Diagrammi di Nyquist

Transcript

1 Diagrammi di Nyquist Esercizio 1 Calcolo del modulo e della fase: GH = 1 + s 1 + ω ΦGH = arctanω -9 Rotazione sempre oraria nel passaggio da ω = ad ω = + in quanto la fase è sempre negativa. >> nyquist(tf(,[ 1])) Sistema certamente stabile perché in assenza di poli positivi o a parte reale positiva nella funzione (l unico polo è s = -1/), il relativo diagramma non abbraccia il punto -1 + j. 1

2 Ripetiamo il calcolo con numeratore pari a -: rispetto al caso precedente cambia solo la fase che in questo caso vale ΦGH = 18 arctanω 18 9 >> nyquist(tf(-,[ 1])) La conclusione è opposta alla precedente, il sistema è instabile. Esercizio GH = 1 + 5s1 + s 1 + 5ω 1 + ω ΦGH = arctan5ω arctanω

3 -18 >> nyquist(tf(,conv([5 1],[ 1]))) La conclusione è di stabilità. Con numeratore pari a - la conclusione sarebbe opposta, cioè instabile

4 Esercizio 3 GH = 1 + 5s1 + s1 + s 1 + 5ω 1 + ω 1 + ω ΦGH = arctan5ω arctanω arctanω ω Modulo fase -7 >> nyquist(tf(,conv(conv([5 1],[ 1]),[ 1]))) Stabile. Con numeratore pari a -, come prima, si sarebbe ottenuto: >> nyquist(tf(-,conv(conv([5 1],[ 1]),[ 1])))

5 Instabile. Esercizio GH = 3 s + 1s ω + ω ΦGH = 18 arctanω arctan ω 3/ 18 >> nyquist(tf(-3,conv([1 1],[1 ]))) 5

6 Si nota come la stabilizzazione del sistema si possa ottenere qualora il punto più a sinistra del grafico (pari a -3/, in corrispondenza di ω = ) si porti a destra del punto -1; sostituendo al guadagno statico -3 un generico guadagno k, il punto soddisferebbe la condizione nel caso k/ > - 1, cioè k > -. Esercizio 5 GH = 1 + 5s 1 3s 1 + 5ω 1 + 9ω ΦGH = arctan5ω + arctan3ω 5/3 18 >> nyquist(tf([5 ],[-3 1])) 6

7 Risulta P = 1 (s = 1/3) ed R = 1 (rotazione antioraria), quindi è stabile. Esercizio 6 s + GH = s + 3s 1 + ω 9 + ω 1 + ω ΦGH = arctan ω arctanω 18 + arctanω 3 / >> nyquist(tf(conv(,[1 ]),conv([1 3],[1-1]))) 7

8 La conclusione è P = 1 (s = 1) ed R = 1 (rotazione antioraria), quindi stabile. Esercizio 7 Questo caso necessita di maggiore attenzione in quanto è presente un polo nell origine. GH = ss + 1 ω 1 + ω ΦGH = 9 arctanω Dall analisi della tabella ne discende che il grafico parte dall infinito con direzione dal basso (asse verticale negativo) per giungere nell origine da sinistra (asse orizzontale negativo), ruotando in senso orario. >> nyquist(tf(,conv([1 ],[1 1]))) 8

9 La particolarità di questo caso è che il grafico va chiuso all infinito con una semicirconferenza a rotazione oraria se il polo nell origine viene considerato negativo. Il punto critico -1 + j viene lasciato fuori dalla curva, come meglio evidenziato dallo zoom effettuato Si conclude che il sistema è stabile. Approfondimento 1: il primo tratto della curva si è detto che proviene dal basso (si individua la direzione ed il verso) ma non è chiaro perché il grafico su esposto debba avere - come asintoto verticale. Per ottenere questa informazione basta notare che razionalizzando la funzione GHjω = jω1 + jω = 1 + ω ω1 + ω 9

