Corso di Laurea in Ingegneria Meccatronica SISTEMI ELEMENTARI DEL 1 o E 2. ORDINE CA 05 Sistemi Elementari

Transcript

1 Automation Robotics and System CONTROL Università degli Studi di Modena e Reggio Emilia Corso di Laurea in Ingegneria Meccatronica SISTEMI ELEMENTARI DEL o E 2 o ORDINE CA 5 Sistemi Elementari Cesare Fantuzzi (cesare.fantuzzi@unimore.it)

2 Sistemi elementari Sistemi elementari del o e 2 o ordine: La funzione di trasferimento di un sistema comunque complesso può ס essere vista come somma di funzioni di trasferimento del primo e secondo ordine, ad esempio: risposte) La stessa proprietà vale per la risposta (somma delle ס Marzo - Giugno 2 2

3 Sistemi elementari Risposta a gradino: Viene usato come segnale d ingresso u(t) un gradino unitario ס u(t) U(s) G(s) Y(s) t Se il gradino non fosse unitario ma di ampiezza K, la risposta sarebbe la ס stessa moltiplicata per K (linearità): Y k (s) = G(s) KU(s) = K G(s) U(s) = K Y(s) Marzo - Giugno 2 3

4 Risposta a gradino: Sistemi elementari all impulso, Nota la risposta al gradino, è molto semplice ricavare la risposta ס alla rampa e a tuti i segnali canonici (con trasformata di Laplace del tipo /s i, i =, 2, 3, ) ס Dato: Allora la risposta all integrale di u(t) è data dall integrale di y(t) Quindi la risposta alla rampa la si può ottenere integrando la risposta al gradino, la risposta alla parabola integrando quella alla rampa, e così via. Marzo - Giugno 2 4

5 Risposta a gradino: Sistemi elementari Inoltre, se u( - ) =, y( - ) =, l uscita generata dalla derivata di u(t) è ס la derivata di y(t) Quindi ad esempio la risposta all impulso è la derivata della risposta al gradino (l impulso può essere interpretato come la derivata del gradino). Marzo - Giugno 2 5

6 Sistemi elementari Primo ordine Un sistema elementare del primo ordine è caratterizzato da una funzione di ס trasferimento che, a meno di un fattore costante, si può porre nella forma in cui la costante di tempo τ costituisce il parametro che caratterizza il comportamento dinamico. La risposta al gradino unitario ס è data da.8 y(t) Marzo - Giugno 2 CA-5-Sistemi Elementari Tempo (t/tau)

7 Sistemi elementari Primo ordine Sistema elementare del primo ordine ס ha: Per la risposta a gradino, si ס.8 y(t).6.4 Cioè il valore iniziale è nullo e la ס pendenza (tangente) vale /τ: Tempo (t/tau) Marzo - Giugno 2 7

8 Risposta di un sistema del Primo ordine regime, per t = τ la risposta assume un valore pari al 63,2 % del valore finale di ס regime, per t = 2 τ il valore è pari all'86,5% del valore di ס regime. per t = 3τ si raggiunge il 95,% del valore di ס y(t) Marzo - Giugno Tempo (t/tau) τ 2τ 3τ 8

9 Sistemi elementari Primo ordine Tempo di assestamento tempo occorrente perché l'uscita rimanga entro il ס 5% del valore finale. y(t) Per t = 5 τ si raggiunge il 99,3% del valore di regime. Per t = 7τ si raggiunge il 99,9 % del valore di regime, cioè l'assestamento residuo rimane inferiore all'un per mille Tempo (t/tau) Marzo - Giugno 2 9

10 Sistemi elementari Primo ordine Al variare di τ varia la velocità di risposta del sistema ס Se τ ס T a y(t) τ [, ] τ = τ = - -/ j ω σ Tempo (sec) Marzo - Giugno 2 Poli più a sinistra (τ piccoli) corrispondono a risposte più veloci.

