ii) d(x, y) =d(y, x) per ogni x, y in X (simmetria); Uno spazio metrico è una coppia (X, d) con X insieme qualsiasi, e d distanza su X.

Transcript

1 Caitolo 1 Sazi metrici 1.1 Definizioni ed esemi Definizione Sia X un insieme qualsiasi. Una distanza su X è un alicazione d : X X R tale che i) d(x, y) 0 er ogni x, y in X, e d(x, y) = 0 se e solo se x = y (ositività); ii) d(x, y) =d(y, x) er ogni x, y in X (simmetria); iii) d(x, y) d(x, z)+d(z,y) er ogni x, y e z in X (disuguaglianza triangolare). Uno sazio metrico è una coia (X, d) con X insieme qualsiasi, e d distanza su X. Esemio 1.1. Sia X un insieme qualsiasi e d(x, y) =1sex y, d(x, y) =0 se x = y. Si verifica facilmente che i) e ii) valgono; er la iii), se x = y non c è nulla da dimostrare; se x y, si deve rovare che d(x, z)+d(z,y) 1 er ogni x, y e z in X con x y, fatto questo che risulta essere vero, essendo almeno uno tra i valori d(x, z) ed(y, z) uguale a 1 (non ossono essere entrambi nulli, dato che se lo fossero, si avrebbe x = z e z = y er la i), da cui x = y, ilche non è). La distanza d rende il nome di distanza discreta. Esemio Sia X = R e d(x, y) = x y. Allora (R, )è uno sazio metrico (le tre rorietà sono ben note...).

2 CAPITOLO 1. SPAZI METRICI 3 Teorema (Disuguaglianza di Cauchy-Schwartz) Date due N-le di numeri reali (s 1,...,s N ) e (t 1,...,t N ),siha: s i t i 1 (s i + t i ). (1.1) ( N ) 1 ( s i t i s N i t i. (1.) Dimostrazione. La formula (1.1) si ottiene sommando (er i che va da 1 a N) le disuguaglianze s i t i s i + t i, evidentemente vere essendo equivalenti alla disuguaglianza ( s i t i ) 0. Per dimostrare la (1.), osserviamo che è evidentemente vera se (s 1,...,s N )= (0,...,0) o se (t 1,...,t N )=(0,...,0); altrimenti, alichiamo la (1.1) alle N-le (x 1,...,x N )e(y 1,...,y N ) definite da x i = s i ( N s i, y i = t i ( N t i. Si ottiene, essendo N x i =1= N y i, 1 ( N ) s 1 ( N i t i da cui la tesi. s i t i = s i t i ( N ) s 1 ( ) N i t 1 i 1, Esemio Sia X = R N e ( N ) 1 d((x 1,...,x N ), (y 1,...,y N )) = (x i y i ). Si ha che (R N,d)è uno sazio metrico. La i) e la ii) sono evidenti, mentre er la iii) rocediamo come segue, indicando con X =(x 1,...,x N ), Y =

3 CAPITOLO 1. SPAZI METRICI 4 (y 1,...,y N )ez =(z 1,...,z N ) tre vettori di R N : [d(x, Y )] = (x i y i ) = (x i z i + z i y i ) = [(x i z i ) +(x i z i )(z i y i )+(z i y i ) ] =[d(x, Z)] +[d(z, Y )] + (x i z i )(z i y i ). Alicando la (1.), si ha ( N ) (x i z i )(z i y i ) (x i z i ) ( N ) (z i y i ) Pertanto, = d(x, Y ) d(z, Y ). [d(x, Y )] [d(x, Z)] +[d(z, Y )] +d(x, Z) d(z, Y )=[d(x, Z)+d(Z, Y )], che è la iii). Teorema (Disuguaglianza di Young) Siano s, t due numeri reali e siano e q due numeri reali tali che Allora >1, q > 1, st s q =1. + t q q. (1.3) Dimostrazione. Se uno tra s e t è zero, non c è nulla da rovare. Se sono entrambi non nulli, dividiamo la (1.3) er t q, ottenendo s s t q 1 t + 1 q q. Definiamo ρ = s t q 1.

