DISUGUAGLIANZE. Umberto Marconi Dipartimento di Matematica Pura e Applicata Padova

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1 1. PREMESSA 1 DISUGUAGLIANZE Umberto Marconi Diartimento di Matematica Pura e Alicata Padova 1 Premessa Riassumiamo alcune disuguaglianze standard riguardanti somme e integrali (le dimostrazioni seguiranno iù avanti). In tutte queste disuguaglianze le quantità ossono essere numeri reali o comlessi; le somme sono da 1 a n oure da 1 a, e nel secondo caso sono coinvolte certe evidenti assunzioni e imlicazioni di convergenza. Le disuguaglianze er gli integrali riguardano funzioni misurabili definite su un insieme misurabile. Disuguaglianza di Hölder er le somme. se 1 < < e q = 1, cioè q = 1 si ha: a b ( a b a ) 1 ( b q) 1 q Il segno di uguaglianza sussiste esattamente quando arg a b non diende da e a e b q sono n-ule roorzionali. Il caso seciale = q = 2 si chiama disuguaglianza di Cauchy: 2 a b ( a 2 )( b 2 ) Disuguaglianza di Minkowski er le somme. Se 1 < si ha: ( a + b ) 1 ( a ) 1 ( + b ) 1 Se > 1 la disuguaglianza è stretta tranne nel caso in cui una delle due successioni sia multilo ositivo dell altra. Disuguaglianza di Jensen. Se 0 < r < s si ha: ( a s) 1 s ( a r) 1 r Disuguaglianza di Hölder er gli integrali. Se 1 < < e q = 1 si ha: f(x)g(x)dx f(x)g(x) dx ( f(x) dx) 1 ( g(x) q dx) 1 q Nel caso in cui (quasi ovunque) arg f(x)g(x) sia costante e f(x) sia roorzionale a g(x) q, la disuguaglianza di Hölder diventa un uguaglianza. Il caso seciale = q = 2 si chiama disuguaglianza di Schwarz.

2 2 Disuguaglianza di Minkowski er gli integrali. Se 1 < si ha: ( f(x) + g(x) dx) 1 ( f(x) ) 1 + ( g(x) dx) 1 Se > 1 la disuguaglianza è stretta tranne nel caso in cui una delle due funzioni sia multilo ositivo dell altra. 2 Somme finite (V. Hardy, Littlewood, Pólia, Inequalities, Cambridge University Press.) Nel seguito avremo a che fare con n-ule di numeri reali non negativi, indicate con a (o b o c,... ), diciamo a = (a 1, a 2,..., a,..., a n ), ove a 0 er ogni. Il simbolo r indicherà un numero reale diverso da zero. Il simbolo comatto a r significa n =1 ar (se r < 0 allora deve essere a > 0). Si chiama media aritmetica di ordine r l esressione M r così definita: M r = M r (a) = In articolare l usuale media aritmetica è: e la media armonica è L usuale media geometrica è indicata con 2.1 Medie esate Se abbiamo una successione di esi ( 1 ) 1 r a r n A = A(a) = M 1 (a) H = H(a) = M 1 (a) G = G(a) = n a 1 a 2 a n = n a = ( 1, 2,...,,..., n ), ove > 0 ossiamo scrivere la media esata di ordine r M r = M r (a) = M r (a, ) = ( ) 1 ( a r r ) 1 = a r r ove a r = n =1 a r. Nel seguito con M r indichiamo la media esata, con sottinteso. Analogamente er la media geometrica si ha: G = G(a) = G(a, ) = ( a ) 1 P ove a significa n =1 a (l esonente P1 si otrebbe distribuire su ogni esonente del rodotto).

