n L insieme dei numeri reali n La retta reale n Calcolo approssimato

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1 n L insieme dei numeri reali n La retta reale n Calcolo arossimato n L insieme dei numeri reali 1 Amliamento degli insiemi numerici Nelle recedenti unità, doo aver introdotto l insieme N dei numeri naturali, abbiamo dovuto amliarlo con l insieme Z dei numeri interi relativi e, successivamente, abbiamo dovuto amliare Z con l insieme Q dei numeri razionali, er oter eseguire le oerazioni di sottrazione e di divisione che altrimenti non semre sarebbero state ossibili. Nell insieme Q dei numeri razionali è ossibile eseguire le quattro oerazioni aritmetiche, con l unica eccezione della divisione er zero. L insieme Q contiene come sottoinsieme l insieme Z dei numeri interi relativi il quale, a sua volta, contiene come sottoinsieme l insieme N dei numeri naturali (FIGURA 1). L oerazione di estrazione di radice quadrata, molto frequente in matematica, non semre è definita in Q. Ad esemio, non è ossibile calcolare 2 nell insieme Q; infatti, come si otrebbe dimostrare, non esiste alcun numero intero o frazionario il cui quadrato sia 2. FIGURA 1 In generale, se il numero naturale n non è un quadrato erfetto, cioè non è il quadrato di un altro numero naturale, non esiste alcun numero razionale il cui quadrato sia n. Inoltre se il numero razionale q non è il quoto tra due quadrati erfetti, cioè tra i quadrati di due numeri naturali, non esiste alcun numero razionale il cui quadrato sia q. 166

2 PREREQUISITI È sufficiente una conoscenza basilare degli insiemi numerici N, Z e Q. In articolare devi aver ben resente la raresentazione decimale dei numeri razionali. OBIETTIVI Conoscenze n Consaevolezza della necessità di amliare l insieme Q dei numeri razionali n Concetto di numero irrazionale e di sua raresentazione decimale n Concetto di numero reale n Concetto di corrisondenza biunivoca tra i numeri reali e i unti della retta reale n Concetti di arossimazione e di errore in un arossimazione Abilità n Distinguere un numero razionale da un numero irrazionale n Calcolare la distanza tra due unti della retta reale n Calcolare l errore relativo conoscendo l errore assoluto e viceversa n Determinare il valore abbreviato e quello arrotondato di un numero decimale Possiamo quindi dedurre che non esiste alcun numero razionale il cui quadrato sia, ad esemio, ::: Pertanto non ossono essere numeri razionali: rffiffiffiffiffi rffiffiffiffiffiffiffi ::: 3 7 ffiffiffi D altra arte, se utilizziamo una calcolatrice scientifica er calcolare 2, otteniamo 2! Tenendo resente che le calcolatrici usano il unto al osto della virgola, ossiamo notare che 2 è un numero decimale che ha 1 come arte intera e la cui arte frazionaria è costituita da 4 decimi, 1 centesimo, 4 millesimi, 2 decimillesimi ecc. Ma la raresentazione decimale di 2 non uò IMPORTANTE essere finita ffiffiffi e neure eriodica erché, altrimenti, 2 sarebbe un numero razionale. La raresentazione decimale di 2 non uò che esne uò essere raresentata da un numero Come abbiamo visto nell UNITÀ 3, ogni frazio- decimale finito o eriodico. E, viceversa, ogni sere infinita e non eriodica: la calcolatrice numero che ha una raresentazione decimale finita o eriodica è razionale. scientifica fornisce, evidentemente, solo le rime cifre della arte frazionaria. Osserviamo infineffiffiffi che anche l oerazione di estrazione di radice cubica non semre è definita in Q. Per esemio, è 3 ffiffiffi 8 ¼ 2, mentre 3 5 non è definita in Q erché, come si otrebbe dimostrare, non esiste alcun numero razionale il cui cubo sia

