La probabilità. f n. evidentemente è 0 ( E)

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1 La robabilità Definizione - Eserimento aleatorio Ogni fenomeno del mondo reale al quale associare una situazione di incertezza. Es: Lancio di un dado, estrazioni numeri della tombola, ecc. Definizione Sazio camionario Insieme dei ossibili risultati di un eserimento aleatorio. Simbolo Ω. Es: Nel lancio di un dado, Ω {,,,4,,} Definizione - Evento aleatorio Ogni roosizione, relativa ad un eserimento aleatorio, di cui non si conosce il valore di verità. Esso definisce un sottoinsieme dello sazio camionario Ω. Es: Nel lancio di un dado, un evento aleatorio è la roosizione «esce», oure «esce un numero ari», ecc. Definizione - Evento elementare Evento aleatorio che coincide con un elemento dello sazio camionario Ω. Es: Nel lancio di un dado, un evento elementare è la roosizione «esce», oure «esce», mentre non sono eventi elementari le roosizioni «esce un numero ari», «esce un numero ari», ecc. Definizione - Evento certo Evento certo è l evento aleatorio che definisce l intero sazio camionario Ω. Es: Nel lancio di un dado, l evento certo è la roosizione «esce un numero minore di 7» Definizione - Evento imossibile Evento imossibile è l evento aleatorio che definisce l insieme vuoto Φ. Es: Nel lancio di un dado, l evento imossibile è la roosizione «esce 7». Definizione - Evento contrario Dato un evento A, l evento contrario, A, si verifica quando A non si è verificato, e viceversa. Es: Nel lancio di un dado, se A è l evento «esce», l evento contrario A è «non esce»,. Definizione - Probabilità MODELLO CLASSICO: la robabilità di un evento è il raorto tra il numero dei casi favorevoli f e il numero dei casi ossibili (totalità dello sazio camionario) n: evidentemente è ( E) ( E) f n ; inoltre ( E ) ( E)

2 MODELLO STATISTICO o FREQUENTISTA: relativamente ad un eserimento aleatorio A, che uò essere rietuto molte volte, la robabilità di un evento E è il valore a cui tende il raorto tra il numero di rove che hanno avuto esito favorevole e il numero totale di rove fatte. Nel lancio di una moneta, rietuto volte, otrebbe essersi verificato: 48 volte testa, volte croce. Pertanto, volendo valutare la robabilità (secondo il modello statistico) dell evento «esce croce», il raorto tra il numero di rove con esito favorevole e il numero totale di rove è uguale a,. Rietendo l eserimento volte, si verificherà, ad esemio 4 volte testa, volte croce: il raorto diventa,. Rietendo l eserimento un numero di volte semre maggiore, il raorto in questione tenderà ad assumere il valore,. Constatazione: Legge emirica del caso: in un grande numero di rove, rietute alle stesse condizioni, la robabilità frequentista tende ad essere uguale alla sua robabilità teorica. Probabilità totale e comosta Definizione - Eventi incomatibili Due eventi si dicono incomatibili se il verificarsi dell uno esclude il verificarsi dell altro; cioè se è imossibile che si verifichino entrambi. Definizione - Eventi indiendenti Due eventi si dicono indiendenti quando il verificarsi del rimo non modifica la robabilità di verificarsi del secondo; cioè quando la robabilità di verificarsi del secondo evento è la stessa sia che il rimo evento si sia verificato sia che non si sia verificato. Definizione Evento totale Dati due o iù eventi (arziali), si dice evento totale l evento che consiste nel verificarsi dell uno o dell altro degli eventi arziali. Es: Nel lancio di un dado, siano A «esce» e B «esce». L evento C «esce un numero maggior di 4» è verificato quando si verifica A oure B. C è, quindi, l evento totale degli eventi arziali A e B. In simboli C A B. Definizione Evento comosto Dati due o iù eventi (comonenti), si dice evento comosto l evento che consiste nel verificarsi di tutti gli eventi arziali. Es: Dati due mazzi di carte, si estrae una carta da ciascun mazzo. L evento C «la rima carta è un asso e la seconda è una figura» è verificato quando sono verificati entrambi gli eventi A «esce un asso» e B «esce una figura». C è, quindi, l evento comosto degli eventi comonenti A e B. In simboli C A B. Princiio della robabilità totale (sintesi): Se A e B sono incomatibili ( A B) ( + ( B) Princiio della robabilità comosta (sintesi): Se A e B sono indiendenti ( A B) ( ( B) Se A e B non sono indiendenti ( A B) ( ( B / (*) (*) ( B \ è la robabilità che si verifichi B, essendosi verificato A. Princiio della robabilità totale generalizzato (sintesi): Se A e B non sono incomatibili ( A B) ( + ( B) ( A B)