3 2. SOMME FINITE 3 È comodo usare successioni di esi normalizzate, onendo q = P, in modo che q = 1. Nel seguito q indica una successione di esi normalizzata. Abbiamo allora: M r (a) = ( qa r ) 1 r ( q = 1) G(a) = a q ( q = 1) È imortante osservare che sia M r (a) sia G(a) sono comrese fra min a e max a. Dimostriamo che: lim M r(a) = G(a) (1) r 0 + Se a > 0 er ogni scriviamo: M r (a) = ( ( ) qa r ) 1 1 r = ex r log( qa r ) L argomento dell esonenziale si uò scrivere: 1 r log(1 + q(a r 1)) = 1 ( q(a r 1) + o(r) ) = q ar 1 + o(r) r r r Passando al limite l argomento dell esonenziale tende a q log a = log a q da cui: lim M r(a) = ex log a q = a q = G(a) r 0 + Se in a c è qualche 0, indichiamo con b i ositivi tra gli a e con s i q corrisondenti a tali b (naturalmente s < 1 e G(a) = 0). Allora M r (a, q) = ( ( ) 1 qa r ) 1 r = ( sb r ) 1 1 sb r r r = ( s) r = s = ( s) 1 r Mr (b, s) 0 G(b) = 0 ove la media geometrica G(b) è calcolata con i esi s. 2.2 Disuguaglianza di Cauchy Per dimostrare la disuguaglianza di Cauchy cioè ( ab) 2 ( a 2 )( b 2 ) ( a b ) 2 ( a 2 )( b 2 ) osserviamo che essa si uò riscrivere: a 2 b 2 + 2a b a µ b µ <µ a 2 b 2 + <µ(a 2 b 2 µ + a 2 µb 2 )

4 4 Con le oortune semlificazioni essa si riorta alla disuguaglianza: 0 <µ(a 2 a 2 µ 2a b a µ b µ + a 2 µb 2 ) cioè: 0 (a b µ a µ b ) 2 <µ e la dimostrazione è conclusa. Osserviamo anche che l ultima disuguaglianza è stretta, a meno che le successioni a e b siano roorzionali. Usando la disuguaglianza di Cauchy, dimostriamo ora che er ogni r > 0 si ha: Procediamo scrivendo alcune disuguaglianze equivalenti. M r (a) M 2r (a) (2) ( qa r ) 1 r ( qa 2r ) 1 2r ( qa r ) 2 qa 2r ( 1 1 q 2 (q 2 a r ) ) 2 ( (q 1 2 ) 2 )( (q 1 2 a r ) 2 ) Nell ultima disuguaglianza si tenga resente che q = 1. L ultima disuguaglianza è una conseguenza immediata della disuguaglianza di Cauchy. Dalla dimostrazione segue che la (2) è stretta a meno che i termini di a siano tutti uguali (in tal caso, M r (a) = G(a) è tale valore comune). Teorema della disuguaglianza aritmetico-geometrica. Teorema 1 Sussiste la disuguaglianza: G(a) < A(a) tranne quando i termini di a sono tutti uguali Dimostrazione. Da (1) e (2) segue che: A(a) = M 1 (a) > M 1 (a) > M 1 (a) >... > M 2 m(a) > lim M 2 m(a) = G(a) 2 4 m 2.3 Disuguaglianza di Hölder Suoniamo di avere alcune n-ule di numeri reali non negativi indicate con a, b, c,..., l. Abbiamo cioè un certo numero di colonne lunghe n: a 1 b 1 c 1... l 1 a 2 b 2 c 2... l a n b n c n... l n Alle colonne a, b,..., l associamo esi α, β,..., λ tali che α + β + + λ = 1. Vogliamo dimostrare che sussiste la disuguaglianza: a α b β l λ ( a) α ( b) β ( l) λ (3)