3 PER APPROFONDIRE Dimostriamo che 2 non è un numero razionale. 2 sia un nume- Per dimostrare questa affermazione ragioniamo er assurdo suonendo, invece, che ro razionale. Allora, indicando con m ed n due numeri naturali non nulli, risulterebbe 2 ¼ m! 2 ¼ m 2! 2 n 2 ¼ m 2 n n 2 cioè m 2 ¼ 2n 2 1 La h1 esrime l uguaglianza tra i numeri naturali m 2 e 2n 2. Osserviamo oi che se due numeri naturali sono uguali, essi devono avere la stessa scomosizione in fattori rimi. Sono ora ossibili, in alternativa, due casi. n Primo caso. Il numero m non contiene il fattore 2 nella sua scomosizione in fattori rimi. In questo caso la h1 è un uguaglianza assurda: infatti m 2 non contiene il 2 mentre 2n 2 lo contiene almeno una volta (er la resenza del fattore 2 che moltilica n 2 ). n Secondo caso. Il numero m contiene il fattore 2 nella sua scomosizione in fattori rimi. Anche in questo caso la h1 è un uguaglianza assurda; infatti m 2 contiene il 2 un numero ari di volte (2, 4, 6,... volte), mentre 2n 2 lo contiene un numero disari di volte (ad esemio una sola volta se n non contiene il 2, tre volte se n contiene il 2 una volta, cinque volte se n contiene il 2 due volte ecc.). Possiamo concludere che la h1 è in ogni caso un uguaglianza assurda e quindi era assurdo suorre che 2 fosse razionale. Pertanto 2 è necessariamente un numero non razionale, come volevamo dimostrare. rffiffiffiffiffiffi ffiffiffi ffiffiffi Con un rocedimento analogo è ossibile dimostrare che non sono razionali numeri quali 3, 5, 2, ffiffiffi ecc. In geometria avrai modo di incontrare sesso questo tio di dimostrazione, cioè la dimostrazione er assurdo (vedi anche l UNITÀ 7 sulla logica). 2 L estrazione di radice quadrata Come abbiamo già detto, nell insieme Q dei numeri razionali non semre è ossibile eseguire l oerazione inversa dell oerazione di elevamento al quadrato, cioè l estrazione di radice quadrata. Torneremo su questo argomento; er ora è oortuno tenere resente la seguente definizione. DEFINIZIONE RADICE QUADRATA ffiffiffi Si dice radice quadrata di un numero a 0, e si indica con il simbolo a, il numero b 0 il cui quadrato è uguale ad a. In simboli a ¼ b () b 2 ¼ a a 0; b 0 rffiffiffiffiffi rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffiffiffi ffiffiffiffiffi Nell insieme Q è quindi ossibile calcolare, ad esemio, 4, 25, 1, 16. Infatti ¼ 2 erché 2 2 ¼ 4 ffiffi 25 ¼ 5 erché 5 2 ¼ 25 rffiffiffiffiffi 1 ¼ erché 1 ¼ rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 16 ¼ erché 4 ¼

4 INUMERI 3 I numeri irrazionali Da quanto abbiamo visto, è evidente la necessità di amliare l insieme dei numeri razionali considerando, oltre a essi, i numeri ffiffiffi irrazionali, ossia quei numeri che, come 2, 3, 5,..., ffiffiffi ffiffiffi non ossono essere esressi da frazioni. I numeri irrazionali sono molto frequenti anche in geometria erché esrimono le misure delle lunghezze di molti segmenti risetto a una refissata unità di misura. RICORDA! n Numeri razionali Sono i numeri che si ossono esrimere mediante frazioni. n Numeri irrazionali Sono i numeri che non si ossono esrimere mediante frazioni. Ad esemio, la misura d in centimetri della diagonale di un quadrato il cui lato è 1cm(FIGURA 2) è, er il teorema di Pitagora, ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi d ¼ 1 2 þ 1 2 ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 þ 1 ¼ ffiffiffi 2 La misura h in centimetri