NUMERI RAZIONALI E REALI

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1 NUMERI RAZIONALI E REALI CARLANGELO LIVERANI. Numeri Razionali Tutti sanno che i numeri razionali sono numeri del tio q con N e q N. Purtuttavia molte frazioni ossono corrisondere allo stesso numero, er esemio 2 e 2 4. È quindi un roblema interessante quello di trovare una raresentazione univoca dei numeri razionali. Un calssico risultato in questa direzione è costituito dal segente Lemma. Lemma.. Ogni numero razionale ha una unica raresentazione del tio q con e q rimi fra loro. Proof. Suoniamo er assurdo che q = q con q < q e, q e, q risettivamente rimi tra loro. Moltilicando si ottiene q = q. Ma allora q è divisibile er q, oichè q non uó dividere allora deve dividere q. Cioè deve esistere c N tale che q = cq. ma allora c =, cioè c divide, dunque q e sono entranbi divisibili er c contrariamente all iotesi. L attento lettore si sará robabilmente reso conto che la frase in italico nella dimostrazione del lemma., sebbene in rima lettura sembri molto ragionevole, non è rorio cosí ovvia, infatti non lo è er nulla. Tuttavia è vera ma er dimostrarlo occorre un oco di lavoro sulementare. Definitione.2. Dati, q N diciamo che è divisibile er q e scriviamo q se esiste c N tale che = cq. Lemma.3. Se N è rimo e se, dati due numeri a, b N, ab allora o a oure b. Proof. Chiaramente è semre ossibile trovare m, n, a, b N, a, b <, tali che a = n + a () b = m + b. Il Lemma afferma che o a oure b devono essere nulli, cioè a b = 0. Per dimostrare che deve essere così ragioniamo er assurdo. Suoniamo che a b 0, allora () imlica ab = 2 nm + maa + nb + a b, da cui segue che a b. Il Lemma è dunque equivalente a dire che er ogni rimo non esistono a, b < tali che ab. Se = 2 il risultato è ovvio, dunque il Lemma è vero er alcuni numeri rimi. Ragioniamo nuovamente er assurdo e suoniamo che esista qualche numero rimo Date: Rome, October, 2003.

2 2 CARLANGELO LIVERANI er cui il Lemma è falso. Sia il iù iccolo di tali numeri rimi. Dunque esisteranno a, b N, a, b < tali che ab. Ora sia c N tale che ab = c, chiaramente c <. Dunque c ab e qualunque numero rimo che divida c dividerà anche ab. Ne segue che o a oure b è divisibile er tale numero rimo (oichè esso è necessariamente iù iccolo di e dunque è, er costruzione, uno dei numeri rimi er cui il Lemma è noto essere vero). Otterremo erciò numeri a, b, c tali che a b = c. Continuando in questa maniera ossiamo dividere er un divisore rimo di c ottenendo a 2, b 2, c 2 er cui a 2 b 2 = c 2 e così via fino a che otteniamo a n b n = (cioè c n = ). Ma questa ultima uguaglianza è imossibile oichè contraddice l iotesi che è rimo. Lemma.4. Ogni numero intero a N ha una unica esressione della forma a = k kn n dove { i } sono numeri rimi e {k i } sono interi. Proof. Suoniamo che esistano due tali decomosizioni a = k kn n e a = q j qjm n. Suoniamo inoltre che esista q i {,..., n }, allora q i k kn n ma se alichiamo il Lemma.3 rietutamente otteniamo che q i deve dividere uno dei { i } cosa assurda erchè essi sono rimi. Dunque {q i } = { i }. La sola ossibilità che rimane è che {k i } {j i } ma dividendo oortunamente ci si riconduce immediatamente al caso recedente. Con alle salle Lemma.3 e Lemma.4 è ora facili convincersi che la frase in italico nella dimostrazione del lemma. è corretta, lasciamo come utile esercizio al lettore. 2. Algoritmo Euclideo e frazioni continue Il roblema aerto dalla sezione redente è quello di ridurre una frazione alla sua forma standard, ovvero trovare il massimo comun divisore tra due numeri dati. Questo roblema ha una elegante soluzione conosciuta come algoritmo Euclideo. Siano, q N, > q, allora esiste a N tale che (2) = a q +, < q e q = a + q se q e hanno un divisore comune (chiamiamolo b) allora anche b (da (2)) e quindi b è divisore comune di, q. D altro canto se b e b q allora b (questa è ancora una volta conseguenza di (2)). Dunque, q hanno gli stessi divisori comuni di q, e quindi lo stesso massimo comun divisore. Poichè q = a 2 + q, q < ossiamo scrivere q = a + a 2 + q dove q, hanno gli stessi divisori comuni di q, e quindi anche di, q. Questa rocedura uò essere iterata fino a che non si ottiene un resto nullo. Per esemio se q n = a 2n n, cioè q n = 0, allora q n e n sono entrambi divisibili er n e quindi n (l ultimo resto non nullo) è il massimo comun divisore.