5 2. SOMME FINITE 5 cioè la somma delle medie geometriche delle comonenti (righe) è maggiorata dalla media geometrica delle somme delle colonne. Scriviamola er esteso: a α 1 b β 1 lλ a α nb β n l λ n (a a n ) α (b b n ) β (l l n ) λ Inoltre l uguaglianza sussiste solo quando le colonne sono roorzionali o una di esse è nulla. Dimostrazione. Se una colonna è nulla abbiamo 0 da ambo le arti. Se nessuna colonna è nulla, dividendo il termine di sinistra in (3) er quello di destra, si ottiene: ( ) a α ( ) b β ( ) l λ a b l che è una somma di medie geometriche: dobbiamo dimostrare che è maggiorata da 1. La disuguaglianza aritmetico-geometrica alicata a un addendo diventa: ( a a ) α ( b b ) β ( l l ) λ α a a + β b b + + λ l l ( ) Se sommiamo tutti gli addendi otteniamo: ( ) a α ( ) b β ( ) l λ ( α a + β b + + λ l ) = a b l a b l = α + β + + λ = 1, come volevasi. Dalla dimostrazione segue che la disuguaglianza (3) è un uguaglianza solo quando i vari addendi di ( ) sono tutti uguali, cioè: a a = b b =... = cioè se le colonne (a), (b),..., (l) sono roorzionali. l l ( = 1, 2,..., n) Nel caso di due n-ule x e y, la (3) si chiama disuguaglianza di Hölder; in tal caso α e β sono numeri ositivi con α + β = 1. Essa si scrive: x α y β ( x) α ( y) β (4) Di solito si referisce orre α = 1 h e β = 1 k ; inoltre si one xα = a e y β = b. Otteniamo allora la scrittura usuale er la disuguaglianza di Hölder: ab ( a h ) 1 h ( b k ) 1 k (5) ove h e k sono maggiori di 1 con 1 h + 1 k = 1. La disuguaglianza diventa uguaglianza solo nel caso in cui a h e b k sono roorzionali. Nel caso di numeri reali o comlessi la disuguaglianza di Hölder si scrive assando ai moduli: a b a b ( a h ) 1 h ( b k ) 1 k Il rimo e il terzo termine diventano uguali esattamente quando arg a b non diende da e a h e b k sono n-ule roorzionali. Dalla disuguaglianza (4) si uò dedurre che:

6 6 se 0 < r < s allora M r (a) < M s (a), a meno che i termini di a siano tutti uguali. omessa er brevità. La dimostrazione, non immediata, viene 2.4 Disuguaglianza di Minkowski Se a, b,..., l sono n-ule di numeri non negativi e r > 1 abbiamo la disuguaglianza di Minkowski: M r (a + b + + l) M r (a) + M r (b) + + M r (l) (6) e si ha l uguaglianza solo quando le n-ule sono roorzionali. Se i esi sono tutti uguali e le n-ule sono due, la disuguaglianza di Minkowski diventa: ( (a + b) r ) 1 r ( a r ) 1 r + ( b r ) 1 r (7) Se, assando ai moduli, estendiamo la disuguaglianza a R n o C n, otteniamo che la osizione x r = ( x r ) 1 r definisce una norma su R n o C n er r 1. Essa è detta norma di ordine r. Per dimostrare (6) oniamo s = a + b + + l e S = M r (s). Abbiamo allora: S r = qs r = = = q (a + b + + l ) r = q (a + b + + l )(a + b + + l ) r 1 = = q a (a + b + + l ) r q l (a + b + + l ) r 1 = = qas r 1 + qbs r qls r 1 = = (q 1 r a)(q 1 r s) r 1 + (q 1 r b)(q 1 r s) r (q 1 r l)(q 1 r s) r 1 Poiché r > 1, alichiamo a ogni addendo la (5) con r = h e r = k in modo che 1 r + 1 r = 1 cioè r + r = rr. Per il rimo addendo si ha dunque: 1 1 (q r a)(q r s) r 1 ( qa r ) 1 1 r ( (q r s) (r 1)r ) 1 r Poiché (r 1)r = r, il secondo termine diventa: Sommando tutti gli addendi otteniamo: che ossiamo scrivere: ( qa r ) 1 r ( qs r ) 1 r S r ( ( qa r ) 1 r + + ( ql r ) 1 r ) ( qs r ) 1 r S r (M r (a) + M r (b) + + M r (l))( qs r ) 1 r