dell altezza di un triangolo equilatero il cui lato è 2cm(FIGURA 3) è, semre er il teorema di Pitagora, h ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 4 1 ¼ ffiffiffi 3 U4. NUMERI REALI FIGURA 2 FIGURA 3 ffiffiffi ffiffiffi ffiffiffi Oltre ai numeri irrazionali come 2, 3, 5,..., in matematica si incontrano anche numeri irrazionali che non rovengono da un estrazione di radice. Ad esemio, è irrazionale il numero («i greco»), ottenuto come raorto tra la misura di una generica circonferenza e quella del suo diametro (FIGURA 4): ¼ 3; ::: FIGURA 4 4 L insieme R dei numeri reali DEFINIZIONE INSIEME DEI NUMERI REALI L insieme costituito dai numeri razionali e dai numeri irrazionali è detto insieme dei numeri reali. L insieme dei numeri reali (FIGURA 5) si indica con R. Tutti gli insiemi numerici finora incontrati sono sottoinsiemi di R. FIGURA 5 169

5 In FIGURA 6 la arte di R colorata in rosa raresenta l insieme differenza R Q dei numeri reali che non sono razionali, cioè l insieme dei numeri irrazionali. Si otrebbe dimostrare che tutte le rorietà delle oerazioni che sono valide in Q sono valide anche in R. In seguito imareremo a oerare anche con i numeri irrazionali. FIGURA 6 5 Raresentazione decimale dei numeri irrazionali Saiamo che i numeri razionali ossono essere raresentati in forma decimale. Vediamo ora come sia ossibile raresentare in tale forma anche un numero irrazionale. Fissiamo l attenzione su 2 e cerchiamo di determinarne, una er una, le cifre decimali senza ricorrere a una calcolatrice scientifica. n Poiché si ha 1 2 ¼ 1 < 2e2 2 ¼ 4 > 2, ossiamo dire che 1 è un arossimazione er difetto di 2 e 2 ne è un arossimazione er eccesso, ossia che è 1 < ffiffiffi 2 < 2 Perciò ossiamo scrivere 2 ¼ 1;::: dove i untini di sosensione stanno a indicare cifre decimali che si devono ancora determinare. n Consideriamo ora i numeri decimali dotati di una cifra doo la virgola, comresi tra 1 e 2, e confrontiamo i loro quadrati con il numero 2. Si ha 1;1 2 ¼ 1; 21 < 2 1;2 2 ¼ 1;44 < 2 1;3 2 ¼ 1;69 < 2 1;4 2 ¼ 1;96 < 2 1;5 2 ¼ 2;25 > 2 Possiamo allora affermare che 1,4 è un arossimazione er difetto di 2 e1;5 neèun arossimazione er eccesso, ossia che 1;4 < ffiffiffi 2 < 1;5 Perciò ossiamo scrivere 2 ¼ 1;4::: n Se ora confrontiamo con 2 i quadrati dei numeri decimali con due cifre doo la virgola comresi tra 1;4 e1;5, troviamo che 1;41 2 ¼ 1;9881 < 2 1;42 2 ¼ 2;0164 > 2 ffiffiffi Perciò 1,41 e 1,42 sono arossimazioni, risettivamente er difetto e er eccesso, di 2 : 1;41 < ffiffiffi 2 < 1;42 e quindi 2 ¼ 1;41::: Il rocedimento descritto uò roseguire fino a determinare il numero di cifre decimali che si vuole, ma non uò avere termine e non uò neure generare un numero eriodico. Infatti i numeri decimali 170

6 INUMERI finiti o eriodici, come sai dall UNITÀ 3, sono numeri razionali, mentre 2 è irrazionale. Ad esemio, sarebbe errato scrivere 2 ¼ 1;41, erché è 1;41 ¼ 141 e, come abbiamo già detto, 2 non uò essere raresentato da una fra- 100 zione. Queste conclusioni si ossono generalizzare. Un numero irrazionale si uò semre raresentare in forma decimale; tale raresentazione è costituita di un numero infinito di cifre e non è eriodica. ATTENZIONE! Poiché è 2 ¼ 1;414213::: si uò scrivere 2 ¼ 1;41::: oure ffiffiffi 2 1;41 (si legge 2 è uguale circa a 1,41). È invece errato scrivere 2 ¼ 1;41; infatti 2 è irrazionale, mentre 1,41 è razionale. IN SINTESI... Tutti i numeri reali si ossono raresentare in forma decimale. I numeri razionali hanno una raresentazione