Sistemi LTI a tempo continuo
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- Raimonda Orlando
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1 FA esercizi 6, 1 Sistemi LTI a tempo continuo Risposta in frequenza: tracciamento di diagrammi di Nyquist
2 Esercizi- Risposta in frequenza Diagrammi polari della risposta in frequenza FA esercizi 6, 2 Data una funzione di trasferimento: Vogliamo ottenere la sua rappresentazione nel piano complesso al variare della frequenza. curva parametrizzata in La tracciamo per:
3 FA esercizi 6, 3 Come si tracciano le curve? Si possono calcolare per punti, una volta ricavata l espressione di, ; o sempre per punti conoscendo il diagramma di Bode di modulo e fase; oppure facendo uso ad esempio del sw Matlab... In questo contesto ci interessa l andamento qualitativo del diagramma. In pratica si tratta di fare uno studio di funzione in campo complesso. Dunque si studia il comportamento della... ; ; intersezioni con l asse reale; intersezioni con l asse immaginario; (eventuali asintoti)
4 FA esercizi 6, 4 Partiamo con un esempio, da usare come campione : Separiamo parte reale e parte immaginaria: 1) Prima possibilita : Da quest ultima espressione si isolano parte reale ed immaginaria.
5 FA esercizi 6, 5 2) Seconda possibilita : E un sistema in due variabili, e. Dunque le ricavo in funzione di e poi le studio. OSS: Sono entrambe sempre minori di zero!
6 Ora che disponiamo di parte reale ed immaginaria in funzione di, vediamone l andamento nei casi estremi: FA esercizi 6, 6 Dunque sappiamo cosa accade agli estremi della curva...
7 FA esercizi 6, 7 La presenza di un polo nell origine, con molteplicita 1, dà origine ad un particolare comportamento del diagramma polare: presenza di un asintoto verticale [analisi generale sulla presenza di asintoti più avanti]. Se la FdT ha un polo nell origine, con molteplicità 1, allora il diagramma polare presenta sempre un asintoto verticale [giustificazione più avanti]. Il diagramma effettivo come si posiziona rispetto all asintoto? Lo attraversa? Oppure rimane sempre da una parte rispetto all asintoto? Per poter rispondere, indaghiamo se ci sono intersezioni con gli assi
8 FA esercizi 6, 8 Per trovare le intersezioni con gli assi ci si avvale di un vantaggio dell aritmetica complessa: OSS: Dato un numero complesso: Esso risulta... Ø Reale puro sse: ØImmaginario puro sse: Suggerimento: si parte dall espressione e si separano parte reale ed immaginaria
9 FA esercizi 6, 9 Dunque: Intersezioni con l asse reale: No soluzioni reali No intersezioni con asse reale
10 FA esercizi 6, 10 Intersezioni con l asse immaginario: No soluzioni reali No intersezioni con asse immaginario
11 FA esercizi 6, 11 Ricerca di eventuali intersezioni con l asintoto verticale: il diagramma polare rimane sempre dalla stessa parte dell asintoto, oppure lo attraversa? 1) Prima possibilità: cerchiamo soluzioni dell equazione In definitiva
12 Per posizionare correttamente la curva rispetto all asintoto, ora basta la conoscenza di alcuni valori della curva, per pulsazioni inferiori e superiori a quella per la quale c è l intersezione: FA esercizi 6, 12
13 Riepilogando: FA esercizi 6, 13
14 Facendo uso del sw Matlab: FA esercizi 6, 14
15 Andamento di termini semplici del tipo: FA esercizi 6, 15 Per casa, vedere cosa accade per
16 FA esercizi 6, 16
17 Andamento di un termine tipo: FA esercizi 6, 17
18 Andamento di un termine tipo: FA esercizi 6, 18
19 E l equazione di una semicirconferenza di diametro centrata in : FA esercizi 6, 19 Diagramma polare di Nyquist di
20 FA esercizi 6, 20 Andamento per, di una funzione generica: Si considerano comportamenti locali del diagramma; dunque formalmente bisognerebbe fare un approssimazione in serie di Laurent (siamo in campo complesso) della funzione intorno a ed. Con questo tipo di analisi, che verra tralasciata in questo corso, si ottiene l andamento qualitativo della con sufficiente precisione. Vedremo ora i due casi...
21 FA esercizi 6, Non ci sono poli nell origine: 2. Ci sono poli nell origine: A. Polo singolo La curva ammette un asintoto verticale parallelo all asse immaginario, dunque...
22 FA esercizi 6, 22 Ma bisogna poi indagare se la curva prosegue a destra o sinistra dell asintoto... in modo simile a quello illustrato in precedenza. B. Poli multipli La curva non ammette asintoti
23 FA esercizi 6, Caso in cui è strettamente propria: La pendenza con cui il diagramma arriva nell origine dipende da Pari Dispari
24 FA esercizi 6, Caso in cui non è strettamente propria: Il diagramma confluisce in un punto dell asse reale. Lo si trova facilmente valutando il limite Perchè il risultato della valutazione del limite è un numero reale? Il caso in cui è impropria non viene affrontato!