4 CAPITOLO 1. SPAZI METRICI 5 Essendo 1/ +1/q =1,siha(q 1) = q, e quindi ρ = s s = t (q 1) t. q Dimostrare la (1.3) è quindi equivalente a mostrare che er ogni ρ 0, ovvero che ρ ρ + 1 q, ϕ(ρ) = ρ ρ + 1 q è ositiva su [0, + ). Si ha ϕ(0) = 1/q, mentre ϕ diverge er ρ tendente a + (essendo >1). Si ha oi ϕ (ρ) =ρ 1 1, e quindi ϕ (ρ) = 0 se e solo se ρ = 1. Si vede facilmente che ρ =1èdi minimo (assoluto) er ϕ; essendo ϕ(1) = q =0, si ha la tesi. Semlice conseguenza del Teorema recedente (si ragiona come nella dimostrazione del Teorema 1.1.4) è il risultato che segue. Teorema (Disuguaglianza di Hölder) Siano date due N-le di numeri reali (s 1,...,s N ) e (t 1,...,t N ). Siano e q due numeri reali tali che Allora >1, q > 1, q =1. s i t i 1 s i + 1 t i q. (1.4) q ( N ) 1 ( N ) s i t i s i 1 q t i q. (1.5)

5 CAPITOLO 1. SPAZI METRICI 6 Si osservi che essendo 1/+1/ = 1 (!), le formule (1.1) e (1.) sono casi articolari di (1.4) e (1.5). Esemio Sia X = R N, >1e d ((x 1,...,x N ), (y 1,...,y N )) = ( N x i y i Allora (R N,d )è uno sazio metrico. Al solito, i) e ii) sono evidenti, mentre la disuguaglianza triangolare è di dimostrazione iù comlicata; si ha (suonendo d (X, Y ) 0, altrimenti la tesi è banale). [d (X, Y )] = x i y i = x i y i 1 x i y i = x i y i x i z i + z i y i x i y i 1 x i z i + x i y i 1 z i y i. (1.6) Alicando la (1.5), si ha e ( x i y i 1 N x i z i x i y i ( 1) q q ( N x i z i, ( x i y i 1 N z i y i Essendo ( 1)q =, si ha allora x i y i ( 1) q q ( N z i y i. e x i y i 1 x i z i [d (X, Y )] q d (X, Z), x i y i 1 z i y i [d (X, Y )] q d (Z, Y ).

6 CAPITOLO 1. SPAZI METRICI 7 Sostituendo in (1.6), si ha [d (X, Y )] [d (X, Y )] q [d (X, Z)+d (Z, Y )]. Dividendo er d (X, Y )(cheè diverso da zero er iotesi), si ottiene la disuguaglianza triangolare osservando che /q = 1. Semre in R N è ossibile definire d ((x 1,...,x N ), (y 1,...,y N )) = max{ x i y i,,...,n}. Lo sazio (R N,d )è uno sazio metrico (verifica molto semlice, in questo caso). Esercizio Dimostrare che lim + d ((x 1,...,x N ), (y 1,...,y N )) = d ((x 1,...,x N ), (y 1,...,y N )). Teorema (Cauchy-Schwartz e Hölder) Siano date {s n } e {t n } due successioni di numeri reali; a) se si ha + + s n < +, s n t n ( + s n + t n < +, ( + t n ; (1.7) b) dati e q due numeri reali tali che se si ha + >1, q > 1, s n < +, q =1, t n q < +, + ( + ( s n t n s n + t n q q. (1.8)

7 CAPITOLO 1. SPAZI METRICI 8 Dimostrazione. Dimostriamo solo la rima formula (l altra ha dimostrazione analoga). Sia N fissato; alicando (1.), si ha ( N ) 1 ( s n t n s N n t n ( + s n ( + t n ; la seconda disuguaglianza è dovuta al fatto che le serie sono a termini non negativi (e quindi la successione delle somme arziali è monotona crescente). Pertanto, essendo la disuguaglianza recedente vera er ogni N in N, si ha su { N s n t n,n N } ( + s n ( + t n Essendo la serie di termine generico s n t n una serie a termini non negativi, la successione delle somme arziali è monotona crescente, cosicché l estremo sueriore coincide con il limite er N tendente a +, cioè la somma della serie.. Esemio Sia 1, e siano { X = l = {x n } R : d ({x n }, {y n })= ( + + x n < + x n y n Allora (l,d )è uno sazio metrico. Come al solito, i) e ii) sono di verifica immediata, iù comlicato è il controllo della disuguaglianza triangolare. La verifica si effettua come nel caso di (R n,d ), usando (1.8). Se =1,la verifica discende semlicemente dalla disugaglianza triangolare in R. Si noti che gli sazi l soddisfano le seguenti inclusioni, se q> 1: l 1 l l q, e le inclusioni sono strette. Per verificare le inclusioni, è sufficiente osservare che se {x n } aartiene a l, allora x n tende a zero, e quindi x n tende a zero. Pertanto, x n è definitivamente minore di 1, il che imlica che x n q }.,