3 Probabilità comosta e diagrammi ad albero Esemio di alicazione Si hanno tre urne: U contiene alline rosse e bianche; U contiene 8 alline rosse e bianche; U contiene alline rosse e bianche. Inoltre, si lancia un dado e se esce un numero n ari a o a, si estrae una allina dalla rima urna, se esce un numero n sueriore a, si estrae una allina dalla seconda urna, se esce, si estrae una allina dalla terza urna. Domanda: Qual è la robabilità che la allina sia rossa? Schematizziamo il tutto introducendo i seguenti simboli: A «estrazione allina rossa» H «nel lancio del dado esce n ari a o a» H «nel lancio del dado esce n sueriore a» H «nel lancio del dado esce» Si uò realizzare il seguente diagramma: ( A \ H ) R ( H 4 ( H ) ( H ) U U ( A \ H ) 8 B R B 8 ( H ( H ) ( A \ H ) R ( H U Sui tre rami di sinistra sono indicate la robabilità di accedere alle varie urne. Su tre dei sei rami centrali sono indicate le robabilità di estrarre una allina rossa da ciascuna urna. A destra le robabilità di estrarre la allina rossa da ciascuna urna subordinata all uscita favorevole, er quell urna, nel lancio del dado. Cerchiamo di dare la risosta: Il diagramma ad albero ha consentito di individuare gli eventi favorevoli all estrazione della allina rossa, individuandone anche le robabilità. Ora occorre chiedersi, come combinare insieme le tre robabilità B

4 8 ( H ( H ( H 4 Basterà ensare che l estrazione della allina rossa come l evento totale di A ( H ( H ( H, ora, essendo H A, H e ( H incomatibili tra loro, si ha (vedi robabilità comosta) ( H + ( H + ( H ), ossia, ( A ( Il teorema di Bayes (o teorema delle cause) Il rinciio della robabilità comosta abbiamo ( A H ) ( ( H \, e anche ( H ( H ) ( A \ H ) inoltre la rorietà commutativa dell intersezione ( A H H A ) consente di scrivere ( ( H \ ( H ) ( A \ H ). Da questa formula ricaviamo ( H ) ( A \ H ) ( H \ (*) ( Questa formula è un caso articolare del iù generale teorema di Bayes; Vediamone il significato con riferimento all esemio affrontato con il diagramma ad albero: se A è l estrazione della allina rossa e H l esito del lancio del dado, la formula (*) consente, saendo che è stata estratta una allina rossa, di valutare la robabilità che essa rovenga da una certa urna. In termini iù generali Bayes consente la valutazione della robabilità del verificarsi delle cause che hanno determinato un certo evento. Pertanto, ora ossiamo risondere sia alla domanda qual è la robabilità di estrarre una allina rossa? (robabilità dell evento finale), sia alla domanda qual è la robabilità che la allina rossa estratta rovenga da una certa urna?. Secificamente, con riferimento all esemio affrontato con il diagramma ad albero, si uò risondere alla domanda qual è la robabilità che la allina rossa estratta rovenga dalla rima ( H) ( A \ H) urna?. Essendo ( H \, basterà rirendere i valori riortati nel ( diagramma: ( H ), ( A \ H ), ( 4 (quest ultimo valore è la robabilità che venga estratta una allina rossa, affrontata con il recedente diagramma ad albero), quindi si ha che la robabilità che la allina rossa estratta rovenga dalla rima urna è: ( H) ( A \ H) ( H \. ( 7 4 Esercizio: Una certa roduzione industriale è legata a tre macchine, che chiameremo M, M, e M. Di ognuna di esse è stata valutata una certa robabilità di rodurre rezzi difettosi. In articolare ( D \ M ),, ( D \ M ),, ( D \ M ), 7. Per rodurre un certo lotto di ezzi si sono utilizzate tutte e tre le macchine; in articolare, M ha rodotto ezzi, M ne ha rodotti, M gli altri.