25 FA esercizi 6, 25 Diagramma di Nyquist: Lo useremo per valutare la stabilita e la robustezza di sistemi di controllo retroazionati, conoscendo la fdt nel dominio complesso del sistema a ciclo aperto. PROBLEMA 1 Quanto posso variare al fine di mantenere le proprieta di stabilita della? Problema di STABILITA...
26 FA esercizi 6, 26 PROBLEMA 2 Se ho incertezza su, ci sono degli indicatori che misurano la distanza dall instabilita? E l ampiezza delle perturbazioni che mi garantisce di mantenere la stabilita? Problema di ROBUSTEZZA...
27 PROBLEMA 1: si applica il Criterio di Nyquist FA esercizi 6, 27 Definiamo: Diagramma di Nyquist della Numero di poli di a parte reale POSITIVA Numero di giri ANTIORARI di intorno al punto Asintotica stabilita del sistema a ciclo chiuso ben definito
28 FA esercizi 6, 28 Dunque data una funzione, se viene richiesto di analizzare la sua stabilita a ciclo chiuso... bisogna tracciarne il diagramma di Nyquist completo e vedere se compie un numero di giri in senso antiorario intorno al punto pari al numero di poli a parte reale POSITIVA della Se la e gia di per se una funzione di trasferimento stabile... bisogna verificare che il suo diagramma di Nyquist NON CIRCONDI il punto
29 PROBLEMA 2: si usa il d.d. Nyquist per misurare o stimare... FA esercizi 6, 29 Margine di guadagno Di solito si misura in db
30 Margine di fase FA esercizi 6, 30
31 FA esercizi 6, 31 Esercizi 1.Tracciamo il diagramma di Nyquist della funzione:
32 Ricaviamo parte reale ed immaginaria: FA esercizi 6, 32 Possiamo ora studiare l andamento delle due parti nel piano complesso.
33 A. Andamento per : FA esercizi 6, 33 Verso quale quadrante procede la curva? Basta vedere il segno del limite per : La curva procede nel quarto quadrante
34 B. Andamento per : FA esercizi 6, 34 Da quale quadrante proviene la curva? Basta vedere il segno del limite per : La curva proviene dal secondo quadrante, con tangente verticale...
35 ... Andamento per : FA esercizi 6, 35 Infatti ragionando con gli ordini di infinito: Vedi andamento funzioni elementari...
36 C. Intersezioni con gli assi: FA esercizi 6, 36 Intersezioni con l asse reale:...gia lo sapevamo!
37 FA esercizi 6, 37 Intersezioni con l asse immaginario:
38 FA esercizi 6, 38 Possiamo dunque tracciare il seguente diagramma:
39 FA esercizi 6, 39 Stabilita a ciclo chiuso: La non ha poli a parte reale positiva. Il suo diagramma di Nyquist non circonda il punto e dunque il sistema a ciclo chiuso e stabile!
40 FA esercizi 6, 40 Margine di guadagno Margine di fase? Formalmente bisogna imporre e trovare la pulsazione corrispondente ; poi sostituirla in ed infine ricavare la fase del valore di In realta conviene ricavarlo dal diagramma di Bode...che sappiamo tracciare!
41 FA esercizi 6, 41
42 FA esercizi 6, 42 2.Tracciamo il diagramma di Nyquist della funzione: Non strettamente propria! Si ricavano dunque parte reale ed immaginaria:
43 A. Andamento per : FA esercizi 6, 43 Verso quale quadrante procede la curva? Basta ancora una volta vedere il segno del limite per : La curva procede nel primo quadrante
44 B. Andamento per : FA esercizi 6, 44 Da quale quadrante proviene la curva? Basta vedere il segno del limite per : La curva proviene dal primo quadrante
45 C. Intersezioni con gli assi: FA esercizi 6, 45 Intersezioni con l asse reale:...gia lo sapevamo! Intersezioni con l asse immaginario: Radice DOPPIA!
46 Possiamo dunque tracciare il seguente diagramma: FA esercizi 6, 46
47 FA esercizi 6, 47 3.Tracciamo il diagramma di Nyquist della funzione: Ha un polo nell origine! Si ricavano dunque parte reale ed immaginaria, che dopo qualche conto risultano:
48 A. Andamento per : FA esercizi 6, 48 C e un asintoto verticale! Verso quale quadrante procede la curva? La curva procede nel terzo quadrante
49 FA esercizi 6, 49 B. Andamento per : Da quale quadrante proviene la curva? La curva proviene dal secondo quadrante
50 C. Intersezioni con gli assi: FA esercizi 6, 50 Intersezioni con l asse reale: attenzione al denominatore... Intersezioni con l asse immaginario: MAI!
51 Matlab fornisce questo diagramma: FA esercizi 6, 51 l intersezione con l asse reale...non e molto evidente!
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