Prova scritta di Controlli Automatici

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1 Prova scritta di Controlli Automatici Corso di Laurea in Ingegneria Meccatronica, AA Giugno 1 Domande a Risposta Multipla Per ognuna delle seguenti domande a risposta multipla, indicare quali sono le affermazioni vere V e quali sono le affermazioni false F. 1. Nei modelli matematici dei sistemi dinamici si definisce una variable across quando questa rappresenta: V F Ladifferenzatraduevaloricheassumelaproprietáfisica. aidueestremidelcomponenete che si vuole modellare. V F Il valore uniforme che assume la proprietà fisica attraverso il componente da modellare. V F La massa del componente da modellare. Commento: La variabile across definisce il valore di una grandezza fisica che ha un senso quando misurata agli estremi di un sistema, come ad esempio la differenza tensione ai capi di una resistenza. Occorre distinguere la variabile across dalla variabile through, essendo questa ultima una variabile che definisce una grandezza fisica che rimane costante nell attraversamento di un componente, come ad esempio la corrente che attraversa una resistenza. In base a tale osservazione, la prima risposta è corretta, la seconda e la terza sono errate, in particolare nella terza, la variabile across non ha nulla a che vedere con i parametri fisici del sistema.. Si consideri una funzione del tempo f (t). Sia F (s) = L[f (t)] la sua trasformata di Laplace. Allora, in base alle proprietà delle trasformate di Laplace, è possibile scrivere: F(s) V F lim f(t) = lim t s s V F lim f(t) = lim sf(s) t s [ t ] V F L f(τ)dτ = sf(s) Commento: In base alla definizione della Trasformata di Laplace, è posibile dimostrare il Teorema del Valor Finale, il cui enunciato è: lim f(t) = lim sf(s) t s per cui la prima risposta è errata in quanto il termine s moltiplica il denominatore, la seconda è errata in quanto il limite nel campo delle trasformate è per s anzichè s. 1

2 Sempre per le proprietà delle trasformate di Laplace, la trasformata dell integrale vale: L e quindi anche la terza risposta è errata. t f(τ)dτ = F(s) s 3. Sia dato un sistema del secondo ordine, che può essere espresso in forma generica: G(s) = ωn s+ω nζs+ω, con ingresso a gradino, allora le seguenti affermazioni sono vere: n V F Il massimo sorpasso percentuale dell uscita non dipende dal coefficiente di smorzamento ζ. V F Il massimo sorpasso percentuale dell uscita non dipende dalla pulsazione naturale ω n. V F Il massimo sorpasso percentuale dell uscita non dipende dal prodotto tra la pulsazione naturale ω n e il coefficiente di smorzamento ζ. Commento: Il massimo sorpasso percentuale S % è il valore massimo dell uscita del sistema quando viene applicato un ingresso a gradino, espresso in percentuale rispetto al valore di regime. Nei sistemi del secondo ordine, la relazione che lega S % e ζ è: s % = 1e πζ 1 ζ Quindi vi è una relazione funzionale tra S % e ζ, e quindi una dipendenza dalla parte reale dei poli (ζ ω n ), ma non vi è alcuna relazione tra S % e il modulo del polo, o pulsazione naturale, ω n. Quindi solo la seconda risposta è corretta. 4. Data la risposta di un sistema dinamico ad un ingresso a gradino, si definisce con il termine di tempo di assestamento: V F La differenza tra il massimo valore raggiunto dall uscita e il valore finale, solitamente espresso in valore percentuale. V F Il tempo al quale raggiunge un valore pari al 95% del valore finale. V F Il tempo in cui si ha il valore massimo dell uscita del sistema. Commento: Il tempo di assestamento t s, è il tempo entro il quale l uscita entra in modo stabile (cioè senza più uscirne) in una fascia centrata attorno al valore finale e di ampiezza 1% del valore di regime, o, in modo equivalente, un intervallo pari a [95%,15%] del valore finale, senza più uscirne. Tutte le risposte sono errate, in quanto la prima risposta è la definizione del massimo sorpasso percentuale, la seconda non implica che la risposta rimanga entro la fascia menzionata, e la terza è la definizione del tempo del massimo sorpasso percentuale. 5. Si consideri un sistema elementare del secondo ordine, in cui ζ e ω n sono rispettivamente il coefficiente di smorzamento e la pulsazione naturale, eccitato con un gradino di ampiezza unitaria, allora possiamo affermare che: V F La massima sovraelongazione percentuale raggiunge il valore massimo quando ζ = 1