7 2. SOMME FINITE 7 Ora, oiché S = ( qs r ) 1 r, si ha: S r 1 = ( qs r ) r 1 r = ( qs r ) 1 r Sostituendo nella recedente disuguaglianza abbiamo: S r (M r (a) + M r (b) + + M r (l))s r 1 Semlificando otteniamo quanto voluto (se S è nullo, tutte le n-ule devono essere nulle). Con una iccola meditazione si uò vedere che la disuguaglianza di Minkowski è un uguaglianza se e solo se tutte le n-ule sono in roorzione con la n-ula s. Esercizio. Rifare la dimostrazione nel caso iù semlice della disuguaglianza (7). 2.5 Disuguaglianza di Jénsen Se 0 < r < s, abbiamo osservato che M r (a) < M s (a). È interessante osservare che er la norma di ordine r le disuguaglianze si invertono. Si ha infatti la disuguaglianza di Jénsen er le n-ule a termini non negativi: se 0 < r < s allora ( a s ) 1 s ( a r ) 1 r (8) Osserviamo che entrambi i termini della disuguaglianza sono funzioni di a ositivamente omogenee di grado 1, cioè: t( a s ) 1 s = ( (ta) s ) 1 s Moltilicando ambo i termini er t = ( a r ) 1 r, dobbiamo allora dimostrare che: ( (ta) s ) 1 s 1 Osserviamo che: (ta ) s = a s ( a r ) s r = ( ar a r ) s r Poiché s r > 1 si ha (ta ) s = ( ar a r ) s a r r a r da cui: In conclusione: (ta ) s a r a r = 1 ( (ta) s ) 1 s 1, come volevasi. Dalla dimostrazione segue che se a ha almeno due termini non nulli allora almeno uno dei quozienti usati è minore di 1 e la disuguaglianza è stretta.

8 8 3 Serie infinite Non faremo una trattazione delle recedenti disuguaglianze er le serie infinite. Osserviamo solo che se abbiamo successioni di numeri non negativi allora la disuguaglianza di Hölder (5), la disuguaglianza di Minkowski (7) e la disuguaglianza di Jénse (8) sussistono come disuguaglianze larghe, osservando che sono vere er le ridotte e assando oi all estremo sueriore. In tal caso esse dicono anche che se le serie che comaiono nei termini di destra sono convergenti, anche le serie che comaiono nei termini di sinistra sono convergenti. Passando ai moduli otteniamo anche le disuguaglianze scritte nella remessa. In tal caso si tenga resente che la convergenza assoluta imlica anche la convergenza semlice. Con un iccolo conto è facile vedere che le disuguaglianze di Hölder e Minkowski diventano uguaglianze se sono soddisfatte le condizioni scritte nella remessa. Si uò dimostrare, ma non lo faremo, che l uguaglianza sussiste solo con queste condizioni. 4 Integrali Per i concetti di insieme misurabile e di funzione misurabile e er le considerazioni di sommabilità si rimanda ai corsi di Analisi. I nostri integrali sono intesi come integrali di funzioni misurabili su insiemi misurabili. Come er le n-ule, qui suoniamo che le funzioni in gioco siano non negative; le disuguaglianze della remessa si otterranno assando ai moduli (si ricordi che se l integrale del modulo è finito allora la funzione è sommabile). 4.1 Disuguaglianza di Schwarz L analogo della disuguaglianza di Cauchy si chiama er gli integrali disuguaglianza di Schwarz. Scriviamola: ( f(x)g(x) dx) 2 f 2 (x)dx g 2 (x)dx (9) Per la dimostrazione si osservi che: f 2 (x)dx g 2 (x)dx ( f(x)g(x)dx) 2 = = f 2 (x)dx g 2 (y)dy f(x)g(x)dx f(y)g(y)dy = = 1 f 2 (x)dx g 2 (y)dy + 1 g 2 (x)dx f 2 (y)dy 2 2 f(x)g(x)dx f(y)g(y)dy = = 1 2 (f(x)g(y) g(x)f(y) ) 2dx dy Disuguaglianza di Hölder La disuguaglianza (3) er gli integrali diventa: se α, β,..., λ sono ositivi e α + β + + λ = 1 allora: f α g β l λ dx ( f dx) α ( g dx) β ( l dx) λ (10)

