Stabilità esterna e analisi della risposta

Transcript

1 Stabilità esterna e analisi della risposta

2 Risposte di sistemi del 1 e 2 ordine Introduzione Risposta al gradino di sistemi del 1 ordine Determinazione di un modello del 1 ordine Risposta al gradino di sistemi del 2 ordine Determinazione di un modello del 2 ordine 2

3 Risposte di sistemi del 1 e 2 ordine

4 Motivazioni (1/4) Lo studio della risposta al gradino di un sistema dinamico LTI esternamente stabile è importante per due motivi: Permette di studiare il comportamento del sistema dato nella transizione tra una situazione di equilibrio ed un altra In alcuni casi, consente di determinare, a partire dal suo rilievo sperimentale, la funzione di trasferimento del sistema dinamico 4

5 Motivazioni (2/4) Il comportamento della risposta al gradino di sistemi dinamici LTI esternamente stabili sarà studiato solo nel caso TC Si farà quindi riferimento alla descrizione di tali sistemi mediante la funzione di trasferimento H (s ): H( s) = N D H H ( s) ( s) H (s ) funzione razionale fratta in s N H (s ) polinomio del numeratore D H (s ) polinomio del denominatore N H (s ) e D H (s ) non hanno radici in comune 5

6 Motivazioni (3/4) H( s) = N D H H ( s) ( s) In questo contesto, l attenzione sarà concentrata sui Sistemi del 1 ordine D H (s ) polinomio di 1 grado Sistemi del 2 ordine D H (s ) polinomio di 2 grado i cui poli hanno parte reale strettamente negativa Inoltre, studieremo solo il caso di sistemi del 1 e del 2 ordine elementari N H (s ) di grado zero (polinomio costante) 6

7 Motivazioni (4/4) Nei due casi considerati, si procederà nello studio in base ai seguenti punti: Calcolo della risposta al gradino Tracciamento della risposta al gradino Definizione dei parametri caratteristici della risposta al gradino 7

8 Risposte di sistemi del 1 e 2 ordine

9 Funzione di trasferimento La funzione di trasferimento di un sistema del primo ordine elementare può essere espressa come: H( s) * * K K guadagno = s p p polo Ponendo: * 1 K τ =, K = p p Si ottiene la forma: H( s) K = 1 + τs 9

10 Risposta al gradino: espressione analitica Se al sistema descritto dalla funzione di trasferimento K H( s) = 1 + τs viene applicato un ingresso u (t ) a gradino di ampiezza ū : si ottiene la risposta: L u ut ( ) = uε( t) Us ( ) = s 1 L t K u τ Y ( s) = H( s) U( s) = y( t) = u K 1 e, t τss 10

11 Risposta al gradino: andamento grafico y(t ) t τ y( t) = u K 1 e, t 0 t 11

12 Valore a regime Valore a regime y è il valore a cui tende la risposta y (t ) per t y(t ) y y = lim y( t) = s 0 t = lim s Y ( s) = K u = lims = s τs s = K u t / τ 12

13 y(t ) 0.9 y Tempo di salita 10% 90% è il tempo Tempo di salita 10% 90% t r richiesto perché la risposta passi, per la prima volta dal 10% al 90% del valore di regime y = y y t r 0.1 y t / τ 13

14 Tempo di assestamento Tempo di assestamento a ± ε% t a,ε% è il tempo necessario perché la risposta differisca definitivamente dal valore di regime y per una quantità pari all ε % di quest ultimo. Valori tipici di ε sono: ε = 1, ε = 2, ε = 5 In pratica, il tempo di assestamento è il tempo necessario affinché la risposta entri nella fascia [(1 0.01ε, ε ]y e non vi esca più 14

15 Andamento grafico e tempo di assestamento 0.95 y Osservazione: dopo che è trascorso un tempo pari a tre volte la costante di tempo τ, la risposta del sistema raggiunge il 95% del valore a regime y t a,5% = 3 τ y(t ) t / τ y 15

16 Andamento grafico e costante di tempo y(t ) y 0.63 y Osservazione: dopo che è trascorso un tempo pari alla costante di tempo τ, la risposta del sistema raggiunge il 63% circa del valore a regime y t / τ 16

17 Risposte di sistemi del 1 e 2 ordine

18 Formulazione del problema Dato il seguente sistema dinamico del 1 ordine: H( s) K = 1 + τs determinare i parametri K e τ in modo che la sua risposta ad un gradino di ampiezza unitaria (ū = 1) sia quella illustrata in figura

19 Calcolo di K 3 2 y = 3 1 Poiché si ottiene: y = K u = 3, u = 1 y K = = u 3 19

20 Calcolo di τ y = y = τ τ = 0.25 s 20

21 Calcolo di τ (metodo alternativo) 0.95 y = y = τ τ = 0.75 /3 = 0.25 s 21

22 Risposta al gradino di sistemi del 1 e 2 ordine

23 ω H( s) = K s s Funzione di trasferimento Consideriamo sistemi elementari del 2 ordine descritti dalla funzione di trasferimento: 2 n ζωn + ωn K guadagno ωn pulsazione naturale 0 < ζ < 1 smorzamento 1 τ = costante di tempo ζω n 23

24 Risposta al gradino: espressione analitica Applicando al sistema del 2 ordine ω H( s) = K s s 2 n ζω + ω n n un ingresso u (t ) a gradino di ampiezza ū : L u ut ( ) = uε( t) Us ( ) = s si ottiene la risposta: 1 L ω u Y ( s) = H( s) U( s) = K y( t) = s s s 2 n ζωn + ωn 1 ( 1 ) ζωnt = uk e ω ζ t + n ( ζ ) t 1 ζ 2 1 sin arccos,