8 CAPITOLO 1. SPAZI METRICI 9 x n definitivamente (essendo q>). Quindi {x n } aartiene a l q (er il criterio del confronto). L inclusione è stretta in quanto (ad esemio) x n = 1/[n 1/q ln (n)] èinl q ma non in l se <q. Sia oi X = l = {{x n } R : {x n } è limitata}, d ({x n }, {y n }) = su{ x n y n,n N}. (1.9) Allora (l,d )è uno sazio metrico (la verifica questa volta è facile!) tale che l l er ogni 1, con inclusione stretta (ogni successione limitata ma non infinitesima non aartiene ad l dal momento che la condizione necessaria di convergenza della serie non è verificata). Esemio Siano e X = C 0 ([a, b], R) ={f :[a, b] R f continua}, d (f,g) = su{ f(x) g(x),x [a, b]} = max{ f(x) g(x),x [a, b]}. Allora (C 0 ([a, b], R),d )è uno sazio metrico, come si verifica facilmente (anche la disuguaglianza triangolare!). Esemio Siano e X = C 0 ([a, b], R) ={f :[a, b] R f continua}, d 1 (f,g) = b a f(x) g(x) dx. Allora (C 0 ([a, b], R),d 1 )è uno sazio metrico: la ii) e la iii) sono facilmente verificate (ricordando la monotonia dell integrale), mentre la i) segue dall osservazione che se l integrale del modulo di una funzione continua h è nullo, allora h è identicamente nulla. Infatti, se h non fosse nulla, esisterebbe x 0 in [a, b] tale che h(x 0 ) > 0; er il teorema della ermanenza del segno, esisterebbe un intorno (x 0 δ, x 0 + δ) sul quale si ha h(x) > h(x 0 ) /. Pertanto 0= da cui l assurdo. b a h(x) dx x0 +δ x 0 δ h(x) dx>δ h(x 0 ) > 0,

9 CAPITOLO 1. SPAZI METRICI 10 Teorema (Disuguaglianza di Hölder) Siano f e g due funzioni in C 0 ([a, b], R) e siano e q maggiori di 1 e tali che 1/ +1/q =1. Allora b a ( b f(x) g(x) dx f(x) dx a ( b g(x) q dx a q. (1.10) Dimostrazione. È sufficiente artire dalla disuguaglianza di Young, vera er ogni x in [a, b], f(x) g(x) f(x) + g(x) q q, integrare i due termini su [a, b] e oi alicare la disuguaglianza così trovata a f(x) g(x) f(x) = ( b a f(x) dx ), ḡ(x) = 1 ( b a g(x) q dx ), 1 q non rima di aver osservato che se l integrale di f(x) (o di g(x) q )è nullo, la f (ovvero la g) è nulla e la disuguaglianza (1.10) è banalmente vera. Esemio Siano >1, e X = C 0 ([a, b], R) ={f :[a, b] R f continua}, ( b d (f,g) = f(x) g(x) dx a. Ragionando come nell Esemio , ed usando la (1.10), si dimostra facilmente che (C 0 ([a, b], R),d )è uno sazio metrico. (!)Esercizio Dimostrare che lim + d (f,g) =d (f,g).

10 CAPITOLO 1. SPAZI METRICI 11 Esemio Siano X = C 1 ([a, b], R) ={f :[a, b] R f continua con derivata continua}, d,1 (f,g) = su{ f (x) g (x),x [a, b]} = d (f,g ), e d,1 (f,g) =d (f,g )+d (f,g). Allora (C 1 ([a, b], R), d,1 ) non è uno sazio metrico (dal momento che se f e g differiscono er una costante, d è nulla), mentre (C 1 ([a, b], R),d,1 )lo è. Dal momento che l aggiunta di d (f,g) è dovuta solo alla necessità di distinguere due funzioni la cui differenza è costante, si uò considerare su C 1 ([a, b], R) la distanza d,1 (f,g) =d (f,g )+ f(x 0 ) g(x 0 ), con x 0 unto qualsiasi di [a, b]. In questa maniera, er calcolare la distanza tra f e g è sufficiente conoscere le derivate di f e g, ed il valore delle due funzioni in un unico unto (e non su tutto l intervallo). 1. Prorietà degli sazi metrici Definizione 1..1 Sia (X, d) uno sazio metrico, sia x 0 in X e r>0. La sfera aerta di centro x 0 e raggio r è l insieme B d (x 0,r)={x X : d(x, x 0 ) <r}. Le sfere di (R,d )er =1, 3,,3e (rocedendo dall interno verso l esterno)

