Numeri primi e serie

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1 Numeri rimi e serie Fabio Durastante 5 ottobre 0 Sommario Dimostrazione dell infinità dei numeri rimi, divergenza serie degli inversi dei rimi e teorema di Mertens. Infinità dei numeri rimi Iniziamo dal ricordare la definizione di numero rimo: Definizione.. Un intero n N è detto rimo se n > e se gli unici divisori ositivi di n sono ed n stesso. Altrimenti il numero è detto comosito. Diamo il rimo risultato che ci serve er ottenere l infinità dei numeri rimi, ovvero la divergenza della serie armonica: Lemma. (Serie Armonica). La serie + i= n è divergente. Dimostrazione. Il risultato segue banalmente dall osservare che: log x = dt t [x] n= x n + dt = + log x () t da cui otteniamo che [x] i= n log x er x +. Ovvero la serie diverge e diverge in realtà in modo logaritmico. Come secondo risultato abbiamo bisogno della rima arte del teorema fondamentale dell aritmetica ovvero che: Lemma.. Ogni numero intero n > è un numero rimo oure il rodotto di numeri rimi. Definizione ad-hoc er gli interi, nel caso generale degli anelli si deve far attenzione ad usare le definizioni di elemento rimo e di elemento irriducibile.

2 Dimostrazione. Dimostriamolo er induzione su n. Il teorema è banalmente valido er n =, suoniamolo vero er tutti gli interi < n e dimostriamolo er n. Se n è rimo abbiamo finito, altrimenti n ha un divisore rorio d con d, quindi n = dc con < d < n e < c < n, dunque ossiamo alicare l iotesi induttiva e concludere. Possiamo a questo unto dimostrare l infinità dei rimi e lo faremo sfruttando la strategia di Eulero. Teorema.3. I numeri rimi sono infiniti. Dimostrazione. Suoniamo er assurdo che i numeri rimi siano finiti e siano raresentanti dalla lista {,,..., m }. A questo unto consideriamo le somme arziali della serie armonica k N: k n = k = ( k m + m n= i= j=0 j i = i= i ( ) k ) ( + + m + + ) m k m Abbiamo sfruttato il risultato del lemma., infatti ogni naturale è rodotto di rimi. Dunque abbiamo scritto gli inversi dei naturali come rodotto degli inversi dei loro fattori rimi. Poiché questa disuguaglianza è valida k N, ossiamo assare al limite er k +. In questo modo abbiamo che: + n= n m () dove abbiamo a sinistra la serie armonica che, er il lemma., diverge, mentre a destra abbiamo un rodotto finito. Abbiamo raggiunto l assurdo e l assurdo deriva dall aver suosto finiti i numeri rimi.. Un risultato di Erdös Riartiamo da una dimostrazione del teorema.3 data da Erdös, er ottenere una rima risosta sulla distribuzione dei numeri rimi. Iniziamo col definire: Definizione.. Funzione di distribuzione dei numeri rimi: ossiamo dunque dare la rova: π(x) = #{numeri rimi < x} (3)

3 Dimostrazione. Osserviamo, da rinciio, che ogni numero intero n N uò essere raresentato nella forma n = rs con r N rivo di quadrati ed s intero qualsiasi. Ad esemio basta considerare s il iù grande intero tale s n e orre r = n/s. Chiaramente questa raresentazione non è unica, er ottenere una sovrastima del numero di artizioni di questo tio abbiamo, in rimo luogo, bisogno di saere quanti sono i numeri r < n rivi di quadrati. Ognuno di questi corrisonde ad una serie di rimi distinti il cui rodotto è < n, in realtà ci basta ottenere una sorastima di questi rimi. Partiamo dall osservare che π(n) dice il numero di rimi distinti < n, dunque ci sono al iù π(n) numeri rivi di quadrati n 3. La seconda domanda a cui dobbiamo risondere er ottenere la stima è iù semlice, infatti il numero interi s il cui quadrato è minore di n è semlicemente n. Riassumendo se fattorizziamo ogni numero n nella forma rs abbiamo al iù π(n) ossibilità er r e n ossibilità er s, ovvero abbiamo ottenuto che: π(n) n n (4) dividendo er n ambo i membri ed estraendone i logaritmi in base : π(n) log n (5) dunque π(n) + er n, ovvero i numeri rimi sono infiniti. Si osservi che questa dimostrazione ci ha fornito anche una stima sulla distribuzione dei numeri rimi data dall eq. 5. La serie dei reciroci dei rimi: Poiché abbiamo mostrato che i numeri rimi sono infiniti ha senso considerare ora la seguente serie: + i= i i rimo (6) Vogliamo dare due dimostrazioni del seguente risultato: Teorema.. La serie + i= i con i rimo è divergente. Per ottenere la rima abbiamo bisogno del seguente risultato dovuto ad Eulero: A dire il vero è una sorastima iuttosto abbondante oiché non considera affatto l essere < n. 3 Il numero di sottoinsiemi distinti di un insieme di m elementi è infatti di m. 3