9 4. INTEGRALI 9 Per la dimostrazione scriviamo il raorto che si ottiene dividendo er il secondo termine: = f α g β l λ dx f dx) α ( g dx) β ( l dx) λ = ( ) f α ( ) g β ( ) l λ f dx g dx l dx ( αf + f dx βg g dx + + λl l dx ) dx = = α + β + + λ = 1 ove l ultima disuguaglianza segue dall isotonia dell integrale alicata alla disuguaglianza aritmetico-geometrica. Si otrebbe dimostrare che l uguaglianza sussiste se e solo se le funzioni in gioco sono roorzionali oure una di esse è nulla (si intende, quasi ovunque). La scrittura standard della disuguaglianza (5) er gli integrali diventa: fg dx ( f dx) 1 ( g q dx) 1 q (11) ove e q sono maggiori di 1, con q = 1. I numeri e q si chiamano esonenti coniugati. Per funzioni non nulle l uguaglianza sussiste quando f e g q sono roorzionali. 4.3 Disuguaglianza di Minkowski Scriveremo la disuguaglianza di Minkowski er gli integrali solo nel forma corrisondente alla (7): se > 1 allora ( (f + g) dx) 1 ( f dx) 1 + ( g dx) 1 (12) Analogamente a quanto fatto er le n-ule, oniamo S = ( (f + g) dx) 1. Nelle seguenti disuguaglianze alichiamo la disuguaglianza di Hölder con q esonente coniugato di : S = (f + g) dx = = (f + g)(f + g) 1 dx = = f(f + g) 1 dx + g(f + g) 1 dx ( f dx) 1 ( (f + g) ( 1)q dx) 1 q + ( g dx) 1 ( (f + g) ( 1)q dx) 1 q = = ( ( f dx) 1 + ( g dx) 1 )( ( (f + g) dx) 1 ) q (Abbiamo usato che ( 1)q = e q = 1.) Poiché il secondo fattore è S q = S 1, un immediata semlificazione orta alla conclusione. Per funzioni di segno qualsiasi si otrebbe dimostrare che si ha l uguaglianza esattamente quando una delle due funzioni è multilo ositivo dell altra ( > 1).

10 10 5 Norme su K n Sia K il coro reale o comlesso e sia 1 un numero reale. Sia x K n, x = (x 1, x 2,..., x n ). La osizione x = ( x x n ) 1 = ( n k=1 x k ) 1 (13) definisce una norma su K n erché la disuguaglianza triangolare è assicurata dalla disuguaglianza di Minkowski. Se = anche x = max 1 k n x k (14) definisce una norma su K n. Per = 2 la norma è indotta dal rodotto scalare (v. [GDM]): x, y = n x k y k nel senso che x 2 = x, x 1 2. Si osservi che la disuguaglianza di Cauchy in R n dice che il modulo del rodotto scalare di due vettori è minore o uguale del rodotto delle lunghezze e vale l uguaglianza quando i due vettori sono uno multilo dell altro (chiamiamo coseno di due vettori il raorto fra il rodotto scalare e il rodotto delle lunghezze). Poiché siamo in dimensione finita, tutte queste norme sono equivalenti. Indichiamo con l (n) lo sazio R n con la norma-. Esercizio. Disegnare la alla unitaria di R 2 in 1, 2, e con 1 < < 2 e 2 < < (riflettere sulla disuguaglianza di Jénsen). La disuguaglianza di Jénsen ci dice che se 1 < q allora x q x e la disuguaglianza è stretta se x ha almeno due coordinate non nulle. Di conseguenza la l -alla unitaria è strettamente contenuta nella l q - alla unitaria. Fissato x, la funzione x è continua e decrescente in ; mostriamo che: k=1 lim + x = x È immediato verificare la seguente disuguaglianza: da cui segue quanto voluto. x x n 1 x Esercizio. Sia 1 < <. Dimostrare che la alla unitaria in l (n) è strettamente convessa, cioè che il segmento congiungente due unti della frontiera è tutto contenuto nella alla aerta, tranne gli estremi.