11 CAPITOLO 1. SPAZI METRICI 1 Un sottoinsieme A di (X, d) si dice aerto se er ogni x 0 in A esiste r>0 tale che B d (x 0,r) A. Un sottoinsieme C di (X, d) si dice chiuso se A = C c = X \C è aerto. Si verifica facilmente che in (X, discreta) ogni sottoinsieme è aerto (e quindi anche chiuso), mentre gli aerti di (R, )edi(r N,d ) (er ogni ) sono gli aerti soliti. Definizione 1.. Sia (X, d) uno sazio metrico. Una successione {x n } contenuta in X si dice convergente a x 0 in X se si ha lim n + d(x n,x 0 )=0. Quindi, come si vede, la definizione di convergenza in uno sazio metrico è ricondotta (in maniera naturale) alla convergenza a zero in R (meglio, nello sazio metrico (R, )) della successione {d(x n,x 0 )}. Ad esemio, nello sazio metrico dell Esemio 1.1., le successioni convergenti sono tutte e sole le successioni che sono definitivamente costanti. La convergenza in (R, )ein(r N,d ) (er ogni ) è la convergenza solita chesidà er successioni in R ed in R N (quest ultima è come è noto equivalente alla convergenza in (R, ) delle N comonenti). La convergenza in C 0 ([a, b]),d )è la convergenza uniforme. Teorema 1..3 Sia {x n } una successione convergente in (X, d). Allora il limite è unico. Dimostrazione. Se x n convergesse a x 0 eay 0, si avrebbe lim d(x n,x 0 ) = lim d(x n,y 0 )=0. n + n + Ma allora, er la disuguaglianza triangolare, d(x 0,y 0 ) d(x n,x 0 )+d(x n,y 0 ), da cui, ricordando che d(x 0,y 0 ) 0 e assando al limite, d(x 0,y 0 ) = 0. Pertanto, x 0 = y 0.

12 CAPITOLO 1. SPAZI METRICI 13 Definizione 1..4 Siano (X, d) e(y, d) due sazi metrici. Una funzione f : X Y si dice continua in x 0 X se, er ogni successione {x n } di X convergente a x 0, la successione {f(x n )} di Y converge a f(x 0 ). Analogamente, d(f(x n ),f(x 0 ))=0. lim d(x n,x 0 ) 0 Questa definizione negli sazi metrici è equivalente all altra (ben nota) data in termini di ε e δ: ε >0 δ ε > 0:d(x, x 0 ) <δ ε d(f(x),f(x 0 )) <ε. Esemio 1..5 Siano (X, discreta) e (Y, d) due sazi metrici. Allora ogni funzione f : X Y è continua. Infatti, se {x n } è una qualsiasi successione convergente in (X, discreta) a x 0, allora si deve avere x n = x 0 definitivamente. Pertanto, f(x n )=f(x 0 ) definitivamente, da cui d(f(x n ),f(x 0 )) 0. Esercizio 1..6 Sia (X, d) uno sazio metrico e sia x 0 in X. Dimostrare che la funzione d x0 : X R definita da d x0 (x) =d(x 0,x)è continua. Definizione 1..7 Sia (Y,d) uno sazio metrico. Una funzione f : X Y si dice limitata se esistono M>0edy 0 in Y tali che f(x) B d (y 0,M), x X. (.1) Definizione 1..8 Siano (X, d) e(y, d) due sazi metrici. Definiamo L(X, Y )={f : X Y,flimitata}, C(X, Y )={f : X Y,fcontinua e limitata}. L insieme L(X, Y ) (e quindi anche C(X, Y ) che ne è un sottoinsieme) uò essere reso uno sazio metrico introducendo la distanza d (f,g) = su x X d(f(x),g(x)). (.) È facile verificare che d è effettivamente una distanza; si noti che èben definita erché sia f che g sono funzioni limitate. Nel caso in cui (X, d) = ([a, b], )e(y, d) =(R, ), C(X, Y )è rorio C 0 ([a, b], R), dal momento che la limitatezza delle funzioni continue su [a, b]è data dal teorema di Weierstrass. Inoltre, d è esattamente la distanza definita nell Esemio