11 Sistemi elementari Primo ordine con zero proprio) Se oltre al polo vi è anche uno zero (sistema ס La risposta a gradino è data da ס Essendo α = T/τ il rapporto tra le costanti di tempo dello zero e del polo (p = α z) j ω.5.5 α =.5 α =.5 α = - o o α > α < α = σ -.5 Valore iniziale = α Pendenza iniziale = (-α)/τ Marzo - Giugno Tempo (t/τ)

12 Spesso i sistemi in retroazione, anche se di ordine elevato, presentano una ס risposta analoga a quella dei sistemi del secondo ordine. Questo perché in genere la configurazione poli-zeri di un sistema dinamico è caratterizzata dalla presenza di una coppia di poli dominanti complessi coniugati, cioè una coppia di poli (i più vicini all'asse immaginario) il cui contributo nell'espressione del transitorio è notevolmente più importante di quello degli altri poli. j ω σ Marzo - Giugno 2 2

13 La risposta al gradino unitario è data dalla relazione 2 dove: y(t) Marzo - Giugno Tempo (w * t) n 3

14 Per il tipico sistema del secondo ordine, la cui funzione di trasferimento, a ס meno di un fattore costante, si può porre nella forma I parametri definiti in precedenza dipendono dalla posizione dei poli nel piano complesso, legata a sua volta ai valori: del coefficiente di smorzamento δ della pulsazione naturale ωn. y(t) δ =..4.2 δ = 2 Marzo - Giugno Tempo (w * t) n 4

15 cos(φ) Posizione dei poli della f.d.t. al variare di δ = ס Im(s) Im(s) p ωn φ Re(s) ω n P = P 2 Re(s) p 2 Im(s) ω n Im(s) p P P 2 Re(s) Re(s) Poli instabili! p 2 Marzo - Giugno 2 5

16 f.d.t. Caratteristiche della risposta poli della ס Im(s).5 Risposte al gradino δ< p ω n.5 δ= δ> -δω n Re(s) δω n δω n p 2 veloce transitorio lento instabile Marzo - Giugno 2 6

17 I parametri più importanti, sui quali si può basare una misura della qualità ס del transitorio di un sistema del secondo ordine sono: Massima sovraelongazione (o massimo sorpasso) S: differenza fra il valore massimo raggiunto dall'uscita e il valore finale; normalmente si esprime in % del valore finale..4.2 S Tempo di ritardo T r : tempo per raggiungere il 5% del valore finale. Tempo di salita T s : tempo occorrente perchè l'uscita passi dal al 9% del valore finale. Tempo di assestamento T a : tempo occorrente perché l'uscita rimanga entro il 5% del valore finale. Istante di massima sovraelongazione T m : istante al quale si presenta la massima sovraelongazione. y(t) T s T r T m Tempo (t) T a Marzo - Giugno 2 7

18 Può interessare la relazione esatta fra il valore del coefficiente di smorzamento e quello ס della massima sovraelongazione. Per ricavarla, si deriva rispetto al tempo la Si ottiene Ponendo la derivata uguale a zero, si ha da cui Marzo - Giugno 2 8

19 Sistemi elementari Secondo ordine Si ricavano infine i valori dell'uscita in corrispondenza dei vari massimi e minimi ס e - πδ/(-δ 2 ) /2.4.2 (-δ ω t) +e y(t) e -2 πδ/(-δ 2 ) /2 (-δ ω t) -e.2 Marzo - Giugno 2 π/(-δ 2 ) /2 5 2π/(-δ 2 ) /2 3π/(-δ 2 ) /2 4π/(-δ 2 ) /

20 facilmente: Anche il valore della massima sovraelongazione S in % si ricava ס In un sistema del secondo ordine la massima sovraelongazione è funzione unicamente del coefficiente di smorzamento ed è uguale al % quando tale coefficiente è nullo S % Marzo - Giugno CA-5-Sistemi δ Elementari 2

