CONTROLLI AUTOMATICI Ingegneria Meccatronica. Prof. Cesare Fantuzzi. Cristian Secchi

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1 CONTROLLI AUTOMATICI Ingegneria Meccatronica PROGETTO DEL CONTROLLORE MEDIANTE IL LUOGO DELLE RADICI Prof. Cesare Fantuzzi Ing Proprietà dei sistemi in retroazione r e u G(s) y L equazione caratteristica del sistema chiuso in retroazione è: Le radici sono i poli del sistema in retroazione Retroazione 2 Cesare Fantuzzi & Pag. 1

2 Esempio: Sistemi del primo ordine r e u y Retroazione 3 Esempio: Sistemi del secondo ordine r e u y δ=1.25 ω n =2 Radici reali distinte p 1 =1 p 2 =4 Retroazione 4 Cesare Fantuzzi & Pag. 2

3 Proprietà dei sistemi in retroazione r e u G(s) y I poli del sistema in retroazione sono le radici dell equazione caratteristica: I poli del sistema in retroazione variano al variare del guadagno da 0 a Retroazione 5 Luogo delle radici Al variare del parametro i poli del sistema chiuso in retroazione descrivono un luogo di punti. Tale luogo è detto Luogo delle radici. Il luogo delle radici descrive il luogo delle radici di un sistema chiuso in retroazione unitaria al variare del guadagno. Il luogo delle radici gode di svariate proprietà che ne consentono il tracciamento senza la necessità di un approfondito studio analitico dell equazione caratteristica. Retroazione 6 Cesare Fantuzzi & Pag. 3

4 Luogo delle radici: proprietà 1. Ha tanti rami quanti sono i poli del sistema in catena aperta Ciascun polo, spostandosi, traccia un ramo 2. Ogni ramo: Parte (=0)dalla posizione di un polo in catena aperta Termina (= )nella posizione di uno zero del sistema o va all infinito 3. Il luogo è simmetrico rispetto all asse reale 4. Un punto dell asse reale appartiene al luogo se lascia a destra un numero dispari di singolarità (poli e zeri) 5. Ha un numero di asintoti pari alla differenza tra il numero di poli e il numero di zeri (grado relativo) del sistema in catena aperta. Retroazione 7 Luogo delle radici: proprietà 6. Gli asintoti formano una stella con centro nel punto dell asse reale: 7. Gli asintoti formano con l asse reale gli angoli Dove n e m rappresentano rispettivamente il numero di poli e il numero di zeri del sistema in catena aperta. Retroazione 8 Cesare Fantuzzi & Pag. 4

5 Luogo delle radici: tracciamento Utilizzando le proprietà enunciate è possibile tracciare rapidamente il luogo delle radici. I passi da seguire sono: 1. Tracciare sul piano di Gauss zeri e poli del sistema in catena aperta, contrassegnando i poli con una X e gli zeri con un O. 2. Ricavare il numero di asintoti facendo la differenza tra il numero di poli e il numero di zeri del sistema in catena aperta. 3. Trovare il punto di incrocio degli asintoti e gli angoli che formano con l'asse reale. 4. Trovare i punti dell'asse reale che stanno sul luogo delle radici 5. Tracciare il luogo delle radici tenendo conto che esso deve essere simmetrico rispetto all'asse reale. Retroazione 9 Esempio: sistema del primo ordine Retroazione 10 Cesare Fantuzzi & Pag. 5

6 Esempi Tracciare il luogo delle radici dei seguenti sistemi chiusi in retroazione unitaria: Retroazione 11 Matlab e il luogo delle radici Matlab può essere utilizzato per tracciare il luogo delle radici. Il comando principale è rlocus. Sintassi: >> rlocus(num,den) Plotta il luogo delle radici del sistema: r e u y Retroazione 12 Cesare Fantuzzi & Pag. 6

7 Matlab e il luogo delle radici Il comando può essere usato in diversi modi. Ad esempio: >> rlocus(num,den, 1 ) Plotta la posizione i dei poli corrispondenti ad un guadagno statico 1. >>[r,g]=rlocus(num,den) Ritorna nella matrice r i valori dei poli del sistema e nel vettore g i rispettivi valori del guadagno. Retroazione 13 Matlab e il luogo delle radici Per l utilizzo del luogo delle radici nel progetto del controllore è molto utile il comando rlocfind Sintassi: >> [,poles]=rlocfind(num,den) Dopo aver fatto una rlocus(num,den), la chiamata di questo comando ci consente di selezionare un polo sul luogo delle radici e ritorna in il valore del guadagno statico corrispondente al polo selezionato e in poles il valore dei poli del sistema corispondenti al guadagno. E' molto utile per sapere quale guadagno dobbiamo mettere nel loop di controllo per avere i poli in una certa posizione. Retroazione 14 Cesare Fantuzzi & Pag. 7

