Esercizi sul luogo delle radici

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1 Esercizi sul luogo delle radici Gli esercizi che seguono faranno riferimento allo schema a blocchi riportato di seguito. r k G(s) y Esercizio. Sia data la seguente funzione di trasferimento s(s+). Verificare la correttezza del luogo delle radici tracciato studiando analiticamente le soluzioni del polinomio caratteristico Centro stella s =. 3 9,9 luogo diretto,8 luogo complementare k > stabile k < instabile con polo a destra Il polinomio caratteristico risulta: s +s+k = le cui radici sono s, = ± k. k k

2 Gm = Inf db (at Inf rad/sec), Pm =.8 deg (at.78 rad/sec) Poiché il margine di guadagno è infinito e il margine di fase è sempre positivo, si avrà stabilità per ogni k >.

3 Esercizio. Sia data la seguente funzione di trasferimento s+ s (s+). Centro stella s =.. 9,9 luogo diretto,8 luogo complementare k > stabile k < instabile con polo a destra Il polinomio caratteristico risulta: s 3 +s +ks+k. 3 k k 3k k s+ s (s+) = +s ( s + s ). Gm = Inf db (at rad/sec), Pm =. deg (at.3 rad/sec) Poiché il margine di guadagno è infinito e il margine di fase è sempre positivo, si avrà stabilità per ogni k >. 3

4 Esercizio 3. Sia data la seguente funzione di trasferimento s(s+)(s +8s+3). 3 3 Centro stella s = 3. 3,3,,3 luogo diretto,9,8,7 luogo complementare < k < k stabile k > k instabile con poli a destra k < instabile con polo a destra Il polinomio caratteristico risulta: s +s 3 +s +8s+k =. k 3 8 3k 3k+8 3k Il sistema sarà stabile se k > e 3k+8 >, ovvero < k 9. Quindi k 9. s(s+)(s +8s+3) = 8 ( s + s ) ( + s + s 3 ). Gm =. db (at 3.7 rad/sec), Pm = 89.8 deg (at.78 rad/sec) x x 3 Il margine di guadagno risulta γ m =.db 9. Il punto di intersezione del diagramma di Nyquist con l asse reale sarà quindi /γ m.7 3.

5 Esercizio. Sia data la seguente funzione di trasferimento s+ s(s ). Centro stella s = 3. 8 luogo diretto luogo complementare < k < k instabile con poli a destra k > k stabile k < instabile con polo a destra Il polinomio caratteristico risulta: s s+ks+ =. k Il sistema sarà stabile se k >. Quindi k =. s s+ + s(s ) = s( s). Gm =.e db (at. rad/sec), Pm = deg (at. rad/sec) Il margine di guadagno risulta γ m = db =. Il punto di intersezione del diagramma di Nyquist con l asse reale sarà quindi /γ m =. Cosa possiamo concludere?

6 Esercizio. Sia data la seguente funzione di trasferimento s s(s+). 3 3 Centro stella s =. 8 luogo diretto luogo complementare k > instabile con polo a destra k < k < stabile k < k instabile con poli a destra Il polinomio caratteristico risulta: s +s+ks k =. k k + k Il sistema sarà stabile se < k <. Quindi k =. s s(s+) = s s(+s). Gm = Inf, Pm = 8 deg (at rad/sec)

7 Esercizio. Sia data la seguente funzione di trasferimento s(s+)(s+). 3 Centro stella s =. 3,,8 luogo diretto,, luogo complementare < k < k stabile k > k instabile con poli a destra k < instabile con polo a destra Il polinomio caratteristico risulta: s 3 +s +s+k =. 3 k k k Il sistema sarà stabile se k > e k >. Quindi k =. s(s+)(s+) = ( s + s )( + s ). Gm = 7. db (at.7 rad/sec), Pm = 88.3 deg (at. rad/sec) Il margine di guadagno risulta γ m = 7.dB. Il punto di intersezione del diagramma di Nyquist con l asse reale sarà quindi /γ m. 3. 7