che indicheremo semre con x e x, sono di diverso tio; ce ne sono erò alcuni che si ossono risolvere facilmente alicando le relazioni fra i coefficienti dell equazione e le sue soluzioni. Negli esemi che seguono ti resentiamo i casi iù significativi. I esemio Data l equazione arametrica x ðk Þx þ k þ ¼ 0 determiniamo i valori di k in modo che, essendo le soluzioni reali: a. una radice sia l oosto dell altra b. una radice sia uguale a c. una radice sia inversa dell altra d. il rodotto delle radici sia uguale a 6. La condizione che vale er tutti i casi è che le radici siano reali; imoniamo dunque che sia 0 e risolviamo la disequazione ottenuta: ðk Þ ðk þ Þ 0! k 8k 0! kk ð 8Þ 0 Costruiamo la tabella dei segni di ciascun fattore della disequazione: Le soluzioni sono quindi reali se k 0 _ k 8. Analizziamo adesso le varie richieste tenendo resente che è a ¼ b ¼ k c ¼ k þ. a. Una radice è l oosto dell altra se x ¼ x cioè se x þ x ¼ 0. Ma x þ x ¼ b, basta quindi imorre che sia k ¼ 0! k ¼ a Per questo valore di k, tuttavia, le soluzioni non sono reali e quindi il roblema non ha soluzioni. b. Ricordiamo che soluzione di un equazione è quel valore che sostituito all incognita rende l equazione una

2 uguaglianza vera; basta allora sostituire al osto di x e risolvere l equazione in k così ottenuta: ðk Þþk þ ¼ 0! k ¼ 9 Questa volta il valore trovato di k aartiene all insieme definito dalla condizione di realtà delle radici (9 > 8) ed è quindi la soluzione del roblema. c. Una radice è inversa dell altra se x ¼ x cioè se x x ¼ Ma x x ¼ c, basta quindi imorre che sia k þ ¼! k ¼ 0 a Per questo valore di k le soluzioni sono reali e sono anche coincidenti; ne consegue che esse devono essere entrambe uguali a. d. Deve essere c a ¼ 6 cioè k þ ¼ 6! k ¼ 7 Anche questo valore di k è accettabile erché minore di 0. II esemio I lati di un rettangolo sono tali che la sua base suera di 8cm il lato di un quadrato e la sua altezza è uguale al lato dello stesso quadrato diminuito di cm. L area del rettangolo è k volte l area del quadrato. Quali valori uò assumere il arametro k affinché il roblema abbia soluzione? Se indichiamo la misura del lato del quadrato con x, ossiamo indicare la misura della base del rettangolo con x þ 8 e quella della sua altezza con x (figura ). Esrimendo er mezzo di x la relazione fra le aree data dal roblema, otteniamo ðx Þðx þ 8Þ ¼kx con la condizione k > 0, dovendo essere ositiva l esressione di un area. Svolgendo i calcoli otteniamo: kx ¼ x x þ 8x 6! ð k Þx 6x þ 6 ¼ 0 Affinché il roblema abbia soluzione occorre che sia 0, quindi, usando la formula ridotta, abbiamo: Figura ¼ 9 6ðk Þ 0! 9 6k þ 6 0! 6k þ 5 0! k 5 6 In definitiva, tenendo conto della condizione iniziale, deve essere 0 < k 5 6. ESERCIZI Data l equazione coincidenti. xðx Þ m ðx Þðm Þ ¼ x m determina il valore di m in modo che le sue soluzioni siano m ¼

3 Determina il valore del arametro k affinché l equazione x þ kx þ k ¼ 0 abbia soluzioni reali. ½k 0 _ k 8Š Determina er quali valori di k l equazione ðk þ Þx ðk Þx þ ¼ 0 non ha soluzioni reali. ½0 < k < 8Š Determina er quali valori di k l equazione kx ðk þ Þx þ k þ ¼ 0 ammette due soluzioni reali distinte. k < 5 Determina er quali valori del arametro k le seguenti equazioni ammettono soluzioni reali: a. x x þ k ¼ 0 k 9 b. x 5x k ¼ 0. k Determina er quali valori del arametro m le seguenti equazioni ammettono soluzioni non reali: a. mx x þ ¼ 0 m > 9 8 b. x ðm þ Þx þ 6 ¼ 0. ½ 5 < m < Š Trova i valori dei arametri in modo che le soluzioni di ciascuna delle seguenti equazioni siano reali e soddisfino le condizioni indicate. 7 Data l equazione ða Þx þðaþþx a ¼ 0, determina er quali valori del arametro a essa ammette in R: a. soluzioni coincidenti a ¼ 5 _ a ¼ b. una soluzione uguale a a ¼ 6 5 c. due soluzioni ooste. ½a ¼ Š 8 Determina il valore del arametro b in modo che l equazione ðb Þx bx þ ¼ 0: a. abbia il rodotto delle soluzioni uguale a 9 b ¼ b. abbia la somma dei reciroci delle soluzioni uguale a ½6 9bŠ c. abbia una soluzione uguale a ½b ¼ _ b ¼ Š d. sia di rimo grado. ½b ¼ _ b ¼ Š (Suggerimento: b. x þ x, quindi...) x x x þ x è la somma dei reciroci delle soluzioni che uò anche essere scritta così 9 Nell equazione x x þ k ¼ 0, trova il valore del arametro k affinché: a. le soluzioni siano reali k b. l equazione sia di rimo grado ½69k RŠ c. la somma dei cubi delle radici sia uguale a k ¼ (Suggerimento: x þ x ¼ ð x þ x Þ x x x x ¼ ð x þ x Þ x x ðx þ x Þ)