8 Lo strumento rltool Rltool è un interfaccia grafica costruita su Matlab che consente di tracciare il luogo delle radici e di spostare col mouse i poli del sistema lungo il luogo ottenendo automaticamente il guadagno corrispondente. Sintassi: >>rltool(tf(num,den)) Dove num e den sono due vettori che rappresentano i polinomi al numeratore e al denominatore della G(s) Retroazione 15 Lo strumento rltool E possibile visualizzare, oltre al luogo delle radici, altri grafici di interesse per l analisi del comportamento del sistema. In particolare, selezionando la voce response to step command dal menu Analysis nella finestra del luogo delle radici, si apre una finestra dove è visualizzata la risposta a un gradino unitario del sistema chiuso in retroazione in corrispondenza della configurazione dei poli rappresentata nella finestra del luogo delle radici. Variando la posizione dei poli lungo il luogo delle radici, si può vedere la risposta corrispondente e in tal modo è possibile avere un riscontro diretto dell influenza dei poli sulla risposta del sistema. Retroazione 16 Cesare Fantuzzi & Pag. 8

9 Lo strumento rltool Esercizi Verificare che la sovraelongazione del sistema chiuso in retroazione dipende dalla parte immaginaria i i dei suoi poli Verificare che il sisteme diventa instabile per grandi Retroazione 17 Progetto di un controllore in retroazione r(t) e(t) C(s) u(t) G(s) y(t) L(s)=C(s)G(s), Guadagno d anello Dato un plant G(s) costruire un controllore C(s) in modo che l uscita y(t) del sistema chiuso in retroazione: soddisfi le specifiche di controllo Retroazione 18 Cesare Fantuzzi & Pag. 9

10 Specifiche di controllo Specifiche statiche: specifiche relative al massimo errore a regime tollerato. Si risolvono facendo in modo che il guadagno d anello abbia un numero opportuno di poli nell origine i oppure un guadagno a regime minore di un certo valore dipendente dalla specifica. Sono indipendenti dal comportamento dinamico del sistema. Specifiche dinamiche: specifiche relative al comportamento dinamico della risposta, cioè il suo andamento prima di raggiungere il valore a regime. Tipicamente queste specifiche vengono date in termini di massima sovraelongazione percentuale e di tempo di assestamento. Retroazione 19 Utilizzo del luogo delle radici Per i sistemi elementari oppure approssimabili come sistemi elementari (cioè in presenza di poli dominanti) risulta semplice identificare regioni del piano in cui devono stare i poli del sistema in retroazione per soddisfare le specifiche. Il luogo delle radici può essere usato per studiare il comportamento dei poli del sistema chiuso in retroazione e per disegnare un controllore in modo da fare in modo che, per certi guadagni, il sistema chiuso in retroazione abbia tutti i poli all interno della regione e desiderata. Retroazione 20 Cesare Fantuzzi & Pag. 10

11 Passi per la costruzione del controllore 1. Tenendo conto delle specifiche statiche aggiungere poli nell origine. 2. Esaminare il guadagno d anello ottenuto per determinare l ordine (eventualmente trascurando poli recessivi) del sistema 3. Tracciare sul piano di Gauss le regioni relative alle specifiche di controllo 4. Vedere se con una semplice azione proporzionale (C(s)=) è possibile soddisfare le specifiche dinamiche, cioè far entrare i poli del sistema chiuso in retroazione (più eventuali poli aggiunti nell origine per soddisfare le specifiche statiche) nella regione desiderata. 5. Se non è possibile soddisfare le specifiche con un semplice controllore proporzionale, costruire, per tentativi, un controllore tale che esista un per cui i poli del sistema controllato stiano nelle regioni desiderata. 6. Fare una verifica simulativa del controllore ottenuto. E possibile utilizzare rltool per verificare la correttezza dell algoritmo di controllo disegnato. Retroazione 21 CONTROLLI AUTOMATICI Ingegneria Meccatronica PROGETTO DEL CONTROLLORE MEDIANTE IL LUOGO DELLE RADICI FINE Prof. Cesare Fantuzzi Ing. cesare.fantuzzi@unimore.it, cristian.secchi@unimore.it Cesare Fantuzzi & Pag. 11