Note sulla Definizione Assiomatica della Probabilita

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1 ote sulla efinizione ssiomatica della Probabilita

2 La totalità delle varie modalità con cui si uò resentare un fenomeno casuale sono raresentate dai unti di uno sazio. Un sottoinsieme qualunque dello sazio raresenta un qualunque evento casuale.

3 Viene definita PROILIT dell evento casuale,, un numero associato univocamente all evento che soddisfi le seguenti 3 rorietà: - 0 ; - = - 3 = er qualsiasi insieme di eventi,, 3, in numero finito oure infinito e a due a due senza alcun elemento in comune {i j} = i j i j 3

4 - = = 3 = con a due a due senza alcun elemento in comune = + = e = 0 - = 3 = con a due a due senza alcun elemento in comune = + & 0 4

5 - Per due insiemi e qualunque, valgono le seguenti identità: = = = & 3 = con a due a due senza alcun elemento in comune Legge della robabilità totale nella sua forma iù generale: = + 5

6 Infatti: = = = = [ - ] + + [ - ] = + CV 6

7 el caso articolare di insiemi e disgiunti, si ottiene er la robabilità totale, la relazione semlificata: = + = 7

8 efinisco la robabilità condizionata che si verifichi l evento nel caso in cui si sia già verificato l evento con la simbologia: = / con 0 infatti, la soddisfa le 3 rorietà base della definizione assiomatica della robabilità, quindi e corretto arlare di una robabilità er la così definita. - 0 & > 0 > 0 - = = / = / = 8

9 - Per insiemi,, 3, a due a due disgiunti 3 = = 3 / = = [ ] / = =

10 Tramite la robabilità condizionata, si ricava la legge della robabilità comosta nella sua forma iù generale: = = P el caso articolare di eventi casuali statisticamente indiendenti, cioè tali che il verificarsi o meno dell uno non alteri la robabilità di resentarsi dell altro, = P & = = 0

11 Thomas ayes Londra, 70 Tunbridge Wells, 7 arile 76 è stato un matematico e ministro resbiteriano britannico. eve la sua fama ai suoi studi nel camo della matematica e della filosofia; è noto sorattutto nella statistica er il suo teorema sulla robabilità condizionata, ubblicato ostumo nel 763 Il teorema di ayes conosciuto anche come teorema della robabilità delle cause, roosto da Thomas ayes, deriva da due teoremi fondamentali delle robabilità: il teorema della robabilità comosta e il teorema della robabilità assoluta. Viene imiegato er calcolare la robabilità di una causa che ha scatenato l'evento verificato.

12 ati eventi casuali e qualsiasi = e definisco la robabilità condizionata y che si verifichi l evento nel caso in cui si sia già verificato l evento y, come: y = y / y con y 0 = = [ ] + [ ] = = [ ] + [ - ]

13 3 Teorema di ayes: Un -mo fenomeno casuale uò dare luogo ad eventualità mutuamente esclusive j che esauriscono la totalità delle ossibilità. Un -ndo fenomeno casuale uò condurre o al verificarsi o al non verificarsi di un evento casuale. e consideriamo la realizzazione di entrambi questi fenomeni allora se si verifica l evento, insieme ad esso si dovrà verificare anche una ed una sola delle eventualità mutuamente esclusive j. j j j i i i i i [

14 4 Utilizzo la legge della robabilità totale e quella della robabilità condizionata CV j j j i i i j j j j j i i i [ [

15 mo MPIO di utilizzo del teorema di ayes - Ho monete: moneta buona che ha ari robabilità di dare testa o di dare croce = 0.5; moneta cattiva con teste sulle facce; e scelgo una delle monete: ho eventualità mutuamente esclusive : scelgo la moneta buona : cattiva con robabilità: = = 0.5 se l evento casuale consiste nell uscita di testa, allora: = 0.5 e = ora faccio l eserimento di lanciare la moneta volta ottenendo testa, qual e la robabilità che nella scelta iniziale io abbia scelto la moneta buona? [ j j j 3 ~33%

16 6 ora faccio l eserimento di lanciare la moneta volta ottenendo testa, qual e la robabilità che nella scelta iniziale io abbia scelto la moneta truccata? [ j j j ~67%

17 7 lancio la moneta non volta soltanto, ma volte se ottengo almeno croce su lanci, osso concludere che la moneta era buona evento ; se non ottengo mai croce su lanci indiendenti tra loro: = / e = = / + : scelgo la moneta buona = / + : scelgo la moneta cattiva / / / / / / / / / / / /