5 Calcolare la robabilità che, scegliendo un ezzo a caso fra i e vedendo che è difettoso, questo sia stato rodotto (a) dalla macchina M, (b) dalla macchina M, (c) dalla macchina M. Calcolare la robabilità che, scegliendo un ezzo a caso fra i e vedendo che è un ezzo buono, questo sia stato rodotto (d) dalla macchina M, (e) dalla macchina M, (f) dalla macchina M. Soluzione del caso (a) (è un caso dove si chiede di valutare la robabilità della causa che ha determinato l evento, quindi, bisogna imiegare il diagramma ad albero e, successivamente, Bayes): E evidente l analogia al roblema del dado e delle urne risolto con il diagramma ad albero. Occorre valutare innanzitutto qual è la robabilità che il ezzo (buono o difettoso che sia) rovenga dalla macchina M, dalla macchina M o dalla macchina M. ( M ) /; M ) /, M ) ( ( / (nel diagramma, rami a sinistra). Poi, occorrerà recisare la robabilità che M (nonché M e M ) roduca un ezzo difettoso rodotto. Tali dati sono forniti nella traccia. D ezzo difettoso ( D \ M ), ; ( D \ M ), ; ( D \ M ), 7 (nel diagramma, rami centrali). Quindi, occorrerà calcolare la robabilità che scegliendo un ezzo tra quelli rodotti, esso sia difettoso (D) e sia stato rodotto da M (nonché da M e M ). Si tratta di eventi comosti: ( D M ) ( M ) ( D \ M ),,7 ( D M ) ( M ) ( D \ M ),,4 (nel diagramma, rami di destra) ( D M ) ( M ) ( D \ M ),7, Quindi, ora, si uò calcolare la robabilità che il ezzo sia difettoso (a rescindere dalla macchina) ( D),7 +,4 +,, 7 Ora, sfruttando il teorema di Bayes, si uò stabilire che la robabilità che il ezzo difettoso rovenga dalla macchina M è:, ( M ) ( D \ M ) ( M \ ) D,477 ( D),7

6 Il gioco equo Un giocatore A unta una somma S (es: euro) ed ha la robabilità di vincere contro un giocatore B che unta una somma S ' ed ha la robabilità ' di vincere. Il gioco di dice equo se S ', ossia, se le somme untate dai giocatori sono direttamente roorzionali alle loro S' ' robabilità di vincere. Le variabili casuali Si chiama variabile casuale una funzione che associa ad ogni evento elementare E uno e un solo numero reale. Una variabile casuale si dice discreta quando uò assumere solo articolari valori di un intervallo. Esemio: nel lancio di tre monete, la variabile X, numero di volte che si ottiene croce, uò assumere i valori,,,. Una variabile casuale si dice continua quando uò variare con continuità in un intervallo. Esemio: misurando l altezza di un gruo di ersone, la variabile X, altezza della ersona, è una variabile di tio continuo. Quando ad ogni valore della variabile casuale X si attribuisce la robabilità di verificarsi, si ottiene la distribuzione di robabilità. Esemio: distribuzione di robabilità della variabile unteggio nel lancio di due dadi. Valori di X Probabilità / / / 4/ / / / 4/ / / / (decimale),78,,8,,8,7,8,,8,,78 Gli eventi ossibili sono. Per esemio, il valore X 4 uò verificarsi con le uscite: (,), (,), (,), ertanto la sua robabilità è /. Funzione di robabilità: essa descrive la distribuzione di robabilità ed è definita come ( x) P( X x) con ( x) e ( x) x Più intuitivamente si tratta di associare ad ogni valore di ascissa ( al valore della variabile discreta X) un valore di robabilità. Si veda il grafico seguente

