Studio dei sistemi dinamici tramite FdT. Risposta allo scalino

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1 Parte 7, 1 Studio dei sistemi dinamici tramite FdT Risposta allo scalino

2 Parte 7, 2 Introduzione Assegnato un sistema dinamico LTI descritto tramite una Funzione di Trasferimento (a tempo continuo oppure a tempo discreto), e possibile trovare dei parametri che descrivano levoluzione della risposta allo scalino del sistema e che siano in qualche modo legati ai parametri tipici della FdT (zeri/poli, guadagno statico ecc.)?

3 Parte 7, 3 Tempo continuo vs tempo discreto Analizziamo separatamente anche stavolta il caso dei sistemi LTI a tempo continuo ed il caso dei sistemi LTI a tempo discreto. Infatti, come vedremo, i risultati dellanalisi svolta su sistemi a tempo continuo non sono tutti direttamente portabili al caso dei sistemi a tempo discreto e viceversa esistono dei comportamenti particolari che sono peculiarità dei sistemi a tempo discreto.

4 Parte 7, 4 Risposta allo scalino di sistemi LTI a tempo continuo

5 Parte 7, 5 - Risposta allo scalino In sistemi asint. stabili descrive la transizione da un equilibrio ad un altro

6 Parte 7, 6 Risposta all impulso = (risposta allo scalino) Risposta alla rampa = (risposta allo scalino)

7 - Risposta allo scalino: parametri caratteristici Parte 7, 7 Valore di regime Tempo di assestamento Tempo di salita Tempo di ritardo Tempo di picco Valore di picco Max sovraelongazione Max sovraelongazione relativa Periodo delle oscillazioni Fattore di smorzamento

8 Parte 7, 8 - Risposta allo scalino: parametri caratteristici

9 - Risposta allo scalino: I ordine Parte 7, 9 A) Strettamente proprio B) Non strettamente proprio ( As. Stabile)

10 Parte 7, 10 A)

11 Parte 7, 11

12 Parte 7, 12 - Calcolo tempo di assestamento Esercizio a casa: calcolare

13 Parte 7, 13

14 Parte 7, 14 B) N.B.

15 Parte 7, 15 Poniamo: In prima approx:

16 Parte 7, 16 - Risposta allo scalino: II ordine A) Poli reali senza zeri B) Poli reali con zero C) Poli complessi senza zeri D) Poli complessi con zero

17 Parte 7, 17 A) Asintotica stabilita` Per esempio poniamo:

18 Parte 7, 18

19 Parte 7, 19 Alcune caratteristiche:

20 Parte 7, 20 Curva monotona crescente, con flesso

21 Parte 7, 21 - Se In prima approx: In generale, in assenza di zeri, i poli piu` influenti sull andamento qualitativo della risposta sono quelli vicini all asse immaginario

22 - Riepilogando: Parte 7, 22 A parita` di tempo di assestamento e` diverso il tempo di salita, ovvero la velocita` di risposta

23 Parte 7, 23 B) Asintotica stabilita` Per esempio poniamo:

24 Parte 7, 24

25 Parte 7, 25 Alcune caratteristiche:

26 Parte 7, 26 zero approx irrilevante sovraelongazione sottoelongazione

27 Parte 7, 27 C) Poli: asintotica stabilita`

28 Parte 7, 28

29 Parte 7, 29 Oscillazioni smorzate Alcune caratteristiche:

30 Parte 7, 30 Per esercizio dimostrare che si puo` riscrivere la risposta cosi`: Dove:

31 Parte 7, 31

32 Parte 7, 32 - Diversa parametrizzazione Pulsazione naturale Smorzamento

33 - Espressione della FdT Parte 7, 33 dove

34 - Parametri caratteristici Parte 7, 34 Dipendono solo da e non da

35 Parte 7, 35

36 Parte 7, 36 - Casi limite Poli: Oscillazioni non smorzate Poli: Assenza di oscillazioni

37 - Esempio 1 Parte 7, 37 M

38 - Esempio 2 Parte 7, 38

39 Parte 7, 39 D) Alcune caratteristiche della risposta:

40 Parte 7, 40

41 - Confrontando C) e D): Parte 7, 41 A parita` di tempo di assestamento e` diverso il tempo di salita, ovvero la velocita` di risposta

42 Parte 7, 42 - Risposta allo scalino Ordine > 2 As. stabilita` salvo cancellazioni

43 Parte 7, 43 - Teo. valore iniziale - Teo. valore finale

44 Parte 7, 44 - Approssimazione a poli dominanti - Caso semplice Poli reali distinti Se componente dominante

45 Parte 7, 45 - Polo dominante reale

46 Parte 7, 46 - Poli dominanti complessi

47 - AVVERTENZA! Parte 7, 47 Nell approssimazione a poli dominanti e` necessario Tener conto di zeri vicini all asse immaginario Conservare il guadagno

48 Parte 7, 48 - Esempio Poli: Zero:

49 Parte 7, 49

50 Parte 7, 50 - Approssimazione a polo equivalente Hp: poli reali negativi Componente dominante

51 Parte 7, 51 - Esempio Poli:

52 Parte 7, 52

53 Parte 7, 53 Risposta allo scalino di sistemi LTI a tempo discreto

54 Risposta allo scalino Parte 7, 54

55 - Risposta allo scalino: parametri caratteristici Parte 7, 55 I parametri definiti in precedenza per la risposta allo scalino unitario di sistemi LTI a tempo continuo ( cfr. Parte 7, slide #7, 8) sono definibili allo stesso modo anche nel caso di sistemi LTI a tempo discreto (si veda la slide successiva). Tuttavia le formule trovate in precedenza (Parte 7, slide # 12 e 34) per calcolare (in modo esatto oppure approssimato) i valori di quei parametri nel caso di sistemi a tempo continuo non sono applicabili ne facilmente adattabili al caso a tempo discreto.