13 CAPITOLO 1. SPAZI METRICI 14 Esemio 1..9 Siano (X, d) = (N, discreta) e (Y, d) = (R, ). Si ha allora, dal momento che ogni funzione f da X a Y non è niente altro che una successione di numeri reali, L(X, Y )={successioni limitate di numeri reali} = l. Inoltre, essendo ogni funzione da X a Y continua (Esemio 1..5), si ha C(X, Y ) = L(X, Y ). La distanza d definita da (.) è esattamente la distanza definita su l da (1.9). 1.3 Sazi metrici comleti Il seguente teorema mostra come una successione convergente soddisfi una rorietà aggiuntiva. Teorema Sia (X, d) uno sazio metrico e sia {x n } una successione in X convergente a x 0 in X. Allora la successione {x n } soddisfa la condizione di Cauchy, ovvero ε >0, n ε N : d(x n,x m ) <ε n, m n ε. Dimostrazione. Se x n converge a x 0 in X, er ogni ε>0 esiste n ε tale che d(x n,x 0 ) <ε/ er ogni n n ε.senemsono entrambi maggiori di n ε si ha allora, er la disuguaglianza triangolare, da cui la tesi. d(x n,x m ) d(x n,x 0 )+d(x 0,x m ) <ε, Esemio 1.3. Il viceversa del teorema recedente non è vero: non tutte le successioni di Cauchy sono convergenti. Sia X =(0, ) e d(x, y) = x y. Allora (X, d)è uno sazio metrico, come si verifica facilmente, e la successione x n =1/n, ur essendo di Cauchy, non è convergente. La successione èdi Cauchy erché è convergente in (R,d), ma non è convergente in X erché il suo (unico!) limite è zero, che non aartiene ad X. Definizione Uno sazio metrico si dice comleto se ogni successione di Cauchy è convergente.

14 CAPITOLO 1. SPAZI METRICI 15 Nell Esemio 1.1. lo sazio è comleto erché le successioni di Cauchy sono tutte e sole le successioni definitivamente costanti (quindi convergenti). Tutti gli sazi metrici su R o R N considerati nei vari esemi sono comleti. Un rimo risultato generale sulla comletezza è il seguente. Teorema Sia (X, d) uno sazio metrico comleto, e sia C X un insieme chiuso. Allora (C, d) è comleto. Dimostrazione. Sia {x n } una successione di Cauchy in (C, d). Allora {x n } è una successione di Cauchy in (X, d), che è comleto er iotesi. Pertanto, esiste x 0 in X tale che x n converge a x 0. Essendo C chiuso, x 0 aartiene a C (se, infatti, x 0 non aartenesse a C, sarebbe nel comlementare di C, che è aerto; allora esisterebbe un numero reale r>0 tale che B d (x 0,r) C =, il che è assurdo erché la successione {x n } si trova definitivamente in tale intorno er definizione di limite), che quindi è comleto. Un secondo risultato, ben iù imortante, riguarda L(X, Y ) e C(X, Y ). Teorema Siano (X, d) e (Y, d) due sazi metrici. Se (Y, d) è comleto, lo sono sia L(X, Y ) e C(X, Y ), dotati della metrica definita da (.). Dimostrazione. Sia {f n } una successione di Cauchy in (L(X, Y ),d )). Allora ε >0 n ε N : su d(f n (x),f m (x)) <ε n, m n ε. x X Per definizione di su, questo imlica che ε >0 n ε N : d(f n (x),f m (x)) <ε n, m n ε, x X. Pertanto, er ogni x in X la successione {f n (x)} è di Cauchy in (Y, d), comleto, e quindi converge ad un elemento di Y che definiremo f(x). Passando al limite er m tendente ad infinito nella disuguaglianza d(f n (x),f m (x)) <ε, si trova (grazie all Esercizio 1..6) ε >0 n ε N : d(f n (x),f(x)) ε, n n ε, x X. (3.1) Sia ora y in Y. Si ha, er la disuguaglianza triangolare, ed essendo f nε limitata er iotesi, d(f(x),y) d(f(x),f nε (x)) + d(f nε (x),y) ε + M,