4 Teorema. (Identità di Eulero). Sia f(n) una funzione definita su tutti gli interi ositivi n, che non sia identicamente la funzione nulla. Suoniamo che: f(nn ) = f(n)f(n ) ogniqualvolta (n, n ) = Allora abbiamo che la seguente identità: è valida se: oure se: + n= f(n) = + n= ( + f() + f( ) + ) f(n) converge (7) ( + f() + f( ) + ) converge (8) Inoltre se f(nn ) = f(n)f(n ) er ogni coia di n, n, allora, verificate le stesse iotesi di convergenza, si ha che: + n= f(n) = f() Dimostrazione. Poiché f(n) non è identicamente nulla abbiamo che: n f(n) = f()f(n) e n : f(n) 0 f() = (9) () Suoniamo che sia valida la condizione di convergenza data dall eq.7 e che + n= f(n) S. Consideriamo ora: P (x) = x( + f() + f( ) + ) (0) adesso rimo la serie + n= f(n ) è un estratta 4 della serie data dall eq. 7, oiché la seconda converge converge anche la rima. Possiamo quindi riscrivere: + P (x) = f( n ) x n= x + n= f( n ) () cioè P (x) è il rodotto finito di serie assolutamente convergenti. Possiamo quindi riscrivere P (x) come: P (x) = f(n) () {n n x} 4 La successione delle somme arziali della rima è estratta della successione delle somme arziali della seconda. 4

5 sia quindi S = + n= f(n) allora: + S P (x) = f(n) n= {n n x} f(n) f(n) (3) n>x ma n>x f(n) è la coda di una serie convergente, dunque quando x + si ha che S P (x) 0, cioè P (x) S. Usando questo risultato sulla funzione f(n) abbiamo che: converge ad S. ( + f() + f( ) + ) (4) () Suoniamo che sia valida l iotesi di convergenza data dall eq. 8, in articolare che: ( + f() + f( ) + ) P (5) e definiamo: P (x) = x( + f() + f( ) + ) = = f(n) f(n) n x {n n x} (6) dunque + n= f(n) converge. In questo modo abbiamo comletato la dimostrazione della rima arte del teorema, er l ultima basta osservare che: + n= f(n) = = ( + f() + f( ) + ) = ( + f() + f() + ) = (7) = + n=0(f()) n = f() Possiamo ora dare la dimostrazione del teorema: 5

6 Dimostrazione thm... Poniamo f(n) = n, questa è una funzione moltilicativa, infatti: n, n si ha che f(nn ) = nn = n n = f(n)f(n ) (8) suoniamo, er assurdo, che converga, ossiamo alicare dunque l identità di Eulero er le funzioni moltilicative: + n= f(n) = + n= n = f() = (9) ma questo imlica che sia ( ) sia + n= n convergono e questo è assurdo oiché la serie armonica diverge. Diamo ora una dimostrazione diretta dello stesso risultato dovuta a Clarkson []. Dimostrazione thm... Suoniamo er assurdo che la serie converga, allora k N tale che: + < (0) m m=k+ Sia Q =... k, Q. Tutti i numeri della forma + nq con n =,,... non sono divisibili er nessuno dei,..., k e tutti i suoi divisori sono tra i rimi successivi, ovvero k+, k+,..., allora r > abbiamo che: r n= + ( + nq + t= m m=k+ ) t < <, ovvero è conver- da cui otteniamo facilmente che la serie: + n= gente. Tuttavia si ha anche che: + nq n n + + t= +nq ( ) t = () ma + cercato. n= n diverge er il lemma.. Abbiamo dunque ottenuto l assurdo. Stima di divergenza Vogliamo ora dare una stima asintotica della divergenza della serie dei reciroci. Per ottenerla abbiamo bisogno di alcuni risultati reliminari. 6

