# STUDIO DELLA STABILITA COL CRITERIO DI NYQUIST#

Transcript

1 # STUIO ELLA STABILITA COL CRITERIO I NYQUIST# Sia il olinomio di variabile comlessa s : Q(s)=a n s n +a n-1 s n-1 + +a 1 s+a 0 (1) Tale olinomio si uo considerare, con riferimento al iano comlesso (iano di Gauss), come una funzione di unti del iano. Escludiamo er il momento che Q(s) abbia radici immaginarie ure. Tale caso verra trattato iu avanti. Consideriamo in articolare i unti s=jω cioe i unti dell asse immaginario e scriviamo la Q(jω) nella forma fattorizzata che mette in evidenza le sue radici: Q(jω)=a n (jω-z 1 ) (jω-z 2 ) (jω-z n ) (2) Raresentiamo nel iano comlesso tali radici (zeri) e, scelto un generico unto sull asse immaginario, P=jω 0, consideriamo i vettori che si ottengono congiungendo gli zeri con tale unto: jω jω0=p z1 z3 α z2 Ciascuno di tali vettori e esrimibile come (P-z i ). Al variare di ω 0 nell intervallo ( + ), il unto P ercorre l asse immaginario e la configurazione dei vettori (P-z i ) si modifica; in articolare: ogni vettore associato ad uno zero a arte reale negativa (.r.n.) subisce una variazione di fase di +π, (fasi ositive in senso antiorario); ogni vettore associato ad uno zero a arte reale ositiva (.r..) subisce una variazione di fase di -π. 1

2 Se il olinomio Q(jω) ha n zeri.r.., avra (n-n ) zeri a.r.n. da cui segue che: la variazione di fase ϕ Q associata all intero olinomio Q(jω), er ω 0 che varia nell intervallo ( + ), si ottiene sommando le variazioni di fase che ogni vettore (P-z i ), e quindi ogni termine (jω-z i ) che comare nella (2) subisce. Possiamo esrimere tale variazione (in radianti): ϕ Q = (n-n )π - n π = (n-2n )π (3) Fatta questa remessa si uo introdurre il criterio di Nyquist er la stabilita dei sistemi a controreazione. Con riferimento allo schema a blocchi standard nel quale G(s) e la F. di T. della catena diretta e H(s) quella della retroazione, si ha: G G W = = = 1 + GH 1+ F G Il termine (1+F) = il cui numeratore e il olinomio caratteristico a ciclo chiuso e anche chiamato funzione differenza e, come saiamo, gioca un ruolo fondamentale nell analisi della stabilita. Esrimiamo la F (funzione di trasferimento a ciclo aerto) come raorto di due olinomi U e V, di grado m ed n risettivamente, con m n. Si uo dunque scrivere: (4) U V + U = 1 + F = 1 + = (5) V V Si noti che i due olinomi a numeratore e denominatore della hanno lo stesso grado n, cioe e semre una F. di T. roria, i cui oli coincidono con quelli di F (oli a ciclo aerto). Indichiamo con z il numero di zeri.r.. di (V+U) mentre indichera il numero di zeri.r.. di V. z raresenta quindi il numero di oli.r.. di W (oli a ciclo chiuso) e la sua conoscenza ermette di accertare le rorieta di stabilita del sistema feedback descritto dallo schema a blocchi standard. e il numero di oli.r.. di F, noto se F e dato in forma fattorizzata. Per l analisi di stabilita che stiamo sviluando assumiamo quindi di saere se il sistema e stabile a ciclo aerto oure no. 2

3 (jω) e raresentabile come un vettore nel iano comlesso: (jω) = M (jω) e jϕ (jω) la variazione della fase ϕ, er ω variante nell intervallo ( + ), si uo calcolare come differenza delle variazioni di fase del numeratore e del denominatore della (5): ϕ = ϕ (U+V) ϕ V = (n 2z )π (n 2 )π = 2π( z ) (7) In genere si referisce esrimere tale variazione di fase in numero di giri (ositivi in senso antiorario) che il vettore raresentativo di (jω) effettua intorno all origine, dividendo la (7) er 2π : s N ϕ = 2 π La (8) esrime il teorema di Nyquist: = Con riferimento alle relazioni (4) er lo schema feedback standard, il numero di giri che il vettore raresentativo di (jω) comie intorno all origine quando ω varia da a + e ari alla differenza tra il numero di oli a.r.. della funzione di trasferimento a ciclo aerto F(jω) ed il corrisondente numero di oli a.r.. della funzione di trasferimento a ciclo chiuso W(jω). La (8) ermette di valutare z e quindi dedurre la stabilita a ciclo chiuso di un sistema di controllo a controreazione dai grafici della F. di T. a ciclo aerto grazie alle seguenti considerazioni. Per valutare il numero di giri della (8) ci si uo riferire non alla (jω) ma alla F(jω) assumendo disonibile il suo diagramma di Nyquist. Infatti essendo: z (6) (8) (jω) = 1 + F(jω) = 1 + Re[F(jω)] + jim[f(jω)]; (9) e immediato dedurre che il diagramma di Nyquist della (jω) coincide con quello della F(jω) traslato di uno nella direzione ositiva dell asse reale (vedi figura foglio successivo). 3

4 Nyquist iagram Imaginary Axis Real Axis Per valutare N s invece che traslare la F(jω) conviene traslare l origine di uno a sinistra. Allora il numero di giri che il vettore raresentativo di (jω) comie intorno all origine degli assi cartesiani coincide con quello che il vettore con origine nel unto ( 1, j0) ed estremo in F(jω) comie intorno a tale unto dell asse reale. alla (8), dovendo essere er la stabilita a ciclo chiuso z =0, si deduce la: Condizione di Stabilita (criterio) di Nyquist : s N = (10) Con riferimento allo schema feedback standard, un sistema di controllo e stabile se il numero di giri in senso antiorario che la funzione F(jω) comie intorno al unto ( 1, j0), quando ω varia da a +, e uguale al numero di oli.r.. di F(jω). 4

5 Per tutti i sistemi stabili a ciclo aerto e =0, er cui si uo esrimere il cosiddetto: Criterio ridotto di Nyquist : = 0 N s (11) Condizione necessaria e sufficiente er la stabilita di un sistema di controllo a controreazione stabile a ciclo aerto e che il numero di giri intorno al unto ( 1, j0) che il vettore raresentativo di F(jω) comie, al variare di ω da a +, sia nullo. Alternativamente si esrime tale criterio dicendo che il diagramma di Nyquist della F(jω) non deve circondare il unto ( 1, j0). Tale condizione si verifica molto semlicemente con riferimento alla sola curva di Nyquist er ω 0: Il sistema e stabile se, ercorrendo la curva F(jω) nel verso delle ω crescenti, in corrisondenza dell eventuale rimo unto di attraversamento dell asse reale il unto ( 1, j0) viene lasciato a sinistra (sono comresi i casi di attraversamento all infinito o mancanza di attraversamento). N.B. : Con il criterio ridotto si uo quindi evitare di tracciare il diagramma comleto di Nyquist e di contare il numero di giri. 5