3 NUMERI RAZIONALI E REALI 3 Per di iù abbiamo ottenuto un altra maniera univoca di scrivere una frazione chiamata frazione continua: q = a + a a2n Esemio 2.. Si trovi il massimo comun divisore tra = 855 e q = = = = =2 9. Dunque il massimo comun divisore è 9 e si ha la seguente raresentazione in frazione continua = I Numeri Razionali non bastano Allo stesso modo in cui i numeri razionali devono essere introdotti er attribuire un risultato ad ogni divisione, i numeri irrazionali emergono naturalmente nello studio della oerazione inversa della otenza: l estrazione di radice. Il caso iù semlice che si uo considerare è il seguente: esiste un numero a tale che a 2 = 2? (Stiamo arlando di 2.) Lemma 3.. Non esiste alcun numero razionale tale che il suo quadrato sia 2. Proof. Suoniamo che esistano, q N, rimi tra loro, tali che ( ) 2 = 2. q Allora 2 = 2q 2, dunque er il Lemma.3 2. Dunque, = 2 e quindi 4 2 = 2q2 che imlica q 2 = 2 2. Ma allora, semre er il Lemma.3, 2 q cosa che contraddice l iotesi che, q siano rimi tra loro. La cosa è seccante ma, come remio di consolazione, esistono numeri razionali molto vicini a quello voluto. Lemma 3.2. Per ogni n N esiste un numero razionale a Q tale che a 2 2 n. Proof. Sia a 0 = e a = 2, chiaramente a 2 0 < 2 e a2 > 2. Consideriamo il unto intermedio a 2 = a0+a 2 = 3 2, risulta che a2 2 > 2. Allora 2 [a2 0, a2 2 ]. Possiamo nuovamente considerare il unto intermedio a 3 = a0+a2 2 e verificare se a 2 3 è maggiore o minore di due (accade che a 2 3 < 2). Possiamo dunque dire che 2 è contenuto nell intervallo iù stretto [a 2 3, a2 2 ]. Si uò continuare nello stesso modo quante volte si vuole (diciamo m volte) ottenedo cosi 2 [a 2 k, a2 j ] con a2 k a2 j 2 m+2. Basta dunque che 2 m 2 > n er dimostrare il Lemma.