finita o eriodica, i numeri irrazionali hanno una raresentazione infinita, cioè illimitata, e non eriodica. U4. NUMERI REALI n La retta reale 6 Numeri reali e unti della retta L insieme dei numeri reali uò essere utilmente raresentato su una retta. A tal fine è necessario scegliere un unità di misura delle lunghezze e fissare sulla retta rescelta un unto O, che chiameremo origine, e un verso (indicato in FIGURA 7 dalla freccia). In questo modo è ossibile associare a ogni unto della retta un numero reale, rocedendo nel modo seguente. Cominciamo con l associare al unto O il numero zero; riortiamo oi sulla retta il segmento OA, di lunghezza unitaria, in modo che, nel verso refissato (di solito, se la retta è disegnata orizzontalmente, da sinistra a destra), il unto A segua O. Al unto A sarà associato il numero 1. Riortiamo oi un altro segmento di lunghezza unitaria AB, semre in modo che B segua A. FIGURA 7 Al unto B sarà associato il numero 2. Procedendo così, si determinano sulla retta i unti che si associano ai numeri interi ositivi. In modo analogo, ma oerando in senso oosto al verso refissato, si determinano i unti A 0, B 0, ecc. che sono associati ai numeri interi negativi 1, 2 ecc. Per associare un numero reale a uno qualsiasi degli altri unti, se ne determina innanzi tutto il segno: se il unto si trova, nel verso rescelto, doo l origine O, a esso sarà associato un numero ositivo, se invece il unto recede O, a esso assoceremo un numero negativo. 171

7 Per illustrare il modo in cui si determina la raresentazione decimale del numero associato a un unto della retta, consideriamo, er esemio, il unto P in FIGURA 8: sia x il numero, da determinare, associato a esso. Poiché P segue l origine O, tale numero sarà ositivo. FIGURA 8 Poiché P segue il unto B e recede il unto C, a cui sono risettivamente associati i numeri 2 e 3, il numero x da associare a P dovrà essere tale che 2 < x < 3! x ¼ 2;::: Dividiamo oi il segmento BC in dieci segmenti congruenti. Ai loro estremi interni a BC, ossia a B 1 B 2 B 3 ::: B 9 associamo risettivamente i numeri NOTA BENE In geometria segmenti congruenti significa «segmenti sovraonibili con un movimento rigido» e quindi segmenti con la stessa lunghezza. 2;1 2;2 2;3 ::: 2;9 Poiché il unto P cade tra i unti B 2 e B 3, associati risettivamente a 2,2 e a 2,3, dovrà essere 2;2 < x < 2;3! x ¼ 2;2::: Dividiamo oi il segmento B 2 B 3 in dieci segmenti congruenti, trovando 2;23 < x < 2;24! x ¼ 2;23::: Procedendo in questo modo si ossono determinare quante cifre decimali si vogliono: resta così determinato anche il numero x associato al unto P. Si otrebbe anche dimostrare che, viceversa, ad ogni numero reale si uò associare un unto della retta. n Resta così stabilita una corrisondenza biunivoca tra numeri reali e unti della retta: a ogni unto della retta è associato un numero reale e a ogni numero reale è associato un unto della retta. n Quando su una retta è stabilita una tale corrisondenza biunivoca, diremo che sulla retta si è stabilito un sistema di coordinate; la retta stessa viene allora chiamata retta reale, o anche asse reale. Il numero reale associato a un unto P si chiama allora coordinata ascissa, o semlicemente ascissa, dip e si indica anche con x P. 172