4 0 Data l equazione 8x ðk Þx þ k 7 ¼ 0 ed indicate con x e x le sue soluzioni, determina il valore di k in modo che sia: a. x ¼ x b. x ¼ x ½a: k ¼ 5 _ k ¼ 9; b: k ¼ Š c. x ¼ d. x ¼ x c: k ¼ ; d: k ¼ Nell equazione x mx þ m 9 ¼ 0, determina il valore del arametro m in modo che siano verificate a. þ ¼ b. x ¼ c. x ¼ 0 a: m ¼ 9 _ m ¼ ; b: m ¼ ffiffiffi ; c: m ¼ x x x Nell equazione x ðk þ Þx þ k ¼ 0, determina il valore del arametro k in modo che siano verificate a. x ¼ x b. þ ¼ a: k ¼ ; b: k ¼ x x Nell equazione x þ ðk Þx þ ¼ 0 determina il valore del arametro k in modo che: a. x ¼ b. x ¼ 9 x a: k ¼ ; b: k ¼ 5 c. x þ x ¼ d. x ¼ x ½c: k ¼ 0 _ k ¼ ; d: 69kŠ Determina il valore del arametro k affinché l equazione kx ðk Þx þ k ¼ 0 abbia: a. radici coincidenti k ¼ ffiffiffi b. la somma delle radici uguale a ½69kŠ c. soluzioni reciroche ½69kŠ d. la somma dei reciroci delle radici uguale a k ¼ 5 Nell equazione ð mþx þ ðm þ Þx m ¼ 0 determina il valore del arametro m affinchè siano verificate a. x ¼ b. x ¼ x c. x ¼ a: m ¼ 5 ; b: m ¼ ; c: m ¼ 5 x 9 6 Data l equazione ax þ x þ a ¼ 0, determina il valore di a in modo che si abbia: a. x ¼ x b. x ¼ ffiffiffi a: a ¼ ; b: a ¼ c. x þ x ¼ 5 d. ¼ ffiffiffi 6 c: a ¼ ; d: 69a x x 7 Data l equazione x ðm Þx m ð Þ ¼ 0 determina il valore di m in modo che: a. x ¼ x b. x þ x ¼ a: m ¼ ; b: m ¼ 0 8 Data l equazione kx þð 5kÞx ðk þ Þ ¼ 0 determina il valore di k in modo che sia: a. x ¼ 0 b. c. x ¼ x d. x þ x ¼ x þ x ¼ a: k ¼ ; b: k ¼ c: k ¼ 7 ; d: k ¼ 7 _ k ¼ 5

5 9 Data l equazione kx kx þ k þ ¼ 0, determina il valore di k in modo che: a. le soluzioni siano coincidenti k ¼ 8 b. il rodotto delle soluzioni sia uguale alla metà della loro somma ½69kŠ c. la somma delle soluzioni sia uguale a. ½8k R f0gš 0 Nell equazione kx ðk þ Þx þ k ¼ 0, determina il valore del arametro k affinchè siano verificate le seguenti condizioni: a. x x ¼ x þ x b. x þ x þ x x ¼ 5 c. x þ x ¼ a: k ¼ ; b: 69 K R; c: k ¼ Determina il valore del arametro k, affinchè l equazione ðk Þx þ ðk Þx þ þ k ¼ 0 abbia: a. la somma degli inversi delle radici uguale a k ¼ b. la somma dei quadrati delle radici uguale a ½69k RŠ Trova il valore di m in modo che l equazione ðm Þx mx þ m þ ¼ 0 : a. abbia radici reali distinte ½8m RŠ b. abbia radici reali coincidenti ½69m RŠ c. x x þ x x ¼ 0 ffiffiffiffiffi 7 Trova i valori del arametro a er i quali l equazione ð aþx þða þ Þx ða Þ ¼0 soddisfa le seguenti condizioni: a. x ¼ b. x x ðx þ x Þ ¼ 6 c. x ¼ 0 ^ x ¼ a: a ¼ ; b: a ¼ 7 ; c: 69a R 0 Nell equazione x ðk þ Þx þ k ¼ 0 determina il valore del arametro k in modo che siano verificate a. x ¼ ffiffiffi b. x þ x ¼ x x x c. þ x ¼ 7 5 x þ x a: k ¼ ffiffiffi ; b: k ¼ 5 ; c: k ¼ _ k ¼ 5 Considerata l equazione ð kþx ðk þ Þx k ¼ 0, determina il valore del arametro reale k in modo che: a. la somma delle radici sia maggiore di k < _ k > 8 b. il rodotto delle radici sia minore di k < c. la somma dei reciroci delle radici sia maggiore di k < 0