10 Al tendere di ω a zero si nota come la parte reale valga - (asintoto verticale) mentre la parte immaginaria va all infinito negativo (quindi parte dal basso). Approfondimento : calcoliamo i margini di stabilità ricorrendo a tre metodi: 1) analitico, ) con Bode, 3) con Nyquist stesso. 1) analitico calcolo di ωc ed ωπ: ω! 1 + "! = 1 ΦGH = 9 arctanω # = 18 Dalle due si ricava ω! = $ ,879 ω # GH +, = ΦGH +- = 9 arctan1, m / = log + m 3 = = 8 ) Bode >> margin(tf(,conv([1 ],[1 1])))

11 3) Nyquist per trovare ωc si può ricorrere all istruzione che risolve l equazione sul modulo >> roots([1 1-16]) ans = i i i i "! + "! 16 = L unica che fornisce una pulsazione positiva reale è l ultima, cioè la 1,879 trovata. Utilizzando il grafico di Nyquist con visualizzazione del parametro ω, si trova: Phase (deg) Magnitude (db) La fase nel punto indicato vale Φ = ,79,891 8,6 Tolti i 18 restano i 8 trovati come margine di fase. 11

12 Esercizio 8 GH = s + ss + 1 ω + ω 1 + ω ΦGH = 9 arctan ω arctanω -9-7 >> nyquist(tf(,conv([1 ],[1 1]))) Il grafico si chiude all infinito con rotazione oraria (si è lasciato il polo nullo appartenente al semipiano sinistro), facendo uno zoom: 1

13 Viene lasciato fuori il punto critico ed il sistema a catena chiusa è stabile. Il punto d incrocio con l asse reale viene trovato annullando la parte immaginaria di GH o imponendo la sua fase pari a 18. Confermiamo il valore dell asintoto verticale per ω =. Sviluppando la funzione si trova che: GHjω = j jω + jω + 1 = jωjω + jω + 1 ω + ω 1 + ω = 3ω + j + ω ω + ω 1 + ω lim ReGH = lim 3 + < + < + ω 1 + ω = 3 = 3 Per trovare la pulsazione di crossover, come già detto, si può procedere annullando la parte immaginaria, cioè per ω =, che sostituita nella parte reale fornisce: 3 lim ReGH = lim = = 3 Esercizio 9 GH = 17 s +,1s + 1 ω A +,1ω ΦGH = arctanb,1ω 1 ω C 13

14 17-18 Il grafico richiede qualche precisazione prima di essere tracciato: il punto di partenza è sull asse reale positivo e di ampiezza 17; poiché il denominatore del modulo ha sotto radice la somma di due quadrati, si prevede un minimo in corrispondenza di un minimo dei due addendi (1 oppure ). >> x=:.1:; >> y=(1-x.^).^+(.1*x).^; >> plot(x,y) Essendo il minimo per ω = 1, vuol dire che la funzione ivi prevede un massimo (si ricorda che stiamo parlando del denominatore del modulo). La conclusione è che se la partenza è dal valore 17, successivamente il modulo subirà un allungamento ed una rotazione oraria (la fase assume valori negativi). Al crescere di ω il modulo si accorcia mentre la fase continua per valori negativi. Di seguito la situazione grafica: >> nyquist(tf(17,[1.1 1])) 1

15 Visualizziamo la parte intorno al punto critico: Essendo i poli della funzione pari a -.5 ±.9987i (parte reale negativa) allora P = ed essendo il punto critico fuori dalla curva chiusa (R = ), si conclude che il sistema è stabile. N.B. una precisazione sulle ultime istruzioni di Matlab: il ; alla fine di una istruzione evita di visualizzare l output (non riempie la schermata di tutti i valori generati), mentre per calcolare la y per ogni valore di x (che è un vettore) bisogna premettere il. al simbolo di elevazione per indicare che l operazione va effettuata non sull intera x ma su ogni suo elemento. 15