8 INUMERI ESEMPIO Vogliamo ordinare (ossia scrivere, ad esemio, in ordine crescente) i numeri Raresentiamo i numeri dati su una retta reale (FIGURA 9). 1;3 FIGURA 9 Si ha erciò 7 2 < 3 < 1 3 < 1;3 < 7 5 < ffiffiffi 2 Osserva che in FIGURA 9 sono disegnati dei unti, in corrisondenza ai quali sono indicate le risettive ascisse. 7 Distanza tra due unti della retta reale Consideriamo su una retta, su cui sia fissato un sistema di coordinate, due unti A e B; siano x A e x B le loro ascisse. Qual è la distanza tra A e B, ossia qual è la misura della lunghezza di AB risetto all unità di misura rescelta? n Per fissare le idee suoniamo che sia x A ¼ 3 e x B ¼ 5 (FIGURA 10). Osserviamo che il segmento OB è la somma di OA e AB: OB ¼ OA þ AB Quindi, considerando le misure delle lunghezze dei segmenti, sarà OB ¼ OA þ AB NOTA BENE Per distanza tra due unti si intende, in geometria razionale, la lunghezza del segmento che congiunge i due unti o la sua misura risetto a una refissata unità. SeA e B sono due unti, la misura della lunghezza del segmento AB si indica con AB. U4. NUMERI REALI FIGURA 10 Ma è OB ¼ x B ¼ 5eOA ¼ x A ¼ 3; quindi l uguaglianza recedente diviene 5 ¼ 3 þ AB! AB ¼ 5 3 ¼ 2 In ratica, er determinare la distanza tra A e B si calcola la differenza tra le loro ascisse: AB ¼ x B x A 1 n La formula h1 non è erò adeguata qualora A segua B. Consideriamo er esemio il caso in cui sia x A ¼ 9ex B ¼ 6(FIGURA 11). FIGURA 11 Dalla h1 si otterrebbe AB ¼ x B x A ¼ 6 9 ¼ 3. Tale risultato non ha senso, erché la misura del segmento AB non uò essere negativa. In realtà in questo caso si ha AB ¼ 3, ossia AB ¼ ð 3Þ ¼ ðx B x A Þ 173

9 In ratica, se il numero x B x A risulta ositivo, esso esrime la misura della distanza tra A e B; se invece x B x A risulta negativo, er ottenere la misura di AB occorre cambiare il segno del risultato. Ricordando la definizione di valore assoluto, ossiamo scrivere AB ¼jx B x A j 2 RICORDA! Per i numeri reali continua a valere la definizione di valore assoluto valida er gli interi relativi e er i razionali. Se a è un numero reale si ha: ( a er a 0 jaj ¼ a er a < 0 Concludiamo che la distanza tra due unti di una retta, su cui sia fissato un sistema di coordinate, è il valore assoluto della differenza delle loro ascisse. La h2, ottenuta suonendo che i due unti seguano l origine, resta valida anche se uno o entrambi i unti recedono l origine, come in FIGU- RA 12 dove è x A ¼ 2ex B ¼ 4. FIGURA 12 ESEMPIO Determiniamo la distanza tra i unti P e Q, essendo x P ¼ 5 2 e x Q ¼ 6. Alicando la h2 otteniamo PQ ¼jx Q x P j¼ 6 5 ¼ 2 6 þ 5 2 ¼ 12 þ 5 2 ¼ 7 2 ¼ 7 2 n Calcolo arossimato 8 Arossimazione er difetto e arossimazione er eccesso Oerando con i numeri decimali, è semre necessario utilizzare un numero limitato di cifre. In tale modo si commettono sesso degli inevitabili errori di arossimazione. Se, ad esemio, in un calcolo si deve utilizzare un esressione decimale del numero, è necessario ricorrere a una sua arossimazione. Infatti il numero è un numero irrazionale e ertanto la sua raresentazione decimale è costituita di un numero infinito di cifre; erciò utilizzando al suo osto, ad esemio, il numero 3,14, si commette un errore di arossimazione. È erciò errato scrivere ¼ 3;14; bisogna iuttosto scrivere, servendosi del simbolo di uguaglianza arossimata, 3;14 La relazione recedente si legge «è uguale circa a 3,14» oure «è arossimativamente uguale a 3,14». In generale, se nei calcoli con i numeri decimali si utilizza un valore a al osto di un numero c, si dice che a è un arossimazione di c e, recisamente, a < c! a è un arossimazione er difetto di c c < a! a è un arossimazione er eccesso di c 174