15 CAPITOLO 1. SPAZI METRICI 16 e quindi f aartiene a L(X, Y ). Inoltre, rendendo l estremo sueriore er x in X in (3.1), si ha ε >0 n ε N : d (f n (x),f(x)) ε n n ε, e quindi f n converge a f in (L(X, Y ),d ). Se {f n } è una successione di Cauchy in C(X, Y ), lo stesso ragionamento svolto recedentemente ermette di costruire una funzione in L(X, Y ) tale che f n converge a f in d. L unica cosa da dimostrare è ertanto la continuità di f. Sex 0 e x 1 aartengono a X, siha d(f(x 0 ),f(x 1 )) d(f(x 0 ),f nε (x 0 )) + d(f nε (x 0 ),f nε (x 1 )) + d(f nε (x 1 ),f(x 1 )). La rima e la terza quantità sono minori di ε, mentre la seconda uò essere scelta iccola rendendo x 0 ed x 1 vicini (dal momento che f nε è continua). Pertanto, f è continua. Corollario Sia (C 0 ([a, b], R),d ) che (l,d ) sono comleti. Teorema Sia >1. Lo sazio (l,d ) è comleto. Dimostrazione. allora Sia {x (n) } una successione di Cauchy in (l,d ). Si ha ( + ε >0 n ε N : Pertanto, er ogni k in N, k=1 x (n) k ε >0 n ε N : x (n) k x (m) k <ε n, m n ε. (3.) x (m) k <ε n, m n ε, e quindi la successione {n x (n) k } è di Cauchy in (R, ), che è comleto. Siano allora x k il limite er n tendente ad infinito di x (n) k,e x la successione {x k }. Dal momento che da (3.) segue che, er ogni N in N, ε >0 n ε N : ( N k=1 x (n) k x (m) k <ε n, m n ε,

16 CAPITOLO 1. SPAZI METRICI 17 assando al limite er m tendente ad infinito, si ha ε >0 n ε N : ( N k=1 x (n) k Prendendo l estremo sueriore su N in N, x k <ε n n ε. ε >0 n ε N : ( + k=1 x (n) k x k <ε n n ε, da cui segue che {x (n) } converge a x in (l,d ). Il fatto che x aartenga ad l segue oi dalla disuguaglianza triangolare er d : ( + k=1 x k essendo x (nε) in l. = d ( x, 0) d ( x, x (nε) )+d (x (nε), 0) < +, Esemio Lo sazio C 0 ([a, b]),d 1 ) non è comleto. Consideriamo infatti C 0 ([ 1, 1], R) e la successione f n (x) così definita: 1 se x [ 1, 1/n], f n (x) = nx se x ( 1/n, 1/n) 1 se x [1/n, 1]. La successione f n è di Cauchy; infatti f n e f m differiscono al iù (se m>n) sull insieme ( 1/n, 1/n) e su questo insieme si ha f n (x) f m (x). Allora d 1 (f n,f m )= 1 1 f n (x) f m (x) dx = 1/n 1/n f n (x) f m (x) dx 4 n, che uò essere reso minore di ε se n è sufficientemente grande. D altra arte non esiste nessuna funzione continua f tale che Sia infatti a>0; allora d 1 (f n,f)= 1 a 1 1 f n (x) f(x) dx 0. f n (x) f(x) dx 0,