18 ndo MPIO di utilizzo del teorema di ayes - In una scuola ci sono: 60% di studenti maschi; 40% di studenti femmine; e gli studenti maschi indossano tutti i antaloni, ovvero con robabilità: 00%... e gli studenti femmine indossano gonne e antaloni con ari robabilita : 50%... ora faccio l eserimento di di guardare la scuola da lontano, ovvero di intravedere solo se lo studente indossa antaloni, ma non sono in grado di riconoscere se lo studente e maschio o femmina... e intravedo uno studente con i antaloni, 8 qual e la robabilita che lo studente sia femmina?

19 9 vento, lo studente osservato e femmina = 40% vento, lo studente osservato e maschio = 60% vento, lo studente osservato ha i antaloni =5% =75%

20 3zo MPIO di utilizzo del teorema di ayes - i rogetta un eserimento di Fisica er lo studio di: venti di un certo tio che costituiscono il egnale e che saranno rivelati con robabilita ~% Insieme al egnale ci sono anche altri eventi che ero non interessano e che costituiscono il Fondo e che saranno rivelati con robabilita F ~99% - Il sistema di rivelazione degli eventi egnale e Fondo e conceito con un aarato di rivelazione che e in grado di: Rivelare il egnale con una robabilita comosta R ~90% efficienza trigger selezione eventi Rivelare il Fondo con una robabilita comosta RF ~0% 0 inefficienza trigger selezione eventi

21 R: Probabilita che un evento R rivelato dall aarato sia in realtà un vero segnale FR: Probabilita che un evento Rivelato R dall aarato sia in realtà di Fondo F 8.3% F R F R R R R R 9.7% F R F R F R F R F R F R F

22 4rto MPIO di utilizzo del teorema di ayes - Una analisi clinica e affidabile al 95% nel rilevare correttamente una atologia in un individuo. In altri termini, una frazione di esiti ositivi al test ari al 5% risulta associata a azienti sani! - La atologia indagata dal test clinico e diffusa tra la oolazione con un tasso ari a %. vento, individuo affetto dalla atologia =% vento, esito ositivo al test diagnostico analisi ositiva O il aziente malato =95% analisi ositiva O il aziente sano =5%

23 3 Calcolare la robabilita condizionata che un soggetto realmente malato ossa risultato ositivo al test : Calcolare la robabilita condizionata che un soggetto non malato ossa risultato ositivo al test :

24 5nto MPIO di utilizzo del teorema di ayes: - In un camione di 30 ersone U+M, di cui 7 euroee U e 3 malgasce M. U = 7 / 30 = 57% M = 3 / 30 = 43% - Probabilita che una malattia colisca una ersona e : in UROP MU= 33%, in MGCR MM= 4% vento M, un individuo tra I 30 colito dalla malattia: M = U MU + M MM = = = 0.37 Calcolare la robabilita condizionata che un soggetto scelto a caso tra i 30, se colito dalla malattia ossa risultare euroeo UM oure malgascio MM : U M U M M U % M M M M M M % 4

25 6sto MPIO di utilizzo del teorema di ayes -istema automatico industriale er il controllo di qualita : vento, ezzo eliminato dal controllo di qualita vento, ezzo rodotto difettoso - a misure su di un camione so che: a e un ezzo e difettoso, esso viene eliminato con robabilita = 99.5% ezzo eliminato O difettoso ; b e un ezzo O e difettoso, esso viene eliminato con robabilita = 0.%....ezzo non difettoso eliminato erroneamente... c Un ezzo qualunque rodotto otra essere difettoso con robabilita = 5%... Oure... 5 otra O essere difettoso = - = 85%

26 Calcolare la robabilita condizionata che un ezzo non eliminato al controllo di qualita sia difettoso: ezzo O eliminato O difettoso = - = 00% % = 0.5%... ezzo O eliminato O essendo difettoso = - = 00% - 0.% = 99.9%

27 Tramite un albero degli eventi si riortano gli eventi stessi che si succedono, evidenziando i loro reciroci raorti di diendenza e/o di indiendenza. vengono riortate le corrisondenti robabilita, finalizzate al calcolo della robabilita degli esiti finali. si ossono cosi calcolare anche le robabilita di eventi condizionati. 7

28 lbero delle decisioni er il 6sto MPIO sul controllo di qualita