4 4 CARLANGELO LIVERANI Una cosa interessante della dimostrazione del Lemma recedente è che si tratta di una dimostrazione costruttiva, cioè viene secificata una rocedura eslicita er costruire i numeri richiesti. Vediamo un oco meglio che succede: a 4 = 5 4, a2 4 < 2, thus a 5 = 8, a 6 = 23 6, a 7 = 45 32, a 8 = 9 64, a 9 = 8 28, a 0 = , a = , a 2 = Per cui risulta che 2 [a2 9, a 2 2] quindi qualunque significato si voglia dare a 2 deve essere un oggetto nell intervallo [ , ], ichè l intervallo ha lunghezza 024 sembra invitabile affermare che le rime cifre di 2 dovranno essere.44 oure.45. Tuttavia la rocedura secificata non è nè l unica nè la iù efficiente. Nuovamente ci troviamo davanti ad una ambiguità. Ciononostante, se numeri diversi soddisfano alle iotesi del Lemma 3.2 allora devono essere molto vicini tra loro. Lemma 3.3. Se a, b Q sono tali che a 2 2 n n N, allora Proof. Si noti che a b n. a 2 b 2 a b n. e b2 2 n, er qualche Per di iú a 2 2 /n imlica a 2, cioè a, b >. Dunque a 2 b 2 = (a + b) a b 2 a b. Collezionando le recedenti disuguaglianze abbiamo a b n. Per quanto detto rima è interessante vedere una dimostrazione alternativa del Lemma 3.2. Per costruire un altra successione di numeri con la rorietà desiderata alichiamo formalmente l algoritmo Euclideo al misterioso numero 2. (3) 2 = 2 = + = = Iterando la equazione (3) si ottiene 2 = e, usando nuovamente (3), 2 = Le formule recedenti suggeriscono un nuovo modo di costruire una sequenza di numeri il cui quadrato si avvicini semre iù a 2. Nel seguito renderemo rigorosa e chiarificheremo tale intuizione. La formula (3) suggerisce di definite la funzione f : Q Q (4) f(x) := + + x. Studiamo le rorietà della funzione f. Prima di tutto notiamo che f(x) 2 = x + 2x + x 2.

5 NUMERI RAZIONALI E REALI 5 Da questa formula segue immediatamente che se x 2 > 2 allora f(x) 2 < 2 e se x 2 < 2 allora f(x) 2 > 2. Inoltre f() = 3 2 < 2 f(2) = 4 3 >. Infine la funzione f inverte l ordine, cioè se 0 < x < y allora f(x) = + + x > + + y = f(y). Tutto cio significa che f([, 2]) [, 2] e che se noi rendiamo un qualunque numero a [, 2] allora f(a), f 2 (a) = f(f(a)), f 3 (a) = f(f(f(a))) sono tutti numeri nell intervallo [, 2]. Per di iù continuano a saltare a destra ed a sinistra di 2. La domanda che rimane è se questi numeri si avvicinano a 2 oure no. Siano x, y [, 2] allora f(x) f(y) = + x + y = x y ( + x)( + y) x y. 4 Dunque f ([, 2]) è un intervallo di lunghezza /4; f 2 ([, 2]) è un intervallo di lunghezza 4 2 e f n ([, 2]) è un intervallo di lunghezza 4 n. D altro canto se a < b sono gli estremi dell intervallo f n ([, 2]) allora deve essere a 2 < 2 e b 2 > 2. Questo dimostra che scegliendo, er esemio, a 0 =, a n+ = f(a n ) si ottiene un altra successione del tio richiesto dal Lemma 3.2, solo questa volta la raidità con cui si raggiunge una data recisione è doia. Per esemio a = f(a 0 ) = f() = + 2 = 3 2 ; a 2 = f(a ) = f(3/2) = + a 3 = f(a 2 ) = f(7/5) = = 7 2 a 4 = 4 29 ; a 5 = ; a 6 = ; a 7 = e così via. Si noti che 2 [a 2 6, a2 7 ], quindi qualunque cosa vorremmo chiamare 2 dovrebbe comunque stare nell intervallo [ , ], e dunque in [.4420,.4422]. I quadrati dei numeri nell intervallo cadono tutti in [ , ]. Dunque abbiamo trovato dei numeri razionali il cui quadrato è 2 a meno di un decimillesimo! Si noti che abbiamo ottenuto una recisione dieci volte sueriore al metodo di bisezione con solo la meta dei assi. Abbiamo dunque una nuova, iù efficiente, dimostrazione del Lemma 3.2. Concludendo tutta questa discussione, siamo arrivati alla comrensione del fatto che 2 è un numero ben definito, infatti si uò arlare senza ambiguità della sua n-esima cifra decimale. Tuttavia risulta che 2 è definibile solo attraverso una rocedura di arossimazione che ci ermetta di calcolarne tante cifre quante vogliamo (almeno in linea di rinciio). Queste rocedure di arossimazione non sono uniche (ne abbiamo viste due differenti ma ne esistono infinite altre) ma sono tutte equivalenti, nel senso che stabilita la recisione richiesta danno tutti numeri che differiscono tra di loro er un errore inferiore alla quantità secificata. Queste rocedure di arossimazione sono formalizzate nel concetto di limite di = 7 5