10 INUMERI 9 Arossimazione ed errore assoluto Oerando con i numeri decimali, si commettono errori di arossimazione nei seguenti casi. n Si utilizza un numero limitato di cifre decimali di un numero che ha infinite cifre decimali doo la virgola, o comunque «troe»; è ciò che avviene, ad esemio, quando si sostituisce il numero con 3,14 o quando si utilizza il numero decimale 0,33 al osto della frazione 1 3. n Si eseguono calcoli con dati risultanti dalla misura di grandezze fisiche; infatti le misure di tali grandezze non ossono mai essere esatte. Se si sostituisce un numero c con una sua arossimazione a, si dice che si commette un errore assoluto dato da e ¼jc aj DEFINIZIONE ERRORE ASSOLUTO Si dice errore assoluto dell arossimazione a di un numero c il valore assoluto della differenza tra il numero c e la sua arossimazione a. Sesso non è ossibile determinare esattamente l errore assoluto da cui è affetta l arossimazione a di un numero c, ma si uò saere che tale errore è minore di un certo numero ">0: jc aj ¼e <" Si dice che " è una maggiorazione dell errore. U4. NUMERI REALI ESEMPI 1 Se al osto del numero ¼ 3; ::: usiamo la sua arossimazione 3,14, commettiamo un errore assoluto ari a e ¼j 3;14j ¼0; 00159::: Essendo 3;14 <diremo che 3,14 è un arossimazione er difetto di. 2 Il numero 0,667 è un arossimazione della frazione 2, affetta da un errore assoluto ari a 3 e ¼ 2 3 0;667 ¼ ¼ Essendo 2 3 < 0;667, reciseremo che 0,667 è un arossimazione er eccesso di Se misuriamo, in centimetri, l altezza della agina di questo libro con una riga graduata, otteniamo un valore certamente arossimato. Infatti lo strumento utilizzato è in grado di valutare con recisione centimetri e millimetri, ma non i sottomultili del millimetro. In questo caso non è ossibile dire esattamente qual è l errore assoluto commesso. Ritenendo esatti i centimetri e i millimetri, ossiamo erò affermare che l errore della misura, esressa in centimetri, è inferiore a 0,1; si ha quindi e < 0;1 In questo caso la maggiorazione dell errore è " ¼ 0;1. 10 Errore relativo L errore assoluto non è molto indicativo dell accuratezza con cui è stata eseguita una misura o della recisione dell arossimazione di un numero. Se si commette un errore di un centimetro nel misurare la lunghezza di un tavolo, senz altro giudichiamo che la misurazione è stata effettuata in modo grossolano. Lo stesso errore nella misura della distanza media Terra-Luna sarebbe invece indice di eccezionale accuratezza. È erciò utile il concetto di errore relativo. 175

11 DEFINIZIONE ERRORE RELATIVO Si dice errore relativo dell arossimazione a di un numero c il raorto tra l errore assoluto e il valore assoluto dell arossimazione a. Indicando con e r l errore relativo, si ha quindi e r ¼ e jaj ¼ jc aj jaj 1 Dalla h1, ricordando la definizione di divisione, si ricava e ¼ e r jaj ossia: l errore assoluto è il rodotto dell errore relativo er il valore assoluto dell arossimazione. Gli errori relativi si esrimono sesso mediante ercentuali: dire che una certa arossimazione è affetta da un errore relativo del 5% equivale a dire che il raorto tra errore assoluto e valore assoluto dell arossimazione è In generale, er esrimere un errore relativo e r in forma ercentuale basta moltilicare er 100 tale errore. Quando l errore relativo non è noto, ma si sa che esso è inferiore a un certo numero " r > 0, ossia che e r <" r si dice che " r è una maggiorazione dell errore relativo. ESEMPIO L arossimazione 1,4 del numero 2 è affetta da un errore relativo ari a er ¼ j 2 1;4j 1;4 Essendo 0;01 ¼ 1, diremo che tale errore relativo è dell 1% ; Valore