21 Spesso si specifica anche il valore massimo del tempo di assestamento T a. Un ס limite superiore per T a si può ricavare da da cui Perché il tempo di assestamento sia non superiore al valore assegnato T a, dovrà essere Il prodotto δ ωn è uguale in modulo, con segno opposto, alla parte reale σ dei poli del sistema: questo vincolo equivale a limitare la posizione dei poli a sinistra di una retta verticale. Marzo - Giugno 2 2

22 coniugati. Il coefficiente di smorzamento δ dipende dalla posizione dei poli complessi ס Se il valore della massima sovraelongazione non deve superare un certo massimo ס assegnato, i poli del sistema devono essere compresi in settore delimitato dalle rette b e b. Marzo - Giugno 2 22

23 SISTEMI DEL SECONDO ORDINE ( δ < ) Al variare di ω n si hanno andamenti (risposta al gradino) di questo tipo:.4 Risposta al variare di ω n (.5-5).2.8 y(t) Tempo (sec) Marzo - Giugno 2 NB: il coefficiente di smorzamento è costante (δ =.5) e quindi il sorpasso percentuale non cambia. 23

24 variano:: Se i poli complessi coniugati ס 2 Risposta (ω = π/2; T = 4) y(t) Tempo (sec) Marzo - Giugno 2 24

25 poli: Se infine si considerano ס 2.5 Risposta (ω n = π/2) 2.5 y(t) Tempo (sec) Marzo - Giugno 2 25

26 SISTEMI DEL SECONDO ORDINE (δ ) Poli reali: Im(s) Coincidenti per δ = Distinti per δ > P P 2 Re(s) -δ ω n Marzo - Giugno 2 26

27 L'equazione ס fornisce la risposta per δ <, cioè nel caso in cui il sistema presenti poli complessi coniugati. Per δ = (poli reali coincidenti) si ha: e quindi (dalle tabelle) la risposta al gradino è data dalla relazione.8 Per δ = non si ha alcuna sovraelongazione: y(t) tende asintoticamente al valore finale senza mai superarlo. y(t) Marzo - Giugno Tempo (w * t) n 27

28 Per δ > (poli reali distinti) si ha ס e quindi (dalle tabelle) la risposta al gradino è data dalla funzione con.8 y(t) Marzo - Giugno 2 CA-5-Sistemi Elementari Tempo (w n * t)

29 Risposta all impulso di: 2.5 p = -25 K = p 2 = -2 p 2 = Termine corrispondente a p 2.5 Im(s).5 Risposta completa p p 2 Re(s) Termine corrispondente a p Marzo - Giugno Tempo (s) 29

30 Risposta al gradino di:.5 p = -25 p 2 = -2 p 3 = K = -.87 K 2 = -.87 K 3 = Im(s).5 Termine corrispondente a p 3 Risposta completa Termine corrispondente a p p p 2 p 3 Re(s) Termine corrispondente a p 2 Marzo - Giugno Tempo (s) 3

31 Sia data la funzione con zero Si può scrivere: Da cui Marzo - Giugno 2 3

32 con zero T =.2,, Impulse Response 2.5 T = 2 T =.2.5 Amplitude.5 T = -.5 T = -.5 Marzo - Giugno Time (sec) 32

33 Sommario visto: Abbiamo ס Relazione tra la risposta dei sistemi elementari (primo e secondo ordine) e locazione dei poli sul piano complesso. Come esercizio alla lavagna abbiamo visto come utilizzare la retroazione per modificare la posizione dei poli (per sistemi del primo ordine e del secondo ordine). Marzo - Giugno 2 33

34 Assignment 5. specifiche: Siano date le seguenti ס Ta <,3 sec. (sistema del primo ordine) Ta <,5 sec. S < % (sorpasso percentuale). Scrivere in una tabella le specifiche nel domino dei tempi ס relativamente a sistemi del primo ordine (tempo di assestamento) e del secondo ordine (tempo di assestamento e massima sovraelongazione) in relazione ai poli del sistema. Disegnare il luogo dei poli nel piano di gauss di un ס sistema che soddisfi le specifiche date. Marzo - Giugno 2 34