6 6 CARLANGELO LIVERANI cui discuteremo tra oco. L insieme dei numeri definibili attraverso tali rocedure è detto insieme dei numeri reali (in simboli R) e i numeri reali ma non razionali ({x R x Q}) sono detti numeri irraziomali. 4. Numeri Irrazionali Nella sezione recedente abbiamo visto che 2 uò essere arossimato con recisone arbitraria. Questo concetto è formalizzato in maniera recisa nella seguente definizione di limite. Definitione 4.. Data una successione {a n } n N, si dice che il limite di {a n } n N è b, e si scrive lim n a n = b, se er ogni ε > 0 esiste n N tale che a n b ε er ogni n n. Per esemio è facile verificare che lim n n = 0. La cosa seccante della definizione recedente è che richiede l esistenza del numero b e quindi non si uò alicare alla nostra recedente discussione, sebbene da essa siamo convinti che 2 è un numero ben definito. Come abbiamo già detto questa convinzione deriva dal fatto che ossiamo calcolarne quante cifre vogliamo. Anche questa rorietà uò essere formalizzata rigorosamente nel concetto di successioni di Cauchy. Definitione 4.2. Si dice che una successione {a n } n N è di Cauchy se er ogni ε > 0 esiste n N tale che a n a m ε er ogni n, m n. Chiaramente le successioni che abbiamo trovato in relazione a 2 sono Cauchy. È facile verificare che se una successione di numeri razionali ha limite allora è di Cauchy mentre, come abbiamo visto, il contrario non è necessariamente vero. A questo unto ossiamo aggiungere tutte le radici quadrate ai numeri razionali ed ottenere un insieme di numeri in cui si uò semre fare l oerazione di radice quadrata. Ma che dire delle radici cubiche? Il rocesso di allargamento dei numeri sembra non avere fine e aarentemente ci servono semre iù numeri man mano che consideriamo nuove oerazioni, la situazione è alquanto intollerabile. D altro canto la nostra discussione di 2 ci ha insegnato che si uo aggiungere un numero solo se questo è conoscibile con recisione arbitraria, altrimenti non si sa di che si sta arlando. Ciò significa che la soluzione del roblema dell allargamento dei numeri deve risiedere nella richiesta che ogni successione di Cauchy abbia limite. Il modo ovvio di fare ciò è di dire che i numeri sono aunto tali successioni di Cauchy. Ovviamente diverse successioni di Cauchy ossono dare luogo allo stesso numero (lo abbiamo visto er 2) ma questo non ci uò saventare iù di tanto visto che è una situazione che si è già resentata con i numneri razionali raresentati come frazioni. Tuttavia questa ambiguità er i numeri razionali ha dato luogo a arecchie riflessioni er convincersi che era innoqua. Non uò dunque sorrendere che er rendere recisa l idea di comletamento di cui sora siano necessarie arecchie riflessioni che tuttavia esulano dallo scoo del resente corso in cui ci accontenteremo della recedente idea intuiva di numero reale. Si noti comunque che le varie rorietà dei limiti (e.g. il limite della somma è la somma dei limiti, lo stesso er il rodotto, sottrazione, etc.) ci dicono esattamente che la nostra estensione dei numeri è consistente: oichè i numeri reali sono essenzialmente definiti come limiti, il fatto che le oerazioni sui limiti siano quelle

7 NUMERI RAZIONALI E REALI 7 ovvie ci dice che i numeri reali si sommano, moltilicano, dividono etc. risettando le rorietà già note er i numeri razionali. 4.. Esercizi. () Sia a 0 =, a =, 3, a 2 =, 33, a 3 =, 333, a 4 =, 3333, a 5 =, e così via. Si dimostri che lim n a n = 3. (2) Sia a 0 = 0, a = 0, 9, a 2 = 0, 99, a 3 = 0, 999, a 4 = 0, 9999, e così via. Si dimostri che lim n a n =. Diartimento di Matematica, Università di Roma (Tor Vergata), Via della Ricerca Scientifica, 0033 Roma, Italy, liverani@mat.uniroma2.it