1. (A1) Quali tra le seguenti uguaglianze sono vere? = vera. 2. (A1) Una sola delle seguenti affermazioni è vera. Quale?

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1 M Commenti generali I test sono divisi in cinque gruppi (A) Aritmetica (A2) Aritmetica 2 (C) Calcolo (O) Ordinamenti (D) Divisioni Osservazione (/2/20): Sono stati sperimentati sugli studenti aggiungendo tre caselle: [ ] tirato a caso [ ] abbastanza sicuro [ ] sicuro ============= (A) Aritmetica ===================== Il seguente gruppo di quesiti riguarda gli argomenti: rappresentazione dei numeri algebra dei numeri proprietà delle operazioni. (A) Quali tra le seguenti uguaglianze sono vere? d. e = = 2 + = 2 = = 2 + Formulare questo quesito, come altri successivi, eventualmente anche in forma letterale per confrontare la capacità di passare dal calcolo letterale ai calcolo con i numeri. Richiamare le proprietà formali delle operazioni, osservare esplicitamente che la divisione non è associativ 2. (A) Una sola delle seguenti affermazioni è ver Quale?, 4 è un numero irrazionale tra il numero 2. ed il numero 2.7 sono compresi 7 numeri decimali Il quadrato di un numero irrazionale è un numero irrazionale d. Il reciproco di un numero irrazionale è un numero irrazionale. e. Il reciproco di un numero irrazionale è un numero razionale perché si può rendere tale con l operazione di razionalizzazione

2 M 2. (A) Dire se sono vere o false le seguenti affermazioni: La somma di due numeri irrazionali è un numero irrazionale. La somma di due numeri razionali è un numero razionale. Il prodotto di due numeri irrazionali non è un numero razionale. d. Il prodotto di due numeri irrazionali non è un numero intero. 4. (A) Siano a, b e n sono numeri interi con b 0. Una sola fra le seguenti affermazioni è falsa, quale? a : b è un numero intero, se b = n a falsa a : b è un numero intero, se a = n b a : b è un numero razionale qualunque siano a, b d. a b è un numero razionale se a > b Spunti didattici per le tre domande precedenti. Richiamare le nozioni di numeri razionali e irrazionali, anche con riferimento alla rappresentazione decimale. Commentare le differenze tra il linguaggio matematico e quello usuale per quanto riguarda le affermazioni è, non è, può essere Evidenziare come per mostrare che una affermazione è falsa basta costruire un controesempio, mentre per mostrare che è occorre dimostrarl. (A) Quale dei seguenti numeri è uguale a 4 d Trattare con attenzione le frazioni doppie e riflettere sulla non associatività della divisione.

3 M. (A) In quale rapporto sta il valore di monete da un euro con il valore di monete da due euro? d (A) La metà di / è: / 2/ /2 d. /8 8. (A) Collega con delle linee ogni frazione con il numero decimale equivalente e poi quest ultimo con la corrispondente notazione in percento /4 0, % 2/ 0, 2 7% /20 0, 7 2, % /8 0, 0, % Richiamare le diverse rappresentazioni dei numeri, in particolare la frazione generatrice di un numero decimale periodico e la notazione in percento. ============= (A2) Aritmetica 2 ===================== Il seguente gruppo di quesiti riguarda gli argomenti: potenze e loro proprietà radice quadrata, radice cubica e loro proprietà

4 M 4 9. (A2) Il numero ( ) 2 è uguale a d. 4 Commentare le varie possibili vie che portano al risultato. Il quesito è interessante, anche se più semplice, sostituendo la risposta 2 4 con la Simile a questo: (A2) Il numero ( ) 2 è uguale a d (A2) Stabilire quali sono tutti e soli i numeri reali a e b per cui vale l uguaglianza ab = a b I numeri a, b tali che a 0 e b 0 I numeri a, b tali che ab 0 I numeri a, b tali che ab 0 Richiamare le definizioni di radice quadrata e di valore assoluto e le relazioni fra queste due funzioni. Il quesito è interessante anche modificato senza valore assoluto ma con varie scelte di segni meno sotto segno di radice.. (A2) Stabilire quali sono tutti e soli i numeri reali a e b per cui vale l uguaglianza a + b = a + b I numeri a, b tali che a 0 e b 0 I numeri a, b tali che a = 0 e b qualsiasi I numeri a, b tali che a 0, b 0, ab = 0. d. per nessun valore di a

5 M 2. (A2) Stabilire quali sono tutti e soli i numeri reali a per cui vale l uguaglianza a2 = a I numeri a tali che a 0 I numeri a tali che a > 0 Il numero a = 0 d. per nessun valore di a. (A2) Stabilire quali sono tutti e soli i numeri reali a per cui vale l uguaglianza a + a 2 = 0 I numeri a tali che a 0 I numeri a tali che a > 0 Il numero a = 0 d. I numeri a tali che a 0 Il quesito precedente è interessante anche sostituendo il segno + con il segno - Nei quattro quesiti precedenti è fondamentale la frase tutti e soli. Alcune risposte sono parzialmente corrette, ma non caratterizzano tutti e soli i numeri che soddisfano l eguaglianza ============= (C) Calcolo ===================== Il seguente gruppo di quesiti riguarda gli argomenti: Calcolo con i numeri decimali. 4. (C) Sottraendo un centesimo al numero 0,777 otteniamo: 0,77 0,77 0,77 d. 0,779. (C) Il risultato dell addizione 8, 0 2 +, è 99 8,8 8,8 d. 8,08