3 V F La massima sovralongazione percentuale é proporzionale a ω n V F Il valore della parte immaginaria dei poli influenza la massima sovraelongazione percentuale Commento: La massima sovraelongazione percentuale è definita dalla formula: s % = 1e πζ 1 ζ quindi nel caso in cui sia ζ = 1 il sistema presenta una sovraelongazione nulla, e inoltre la massima sovraelongazione non dipende dalla ω n, e quindi la prima e la seconda risposte sono errate. Siccome per un sistema del secondo ordine con equazione caratteristica pari a si hanno radici (poli del sistema) pari a: s+ω n ζs+ω n = p 1, = ω n ζ jω n 1 ζ e quindi la parte immaginaria dei poli, ω n 1 ζ, dipende da ζ che influenza S %, e quindi la terza risposta è corretta. 6. Sia G tot (s) = Y(s) R(s) la funzione di trasferimento del sistema descritto in figura R(s) + - k G(s) Y(s) Il luogo delle radici: V F Descrive il valore dei poli di G(s) al variare del parametro k V F Descrive il valore dei poli di G tot (s) al variare del parametro k V F Ha un numero di asintoti pari alla differenza fra il numero di poli e il numero di zeri di G(s) Commento: Sia data la funzione di trasferimento G(s) di un sistema, il luogo delle radici corrisponde ai punti corrispondenti alle soluzioni della equazione: 1+kG(s) = essendo il polinomio 1 + kg(s) il numeratore della funzione di trasferimento G tot, e quindi la prima risposta è errata, mentre la seconda è corretta. In base alle regole per il tracciamento qualitativo del luogo delle radici, la terza risposta è corretta. 3

4 7. Si consideri lo schema a blocchi riportato nella figura sottostante, e si indichi con con G tot (s) = la funzione di trasferimento complessiva Y(s) R(s) F(s) R(s) + + G(s) - + Y(s) H(s) allora valgono le seguenti formule: V F G tot (s) = G(s) 1+G(s)H(s) +F (s) V F G tot (s) = G(s)+F(s) 1+G(s)H(s) V F G tot (s) = G(s) 1+G(s)H(s) + F(s) 1+G(s)H(s) Commento: Ricordando che il diagramma a blocchi rappresenta in modo grafico equazioni algebriche, possiamo scrivere: da cui: Y(s) = F(s)R(s)+G(s)(R(s) H(s)Y(s)) = (F(s)+G(s))R(s) G(s)H(s)Y(s) e quindi: Y(s)(1+G(s)H(s)) = (F(s)+G(s))R(s) Y(s) = F(s)+G(s) (1+G(s)H(s)) R(s) da cui risulta che la risposta corretta è la seconda *e la terza, che è equivalente alla seconda).. 8. Si consideri un sistema dinamico descritto da una funzione di trasferimento razionale fratta G(s) V F La somma dei modi corrisponde all uscita del sistema quando l ingresso applicato é un impulso di Dirac. V F I modi del sistema si ottengono antitrasformando secondo Laplace ciascun fratto semplice in cui é fattorizzata la funzione di trasferimento V F I modi del sistema dipendono unicamente dalla parte reale dei poli 4