7 Lemma.3. Sia un numero rimo, allora l esatta otenza di che divide n! è data da: [ ] [ ] [ ] n n n () si osservi che il numero di termini diversi da zero di questa serie è finito. Dimostrazione. Basta osservare che: n! = ( ) ( + ) ( ) [ ] ci sono quindi esattamente n multili di, via. [ ] n (3) multili di e così Abbiamo ora bisogno delle due stime di somme er mezzo di integrali: Lemma.4 (Stima di una somma con un integrale.). Sia f(x) una funzione crescente non negativa x a. Allora ξ a abbiamo che: ξ f(n) f(x)dx f(ξ) (4) a a n ξ Dimostrazione. Poniamo b = [ξ] allora ossiamo sezzare l integrale come: b ovvero abbiamo che: a b f(x)dx = i=a f(a) + + f(b ) i+ er quanto riguarda il resto si ha: 0 i ε b a b f(i) f(x)dx i= b f(i + ) questo basta er quello che volevamo dimostrare. b i= (5) f(x)dx f(a + ) + f(b) (6) f(x)dx f(ξ) (7) 7

8 Lemma.5 (Identità di Abel). Per ogni funzione aritmetica a(n) sia: A(x) = n x a(n) (8) dove A(x) = 0 se x. Assumiamo che f sia una funzione di classe C ([y, x]), dove 0 < y < x. Allora abbiamo che: y<n x a(n)f(n) = A(x)f(x) A(y)f(y) y A(t)f (t)dt (9) Dimostrazione. Sia k = [x] e m = [y], allora A(x) = A(k) e A(y) = A(m). Allora: k k a(n)f(n) = a(n)f(n) = {A(n) A(n )}f(n) = y<n x = = = = = n=m+ k n=m+ k n=m+ A(n)f(n) n=m+ k n=m A(n)f(n + ) A(n)A(n){f(n) f(n + )} + A(k)f(k) A(m)f(m + ) k A(n) n=m+ n k n+ n=m+ k m+ n A(y)f(y) n+ f (t)dt + A(k)f(k) A(m)f(m + ) A(t)f (t)dt + A(k)f(k) A(m)f(m + ) A(t)f (t)dt + A(x)f(x) m+ =A(x)f(x) A(y)f(y) y A(t)f (t)dt y k A(t)f (t)dt A(t)f (t)dt Nota.. Questa è la formula di integrazione er arti er una funzione a gradino. Se si è definito l integrale alla Riemann-Stieltjes risulta semlicemente dall alicare suddetta formula. Corollario. (Formula di Somma di Eulero). Per y si ha che: y<n x a(n)f(n) = A(x)f(x) A(t)f (t)dt (30) 8

9 Definiamo in oltre la seguente funzione: Definizione.. Definiamo funzione θ di Chebyshev la funzione: θ(x) = log con rimo (3) x er cui diamo il seguente risultato: Lemma.6 (Chebyshev). Se x 0 allora θ(x) x log. Dimostrazione. Dimostriamo il risultato er induzione su [x]: Base: er 0 x si ha θ(x) = 0 x log. Iotesi Induttiva: n < [x] θ(n) n log. Dimostrazione: Sia n = [x] allora: x n ( ) [ n n ] [ n ]< n da cui, assando ai logaritmi, otteniamo subito che: x log ([ n ]) = θ(x) θ [ n ]< n θ(x) [ n ] log θ(x) x log ovvero quello che volevamo: θ(x) x log. Lemma.7. Esiste una costante c tale che er ξ si ha: log log ξ < c (3) ξ Dimostrazione. Dividiamo la dimostrazione in due arti: () Assumiamo da rinciio che ξ = x sia un intero, allora alicando il lemma.3 ossiamo definire: T (x) = log x! = log ] [ ] x + x [ + ([ ] [ ] ) x x = + + log x oiché: x < x [ ] [ ] x x + + x + x + x + x ( ) 9