7 ,,8,7,,4,,,8,8,,,8,,4,78,,8,8,,78, Per una variabile di tio continuo non ha senso chiedersi qual è la robabilità che essa assuma un determinato valore. Ha, invece, senso chiedersi qual è la robabilità che il suo valore cada in un certo intervallo. Le distribuzioni: binomiale e di Poisson Consideriamo una serie di n rove, rietute nelle medesime condizioni, considerando un evento A o il suo contrario B (ad esemio il lancio di due dadi, considerando l evento A «realizzare unti» e l evento contrario B «non realizzare unti»). In una singola rova A ha una robabilità di verificarsi e q - di non verificarsi. Doo n rove, A uò essersi verificato un numero di volte x,,,, n volte, e, in corrisondenza B uò essersi verificato n,,,, volte. La variabile x è detta variabile casuale binomiale e i suoi ossibili valori vanno da a n. Ci si uò chiedere qual è la robabilità che x assuma un certo valore k volte, con k n. Ad esemio, qual è la robabilità che lanciando due dadi volte (n ) si ottenga il unteggio (x ) er volte (k )?. Il calcolo di tale robabilità si effettua con la formula seguente k n k n ( n )... ( n k + ) k Cn. k q k! n! k n k n k n k q q. k!( n k)! k k q n k

8 Esemio: qual è la robabilità, gettando una moneta volte, di fare testa zero volte, una volta,.dieci volte? n, robabilità di fare testa in un lancio, /, q robabilità di non fare testa in un lancio, ½. Fare testa volte: k Fare testa volta: k Fare testa volte: k 8 4 Fare testa volte: k Fare testa 4 volte: k Fare testa volte: k Fare testa volte: k Fare testa 7 volte: k Fare testa 8 volte: k Fare testa volte: k Fare testa volte: k

9 ,,,,78,47,78,,787,787,,,7,7,44,44,7, La distribuzione binomiale è simmetrica; questo accade ogni volta che /. Si uò dimostrare che il valore medio di una variabile casuale è dato dalla formula x n. Per comrendere il significato di x, si recueri la disensa di statistica da Tuttavia, qui è riortato un esemio. Si osservi la seguente tabella, nella quale sono riortati quanti oggetti difettosi rodotti da una ditta sono stati trovati esaminando camioni (confezioni) ciascuno costituito di articoli, con relative frequenze: Numero di articoli difettosi in ciascun camione di art. x Frequenza dei camioni con x art. difettosi Frequenza relativa ,,8,,,8,,,,,, Totale, Dalla tabella si deduce che x Ossia, gli articoli difettosi sono mediamente su.

10 Quando il numero di rove n è molto grande, i calcoli sono molto laboriosi con la distribuzione binomiale. In questo caso diventa utile la formula di Poisson, k λ λ k e k! essa consente di stabilire la robabilità che, su un numero enorme di rove, l evento A si manifesti k volte. Occorre erò conoscere λ, che raresenta il valore medio della variabile casuale binomiale ossia x. Per esemio se in un centralino ervengono in media telefonate al minuto, le robabilità che in un minuto ervengano telefonate è e,%,! mentre la robabilità che ne ervengano è e!,% La distribuzione normale o gaussiana Questa distribuzione è molto utilizzata in statistica, erché molti fenomeni fisici e biologici, ma non solo, hanno una andamento che si uò raresentare, con buona arossimazione, mediante una curva di Gauss. La funzione è esressa dalla formula y σ ( x x ) σ e π con < x < +, x il valore medio della variabile casuale, σ lo scarto quadratico medio, definito ( x x) i come σ n. n

11 ( x x ) σ. Il fattore e, variabile al variare di x, determina la forma della gaussiana;. Il valore massimo assunto dalla funzione è assunto in corrisondenza del valore σ π medio x ;. ha come asintoto orizzontale l asse x; 4. l area sottesa dalla curva e delimitata dall asse x vale. La sua forma è detta a camana. Sono interessanti i seguenti dati: la robabilità che x assuma un valore comreso tra la robabilità che x assuma un valore comreso tra la robabilità che x assuma un valore comreso tra x σ e x + σ è del 8% circa. x σ e x + σ è del % circa. x σ e x + σ è quasi del %.