25 Risposta al gradino: andamento grafico 1 ( 1 ) ζωnt y t u K e ω ζ t n ( ζ ) t 1 ζ 2 ( ) = 1 sin + arccos, 0 2 y(t ) t 25

26 Valore a regime e valore di picco (1/2) Valore a regime y è il valore a cui tende la risposta y (t ) per t y = lim y( t) = lim s Y ( s) = t s 0 ω u = lims K = K u s 0 s s s 2 n ζωn + ωn Valore di picco y max è il valore istantaneo massimo della risposta y (t ) y max = max y( t) t 26

27 Valore a regime e valore di picco (2/2) y(t ) y max y 0 t 27

28 Sovraelongazione massima, tempo di picco (1/3) Sovraelongazione massima ŝ è il rapporto tra il massimo scostamento in ampiezza della risposta rispetto al valore di regime ed il valore di regime ˆ s = y max y y 28

29 Sovraelongazione massima, tempo di picco (1/3) La sovraelongazione massima può anche essere espressa in termini percentuali ŝ % ˆ s % = 100 ˆ s ˆt Tempo di picco è l istante in cui la risposta raggiunge il valore di picco y ( ˆt ) =y max 29

30 Sovraelongazione massima, tempo di picco (2/3) y(t ) y max ˆ s = y max y y y max - y = ŝ y y 0 t 30

31 Sovraelongazione massima, tempo di picco (2/3) y(t ) y max 0 ˆt t 31

32 Sovraelongazione massima, tempo di picco (3/3) La sovraelongazione massima ŝ dipende solo dallo smorzamento ζ: ˆ s e πζ 2 1 ζ = ζ = ˆt ln( ˆ s ) 2 2 ln ( ˆ s ) Il tempo di picco dipende sia dallo smorzamento ζ sia dalla pulsazione naturale ω n : π + ˆ t = ω n π 1 ζ 2 32

33 Tempi di salita Tempo di salita t s è il primo istante in cui la risposta raggiunge il valore di regime y =y Tempo di salita 10% 90% t r è il tempo richiesto perché la risposta passi, per la prima volta dal 10% al 90% del valore di regime y = y Entrambi dipendono sia dallo smorzamento ζ sia dalla pulsazione naturale ω n t s ζ = ( π arccos ( ζ) ), t 2 r ω 1 ζ ωn n 33

34 Tempo di salita y(t ) y 0 t s t 34

35 Tempo di salita 10% - 90% y(t ) 0.9 y y 0.1 y t r 0 t 35

36 Tempo di assestamento (1/2) Tempo di assestamento a ± ε% t a,ε% è il tempo necessario perché la risposta differisca definitivamente dal valore di regime y per una quantità pari all ε % di quest ultimo. Valori tipici di ε sono: ε = 1, ε = 2, ε = 5 In pratica, il tempo di assestamento è il tempo necessario affinché la risposta entri nella fascia [1 0.01ε, ε ]y e non vi esca più Dipende sia dallo smorzamento ζ sia dalla pulsazione naturale ω n t a, ε % ln(0.01 ε) ζω n 36

37 Tempo di assestamento (2/2) y(t ) (1+0.01ε) y ±ε (1 0.01ε) y y 0 t a,ε% t 37

38 Comportamento al variare di ζ y(t ) t ω n =1 rad/s ζ = 0.8, 0.6, 0.4,

39 Comportamento al variare di ω n y(t ) ζ = 0.4 ω n = 0.5, 1, 2, 4 rad/s t 39

40 Caso ζ = 1 (1/3) Nel caso ζ = 1, la funzione di trasferimento: diventa: ω H( s) = K s s K 1 τ ( + τs ) 2 H( s) =, = 1 n 2 n ζω + ω n n due poli R coincidenti in s = 1 /τ La risposta ad un gradino di ampiezza ū è ω t t t τ τ y() t = u K 1 e e, t 0 τ 40

41 Il corrispondente andamento grafico è: y(t ) Caso ζ = 1 (2/3) y Si noti l assenza di oscillazioni e di sovraelongazione nel transitorio che precede il raggiungimento del t valore di regime y 41

42 Le caratteristiche della risposta possono essere studiate considerando i seguenti parametri (già definiti in precedenza): Valore a regime y Tempo di salita 10% - 90% t r Tempo di assestamento a ± ε% t a, ε% Caso ζ = 1 (3/3) La seguente tabella fornisce dei legami approssimati tra i parametri y, t r, t a, ε% e quelli della fdt K e τ y ū K t r 3.36 τ t a, 5% 4.74 τ t a, 1% 6.64 τ 42

43 Caso ζ = 1 andamento al variare di τ ζ= 1 τ = 2, 1, 0.5, 0.25 s 43

44 Risposta al gradino di sistemi del 1 e 2 ordine

45 Formulazione del problema Dato il seguente sistema dinamico del 2 ordine: 2 ωn H( s) = K s ζω s + ω determinare i parametri K, ζ e ω n in modo che la sua risposta ad un gradino di ampiezza unitaria (ū = 1) sia quella illustrata in figura n n 45

46 si ottiene: y = K u = 5, u = 1 Calcolo di K y = Poiché y K = = u 5 46

47 y max 5.81 Poiché y = = 5, y max 5.81 Calcolo di ζ (1/2) y = si ottiene: y max y ˆ s = = y 47

48 Calcolo di ζ (2/2) Inoltre, dal momento che risulta: ζ = π ln( ˆ s ) + ln ( ˆ s ) 2 2 si ottiene: ln( ˆ s ) ζ = 2 2 π + ln ( ˆ s ) s ˆ=

49 ˆ t y max Si ha: Calcolo di ω n ˆ t = 1.81 s π π = ω = = 2 n 2 ω 1 ζ ˆ t 1 ζ n ζ = 0.5, ˆ t = rad/s 49