10 abbiamo: x x log log < T (x) x x x log + log ( ) x sfruttiamo ora il risultato del lemma.6 sulla funzione θ(x): log c x (33) x e facciamo ancora la seguente stima: x log ( ) n x+ log n + (n ) n= log(n + ) n = c 3 (34) adesso sfruttando queste due disuguaglianze abbiamo che: T (x) x x T (x) x x log log x x > x log ( ) c 3x log c x (35) cioè che: T (x) x x log c 4x (36) dobbiamo ora dare una stima della quantità: T (x) x log x c 5 log x (37) dove abbiamo alicato il risultato del lemma.4 alla funzione f(x) = log x, er ξ e T (ξ) = n ξ log n. A questo unto ossiamo dare una stima di tutta la quantità in oggetto come: x log x log x x T (X) x log + T (x) x log x x c 4 x + c 5 x = c 6 x (38) raccogliendo la x (che è 0) e semlificando abbiamo che: log log x c 6 (39) x 0

11 () Possiamo ora analizzare il caso generale in cui ξ è reale. Allora abbiamo che: log = log (40) ξ [ξ] e dal unto () abbiamo che: log log[ξ] c 6 (4) ma: quindi: ξ log[ξ] log ξ = ξ log quindi il teorema è dimostrato. ξ [ξ] dt ξ t dt (4) [ξ] log ξ < c 6 + = c (43) da cui otteniamo il corollario di cui abbiamo bisogno er la nostra dimostrazione: Corollario.. Per ogni x abbiamo che: x log = log(x) + O() (44) Abbiamo finalmente tutti gli strumenti necessari a dare la stima di divergenza della nostra serie: Teorema.8 (Mertens). Esiste una costante A > 0 tale che x : ( ) = log log x + A + O log x x (45) Dimostrazione. Vogliamo usare l identità di Abel (vedi lemma.5), er farlo definiamo: { log n a(n) = n se n è rimo 0 altrimenti da cui abbiamo che: x = a(n) log n e A(x) = a(n) = log n x n x x

12 rendiamo come funzione f(t) = log(t) che è C ([, x]) e osserviamo che A(t) = 0 er t, allora: = A(x) log x + A(t) t log dt (46) t x a questo unto ossiamo alicare il risultato del corollario., er cui A(x) = log x + R(x), dove R(x) = O(), er cui otteniamo: x adesso abbiamo che: e che: + O() =log(x) log(x) ( = + O log(x) + ) + log(t) + R(t) t log dt t dt t log t + dt = log log x log log t log t R(t) + t log t dt = R(t) + t log t dt x R(t) t log t dt R(t) t log t dt (47) l esistenza dell integrale imrorio è garantita dalla condizione R(t) = O(), infatti: + ( R(t) + ) ( ) x t log t dt = O dt x t log = O t log x ossiamo quindi riscrivere l equazione 47 come: x + = log log x + log log + che dimostra il teorema con la costante: A = log log + + R(t) t log t dt + O R(t) t log t dt ( ) log x Nota.. Si uò usare l identità di Abel er ottenere un altra forma er le somme arziali. Si rende er a(n) la funzione caratteristica dei numeri rimi, er f(r) = /r. Si vede facilmente che A(n) è semlicemente il numero dei rimi x, cioè la funzione π(x), allora la formula di Abel ci dice che: = π(x) x + π(t) dt (48) t x

13 Nota.3. Attaccando direttamente il roblema, come fece Mertens, si uò dare una formula er calcolare effettivamente la nostra costante A, infatti: A =γ + + n= ln ζ(n) µ(n) = n = (49) dove γ è la costante di Eulero, ζ(n) la funzione ζ di Riemann e µ(n) la funzione di Möbius. Figura : Somme arziali della serie dei reciroci dei rimi (vedi thm..8) Riferimenti bibliografici [] Aostol, T.M., Introduction to Analytic Number Theory, Sringer, 976. [] Clarkson, James A., On the series of rime recirocals. Proc. Amer. Math. Sot., 966,7: 54; MR 3, n.553. [3] Loo-Keng Hua. Introduction to number theory, Sringer, 98. [4] P. Erdös, Über die Reihe, Mathematica, Zuthen B 7 (938). [5] Mark B. Villarino, Mertens Proof of Mertens Theorem, Aril 8, 005, arxiv:math/ [math.ho]. 3