5 Commento: I modi sono le funzioni del tempo che si ottengono antitrasformando le funzioni razionali fratti che si ottengono dalla scomposizione in fratti semplici della funzione di trasferimento, e quindi la seconda è corretta. Siccome la funzione di trasferimento corrisponde alla riposta impulsiva, allora anche la prima risposta è corretta. I modi dipenono dai poli della funzione di trasferimento, sia dalla parte reale, che dalla parte immaginaria, e quindi la terza risposta è errata. 9. I diagrammi di Bode di un sistema lineare: V F Rappresentano l andamento dell ampiezza e della fase della funzione di risposta armonica rispetto al tempo V F Sono una rappresentazione completa della funzione di trasferimento del sistema V F Sono una rappresentazione completa della funzione di risposta armonica del sistema Commento: I diagrammi di Bode sono i grafici che mostrano il modulo e la fase della funzione di risposta armonica rispetto al valore delle pulsazioni del segnale di ingresso. Quindi la prima e la seconda risposte sono errate, mentre la terza è corretta. 1. Si consideri un sistema dinamico asintoticamente stabile, descritto dalla funzione di trasferimento G(s). Sia F(ω) la funzione di risposta armonica del sistema. V F Nota G(s), é possibile calcolare la funzione di risposta armonica V F Eccitando il sistema con un segnale u(t) = 5sin(4t + 6) si ottiene, a regime, un uscita sinusoidale con pulsazione 4 V F F(ω) = G(s) s=jω Commento: In base al teorema della Risposta Armonica, la Funzione di Risposta Armonica F(ω) si ricava dalla Funzione di Trasferimento del sistema in base alla formula: F(ω) = G(s) s=jω quindi la prima e la terza risposta sono corrette. Inoltre, sempre in base allo stesso teorema, la risposta del sistema ad un segnale sinusoidale è ancora un segnale sinusoidale con medesima pulsazione, e quindi anche la seconda risposta è corretta. 11. Si consideri un sistema lineare semplicemente stabile, descritto dalla funzione di trasferimento razionale fratta G(s). Si puó sicuramente affermare che V F Tutti i poli di G(s) hanno parte reale negativa V F Nessun polo di G(s) ha parte reale positiva V F Tutti gli zeri di G(s) hanno parte reale negativa o nulla Commento: Un sistema lineare è semplicemente stabile se ha tutti i poli a parte reale negativa, con eccezione di uno o più poli a parte reale nulla, tutti questi semplici. Nel caso che tutti i poli siano a parte reale negativa, allora il sistema è asintoticamente stabile. In base a questa proprietà, possiamo concludere che la prima risposta è errata, la seconda è corretta. Gli zeri non influiscono sulla stabilità del sistema, per cui la terza risposta è errata. 5

6 1. Sia dato un sistema dinamico di tipo zero, si determini la correttezza delle seguenti affermazioni: V F Il sistema di tipo zero ha un polo nell origine, per cui l errore a regime del sistema chiuso in retroazione con un controllore proporzionale e un ingresso di riferimento a gradino, è nullo. V F Il sistema di tipo zero non ha poli nell origine, e quindi per annullare l errore a regime del sistema chiuso in retroazione con ingresso di riferimento a gradino, è necessario utilizzare un controllore con azione integrale. V F Il sistema di tipo zero chiuso in retroazione con controllore proporzionale è sempre instabile, per qualunque valore del guadagno k del controllore. Commento: Si dice che un sistema è ti tipo h se esso ha h poli nell orgine. Quindi la prima risposta è errata e la seconda è corretta. Un sistema di tipo zero chiuso in retroazione con un controllore proporzionale k non è necessariamente instabile, per cui la terza risposta è sbagliata. 13. Si faccia riferimento al controllore PID, costituito dalle componenti proporzionale, integrale e derivativa, con coefficienti K,T i,t d, rispettivamente e con filtro sulla componente derivativa con polo in p = N/T d. La funzione di trasferimento C(s) vale: ( ) st V F C(s) = k d s T d st i +1 N V F C(s) = k(n+st d+nst i +s T d T i +Ns T d T i) st i (N+sT d ) V F C(s) = kn+sk(t d+nt i )+s kt d T i (1+N) st i N+s T i T d Commento: Le risposte coincidono con il calcolo della funzione di trasferimento del PID con termine di filtro (sistema del primo ordine con polo in p = N/T d ) su cui sono svolti diversi raccolgimenti di termini comuni. Quindi tutte e tre le risposte sono corrette. 14. Facendo un confronto tra le prestazioni di un controllo in avanti (feedforward control) e in retroazione (feedback control), possiamo affermare: V F Il controllo in avanti è più robusto del sistema in retroazione rispetto a incertezze sul modello del sistema da controllare. V F Il controllo in avanti è meno robusto del sistema in retroazione rispetto a incertezze nel modello del sistema da controllare. V F Il controllo in avanti pari ad una costante di proporzionalità k positiva applicato ad un sistema asintoticamente stabile, può dar luogo ad un comportamento instabile del sistema complessivo, costituito dalla combinazione del controllore proporzionale e dal sistema asintoticamente stabile. Commento: Grazie alla possibilità di misurare la variabile di uscita del sistema, il sistema di controllo in retroazione è più robusto rispetto a variazione del modello, e quindi la prima risposta è errata e la seconda è corretta. Inoltre, siccome la moltiplicazione per una costante postiva k non modifica i poli di una funzione di trasferimento, e quindi la sua caratteristica di stabilità, l ultima risposta è errata. 6