6 M. (C) Il numero (0, 0) è uguale a: 0, 027 0, , d. 0, (C) Stabilire di quante cifre è costituito il seguente numero. Non è necessario eseguire il calcolo: d. 4 Con i precedenti quesiti molto elementari si intende stimolare un minimo di sensibilità numerica spesso sacrificata dall astrazione delle formule. 8. (C) Calcolare la somma di tutti i multipli del numero, compresi tra 00 e 000. Il quesito precedente propone un richiamo del calcolo della somma di una progressione aritmetic ============= (O) Ordinamento ===================== Il seguente gruppo di quesiti riguarda gli argomenti: Confronto e ordinamento dei numeri nelle diverse rappresentazioni. 9. (O) Indicare quale fra i seguenti numeri è compreso fra 0 2 e 0. 0, 2 0, 02 0, 002 d. 0, (O) Solo una delle seguenti affermazioni è ver Quale? Se si moltiplica un numero a > per un numero compreso tra 0 e il risultato è maggiore di a Se si divide un numero a > per un numero compreso tra 0 e il risultato è maggiore di a Esistono numeri compresi tra 0 e il cui prodotto è maggiore di. d. La somma di due numeri compresi tra 0 e è sempre un numero compreso tra 0 e

7 M 7 2. (O) Indicare se ognuna delle seguenti affermazioni è o falsa per ogni coppia x, y di numeri reali tali che < x < 2 e 0 < y < 8. x + y > 0 falsa x < y falsa x 2 y > 0 falsa d. < x + y < 0 e. 24 < xy < Spunti didattici per i due quesiti precedenti. Ricordare che bisogna giustificare le affermazioni e fornire un controesempio per quelle false. 22. (O) Indicare tra le seguenti la sequenza in ordine crescente: d. 0. ; ; ; 20 ; 0. ; ; 0. ; 0. ; ; 0. ; 0. ; ; 0. ; ; 0. ; 0. ; Per questo quesito e per i successivi ricordare come si confrontano fra loro le frazioni ed i numeri decimali. 2. (O) Indicare tra le seguenti la sequenza in ordine crescente: 20 0, ; d. ; ; 0, ; 0, 8 ; 0, 79 ; ; 0, 79 ; 0, 8 ; 0, ; 0, 79 ; 0, 8 ; ; 0, ; 0, 79 ; ; 0, (O) Indicare tra le seguenti la sequenza in ordine crescente: 7 ; 7, ; 7, 2 ; 7, ; 7, ; 7, 2 7, ; 7, 2 ; 7 ; 7, ; 7, ; 7, 2 7, ; 7, 2 ; 7, 2 ; 7, ; 7, ; d. 7, ; 7, 2 ; 7, ; 7, ; 7, 2 ; 7 7

8 M 8 2. (O) Individuare fra le seguenti la successione che non è crescente: 0, 00, 000,..., 0 n,... d. 2,, 4,,..., n,... 2, 2, 4, 4,..., n +,... n 0, 2 0, 0, 4 0,..., n 0,... ============= (D) Divisibilità ===================== Il seguente gruppo di quesiti riguarda gli argomenti: Divisibilità tra numeri interi Divisione di numeri interi. 2. (D) Il numero (7 + ) è divisibile: per e 4 per e 7 per 4 e d. per e 4 Ricordare comme si fattorizza la somma di due cubi. 27. (D) Dividendo per si ottiene col resto di Che relazione c è tra questi 4 numeri? = = = d = e = (D) Si vuole effettuare la divisione di per per trovare quoziente e resto. Prima di eseguire il calcolo si può comunque affermare che Quoziente e resto sono entrambi minori di Il resto è minore di 00.22, sul quoziente non si può dire niente. Il quoziente è minore di 00.22, sul resto non si può dire niente. d. Il resto è minore o uguale a 00.22, sul quoziente non si può dire niente. e. Il quoziente è minore o uguale a 00.22, sul resto non si può dire niente.

9 M 9 Con i quesiti precedenti ci si propone di ripensare il significato della divisione di due interi ed il relativo resto.

10 M 0 I quesiti seguenti vanno probabilmente soppressi. 29. (C) Calcolare il valore dell espressione ( 2 ) 2 e dell espressione (7 2 ) 2 con la calcolatrice usando il tasto y x con la calcolatrice usando i tasti x e x2 senza calcolatrice commenta i risultati e indica l errore assoluto e relativo. Il precedente quesito va soppresso se non opportunamente precisato. 0. (C) Esprimere la velocità della luce m/s in notazione scientific con cifre significative con 4 cifre significative con cifre significative Spostare nel Prossimo test sui numeri-approssim e chiarire il significato dell espressione cifre significative. (C) La massa dell elettrone vale m e = kg Esprimere il suo valore con cifre significative Qual è il suo ordine di grandezza espresso in kg? Spostare nel Prossimo test sui numeri-approssim e chiarire il significato dell espressione cifre significative 2. (A) Dire se sono vere o false le seguenti affermazioni: La somma di due numeri irrazionali è sempre un numero irrazionale. La somma di due numeri razionali è sempre un numero razionale. Il prodotto di due numeri irrazionali può essere un numero razionale. d. Il prodotto di due numeri irrazionali non può essere un numero intero. È identico ad uno precedente.