Università Politecnica delle Marche Facoltà di Ingegneria Ing. Informatica e Automatica Ing. delle Telecomunicazioni Teledidattica

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1 Università Politecnica delle Marche Facoltà di ngegneria ng. nformatica e Automatica ng. delle Telecomunicazioni Teledidattica ANALS NUMERCA TEMA D (Prof. A. M. Perdon) Ancona, 7 luglio 6 PARTE - SOLUZONE Si chiede allo studente di risolvere i roblemi seguenti e di dare la risosta iù comleta ossibile.. Dato il olinomio P : a) Determinare la regione del iano di Gauss contenente tutte le radici di P () ; b) Costruire una successione Sturm er P () ; c) Calcolare tutte le radici di P () con 4 decimali esatti. Risultato: a) Determinazione regione iano di Gauss contenente tutte le radici di P() La regione del iano di Gauss all interno della quale si trovano le radici di P() La regione del iano di Gauss all interno della quale si trovano le radici di P() è la corona circolare di centro l origine descritta dalla disuguaglianza: z + λ, dove + µ a i λ ma., + λ 6. a i,.., n n n P ) a + a + L + ai µ ma.9864, i,.., n a, a, a C n n i.47 + µ Quindi le radici reali negative [-6., -.47], quelle ositive [.47, 6.] /6

2 b) Costruzione successione di Sturm er il olinomio olinomio di artenza: P( ) calcolo di ()-P (): l resto r () della divisione r è Raccogliendo in r () la costante ositiva del termine di grado massimo c. r si calcola () c.88 l resto r () della divisione r.846 ( ) è Raccogliendo in r () la costante ositiva del termine di grado massimo c. 846 r si calcola () c Pertanto la successione di Sturm sarà costituita dalla sequenza dei seguenti olinomi: Verifica del numero e del segno delle radici reali della successione di Sturm + w( ) w() w( + ) Le radici reali negative sono: - Le radici reali ositive sono: - /6

3 l olinomio è di grado, il numero di cambi di segno indica un numero di radici reali negative ari ad e ositive ari a, ertanto ci si asetta esistano due radici comlesse coniugate; converrà rima trovare la radice singola negativa con un metodo numerico, oi abbassare il grado del olinomio e infine calcolare le due radici comlesse tramite la formula risolutiva er i olinomi di secondo grado. c) Calcolo di tutte le radici di P() con almeno 4 decimali esatti Per il calcolo della radice reale negativa si utilizzerà il metodo di Newton-Rahson. Essa si trova, er quanto già visto al unto a), nell intervallo [-6., -.47], che non è troo amio, ertanto si uò rendere il unto iniziale in rossimità del unto medio dell intervallo ( 6..47)/.4., Lo schema iterativo sarà f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) m Stimiamo l errore calcolando m.784,. 748 f ( ) m.. m + - e + m ertanto con 4 decimali esatti è. dividendo P() er (+.) otteniamo il olinomio di secondo grado r() le cui radici sono le radici comlesse e coniugate di P() ovvero: ( ) ( ) P r ( +.) Risolvendo l equazione r() si ottiene: r. i. 7 e r. + i. 7 e quindi. i 7 r. r. + i 7. /6

4 . Risolvere il sistema Ab, con.. A b.6 4. Usare la decomosizione QR, scrivere tutti i assaggi. Calcolare il residuo. La decomosizione QR di A dà come risultato: Q i y { i y R { si calcola Q T b: Q T b i 8. y { Risolvendo er sostituzione all indietro il sistema R z Q T b risetto a z si ottiene: z z.6664 [qui omettiamo i assaggi] z -.74 i.678 y l residuo è r A z-b.7, la cui norma euclidea vale r ri { 4/6

5 . Calcolare con il metodo di Cavalieri-Simson il seguente integrale con almeno decimali esatti.. log [( + ) +. ] d ( a) b ) Si uò imorre R C. - ( 4, dove R C f ( η ) è il resto della formula 4 8n comosita di Cavalieri-Simson, e calcolarsi n; oure si uò alicare la formula comosita di Cavalieri-Simson suddividendo l intervallo di integrazione in sottointervalli via via dimezzati e stimare l errore mediante estraolazione di Richardson. Scegliamo questo secondo metodo, con a., b. n h ( f ) + 4 f + h) + f ( b) ) n h. 4 ( f ) + 4 f + h) + f + h) + 4 f + h) + f ( b) ) La stima dell errore su è ε n4 h. 8 ( f ) + 4 f + h ) + f + h ) + 4 f + h ) + f f + h ) + f + 6h ) + 4 f + 7h ) + f ( b )) La stima dell errore su è: ε h ) Non è ancora sufficiente. Ora ossiamo ercorrere due strade: o dimezziamo ancora l amiezza dei sottointervalli, o continuiamo ad alicare l estraolazione. /6

6 modo n8 b f a ( f ) + 4 f f + h ) + f + h ) + f + h ) + f + 6h ) + 4 f + h ) + 4 f + h ) + 4 f + 7h ) + f + h ) + f + h ) + f La stima dell errore su è: ε modo Siano C C , , La stima dell errore su C è: C C h ) + 4 f + 4h ) + 4h ) + 4 f Pertanto, in entrambi i modi, il valore dell integrale con decimali esatti, è h ) + f + h ) + + h ) f ( b )) Facoltativo: Determinare in modo che sia verificata l uguaglianza: (86.76) (4.4) l numero a sinistra dell uguaglianza è già in base, quindi ossiamo direttamente uguagliare la arte intera o quella decimale. Dal momento che la arte intera del numero in base è costituita da 4 cifre, che imlica risolvere un equazione di grado, mentre la arte decimale è costituita da solo cifre, che imlica risolvere un equazione di grado, uguagliamo le arti decimali del numero noto e del numero in base incognita , ± / \. 6 La base di un sistema di numerazione deve essere un intero maggiore di, quindi la soluzione è: 6/6