7 15. Si consideri il modello nello spazio degli stati del sistema: { ẋ(t) = Ax(t)+Bu(t) y(t) = Cx(t) allora è possibile calcolare la funzione di trasferimento del sistema come: V F Y(s) = C(sI A) 1 BU(s) V F Y(s) = C(sI A)BU(s) V F Y(s) = B(sI A) 1 CU(s) Commento: Applicando la proprietà della trasformata di Laplace applicata alla derivazione di un segnale alla equazione che descrive il modello nello spazio degli estati, si ottiene la relazione: { six(s) = AX(s)+BU(s) da cui: Y(s) = CX(s) { (si A)X(s) = BU(s) e quindi: Y(s) = CX(s) { X(s) = (si A) 1 BU(s) e quindi infine: Y(s) = CX(s) Y(s) = C(sI A) 1 BU(s) che è l equazione scritta nella prima risposta, che è l unica delle tre corretta. 7

8 Si svolgano i seguenti esercizi indicando chiaramente i passaggi seguiti per raggiungere la soluzione Esercizio 1 Si tracci il Diagramma di Bode delle Ampiezze e delle Fasi della funzione di trasferimento: s 1 G(s) = 1 + s 5 +1 (s+1)(1s+1)(.5s+) Commento: Per tracciare i diagrammi di Bode della funzione di risposta armonica si ricava tale funzione a partire dalla G(s) ω 1 G(jω) = 1 + jω 5 +1 (jω +1)(1jω +1)(.5jω +) Si ricava quindi la forma in costanti di tempo G(jω) = 1 G(jω) = 1 ω 1 + jω ( jω 1 )(1jω +1 +1)(.5jω +1) ω 1 + jω 5 +1 ( jω 1 +1 )(1jω +1)(.5jω +1) Si analizzano ora i fattori che compongono la funzione di risposta armonica. Il guadagno statico non influenza la fase. Per quanto riguarda il diagramma di Bode delle ampiezze, esso si rappresenta come una costante. In questo caso, il valore é ( ) 1 log 6. Il termine a numeratore é del tipo G(jω) = 1 ω ω n +jδ ω ω n In questo caso, ω n = 1, δ = 1. Il diagramma di Bode asintotico delle ampiezze é come in figura seguente: +4 db/dec ω n 8

9 Il diagramma di Bode asintotico delle fasi é come in figura seguente: 18 Phase (deg) Frequency (rad/sec) ω a ωb Dove: I termini a denominatore sono del tipo ( ω a = 4.81 δ) 1 ωn.8 log(ω a ).3 ( ω b = 4.81 δ) ω n 48.1 log(ω b ) 1.68 G(jω) = 1 1+τ jω In questo caso, il diagramma di Bode asintotico delle ampiezze é come in figura seguente: - db/dec ω dove ω = 1 τ. Il diagramma di Bode asintotico delle fasi é come in figura seguente: 18 Phase (deg) Frequency (rad/sec) ω a ωb Dove: ω a = ω 4.81 ω b = ω 4.81 I valori per i tre fattori che compongono il denominatore sono quindi i seguenti: 9

10 τ = 1 1 ω = 1 log(ω ) = ω a.79 log(ω a ) 1.31 ω b 481 log(ω b ).68 τ = 1 ω = 1 1 log(ω ) = ω a. log(ω a ).7 ω b.481 log(ω b ) 1.3 τ =.5 ω = 4 log(ω ) 1.6 ω a 8.3 log(ω a ).9 ω b 19.4 log(ω b ).8 Nella figura seguente é riportato il diagramma di Bode complessivo. Bode Diagram 4 Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/sec) Esercizio Si consideri il sistema in catena aperta: G(s) = s+ (s+1)(s 3s 1) si tracci il luogo delle radici del sistema chiuso in retroazione al variare di k da a +. Commento: La domanda richiede di tracciare il luogo delle radici di un sistema. La funzione di trasferimento ha uno zero, z 1 =, e 3 poli: 1

11 p 1 = 1 p = p 3 = 5 Il luogo delle radici ha pertanto asintoti. Il centro della stella si trova sull asse reale, nel punto σ a = 1 ( 1 +5+) = 6.5 Gli angoli che formano gli asintoti con l asse reale sono i seguenti: θ a, = ( +1)π = π θ a,1 = ( 1+1)π = 3 π Il luogo delle radici é rappresentato nelle figura seguente Root Locus Imaginary Axis Real Axis.65.3 Esercizio 3 Si consideri il sistema dinamico G(s) descritto dalla equazione differenziale: e lo si retroazioni come in figura. d y dt + dy dt =,5u(t) R(s) + - G(s) Y(s) 11