17 CAPITOLO 1. SPAZI METRICI 18 essendo questa quantità ositiva e minore di d 1 (f n,f). Se n è tale che 1/n<a (fatto che accade definitivamente), dalla definizione di f n si ha 1 a 1 f(x) dx 0, da cui (essendo questa quantità indiendente da n), 1 a 1 f(x) dx =0, il che imlica che f 1su[a, 1] er ogni a>0. Con ragionamento analogo si rova che f 1su[ 1, a] con a>0. Ma allora lim f(x) = 1 1= lim f(x), x 0 x 0 + e quindi f non uò essere continua in x =0. Esemio Lo sazio (X, d) = ((0, 1), ) non è comleto. Può, erò, essere reso comleto, aggiungendo i due unti 0 ed 1, senza modificare la distanza; in altre arole, si uò rendere la chiusura di X in R (di (X, ) nello sazio metrico (R, )), ed ottenere così uno sazio metrico comleto. L aggiunta dei due unti 0 ed 1 è minimale nel senso che er rendere X comleto (senza cambiare metrica) non è necessario utilizzare altri unti. Si osservi che esistono successioni di Cauchy tutte contenute in X che convergono a0oad1(mentre non esistono successioni di Cauchy contenute in X che convergono ad un qualsiasi numero reale non aartenente a [0, 1]). Lo sazio (X, d) =(Q, ) non è comleto. Ad esemio, la successione ( x n = 1+ n n, è contenuta in Q,è di Cauchy (erché converge in R ad e ), ma il limite non è un numero razionale. Anche in questo caso, come nel recedente, si uò rendere (Q, ) comleto aggiungendo i limiti delle successioni di Cauchy di razionali. Ricordando che ogni numero reale è limite (in (R, )) di una successione di razionali (dunque di una successione di Cauchy di razionali), si ottiene tutto R. Lo sazio (X, d) =({f C 0 ([a, b], R) :d (f,0) < 1},d ) non è comleto. Ad esemio, la successione f n (x) =1 1 èinx, è di Cauchy (dal n

18 CAPITOLO 1. SPAZI METRICI 19 momento che converge uniformemente a f(x) = 1), ma il suo limite non èinx. Anche in questo caso, si uò rendere (X, d) comleto aggiungendo le funzioni continue su [a, b] tali che d (f,0) = 1. Il risultato, che è({f C 0 ([a, b], R) : d (f,0) 1},d ), è comleto essendo chiuso in (C 0 ([a, b], R),d ), come si verifica facilmente. Si noti che, essendo ossibile ottenere ogni funzione f tale che d (f,0) = 1 come limite uniforme della successione f n = n f (che è tutta contenuta in X), e dal momento che nessuna funzione tale che d (f,0) > 1 uò essere ottenuta come limite uniforme n+1 di funzioni in X, ancora una volta abbiamo reso X comleto aggiungendo i limiti delle successioni di Cauchy contenute in X. A questo unto ci si uò chiedere se questa oerazione si uò semre effettuare. La risosta è affermativa, ed è data dal seguente teorema. Teorema (Comletamento) Dato uno sazio metrico (X, d), esiste uno sazio metrico comleto (Y, d) ed un alicazione i : X Y tale che 1. i è un isometria, ovvero d(i(x 0 ),i(x 1 )) = d(x 0,x 1 ), er ogni x 0, x 1 in X;. i(x) è denso in Y, ovvero la chiusura di i(x) in Y è Y. Dimostrazione. Sia C = {{x n } di Cauchy in (X, d)}. Passo 1: Se {x n } e {y n } aartengono a C, allora la successione z n = d(x n,y n )è di Cauchy in (R, ). Infatti si ha z n = d(x n,y n ) d(x n,x m )+d(x m,y m )+d(y m,y n )=d(x n,x m )+z m +d(y m,y n ), da cui z n z m d(x n,x m )+d(y m,y n ). Scambiando il ruolo di n e m si trova la disuguaglianza z m z n d(x n,x m )+ d(y m,y n ), da cui segue z n z m d(x n,x m )+d(y m,y n ).

19 CAPITOLO 1. SPAZI METRICI 0 A questo unto, fissato ε>0, è sufficiente scegliere n ed m iù grandi di n ε = max(n ε ({x n }),n ε ({y n })) er avere che z n z m <ε. Passo : Essendo (R, ) comleto, er ogni coia di successioni {x n } e {y n } di C, esiste il limite di d(x n,y n ). Definiamo in C la relazione seguente {x n }ρ{y n } lim n + d(x n,y n )=0. Si vede facilmente che ρ è una relazione di equivalenza (la transitività è conseguenza della disuguaglianza triangolare) su C. Definiamo Y come lo sazio quoziente di C modulo la relazione ρ. Successivamente, rendiamo Y uno sazio metrico nel modo seguente: siano x eȳ in Y, e siano {x n } e {y n } due successioni in [ x] e[ȳ] risettivamente. Allora d( x, ȳ) = lim n + d(x n,y n ). Tale definizione è ben osta, dal momento che cambiando raresentanti in [ x] e[ȳ] il limite non cambia (semre er la disuguaglianza triangolare). La funzione d è non negativa (dal momento che d lo è), e si annulla se e solo se x =ȳ (er definizione, se il limite di d(x n,y n )è zero, {x n } e {y n } sono nella stessa classe di equivalenza). La simmetria è conseguenza della simmetria di d, mentre la disuguaglianza triangolare segue assando al limite er n tendente ad infinito nella disuguaglianza d(x n,y n ) d(x n,z n )+d(z n,y n ). Passo 3: Dato x in X, definiamo cost(x) la successione che ha tutte le comonenti uguali ad x. Tale successione è evidentemente in C. Definiamo i : X Y nel modo seguente: i(x) = [cost(x)]. Essendo la definizione di d indiendente dalla scelta del raresentante nella classe di equivalenza, si uò scegliere la successione cost(x) in [cost(x)] e si ha allora d(i(x),i(y)) = e quindi i è un isometria. lim d((cost(x)) n, (cost(y)) n ) = lim d(x, y) =d(x, y), n + n + Passo 4: i(x) è denso in (Y, d).