abbreviato alla n-esima cifra decimale Il modo iù semlice e iù usato, er ottenere un arossimazione di un numero scritto in forma decimale, è quello di sorimere tutte le cifre che seguono una data cifra. Se sorimiamo le cifre del numero c che seguono la n-esima cifra doo la virgola, otteniamo il valore abbreviato o troncato alla n-esima cifra decimale doo la virgola. Nel seguito sottintenderemo l indicazione «doo la virgola». Tale valore abbreviato è un arossimazione di c a meno di 1 10 n ¼ 10 n. ESEMPIO 1 L arossimazione del numero ¼ 3; :::, abbreviata alla terza cifra decimale, si ottiene sorimendo tutte le cifre che seguono la terza cifra doo la virgola: 3;141 Il numero 3,141 è un arossimazione di a meno di un millesimo. 176

12 INUMERI Talvolta di un numero sono note alcune cifre doo la virgola: se ne conosce cioè un valore abbreviato, senza che siano note le cifre successive. Così, nell esemio del PARAGRAFO 5 ffiffiffi abbiamo determinato ffiffiffi soltanto le rime due cifre doo la virgola di 2, cioè abbiamo determinato il valore di 2 abbreviato alla seconda cifra decimale: ffiffiffi 2 1;41 Qual ffiffiffi è l errore da cui è affetta tale arossimazione? Se non conosciamoesattamente ffiffiffi le cifre decimali di 2, non ossiamo neure calcolare quelle dell errore assoluto e ¼j 2 1;41j. Osserviamo erò la FIGURA 13. ffiffiffi Poiché il unto P, che raresenta il numero 2, deve cadere nel segmento AB, la lunghezza del segmento AP, che raresenta l errore assoluto e, dev essere minore della lunghezza del segmento AB, la cui ffiffiffi misura è 0,01. Quindi l arossimazione 2 1;41 è affetta da un errore assoluto minore di 0;01 ¼ 10 2 FIGURA 13. n In generale, l arossimazione a n, valore abbreviato alla n-esima cifra decimale di un numero c > 0, è un arossimazione er difetto, affetta da un errore assoluto inferiore a 0; 00:::01 ¼ 1 n ¼ n Si ha erciò: n cifre e < 10 n U4. NUMERI REALI ESEMPIO 2 Il valore di abbreviato alla terza cifra decimale, ossia 3,141, è un arossimazione er difetto affetta da un errore minore di 10 3 ¼ 0;001. Verifichiamolo: e ¼j 3;141j ¼j3; ::: 3;141j ¼0; ::: < 0; Valore arrotondato alla n-esima cifra decimale Se si vuole sostituire a un numero c una sua arossimazione dotata di un refissato numero di cifre doo la virgola, non semre il valore abbreviato di c costituisce la scelta migliore. Si voglia er esemio un arossimazione di dotata di tre cifre doo la virgola. Saiamo già che 3,141 è il valore abbreviato alla terza cifra decimale. Osserviamo la FIGURA 14. Come uoi vedere, il unto medio M del segmento AB corrisonde al numero 3,1415. FIGURA 14 Essendo ¼ 3; ::: > 3;1415 il unto P che corrisonde a cade nel segmento MB e quindi risulta iù vicino al unto B che al unto A. Ciò significa che il numero 3,142 arossima meglio del valore abbreviato 3,141, ur avendo lo stesso numero di cifre doo la virgola. 177

13 In effetti a 1 ¼ 3;141 è un arossimazione er difetto affetta da un errore e 1 ¼j 3;141j ¼0; ::: mentre a 2 ¼ 3;142 è un arossimazione er eccesso affetta da un errore e 2 ¼j 3;142j ¼0; ::: e quindi si ha e 2 < e 1 Perciò arossimando con 3,142 si commette un errore iù iccolo di quello che si commetterebbe scegliendo come arossimazione il valore abbreviato 3,141. In generale vale la seguente regola. n Regola Per trovare il numero, dotato di n cifre decimali doo la virgola, che arossima meglio un dato numero c si rocede così: se la rima cifra che segue la n-esima cifra doo la virgola è minore o uguale a 4, si sceglie come arossimazione