56 Parte 7, 56 - Risposta allo scalino: parametri caratteristici

57 Valore iniziale e finale Parte 7, 57 Valore iniziale Uso il teorema del valore iniziale Iterando il procedimento posso calcolare anche i campioni successivi

58 Parte 7, 58 Nellipotesi che sia m < n, si arriva così al risultato seguente Il numero dei campioni nulli iniziali della risposta allo scalino prende il nome di tempo di latenza Il tempo di latenza è pari al grado relativo della FdT (cioè alla differenza di grado tra polinomio a denominatore e polinomio a numeratore della stessa).

59 Parte 7, 59 Valore finale Supponendo verificate le ipotesi di applicabilità, utilizzo il teorema del valore finale In questultimo caso il teorema non è applicabile! Perché?

60 Parte 7, 60 Riassumendo Utilizzando i teoremi del valore iniziale e del valore finale (quando applicabile) siamo in grado di determinare quantitativamente landamento della risposta allo scalino negli istanti iniziali (tempo di latenza ed istanti immediatamente successivi) ed il valore di regime della risposta (quindi la risposta a tempo lungo) allo scalino. In realtà i due teoremi permettono di analizzare gli istanti iniziali ed il comportamento a tempo lungo della risposta di un sistema dinamico a tempo discreto asintoticamente stabile, qualsiasi sia lingresso applicato.

61 Studio del transitorio Parte 7, 61 Supponiamo che i poli siano tutti distinti, e. Allora si ottiene

62 Parte 7, 62 Regime permanente transitorio La risposta allo scalino, nelle ipotesi adottate, possiede un transitorio, determinato sia dai poli reali che da quelli complessi coniugati della FdT, che tende a svanire al trascorrere del tempo k. Esiste inoltre un termine di regime, dato da un segnale a scalino di ampiezza pari al guadagno statico della FdT.

63 Sistemi del primo ordine Parte 7, 63 Se la risposta è monotona, altrimenti è oscillante. In ogni caso, la risposta raggiunge la condizione di regime tanto più velocemente quanto più è piccolo Tempo di assestamento al (100-e)% Cfr. slide # 55 Il più piccolo numero intero che rispetta la relazione

64 Parte 7, 64 Risposta allo scalino del sistema del 1 o ordine, al variare della posizione del polo. La risposta allo scalino in queste condizioni è sempre monotona crescente. Quanto più il polo si avvicina ad 1, tanto più lenta è la risposta del sistema.

65 Parte 7, 65 Risposta allo scalino del sistema del 1 o ordine, al variare della posizione del polo. La risposta allo scalino in queste condizioni è sempre oscillante, con campioni alternativamente sopra/sotto il valore di regime. Quanto più, tanto più lenta è la risposta del sistema.

66 Sistemi del secondo ordine: poli reali Parte 7, 66 Landamento della risposta dipende dalla posizione relativa tra lo zero ed i due poli. Lo zero può velocizzare la risposta, oppure provocare sovra/sotto-elongazioni, oppure essere ininfluente a seconda della sua posizione rispetto ai due poli. Per il contributo dei poli valgono considerazioni analoghe a quelle fatte per i sistemi del primo ordine.

67 Parte 7, 67 Risposta allo scalino del sistema del 2 o ordine, al variare della posizione dello zero. Se e, la risposta allo scalino è tanto più veloce, quanto più aumenta Per la risposta presenta una sovraelongazione, tanto più marcata quanto più Per, la posizione dello zero diviene tanto meno influente, quanto più

68 Parte 7, 68 Risposta allo scalino del sistema del 2 o ordine, al variare della posizione dello zero. Per la risposta presenta una sottoelongazione, tanto più pronunciata quanto più

69 Parte 7, 69 Risposta allo scalino del sistema del 2 o ordine, al variare della posizione dello zero. Per lo zero è sostanzialmente ininfluente, sia che abbia modulo inferiore o superiore allunità. Il motivo è la lontananza dai poli dominanti del sistema.

70 Parte 7, 70 Sistemi del secondo ordine: poli complessi coniugati Le oscillazioni sono smorzate ( ) e modulate dal termine. Il tempo di assestamento è tanto maggiore quanto più il modulo dei poli è prossimo ad 1.

71 Parte 7, 71 Risposta allo scalino del sistema del 2 o ordine, con due poli complessi coniugati, al variare del modulo dei poli r. Al crescere del modulo r aumentano la sovraelongazione ed il tempo di assestamento.

72 Parte 7, 72 Risposta allo scalino del sistema del 2 o ordine, con due poli complessi coniugati, al variare della fase dei poli q. Al crescere della fase q aumenta la sovraelongazione. Il tempo dassestamento rimane pressoché invariato.