20 CAPITOLO 1. SPAZI METRICI 1 Sia ȳ in Y, e sia {x m } una successione qualsiasi in [ȳ]. Definiamo y m = i(x m ) = [cost(x m )] e calcoliamo d(y m,y). Si ha d(y m,y) = lim d((cost(x m)) n,x n ) = lim d(x m,x n ). n + n + Essendo la successione {x m } in C, la successione {x m } è di Cauchy in (X, d). Pertanto, er ogni ε>0, esiste n ε in N tale che d(x m,x n ) <ε, n, m n ε. Questo fatto imlica che, er ogni ε>0, esiste n ε in N tale che lim n + d(x m,x n ) ε, m n ε (ricordiamo che tale limite esiste erché la successione {n d(x m,x n )} è di Cauchy in (R, )). Pertanto, er ogni ε>0, esiste n ε in N tale che d(y m,y) ε er ogni m>n ε, ovvero si ha che {y m } converge a y in (Y, d). Passo 5: (Y, d) è comleto. Sia {x (n) } una successione di Cauchy in (Y, d). Dal momento che i(x) è denso in (Y, d), er ogni n in N esiste x n in X tale che d(x (n),i(x n )) 1 n. (3.3) Mostriamo che la successione {x n } èinc. Si ha infatti (ricordando che i è un isometria), d(x n,x m )= d(i(x n ),i(x m )) d(i(x n ),x (n) )+ d(x (n),x (m) )+ d(x (m),i(x m )). Usando (3.3), e scegliendo n e m sufficientemente grandi (in modo che 1 n e 1 siano minori di ε, e in modo che d(x (n),x (m) ) sia anch essa minore di m ε), si rova che d(x n,x m ) < 3ε e quindi {x n } èinc. Sia ora x =[{x n }]; mostriamo che {x (n) } converge a x in (Y, d). Si ha infatti, semre er (3.3), e er definizione di d, d( x, x (n) ) d( x, i(x n )) + d(i(x n ),x (n) ) lim d(x n,x m )+ 1 m + n. Ricordando che {x n } è di Cauchy, se n è sufficientemente grande si ha lim n + d(x n,x m ) ε e 1 n ε. Pertanto, er tali n, d( x, x (n) ) ε, da cui la tesi.

21 CAPITOLO 1. SPAZI METRICI Osservazione Si uò anche dimostrare che lo sazio metrico (Y, d)è unico a meno di isometrie, ovvero se esiste un altro sazio metrico (Z, d) che verifica 1. e. del teorema recedente, allora esiste un isometria biiettiva ī tra (Y, d) e(z, d). (!)Esercizio Nel caso di (C 0 ([a, b], R),d 1 ), chi sono Y e i? Ovvero, se {f n } è una successione di Cauchy in d 1, che rorietà ha il suo limite in Y? È chiaro che non è ossibile ragionare come nell Esemio 1.3.9, erché in tutti e tre i casi era sufficiente renderne la chiusura (e scegliere er i l identità) er comletarlo (dato che lo sazio non comleto era contenuto in un altro comleto). In questo caso C 0 ([a, b], R) è già tutto lo sazio, il che vuol dire che sarà necessario amliarlo con funzioni non continue er renderlo comleto. Ma non tutte le funzioni discontinue sono integrabili (secondo Riemann)...