12 1. Si calcoli la Funzione di Trasferimento H(s) del sistema complessivo in retroazione.. Si calcoli il tempo di assestamento t s della FdT H(s) per gli ingressi R(s) a gradino pari a r 1 (t) = 1, r (t) = 1, e r 3 (t) = 1, per t >. 3. Scegliendo uno degli ingressi tra r 1,r e r 3 a gradino, progettare un controllo in retroazione C(s) utilizzando il metodo del luogo delle radici, come mostrato in figura: R(s) + - C(s) G(s) Y(s) tale che le seguenti specifiche siano rispettate: Errore a regime pari a zero (errore a regime nullo). Tempo di assestamento minore a t 6 <.6 secondi. Massimo sorpasso percentuale inferiore al S % < 16% (si utilizzi il seguente grafico che definisce la relazione tra sorpasso percentuale e coefficiente di smorzamento). Commento: 1. Primo Quesito: Trasformando secondo Laplace l equazione differenziale, otteniamo G(s) =,5 s +s La funzione di trasferimento del sistema in retroazione è: H(s) =,5 s +s+,5 con poli pari a p 1, = ζω n jω n 1 ζ =,5 j,5, e quindi con pulsazione naturale pari a ω n =,77 e coefficiente di smorzamento pari a ζ =,77. 1

13 . Secondo Quesito: Il tempo di assestamento è indipendente dall ampiezza del gradino di ingresso, per cui il t s è uguale in tutti i tre i casi citati, e vale: t s 3 ζω n = 6 sec. 3. Terzo quesito: Per quanto riguarda l errore a regime, questo è già garantito dalla presenza del polo nell origine del sistema, e quindi non occorre includere un polo nel controllore. Per il massimo sorpasso percentuale e il tempo di assestamento, identifichiamo una regione ammissibile per i poli del sistema chiuso in retrozione, al fine di soddisfare le specifiche. Per soddisfare la specifica sul massimo sorpasso percentuale, utilizando il grafico in figura, otteniamo che il coefficente di smorzamento deve essere ζ >,5. Per soddisfare la specifica sul tempo di assestamento, doppiamo imporre t s =,6 > 3 ζω n, da cui ottengo la specifica sulla parte reale dei poli, che deve essere, in modulo, ζω n > 5. In definitiva la regione ammissibile per i poli del sistema chiuso in retroazione che sia compatibile con le specifiche è: { arccos(ζ) <,5 ζω n > 5 (a) Utilizzando le regole per il tracciamento del luogo delle radici, otteniamo il luogo per il sistema in catena aperta pari a kg(s) = k,5, che è mostrato nella seguente figura: s +s Root Locus Imaginary Axis (seconds 1 ) Real Axis (seconds 1 ) che non soddisfa le specifiche. Quindi utilizziamo un controllore che ci consenta di effettuare la compensazione zero/polo per la cancellazione del polo più a sinistra e la sua sostituzione con il polo del controllore, collocato in modo da soddisfare le specifiche di cui sopra. Un possibile valore (ma altri possono essere ugualmente corretti, se rispettano il vincolo delle specifiche) è: 13

14 C(s) = k s+1 s+1 ottenendo cosìil modello per il sistema complessivo in catena aperta (sistema da controllare + controllore), pari a: C(s)G(s) = k s+1,5 s+1s(s+1) = k,5 s(s+1) ottenendo un luogo delle radici mostrato nella seguente figura: Root Locus Imaginary Axis (seconds 1 ) Real Axis (seconds 1 ) Il sistema chiuso in retroazione ha una Funzione di Trasferimento pari a: H(s) = k,5 s +1s+k,5 Andando poi ad imporre che i due poli del sistema chiuso in retroazione siano reali, otteniamo il valore di k pari a: Quindi il controllore: p 1, = 6 36 k,5, k = 7 C(s) = 7(s+1) (s+1) soddisfa le specifiche con massimo sorpasso percentuale nullo e tempo di assestamento pari a t s = 3 6 =,5 <,6, essendo questo ultimo valore la specifica inziale. 14