il valore abbreviato alla n-esima cifra decimale; se invece la rima cifra che segue la n-esima cifra doo la virgola è maggiore o uguale a 5, si sceglie come arossimazione il valore abbreviato alla n-esima cifra decimale, aumentandone di un unità l ultima cifra. L arossimazione così determinata si dice valore arrotondato alla n-esima cifra decimale. Tale arossimazione, come si desume semre dalla FIGURA 14, è affetta da un errore assoluto che non uò essere sueriore a 0;00:::05 ¼ 0;5 10 n n zeri ESEMPI 1 Determiniamo il valore di 2 ¼ 1; ::: arrotondato alla quarta cifra decimale. Poiché la quinta cifra doo la virgola è 1, assumiamo come valore arrotondato il valore abbreviato alla quarta cifra decimale: ffiffiffi 2 1;4142 Osserva che, in questo caso, valore arrotondato e valore abbreviato coincidono. ffiffiffi 2 Determiniamo il valore di 24 ¼ 4;898979::: arrotondato alla seconda cifra decimale. Poiché la terza cifra doo la virgola è 8, assumiamo come valore arrotondato il valore abbreviato alla seconda cifra decimale, aumentando quest ultima di un unità: 4,89 1 4,90 Perciò l arossimazione cercata è 4,90. Osserva che è necessario tener conto del riorto alla rima cifra decimale. Inoltre è oortuno lasciare scritto lo 0 doo il 9, er ricordare che 4,90 è un arossimazione alla seconda cifra decimale. ffiffiffi Se volessimo oi il valore di 24 arrotondato alla terza cifra decimale, avremmo 4, L accumulazione degli errori nei calcoli È evidente che, se si eseguono calcoli con valori arossimati, si ottengono risultati arossimati. In generale, erò, gli errori da cui sono affetti i risultati ossono essere maggiori degli errori da cui sono affetti i valori dati. Se, ad esemio, svolgiamo dei calcoli utilizzando dei valori abbreviati, ossia esatti fino a una certa cifra decimale, non è detto che nel risultato che così si ottiene siano esatte le stesse cifre decimali. 178

14 INUMERI ESEMPIO Calcoliamo þ ffiffiffi 3 utilizzando valori abbreviati alla quarta cifra decimale, ossia ffiffiffi 3; ;7320 Otteniamo þ ffiffiffi 3 4;8735 In realtà, come uoi verificare oerando con un maggior numero di cifre decimali, si ha þ ffiffiffi 3 ¼ 4; ::: e quindi il valore di þ ffiffiffi 3 abbreviato alla quarta cifra decimale è 4,8736 e non 4,8735. In conclusione, oerando con valori esatti fino alla quarta cifra decimale, abbiamo qui ottenuto un risultato che è esatto solo fino alla terza cifra decimale. 14 La teoria degli errori Lo studio delle relazioni tra gli errori dei dati e gli errori dei risultati è oggetto di una discilina molto comlessa, detta teoria degli errori, su cui non ci ossiamo soffermare. Ci limitiamo erciò a fare alcune semlici considerazioni, traducendole quindi in consigli di immediata utilità ratica. L errore da cui è affetto il risultato di un calcolo diende in generale da due cause: A l errore da cui sono affetti i dati; B il numero di oerazioni necessarie er ottenere il risultato. Perciò, se si desidera ottenere un risultato con un certo numero di cifre decimali esatte, occorre in generale eseguire i calcoli con un maggior numero di cifre decimali esatte. Se si deve eseguire una semlice addizione o sottrazione, è sufficiente che i dati abbiano una cifra decimale esatta in iù risetto a quelle richieste nel risultato. Se invece si deve eseguire un calcolo comlesso, che comorta l esecuzione di svariate oerazioni elementari, occorre che i dati abbiano diverse cifre decimali esatte in iù risetto a quelle richieste nel risultato. U4. NUMERI REALI 179